FFT的详细解释，你看了就明白了

monsterskyy

FFT是离散傅立叶变换的快速算法，可以将一个信号变换
到频域。有些信号在时域上是很难看出什么特征的，但是如
果变换到频域之后，就很容易看出特征了。这就是很多信号
分析采用FFT变换的原因。另外，FFT可以将一个信号的频谱
提取出来，这在频谱分析方面也是经常用的。
& T. i$ X! W) I7 O  F, h7 ~    虽然很多人都知道FFT是什么，可以用来做什么，怎么去
做，但是却不知道FFT之后的结果是什意思、如何决定要使用
, p) g. Y2 n+ R0 k多少点来做FFT。

    现在圈圈就根据实际经验来说说FFT结果的具体物理意义。
; b4 Z" M' N/ u4 o$ P一个模拟信号，经过ADC采样之后，就变成了数字信号。采样
定理告诉我们，采样频率要大于信号频率的两倍，这些我就
, O2 e/ B8 K* f3 ^9 v$ {不在此罗嗦了。

6 t' u# r: i( U9 M( |& P    采样得到的数字信号，就可以做FFT变换了。N个采样点，
经过FFT之后，就可以得到N个点的FFT结果。为了方便进行FFT
运算，通常N取2的整数次方。
$ ]& b/ \0 c5 R; w' @; u0 _
    假设采样频率为Fs，信号频率F，采样点数为N。那么FFT
' C5 w7 \- w* R: Q之后结果就是一个为N点的复数。每一个点就对应着一个频率
/ S$ ?, C! t  c( `% Q点。这个点的模值，就是该频率值下的幅度特性。具体跟原始
5 E9 s4 u, E9 ?信号的幅度有什么关系呢？假设原始信号的峰值为A，那么FFT
$ ^; n! B) g, k7 x- ]# O的结果的每个点（除了第一个点直流分量之外）的模值就是A
" I' U0 h: b/ O$ w的N/2倍。而第一个点就是直流分量，它的模值就是直流分量
3 A1 }  Y# d: k的N倍。而每个点的相位呢，就是在该频率下的信号的相位。
第一个点表示直流分量（即0Hz），而最后一个点N的再下一个
* C2 _! h, c. t' c+ F( P点（实际上这个点是不存在的，这里是假设的第N+1个点，也
可以看做是将第一个点分做两半分，另一半移到最后）则表示
# c' I$ M: P( J5 v# R采样频率Fs，这中间被N-1个点平均分成N等份，每个点的频率
: O: U8 Z$ g% }3 J! V# V- E8 D依次增加。例如某点n所表示的频率为：Fn=(n-1)*Fs/N。
由上面的公式可以看出，Fn所能分辨到频率为为Fs/N，如果
2 \/ I0 r8 S9 Q! v  P' i采样频率Fs为1024Hz，采样点数为1024点，则可以分辨到1Hz。
& f: c7 y8 B& E3 j7 Q9 U- t1024Hz的采样率采样1024点，刚好是1秒，也就是说，采样1秒
时间的信号并做FFT，则结果可以分析到1Hz，如果采样2秒时
, R6 D' ~; S0 H  t  _: M间的信号并做FFT，则结果可以分析到0.5Hz。如果要提高频率
! R: r$ \% Q6 c. X5 s0 s) j分辨力，则必须增加采样点数，也即采样时间。频率分辨率和
采样时间是倒数关系。
2 j4 S, y0 e7 Z5 Q$ x# ]) f# n  假设FFT之后某点n用复数a+bi表示，那么这个复数的模就是
An=根号a*a+b*b，相位就是Pn=atan2(b,a)。根据以上的结果，
就可以计算出n点（n≠1，且n<=N/2）对应的信号的表达式为：
An/(N/2)*cos(2*pi*Fn*t+Pn)，即2*An/N*cos(2*pi*Fn*t+Pn)。
对于n=1点的信号，是直流分量，幅度即为A1/N。
& P5 S1 y; D$ P' X5 s" l    由于FFT结果的对称性，通常我们只使用前半部分的结果，
* }* o; @3 r& q. w5 Q即小于采样频率一半的结果。
7 w  f+ a1 a2 `6 }5 E% h4 _" A1 M
    好了，说了半天，看着公式也晕，下面圈圈以一个实际的
8 k9 Y1 M" w% g, g# s( Y: P- c/ H信号来做说明。

    假设我们有一个信号，它含有2V的直流分量，频率为50Hz、
相位为-30度、幅度为3V的交流信号，以及一个频率为75Hz、
! N" x* V# j/ ~  P相位为90度、幅度为1.5V的交流信号。用数学表达式就是如下：

! g' t6 q9 R1 y: O0 [" a5 Y7 ^S=2+3*cos(2*pi*50*t-pi*30/180)+1.5*cos(2*pi*75*t+pi*90/180)
- z+ p# N9 o. t& Z+ e" {
    式中cos参数为弧度，所以-30度和90度要分别换算成弧度。
我们以256Hz的采样率对这个信号进行采样，总共采样256点。
按照我们上面的分析，Fn=(n-1)*Fs/N，我们可以知道，每两个
点之间的间距就是1Hz，第n个点的频率就是n-1。我们的信号
有3个频率：0Hz、50Hz、75Hz，应该分别在第1个点、第51个点、
第76个点上出现峰值，其它各点应该接近0。实际情况如何呢？
$ o6 W, Z4 c) q. c" A7 Q* Y我们来看看FFT的结果的模值如图所示。
/ c3 b. d. Z: p' }8 s# ]

$ m+ V8 i- M* U* c) E/ l
5 s5 Y" m9 c* p& v  Q                      图1 FFT结果
    从图中我们可以看到，在第1点、第51点、和第76点附近有
比较大的值。我们分别将这三个点附近的数据拿上来细看：
1点： 512+0i
2点： -2.6195E-14 - 1.4162E-13i
7 Y( Y8 V- w2 u  [7 j3点： -2.8586E-14 - 1.1898E-13i
$ O! ~! q0 z1 y7 f$ J$ x, Y! s* G& S
50点：-6.2076E-13 - 2.1713E-12i
51点：332.55 - 192i
3 e: H' w8 D0 X: n52点：-1.6707E-12 - 1.5241E-12i
5 q8 x0 b/ y" T* j) |: j* j
+ N# d  x+ u+ n" e7 Q75点：-2.2199E-13 -1.0076E-12i
* z9 J' Z0 V9 ]7 E8 x4 A/ Q76点：3.4315E-12 + 192i
77点：-3.0263E-14 +7.5609E-13i
* S/ u! M. J* C* A* T; R   
( f5 [! Z; c" B( Z    很明显，1点、51点、76点的值都比较大，它附近的点值
都很小，可以认为是0，即在那些频率点上的信号幅度为0。
接着，我们来计算各点的幅度值。分别计算这三个点的模值，
结果如下：
1点： 512
7 V% Z7 L$ D- n; d% L51点：384
76点：192
    按照公式，可以计算出直流分量为：512/N=512/256=2；
0 N" R. q7 l, D& v50Hz信号的幅度为：384/(N/2)=384/(256/2)=3；75Hz信号的
幅度为192/(N/2)=192/(256/2)=1.5。可见，从频谱分析出来
7 p, f" Y5 o% \. Z) M) ~的幅度是正确的。
0 V, ]# T1 e* R0 D    然后再来计算相位信息。直流信号没有相位可言，不用管
它。先计算50Hz信号的相位，atan2(-192, 332.55)=-0.5236,
6 X1 n1 G. k1 w结果是弧度，换算为角度就是180*(-0.5236)/pi=-30.0001。再
3 Z/ ]7 u) s3 H4 D, `# m计算75Hz信号的相位，atan2(192, 3.4315E-12)=1.5708弧度，
& f. E0 S4 e' L; L1 ^4 d3 d% Z换算成角度就是180*1.5708/pi=90.0002。可见，相位也是对的。
  w% R9 E) W+ W# t$ z% a- x. x根据FFT结果以及上面的分析计算，我们就可以写出信号的表达
式了，它就是我们开始提供的信号。
+ O: Y' a: R9 `0 F" w6 ?9 J+ X
* v" ]! H0 T$ I7 _    总结：假设采样频率为Fs，采样点数为N，做FFT之后，某
7 C. R5 H. @, M$ |' Z8 z( e一点n（n从1开始）表示的频率为：Fn=(n-1)*Fs/N；该点的模值
除以N/2就是对应该频率下的信号的幅度（对于直流信号是除以
N）；该点的相位即是对应该频率下的信号的相位。相位的计算
可用函数atan2(b,a)计算。atan2(b,a)是求坐标为(a,b)点的角
" Q2 A1 S+ {8 Z; a1 K, V5 e2 S度值，范围从-pi到pi。要精确到xHz，则需要采样长度为1/x秒
9 i/ O) P7 r. A- R的信号，并做FFT。要提高频率分辨率，就需要增加采样点数，
这在一些实际的应用中是不现实的，需要在较短的时间内完成
. J  \) N9 W, z' l分析。解决这个问题的方法有频率细分法，比较简单的方法是
1 a' \' U$ S# m% j/ Z3 i1 H采样比较短时间的信号，然后在后面补充一定数量的0，使其长度
达到需要的点数，再做FFT，这在一定程度上能够提高频率分辨力。
0 z- x/ h) }9 G& \- l% a具体的频率细分法可参考相关文献。

[附录：本测试数据使用的matlab程序]
close all; %先关闭所有图片
, j: U; {# h4 R. x  b; Z6 l+ kAdc=2;  %直流分量幅度
3 V& x: y3 B+ b/ X8 g' Q. dA1=3;   %频率F1信号的幅度
6 E  {* q, ]6 FA2=1.5; %频率F2信号的幅度
F1=50;  %信号1频率(Hz)
F2=75;  %信号2频率(Hz)
) P, n3 k/ K- `. E( [' g5 U+ MFs=256; %采样频率(Hz)
P1=-30; %信号1相位(度)
P2=90;  %信号相位(度)
8 A$ ]9 j, |8 @N=256;  %采样点数
$ d, r5 u# V- R# at=[0:1/Fs:N/Fs]; %采样时刻
, Q8 l; S& \& E/ ?
%信号
S=Adc+A1*cos(2*pi*F1*t+pi*P1/180)+A2*cos(2*pi*F2*t+pi*P2/180);
- v7 ~' o) }) A1 D$ R/ C%显示原始信号
. \( Y1 W) ^, K+ Yplot(S);
title('原始信号');
* z2 `' w, e/ ]0 W  A- c
figure;
Y = fft(S,N); %做FFT变换
/ |7 q" n" S3 ?/ OAyy = (abs(Y)); %取模
1 a* Y: {! ^" U& o/ Aplot(Ayy(1:N)); %显示原始的FFT模值结果
1 j( r' Z6 B% c, ^- L2 m5 S5 u/ btitle('FFT 模值');

figure;
Ayy=Ayy/(N/2);   %换算成实际的幅度
Ayy(1)=Ayy(1)/2;
' t' @  E& E4 a6 S  V9 x5 k  qF=([1:N]-1)*Fs/N; %换算成实际的频率值
plot(F(1:N/2),Ayy(1:N/2));   %显示换算后的FFT模值结果
title('幅度-频率曲线图');
2 L6 C0 Y: _9 B9 q/ \3 @: j
2 v: N* w0 I0 Q( cfigure;
2 L: b7 u5 Z  ~; a, APyy=[1:N/2];
for i="1:N/2"
Pyy(i)=phase(Y(i)); %计算相位
. J. p! B" `% c9 r/ T8 X% bPyy(i)=Pyy(i)*180/pi; %换算为角度
end;
' a! M$ B3 A. E! X& l9 _/ Gplot(F(1:N/2),Pyy(1:N/2));   %显示相位图
title('相位-频率曲线图');

* W- m1 e/ u2 {0 r看完这个你就明白谐波分析了。
2 j% F  B# b) x, Y

modengxian111

FFT是离散傅立叶变换的快速算法，可以将一个信号变换到频域

ninik342

6 B. S5 [0 [7 b/ ^把DSP的精髓FFT讲解的很完整呢~