FFT的详细解释，你看了就明白了

monsterskyy

FFT是离散傅立叶变换的快速算法，可以将一个信号变换
+ `: K' Y6 ^1 B% t4 ~; \到频域。有些信号在时域上是很难看出什么特征的，但是如
果变换到频域之后，就很容易看出特征了。这就是很多信号
分析采用FFT变换的原因。另外，FFT可以将一个信号的频谱
: _( z. _; T, m% ~$ V  e提取出来，这在频谱分析方面也是经常用的。
5 t; s  ?4 {. Y/ \9 I6 R    虽然很多人都知道FFT是什么，可以用来做什么，怎么去
9 {$ j% r6 y9 G4 a! M! T1 C做，但是却不知道FFT之后的结果是什意思、如何决定要使用
多少点来做FFT。
7 _  V! \7 b4 z* b  _
    现在圈圈就根据实际经验来说说FFT结果的具体物理意义。
0 u& r6 D1 d# r% Q: i一个模拟信号，经过ADC采样之后，就变成了数字信号。采样
* {; w& a; X+ Z% D) h定理告诉我们，采样频率要大于信号频率的两倍，这些我就
不在此罗嗦了。

7 L/ A9 ^& Q( O! I* h. W- c! o    采样得到的数字信号，就可以做FFT变换了。N个采样点，
经过FFT之后，就可以得到N个点的FFT结果。为了方便进行FFT
+ n  |1 V7 E& P+ M: F* X9 n# }运算，通常N取2的整数次方。
. p: n8 a5 d- }. a+ U5 i
7 j+ M0 ~& e/ ?3 u6 j- J. @6 ?    假设采样频率为Fs，信号频率F，采样点数为N。那么FFT
% ?$ F# `& S! c% G3 ?" m, H之后结果就是一个为N点的复数。每一个点就对应着一个频率
) S% v1 H* I8 ~  B9 J点。这个点的模值，就是该频率值下的幅度特性。具体跟原始
信号的幅度有什么关系呢？假设原始信号的峰值为A，那么FFT
8 K. v1 A2 \7 |' G" E2 C的结果的每个点（除了第一个点直流分量之外）的模值就是A
的N/2倍。而第一个点就是直流分量，它的模值就是直流分量
的N倍。而每个点的相位呢，就是在该频率下的信号的相位。
- U7 `) @$ ?& L' D第一个点表示直流分量（即0Hz），而最后一个点N的再下一个
3 y. P: N2 E9 S3 P; c1 b: R点（实际上这个点是不存在的，这里是假设的第N+1个点，也
可以看做是将第一个点分做两半分，另一半移到最后）则表示
采样频率Fs，这中间被N-1个点平均分成N等份，每个点的频率
$ V- n1 ^* J& }1 S: \依次增加。例如某点n所表示的频率为：Fn=(n-1)*Fs/N。
由上面的公式可以看出，Fn所能分辨到频率为为Fs/N，如果
采样频率Fs为1024Hz，采样点数为1024点，则可以分辨到1Hz。
( @+ ~' U5 t7 T$ @' I& b4 k1024Hz的采样率采样1024点，刚好是1秒，也就是说，采样1秒
5 `4 `. K6 i5 `+ d+ v时间的信号并做FFT，则结果可以分析到1Hz，如果采样2秒时
间的信号并做FFT，则结果可以分析到0.5Hz。如果要提高频率
; @* t3 w/ r8 z# F9 x: b分辨力，则必须增加采样点数，也即采样时间。频率分辨率和
4 N  x5 [3 {% A  i5 @) `$ ?采样时间是倒数关系。
, _2 m2 r1 W. [9 t  假设FFT之后某点n用复数a+bi表示，那么这个复数的模就是
An=根号a*a+b*b，相位就是Pn=atan2(b,a)。根据以上的结果，
就可以计算出n点（n≠1，且n<=N/2）对应的信号的表达式为：
An/(N/2)*cos(2*pi*Fn*t+Pn)，即2*An/N*cos(2*pi*Fn*t+Pn)。
% q* x8 x; L- O对于n=1点的信号，是直流分量，幅度即为A1/N。
    由于FFT结果的对称性，通常我们只使用前半部分的结果，
即小于采样频率一半的结果。
- Q3 j& C$ k; C
    好了，说了半天，看着公式也晕，下面圈圈以一个实际的
信号来做说明。
8 ?: R% U! E9 ?6 C  a3 `7 i! N5 @
" v. J# v" t% |- @  q/ o: R    假设我们有一个信号，它含有2V的直流分量，频率为50Hz、
) B# J6 K: H2 n& r相位为-30度、幅度为3V的交流信号，以及一个频率为75Hz、
相位为90度、幅度为1.5V的交流信号。用数学表达式就是如下：
2 `! G. w: A" u& n6 P8 D# D, Q8 s
# d7 X3 r! s8 ~3 l5 @7 k5 j. NS=2+3*cos(2*pi*50*t-pi*30/180)+1.5*cos(2*pi*75*t+pi*90/180)

1 ?6 s0 {0 ]7 U/ R* n% @    式中cos参数为弧度，所以-30度和90度要分别换算成弧度。
* W- r& w2 V+ D: ?7 {* g我们以256Hz的采样率对这个信号进行采样，总共采样256点。
* c) P" T/ B$ i" M. j" a按照我们上面的分析，Fn=(n-1)*Fs/N，我们可以知道，每两个
点之间的间距就是1Hz，第n个点的频率就是n-1。我们的信号
) \5 u7 n5 G; a/ i5 c: ]有3个频率：0Hz、50Hz、75Hz，应该分别在第1个点、第51个点、
第76个点上出现峰值，其它各点应该接近0。实际情况如何呢？
我们来看看FFT的结果的模值如图所示。
4 B; i  r2 C* P- c


                      图1 FFT结果
. E" T. u$ P, F: T    从图中我们可以看到，在第1点、第51点、和第76点附近有
9 H8 y9 g+ m2 e3 f' I4 r* q9 l比较大的值。我们分别将这三个点附近的数据拿上来细看：
1点： 512+0i
/ a7 O9 V. D2 A# x( w2点： -2.6195E-14 - 1.4162E-13i
3点： -2.8586E-14 - 1.1898E-13i

6 U9 A; i/ T6 q6 _6 {. W2 A50点：-6.2076E-13 - 2.1713E-12i
51点：332.55 - 192i
52点：-1.6707E-12 - 1.5241E-12i
+ n, H% ^! \/ d* _
; b, @# H. t6 |75点：-2.2199E-13 -1.0076E-12i
3 S+ s1 k5 V; b. s2 `7 H76点：3.4315E-12 + 192i
77点：-3.0263E-14 +7.5609E-13i
   
    很明显，1点、51点、76点的值都比较大，它附近的点值
都很小，可以认为是0，即在那些频率点上的信号幅度为0。
接着，我们来计算各点的幅度值。分别计算这三个点的模值，
结果如下：
1点： 512
51点：384
76点：192
    按照公式，可以计算出直流分量为：512/N=512/256=2；
. T9 @4 x* d7 Z8 T0 h3 ^6 u50Hz信号的幅度为：384/(N/2)=384/(256/2)=3；75Hz信号的
& q6 M, k" b7 X0 t; ~3 g1 x幅度为192/(N/2)=192/(256/2)=1.5。可见，从频谱分析出来
" h/ c8 |! i. V6 y! t的幅度是正确的。
# {$ z+ M& b; z    然后再来计算相位信息。直流信号没有相位可言，不用管
它。先计算50Hz信号的相位，atan2(-192, 332.55)=-0.5236,
, M9 E+ T3 B( J: s7 }) \, e结果是弧度，换算为角度就是180*(-0.5236)/pi=-30.0001。再
计算75Hz信号的相位，atan2(192, 3.4315E-12)=1.5708弧度，
  O6 p  r/ I6 m( p换算成角度就是180*1.5708/pi=90.0002。可见，相位也是对的。
0 J' T: U, o7 a7 O& w  Y根据FFT结果以及上面的分析计算，我们就可以写出信号的表达
式了，它就是我们开始提供的信号。
0 l1 v" O7 O; |* ^/ R4 D& R1 k
    总结：假设采样频率为Fs，采样点数为N，做FFT之后，某
2 J( w% G- c; s! m, t. _+ ?一点n（n从1开始）表示的频率为：Fn=(n-1)*Fs/N；该点的模值
7 q: {0 ]( p6 f' B0 U0 r除以N/2就是对应该频率下的信号的幅度（对于直流信号是除以
N）；该点的相位即是对应该频率下的信号的相位。相位的计算
可用函数atan2(b,a)计算。atan2(b,a)是求坐标为(a,b)点的角
; A' N9 }% V: S( {  g) R* [; [) ?度值，范围从-pi到pi。要精确到xHz，则需要采样长度为1/x秒
8 \+ a; M9 l8 E7 X的信号，并做FFT。要提高频率分辨率，就需要增加采样点数，
这在一些实际的应用中是不现实的，需要在较短的时间内完成
分析。解决这个问题的方法有频率细分法，比较简单的方法是
采样比较短时间的信号，然后在后面补充一定数量的0，使其长度
达到需要的点数，再做FFT，这在一定程度上能够提高频率分辨力。
具体的频率细分法可参考相关文献。

[附录：本测试数据使用的matlab程序]
- \3 m. I* V2 vclose all; %先关闭所有图片
/ u( n' q- ^1 w, ?* e8 _/ F" hAdc=2;  %直流分量幅度
A1=3;   %频率F1信号的幅度
1 c7 M6 d  Z8 W; y* X% b- YA2=1.5; %频率F2信号的幅度
, \$ o% y( X2 P, I  s2 v% mF1=50;  %信号1频率(Hz)
0 }/ N' _! R( c5 p  nF2=75;  %信号2频率(Hz)
) w, z* r9 J# {Fs=256; %采样频率(Hz)
  r1 [4 M- J2 h: B( b5 DP1=-30; %信号1相位(度)
P2=90;  %信号相位(度)
N=256;  %采样点数
$ D6 g( v9 e& V6 R" qt=[0:1/Fs:N/Fs]; %采样时刻
/ r0 O$ B& }/ T
%信号
( U  U# e8 w- _. `- O$ u$ b8 t) V6 _S=Adc+A1*cos(2*pi*F1*t+pi*P1/180)+A2*cos(2*pi*F2*t+pi*P2/180);
%显示原始信号
plot(S);
title('原始信号');
- l9 w/ Z0 H* t6 Y, ~- o) B
% G0 v  h/ n) m, q& N( ^figure;
6 y3 Y  `7 r" H( _2 s: ^Y = fft(S,N); %做FFT变换
+ E0 Q* b/ |% E7 oAyy = (abs(Y)); %取模
' n6 d" W! `- b/ h. O2 @, d/ K& ]8 hplot(Ayy(1:N)); %显示原始的FFT模值结果
title('FFT 模值');
- n- N1 e$ q' z- o8 O- k
figure;
5 F! N6 y1 k& J. O+ hAyy=Ayy/(N/2);   %换算成实际的幅度
& L. k# Y) Y7 e" X; i: XAyy(1)=Ayy(1)/2;
9 z/ O, ?8 u+ O0 DF=([1:N]-1)*Fs/N; %换算成实际的频率值
plot(F(1:N/2),Ayy(1:N/2));   %显示换算后的FFT模值结果
( M: c8 n  G/ ^) Z; u& ptitle('幅度-频率曲线图');
* D. X5 O0 J' q6 O# G
0 A# R, W0 n- |  S' Q9 hfigure;
7 M+ S3 K8 E: D) vPyy=[1:N/2];
% z7 K) l' g* T, ]8 lfor i="1:N/2"
Pyy(i)=phase(Y(i)); %计算相位
) k- C6 X. c4 [" t2 }' s! D5 vPyy(i)=Pyy(i)*180/pi; %换算为角度
end;
4 M9 |8 r! p: P, ]1 splot(F(1:N/2),Pyy(1:N/2));   %显示相位图
title('相位-频率曲线图');

看完这个你就明白谐波分析了。

modengxian111

FFT是离散傅立叶变换的快速算法，可以将一个信号变换到频域

ninik342

5 Z1 e2 r. j! ]  b3 w把DSP的精髓FFT讲解的很完整呢~