FFT的详细解释，你看了就明白了

monsterskyy

FFT是离散傅立叶变换的快速算法，可以将一个信号变换
到频域。有些信号在时域上是很难看出什么特征的，但是如
果变换到频域之后，就很容易看出特征了。这就是很多信号
分析采用FFT变换的原因。另外，FFT可以将一个信号的频谱
提取出来，这在频谱分析方面也是经常用的。
7 B* U8 `5 G3 k    虽然很多人都知道FFT是什么，可以用来做什么，怎么去
做，但是却不知道FFT之后的结果是什意思、如何决定要使用
多少点来做FFT。
0 L) V6 S9 N5 n; _+ H2 x+ _2 g
1 v0 b8 O  E8 ~6 e2 u- V3 ^    现在圈圈就根据实际经验来说说FFT结果的具体物理意义。
* q  G  i" o. J. |一个模拟信号，经过ADC采样之后，就变成了数字信号。采样
定理告诉我们，采样频率要大于信号频率的两倍，这些我就
不在此罗嗦了。
# W# e9 I6 F1 ^+ k( O7 e
    采样得到的数字信号，就可以做FFT变换了。N个采样点，
经过FFT之后，就可以得到N个点的FFT结果。为了方便进行FFT
运算，通常N取2的整数次方。
: u% p' K( i7 p4 q+ T
    假设采样频率为Fs，信号频率F，采样点数为N。那么FFT
7 ^1 M+ t8 l# Y4 {- `9 b' T5 y; p# {之后结果就是一个为N点的复数。每一个点就对应着一个频率
点。这个点的模值，就是该频率值下的幅度特性。具体跟原始
信号的幅度有什么关系呢？假设原始信号的峰值为A，那么FFT
$ Q/ U! B& X8 Q: L7 [/ t0 I的结果的每个点（除了第一个点直流分量之外）的模值就是A
0 B  B7 Y# X6 P5 I的N/2倍。而第一个点就是直流分量，它的模值就是直流分量
的N倍。而每个点的相位呢，就是在该频率下的信号的相位。
第一个点表示直流分量（即0Hz），而最后一个点N的再下一个
点（实际上这个点是不存在的，这里是假设的第N+1个点，也
可以看做是将第一个点分做两半分，另一半移到最后）则表示
采样频率Fs，这中间被N-1个点平均分成N等份，每个点的频率
依次增加。例如某点n所表示的频率为：Fn=(n-1)*Fs/N。
由上面的公式可以看出，Fn所能分辨到频率为为Fs/N，如果
1 G1 l* b+ [" {2 P$ P采样频率Fs为1024Hz，采样点数为1024点，则可以分辨到1Hz。
& J4 h% J4 Y* ^  _1024Hz的采样率采样1024点，刚好是1秒，也就是说，采样1秒
时间的信号并做FFT，则结果可以分析到1Hz，如果采样2秒时
间的信号并做FFT，则结果可以分析到0.5Hz。如果要提高频率
6 R' }9 B8 a$ j& z分辨力，则必须增加采样点数，也即采样时间。频率分辨率和
1 t) }3 E9 _2 q4 x8 L' h2 X采样时间是倒数关系。
" t- q$ J0 q9 v. e. w/ ?/ P  假设FFT之后某点n用复数a+bi表示，那么这个复数的模就是
# N/ J5 \) z8 ~An=根号a*a+b*b，相位就是Pn=atan2(b,a)。根据以上的结果，
就可以计算出n点（n≠1，且n<=N/2）对应的信号的表达式为：
An/(N/2)*cos(2*pi*Fn*t+Pn)，即2*An/N*cos(2*pi*Fn*t+Pn)。
2 i" U3 o' W% F; Z. l对于n=1点的信号，是直流分量，幅度即为A1/N。
    由于FFT结果的对称性，通常我们只使用前半部分的结果，
即小于采样频率一半的结果。

$ Q/ {9 o9 G8 J    好了，说了半天，看着公式也晕，下面圈圈以一个实际的
信号来做说明。

    假设我们有一个信号，它含有2V的直流分量，频率为50Hz、
0 n9 {3 n( b' O5 i相位为-30度、幅度为3V的交流信号，以及一个频率为75Hz、
相位为90度、幅度为1.5V的交流信号。用数学表达式就是如下：
# n  J1 i8 D% M+ O! u, i
S=2+3*cos(2*pi*50*t-pi*30/180)+1.5*cos(2*pi*75*t+pi*90/180)

! T* C' c5 }& D" V    式中cos参数为弧度，所以-30度和90度要分别换算成弧度。
我们以256Hz的采样率对这个信号进行采样，总共采样256点。
按照我们上面的分析，Fn=(n-1)*Fs/N，我们可以知道，每两个
点之间的间距就是1Hz，第n个点的频率就是n-1。我们的信号
+ E# b& ?9 |' U" P1 |9 C- ^" }& U有3个频率：0Hz、50Hz、75Hz，应该分别在第1个点、第51个点、
( `2 V9 V: s/ j3 W% F4 l第76个点上出现峰值，其它各点应该接近0。实际情况如何呢？
我们来看看FFT的结果的模值如图所示。


$ e, X/ ^# l1 T) z
                      图1 FFT结果
0 B) R4 J5 X( ]- u1 K" }    从图中我们可以看到，在第1点、第51点、和第76点附近有
8 Q8 t3 }/ L; \比较大的值。我们分别将这三个点附近的数据拿上来细看：
# E  U, ^2 Z' S4 ?4 u. r& U0 z# h1点： 512+0i
2点： -2.6195E-14 - 1.4162E-13i
3点： -2.8586E-14 - 1.1898E-13i

50点：-6.2076E-13 - 2.1713E-12i
51点：332.55 - 192i
  B/ i/ `; X- ]5 n52点：-1.6707E-12 - 1.5241E-12i
. T# S5 k: e0 t8 }) {8 l
7 D! P4 Q! f: u) j& j75点：-2.2199E-13 -1.0076E-12i
76点：3.4315E-12 + 192i
77点：-3.0263E-14 +7.5609E-13i
   
    很明显，1点、51点、76点的值都比较大，它附近的点值
- z, f0 w/ |& ^0 o: D4 r5 [都很小，可以认为是0，即在那些频率点上的信号幅度为0。
: w9 L2 S: e- I7 O4 N接着，我们来计算各点的幅度值。分别计算这三个点的模值，
结果如下：
1点： 512
51点：384
5 y$ H. ^. ^7 @4 W  Y; q76点：192
    按照公式，可以计算出直流分量为：512/N=512/256=2；
50Hz信号的幅度为：384/(N/2)=384/(256/2)=3；75Hz信号的
幅度为192/(N/2)=192/(256/2)=1.5。可见，从频谱分析出来
9 e6 D* f: s. [: a6 e# Q/ {4 i9 H的幅度是正确的。
    然后再来计算相位信息。直流信号没有相位可言，不用管
它。先计算50Hz信号的相位，atan2(-192, 332.55)=-0.5236,
6 w% ~* \/ d2 R5 W6 \- J结果是弧度，换算为角度就是180*(-0.5236)/pi=-30.0001。再
计算75Hz信号的相位，atan2(192, 3.4315E-12)=1.5708弧度，
5 ]( [& B% S( _/ ]6 `2 {( o换算成角度就是180*1.5708/pi=90.0002。可见，相位也是对的。
( J3 g" t5 a* K根据FFT结果以及上面的分析计算，我们就可以写出信号的表达
式了，它就是我们开始提供的信号。
7 o. y: M" a0 G6 e2 i( w' B: F% M# J
8 b+ o. r% I( V3 i6 e' g    总结：假设采样频率为Fs，采样点数为N，做FFT之后，某
% t1 x2 T8 m5 s7 K+ [一点n（n从1开始）表示的频率为：Fn=(n-1)*Fs/N；该点的模值
; Z' q+ c& V  j( a* w4 E7 R除以N/2就是对应该频率下的信号的幅度（对于直流信号是除以
& |3 Q  p: n8 U, J9 ~1 Z8 l! QN）；该点的相位即是对应该频率下的信号的相位。相位的计算
可用函数atan2(b,a)计算。atan2(b,a)是求坐标为(a,b)点的角
度值，范围从-pi到pi。要精确到xHz，则需要采样长度为1/x秒
0 w1 T3 g2 L  T的信号，并做FFT。要提高频率分辨率，就需要增加采样点数，
' V+ G( F7 o  R- n这在一些实际的应用中是不现实的，需要在较短的时间内完成
8 b* {' s" v/ j- K( n, w9 b分析。解决这个问题的方法有频率细分法，比较简单的方法是
采样比较短时间的信号，然后在后面补充一定数量的0，使其长度
2 K- {; M  f; F( D! C6 C; Z5 F达到需要的点数，再做FFT，这在一定程度上能够提高频率分辨力。
) P3 u3 @; \2 _具体的频率细分法可参考相关文献。
9 l/ n2 E9 x; E- {
[附录：本测试数据使用的matlab程序]
- f9 \! g$ ~; g8 Z8 k! x) ?& Uclose all; %先关闭所有图片
/ u% }' P' @5 FAdc=2;  %直流分量幅度
( V3 `) w9 @! c* R+ P& mA1=3;   %频率F1信号的幅度
A2=1.5; %频率F2信号的幅度
/ w2 Y8 ?! U  R7 [" G$ uF1=50;  %信号1频率(Hz)
4 g, {: M' ?" o; q" q: h$ AF2=75;  %信号2频率(Hz)
( j* l! X: D8 f/ r& b, `  l7 zFs=256; %采样频率(Hz)
P1=-30; %信号1相位(度)
P2=90;  %信号相位(度)
N=256;  %采样点数
/ T/ e# B" p( w2 zt=[0:1/Fs:N/Fs]; %采样时刻

%信号
S=Adc+A1*cos(2*pi*F1*t+pi*P1/180)+A2*cos(2*pi*F2*t+pi*P2/180);
% k; o2 U" z# Y' j4 t8 N4 X%显示原始信号
$ Q4 K/ s- x# k8 j! B# `0 N8 z# dplot(S);
% S+ @! D$ ?& _+ ]9 stitle('原始信号');
2 C; _9 H5 ?0 s% b5 h. a
figure;
Y = fft(S,N); %做FFT变换
Ayy = (abs(Y)); %取模
3 d' s' a6 C( F$ o7 o6 Tplot(Ayy(1:N)); %显示原始的FFT模值结果
" N# k& w' P* j2 ~" atitle('FFT 模值');

7 t+ ~1 U. i) n4 a# ~) P. Tfigure;
- p. G+ d+ D$ |$ K  _7 z4 v" |Ayy=Ayy/(N/2);   %换算成实际的幅度
Ayy(1)=Ayy(1)/2;
) T5 [  a5 k/ g2 M& r$ P" \) YF=([1:N]-1)*Fs/N; %换算成实际的频率值
$ p. L9 h; Y6 {! D. l! M! n% [2 Fplot(F(1:N/2),Ayy(1:N/2));   %显示换算后的FFT模值结果
+ b- x/ e" \+ a/ h2 r1 ititle('幅度-频率曲线图');

figure;
/ M$ x" d' u+ U+ c; cPyy=[1:N/2];
& |1 Y' {) u; U* q/ C3 a- Z: r* P7 pfor i="1:N/2"
) n6 R; q3 o* Q4 k. C, ~) N3 rPyy(i)=phase(Y(i)); %计算相位
Pyy(i)=Pyy(i)*180/pi; %换算为角度
end;
plot(F(1:N/2),Pyy(1:N/2));   %显示相位图
title('相位-频率曲线图');

看完这个你就明白谐波分析了。

modengxian111

FFT是离散傅立叶变换的快速算法，可以将一个信号变换到频域

ninik342

把DSP的精髓FFT讲解的很完整呢~