FFT的详细解释，你看了就明白了

monsterskyy

FFT是离散傅立叶变换的快速算法，可以将一个信号变换
, m- M2 r6 n+ B+ S1 h6 b到频域。有些信号在时域上是很难看出什么特征的，但是如
! U" R7 P  E! j! m+ P+ k果变换到频域之后，就很容易看出特征了。这就是很多信号
3 h1 K1 U$ Y, X. N! X- W( ?, @& e+ v# b分析采用FFT变换的原因。另外，FFT可以将一个信号的频谱
提取出来，这在频谱分析方面也是经常用的。
    虽然很多人都知道FFT是什么，可以用来做什么，怎么去
做，但是却不知道FFT之后的结果是什意思、如何决定要使用
# n# b' u2 }/ n* u. ~  l  w多少点来做FFT。
8 l* }  w; l" w$ d# U
- s1 \# K: A/ L+ b8 i% G# o# A6 z    现在圈圈就根据实际经验来说说FFT结果的具体物理意义。
7 p, x" n0 S% B一个模拟信号，经过ADC采样之后，就变成了数字信号。采样
9 P1 \+ e; y: I- Z9 g定理告诉我们，采样频率要大于信号频率的两倍，这些我就
不在此罗嗦了。

    采样得到的数字信号，就可以做FFT变换了。N个采样点，
: n+ `) C; \8 k1 V3 M经过FFT之后，就可以得到N个点的FFT结果。为了方便进行FFT
运算，通常N取2的整数次方。

8 u* G$ o3 Y$ t7 C; D4 l    假设采样频率为Fs，信号频率F，采样点数为N。那么FFT
4 f' J) `' b; ]& S) F之后结果就是一个为N点的复数。每一个点就对应着一个频率
. V7 S" @# ^2 [9 B点。这个点的模值，就是该频率值下的幅度特性。具体跟原始
3 f7 D9 N9 A. h$ F( b0 C. q4 V信号的幅度有什么关系呢？假设原始信号的峰值为A，那么FFT
的结果的每个点（除了第一个点直流分量之外）的模值就是A
的N/2倍。而第一个点就是直流分量，它的模值就是直流分量
的N倍。而每个点的相位呢，就是在该频率下的信号的相位。
$ u) P2 E2 Y( E% b, d: Q8 k; T. D6 K第一个点表示直流分量（即0Hz），而最后一个点N的再下一个
点（实际上这个点是不存在的，这里是假设的第N+1个点，也
可以看做是将第一个点分做两半分，另一半移到最后）则表示
/ V* g4 ~. T: B( ~; w7 L6 H采样频率Fs，这中间被N-1个点平均分成N等份，每个点的频率
依次增加。例如某点n所表示的频率为：Fn=(n-1)*Fs/N。
# e6 Z, O% J$ i9 t# C6 ]& `$ N- a由上面的公式可以看出，Fn所能分辨到频率为为Fs/N，如果
采样频率Fs为1024Hz，采样点数为1024点，则可以分辨到1Hz。
+ \% Y* W* {. ~4 e3 p1024Hz的采样率采样1024点，刚好是1秒，也就是说，采样1秒
+ s$ e2 D4 R9 G! z  x: p时间的信号并做FFT，则结果可以分析到1Hz，如果采样2秒时
" P2 t4 q9 ^+ \* E间的信号并做FFT，则结果可以分析到0.5Hz。如果要提高频率
5 N! D2 n; l' w3 L分辨力，则必须增加采样点数，也即采样时间。频率分辨率和
+ {) g, @  m5 g* j采样时间是倒数关系。
  假设FFT之后某点n用复数a+bi表示，那么这个复数的模就是
An=根号a*a+b*b，相位就是Pn=atan2(b,a)。根据以上的结果，
- _- h/ |# O: l- A1 s; ?2 k1 n就可以计算出n点（n≠1，且n<=N/2）对应的信号的表达式为：
An/(N/2)*cos(2*pi*Fn*t+Pn)，即2*An/N*cos(2*pi*Fn*t+Pn)。
6 J+ h- w2 A+ y6 f对于n=1点的信号，是直流分量，幅度即为A1/N。
) [: h1 E+ L9 u2 i% [    由于FFT结果的对称性，通常我们只使用前半部分的结果，
% m2 l! Z8 s% f6 ^5 E: R即小于采样频率一半的结果。
# G5 ^8 G1 T' X
+ r. e$ r0 w: z( x( V% G4 F! e    好了，说了半天，看着公式也晕，下面圈圈以一个实际的
5 N8 c+ s& D# D6 z6 d信号来做说明。
1 w' X- P' J* x3 F) J
* u0 }  Q" Y+ g    假设我们有一个信号，它含有2V的直流分量，频率为50Hz、
, j. t, D* F$ z9 B" V4 w相位为-30度、幅度为3V的交流信号，以及一个频率为75Hz、
相位为90度、幅度为1.5V的交流信号。用数学表达式就是如下：

S=2+3*cos(2*pi*50*t-pi*30/180)+1.5*cos(2*pi*75*t+pi*90/180)

3 s0 ]8 ?8 z& T7 s    式中cos参数为弧度，所以-30度和90度要分别换算成弧度。
我们以256Hz的采样率对这个信号进行采样，总共采样256点。
: e- \- x" f1 {& K按照我们上面的分析，Fn=(n-1)*Fs/N，我们可以知道，每两个
( m2 i' z; `8 x8 q点之间的间距就是1Hz，第n个点的频率就是n-1。我们的信号
6 @4 B" b/ ^7 m- @有3个频率：0Hz、50Hz、75Hz，应该分别在第1个点、第51个点、
第76个点上出现峰值，其它各点应该接近0。实际情况如何呢？
# c/ `# j4 f+ r; b/ s! |我们来看看FFT的结果的模值如图所示。

, l: ]' |, P: ]# x: `) G
# z; m1 X) p  H) r
                      图1 FFT结果
    从图中我们可以看到，在第1点、第51点、和第76点附近有
比较大的值。我们分别将这三个点附近的数据拿上来细看：
1点： 512+0i
/ L. N+ T6 `, A+ N( s2点： -2.6195E-14 - 1.4162E-13i
, o* B: \* T) P! R* x& b3点： -2.8586E-14 - 1.1898E-13i

- N7 Z6 `/ b3 V) C& h( J50点：-6.2076E-13 - 2.1713E-12i
51点：332.55 - 192i
8 ~% Q2 \, U& a, n% F52点：-1.6707E-12 - 1.5241E-12i

% {, T, `7 n0 K0 U+ Y75点：-2.2199E-13 -1.0076E-12i
76点：3.4315E-12 + 192i
77点：-3.0263E-14 +7.5609E-13i
   
    很明显，1点、51点、76点的值都比较大，它附近的点值
都很小，可以认为是0，即在那些频率点上的信号幅度为0。
* i% v1 h9 l* K: }' V接着，我们来计算各点的幅度值。分别计算这三个点的模值，
& O9 ~& N1 i2 {# G- B结果如下：
9 {! }, }" [% n! D9 k0 X1点： 512
- I* S. m+ s) n( y6 s& Z0 l51点：384
76点：192
6 S; O+ K; Q! A$ u% u    按照公式，可以计算出直流分量为：512/N=512/256=2；
/ g4 t' j% C: I- H) T50Hz信号的幅度为：384/(N/2)=384/(256/2)=3；75Hz信号的
1 I9 {, H! g9 y; x幅度为192/(N/2)=192/(256/2)=1.5。可见，从频谱分析出来
4 K; k$ C2 [: P4 B' Q8 h* m的幅度是正确的。
. ?0 O9 p9 S2 Z/ j/ u. J! s! j9 h9 }  z    然后再来计算相位信息。直流信号没有相位可言，不用管
: y0 f' Q% l3 ^) s* i4 q/ O它。先计算50Hz信号的相位，atan2(-192, 332.55)=-0.5236,
* y& F; o1 A' t结果是弧度，换算为角度就是180*(-0.5236)/pi=-30.0001。再
  E6 F0 u* ^, @& X: [: q计算75Hz信号的相位，atan2(192, 3.4315E-12)=1.5708弧度，
5 k4 [$ A7 H  O) Q( b6 ^+ S" I换算成角度就是180*1.5708/pi=90.0002。可见，相位也是对的。
, x( T8 [9 `  g3 H" s5 D! ^# F根据FFT结果以及上面的分析计算，我们就可以写出信号的表达
; m& \" V& Q$ P' V1 e: ?5 ^式了，它就是我们开始提供的信号。
+ W! r5 @0 }0 p6 w
    总结：假设采样频率为Fs，采样点数为N，做FFT之后，某
一点n（n从1开始）表示的频率为：Fn=(n-1)*Fs/N；该点的模值
2 G7 J' }( B- ~- ^$ n除以N/2就是对应该频率下的信号的幅度（对于直流信号是除以
N）；该点的相位即是对应该频率下的信号的相位。相位的计算
可用函数atan2(b,a)计算。atan2(b,a)是求坐标为(a,b)点的角
度值，范围从-pi到pi。要精确到xHz，则需要采样长度为1/x秒
的信号，并做FFT。要提高频率分辨率，就需要增加采样点数，
这在一些实际的应用中是不现实的，需要在较短的时间内完成
- h- i) k; U2 \" Q6 F' z/ s5 Y分析。解决这个问题的方法有频率细分法，比较简单的方法是
" F1 _; b) f1 [" w采样比较短时间的信号，然后在后面补充一定数量的0，使其长度
达到需要的点数，再做FFT，这在一定程度上能够提高频率分辨力。
具体的频率细分法可参考相关文献。

[附录：本测试数据使用的matlab程序]
close all; %先关闭所有图片
5 n9 W6 D% M$ I2 oAdc=2;  %直流分量幅度
" z4 y$ ?* {5 t) n0 ^A1=3;   %频率F1信号的幅度
; V4 ^! }$ E+ r9 _& D+ W. B4 OA2=1.5; %频率F2信号的幅度
F1=50;  %信号1频率(Hz)
F2=75;  %信号2频率(Hz)
Fs=256; %采样频率(Hz)
# S- S1 K9 S; l( n* o7 t/ s! vP1=-30; %信号1相位(度)
P2=90;  %信号相位(度)
  m/ N* U  L7 S6 \* c( L0 cN=256;  %采样点数
t=[0:1/Fs:N/Fs]; %采样时刻

* Y# c6 W* p" c/ T5 M* M7 ?9 y%信号
2 Y3 K0 p# _9 ^# P/ o2 jS=Adc+A1*cos(2*pi*F1*t+pi*P1/180)+A2*cos(2*pi*F2*t+pi*P2/180);
) V* D/ A3 L; {( B9 u' h7 ^%显示原始信号
2 }% T- F: Z7 U7 x' Eplot(S);
; h2 h4 o$ A' }: ktitle('原始信号');
! E* \  Z& H6 S) N- R
  A" W6 y! l& h* `figure;
. e1 ]5 C9 O# }) J) ]Y = fft(S,N); %做FFT变换
9 e- Q, g  F6 Y- J; LAyy = (abs(Y)); %取模
plot(Ayy(1:N)); %显示原始的FFT模值结果
/ j8 s0 l# T& ~! W: [1 rtitle('FFT 模值');

figure;
Ayy=Ayy/(N/2);   %换算成实际的幅度
. s$ _4 H  c, g% ]- U# AAyy(1)=Ayy(1)/2;
F=([1:N]-1)*Fs/N; %换算成实际的频率值
$ v5 h  c4 Z6 S+ l  h/ Qplot(F(1:N/2),Ayy(1:N/2));   %显示换算后的FFT模值结果
title('幅度-频率曲线图');

figure;
Pyy=[1:N/2];
) z$ ?  c# G2 p6 K. ~0 {5 ?for i="1:N/2"
Pyy(i)=phase(Y(i)); %计算相位
Pyy(i)=Pyy(i)*180/pi; %换算为角度
: I1 t! @% A" m+ n: tend;
( [( @6 B6 ~9 J! m8 F5 {8 a5 }plot(F(1:N/2),Pyy(1:N/2));   %显示相位图
1 F+ B: }0 x5 R. z3 O& b: L* |: gtitle('相位-频率曲线图');

8 z# Z6 x/ ?6 }0 ^/ `$ Q) b看完这个你就明白谐波分析了。

modengxian111

FFT是离散傅立叶变换的快速算法，可以将一个信号变换到频域

ninik342

5 Q- F  a8 C( O! c9 g把DSP的精髓FFT讲解的很完整呢~