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FFT是离散傅立叶变换的快速算法,可以将一个信号变换
, m- M2 r6 n+ B+ S1 h6 b到频域。有些信号在时域上是很难看出什么特征的,但是如
! U" R7 P E! j! m+ P+ k果变换到频域之后,就很容易看出特征了。这就是很多信号
3 h1 K1 U$ Y, X. N! X- W( ?, @& e+ v# b分析采用FFT变换的原因。另外,FFT可以将一个信号的频谱 p% s7 Q2 L$ O+ T
提取出来,这在频谱分析方面也是经常用的。- e! R6 C3 D% k1 m
虽然很多人都知道FFT是什么,可以用来做什么,怎么去7 ^; c8 T: O! ? |$ n# h* ~! u
做,但是却不知道FFT之后的结果是什意思、如何决定要使用
# n# b' u2 }/ n* u. ~ l w多少点来做FFT。
8 l* } w; l" w$ d# U
- s1 \# K: A/ L+ b8 i% G# o# A6 z 现在圈圈就根据实际经验来说说FFT结果的具体物理意义。
7 p, x" n0 S% B一个模拟信号,经过ADC采样之后,就变成了数字信号。采样
9 P1 \+ e; y: I- Z9 g定理告诉我们,采样频率要大于信号频率的两倍,这些我就7 E# q, ?& b0 L; m6 ]
不在此罗嗦了。 d: w9 ]. U' L$ U
# r5 o: j# w m( j, o1 ~
采样得到的数字信号,就可以做FFT变换了。N个采样点,
: n+ `) C; \8 k1 V3 M经过FFT之后,就可以得到N个点的FFT结果。为了方便进行FFT* t1 [$ b& D8 `
运算,通常N取2的整数次方。7 u" W* Z, v2 p0 t
8 u* G$ o3 Y$ t7 C; D4 l 假设采样频率为Fs,信号频率F,采样点数为N。那么FFT
4 f' J) `' b; ]& S) F之后结果就是一个为N点的复数。每一个点就对应着一个频率
. V7 S" @# ^2 [9 B点。这个点的模值,就是该频率值下的幅度特性。具体跟原始
3 f7 D9 N9 A. h$ F( b0 C. q4 V信号的幅度有什么关系呢?假设原始信号的峰值为A,那么FFT1 g% T& ?& b7 y! z& ~
的结果的每个点(除了第一个点直流分量之外)的模值就是A8 Y3 H4 J! F9 ^2 X0 U3 Q J
的N/2倍。而第一个点就是直流分量,它的模值就是直流分量 a3 n5 k% ]( I9 m* `! W' n8 F
的N倍。而每个点的相位呢,就是在该频率下的信号的相位。
$ u) P2 E2 Y( E% b, d: Q8 k; T. D6 K第一个点表示直流分量(即0Hz),而最后一个点N的再下一个, V5 S' j: L8 E! l/ u
点(实际上这个点是不存在的,这里是假设的第N+1个点,也6 {5 D& c( f, d% ?9 r' F+ H, B
可以看做是将第一个点分做两半分,另一半移到最后)则表示
/ V* g4 ~. T: B( ~; w7 L6 H采样频率Fs,这中间被N-1个点平均分成N等份,每个点的频率 R- u5 g- U) N+ o1 }1 B/ r& ?
依次增加。例如某点n所表示的频率为:Fn=(n-1)*Fs/N。
# e6 Z, O% J$ i9 t# C6 ]& `$ N- a由上面的公式可以看出,Fn所能分辨到频率为为Fs/N,如果 @/ e. E* }' O( c1 ?0 H$ t
采样频率Fs为1024Hz,采样点数为1024点,则可以分辨到1Hz。
+ \% Y* W* {. ~4 e3 p1024Hz的采样率采样1024点,刚好是1秒,也就是说,采样1秒
+ s$ e2 D4 R9 G! z x: p时间的信号并做FFT,则结果可以分析到1Hz,如果采样2秒时
" P2 t4 q9 ^+ \* E间的信号并做FFT,则结果可以分析到0.5Hz。如果要提高频率
5 N! D2 n; l' w3 L分辨力,则必须增加采样点数,也即采样时间。频率分辨率和
+ {) g, @ m5 g* j采样时间是倒数关系。$ I$ a! y- o9 o% H D. F6 i
假设FFT之后某点n用复数a+bi表示,那么这个复数的模就是& {2 Z. A7 J8 A* @
An=根号a*a+b*b,相位就是Pn=atan2(b,a)。根据以上的结果,
- _- h/ |# O: l- A1 s; ?2 k1 n就可以计算出n点(n≠1,且n<=N/2)对应的信号的表达式为: |% Z; h! J% f. W! K2 {1 W
An/(N/2)*cos(2*pi*Fn*t+Pn),即2*An/N*cos(2*pi*Fn*t+Pn)。
6 J+ h- w2 A+ y6 f对于n=1点的信号,是直流分量,幅度即为A1/N。
) [: h1 E+ L9 u2 i% [ 由于FFT结果的对称性,通常我们只使用前半部分的结果,
% m2 l! Z8 s% f6 ^5 E: R即小于采样频率一半的结果。
# G5 ^8 G1 T' X
+ r. e$ r0 w: z( x( V% G4 F! e 好了,说了半天,看着公式也晕,下面圈圈以一个实际的
5 N8 c+ s& D# D6 z6 d信号来做说明。
1 w' X- P' J* x3 F) J
* u0 } Q" Y+ g 假设我们有一个信号,它含有2V的直流分量,频率为50Hz、
, j. t, D* F$ z9 B" V4 w相位为-30度、幅度为3V的交流信号,以及一个频率为75Hz、5 n5 }% E( C! N& C- E- _
相位为90度、幅度为1.5V的交流信号。用数学表达式就是如下:1 G$ P. C4 N! P6 I U
~/ d2 b8 ?3 g8 K. k0 x
S=2+3*cos(2*pi*50*t-pi*30/180)+1.5*cos(2*pi*75*t+pi*90/180)5 F3 v8 N4 A4 v, d* L3 K' l" m
3 s0 ]8 ?8 z& T7 s 式中cos参数为弧度,所以-30度和90度要分别换算成弧度。" U9 S; ?5 Y' G/ x) M( I
我们以256Hz的采样率对这个信号进行采样,总共采样256点。
: e- \- x" f1 {& K按照我们上面的分析,Fn=(n-1)*Fs/N,我们可以知道,每两个
( m2 i' z; `8 x8 q点之间的间距就是1Hz,第n个点的频率就是n-1。我们的信号
6 @4 B" b/ ^7 m- @有3个频率:0Hz、50Hz、75Hz,应该分别在第1个点、第51个点、# f! Q. @7 U; _6 D
第76个点上出现峰值,其它各点应该接近0。实际情况如何呢?
# c/ `# j4 f+ r; b/ s! |我们来看看FFT的结果的模值如图所示。7 R; w3 @$ c& s8 b( g2 b
, l: ]' |, P: ]# x: `) G
# z; m1 X) p H) r9 V" Y s4 o0 @, J: F- f
图1 FFT结果 j4 V/ R( U# A# Q" a
从图中我们可以看到,在第1点、第51点、和第76点附近有9 Q$ C. r p; V
比较大的值。我们分别将这三个点附近的数据拿上来细看:% t' U) v9 Z/ X5 {! Z. v3 p
1点: 512+0i
/ L. N+ T6 `, A+ N( s2点: -2.6195E-14 - 1.4162E-13i
, o* B: \* T) P! R* x& b3点: -2.8586E-14 - 1.1898E-13i% f- I6 H5 B1 S- m k
- N7 Z6 `/ b3 V) C& h( J50点:-6.2076E-13 - 2.1713E-12i/ I1 x* z" s. r" i! D
51点:332.55 - 192i
8 ~% Q2 \, U& a, n% F52点:-1.6707E-12 - 1.5241E-12i$ D" c* Y" n+ A$ V- `2 R; Q* H2 n) h
% {, T, `7 n0 K0 U+ Y75点:-2.2199E-13 -1.0076E-12i( H$ k6 W. l5 M% [/ _9 J: R
76点:3.4315E-12 + 192i8 F9 p0 A& u( t* n4 Z
77点:-3.0263E-14 +7.5609E-13i C* O- K8 a# q1 Y% R9 A/ }
1 ]" |8 i' H6 y/ h
很明显,1点、51点、76点的值都比较大,它附近的点值+ y! \6 y9 V; x! `- n
都很小,可以认为是0,即在那些频率点上的信号幅度为0。
* i% v1 h9 l* K: }' V接着,我们来计算各点的幅度值。分别计算这三个点的模值,
& O9 ~& N1 i2 {# G- B结果如下:
9 {! }, }" [% n! D9 k0 X1点: 512
- I* S. m+ s) n( y6 s& Z0 l51点:3844 z$ B _0 p f; `
76点:192
6 S; O+ K; Q! A$ u% u 按照公式,可以计算出直流分量为:512/N=512/256=2;
/ g4 t' j% C: I- H) T50Hz信号的幅度为:384/(N/2)=384/(256/2)=3;75Hz信号的
1 I9 {, H! g9 y; x幅度为192/(N/2)=192/(256/2)=1.5。可见,从频谱分析出来
4 K; k$ C2 [: P4 B' Q8 h* m的幅度是正确的。
. ?0 O9 p9 S2 Z/ j/ u. J! s! j9 h9 } z 然后再来计算相位信息。直流信号没有相位可言,不用管
: y0 f' Q% l3 ^) s* i4 q/ O它。先计算50Hz信号的相位,atan2(-192, 332.55)=-0.5236,
* y& F; o1 A' t结果是弧度,换算为角度就是180*(-0.5236)/pi=-30.0001。再
E6 F0 u* ^, @& X: [: q计算75Hz信号的相位,atan2(192, 3.4315E-12)=1.5708弧度,
5 k4 [$ A7 H O) Q( b6 ^+ S" I换算成角度就是180*1.5708/pi=90.0002。可见,相位也是对的。
, x( T8 [9 ` g3 H" s5 D! ^# F根据FFT结果以及上面的分析计算,我们就可以写出信号的表达
; m& \" V& Q$ P' V1 e: ?5 ^式了,它就是我们开始提供的信号。
+ W! r5 @0 }0 p6 w6 b! r4 `& U* M* E4 M, ~
总结:假设采样频率为Fs,采样点数为N,做FFT之后,某7 d/ L* \7 T, c9 p, N
一点n(n从1开始)表示的频率为:Fn=(n-1)*Fs/N;该点的模值
2 G7 J' }( B- ~- ^$ n除以N/2就是对应该频率下的信号的幅度(对于直流信号是除以, q. L: y( X( E0 r! D
N);该点的相位即是对应该频率下的信号的相位。相位的计算1 x9 I) {; c7 O) t& R- c
可用函数atan2(b,a)计算。atan2(b,a)是求坐标为(a,b)点的角9 j6 y5 z5 e& Q9 C
度值,范围从-pi到pi。要精确到xHz,则需要采样长度为1/x秒# T7 g c0 |/ Y5 j
的信号,并做FFT。要提高频率分辨率,就需要增加采样点数,& S" ?! ]5 S: ^" r
这在一些实际的应用中是不现实的,需要在较短的时间内完成
- h- i) k; U2 \" Q6 F' z/ s5 Y分析。解决这个问题的方法有频率细分法,比较简单的方法是
" F1 _; b) f1 [" w采样比较短时间的信号,然后在后面补充一定数量的0,使其长度! z2 }" [$ a3 {& N8 o# s- k
达到需要的点数,再做FFT,这在一定程度上能够提高频率分辨力。. |# M1 U7 d/ K! g2 F+ g
具体的频率细分法可参考相关文献。2 d% z1 A' E5 f! o9 U9 f
+ ]2 y3 ~5 f# E1 B o3 t% ]
[附录:本测试数据使用的matlab程序]2 g) y7 A3 r% l8 e* V- K; Z
close all; %先关闭所有图片
5 n9 W6 D% M$ I2 oAdc=2; %直流分量幅度
" z4 y$ ?* {5 t) n0 ^A1=3; %频率F1信号的幅度
; V4 ^! }$ E+ r9 _& D+ W. B4 OA2=1.5; %频率F2信号的幅度4 P# |' M6 l! q) @. T1 p# g3 i/ P
F1=50; %信号1频率(Hz)1 W. q- K+ J! V# \$ ]6 x* ]
F2=75; %信号2频率(Hz)1 ?) a2 O+ x4 N! g! v# V* W
Fs=256; %采样频率(Hz)
# S- S1 K9 S; l( n* o7 t/ s! vP1=-30; %信号1相位(度)* d( H% i Y+ f! q2 u% W; u
P2=90; %信号相位(度)
m/ N* U L7 S6 \* c( L0 cN=256; %采样点数 u; r+ @ l; i+ x0 K' I* \9 Y
t=[0:1/Fs:N/Fs]; %采样时刻* T7 _7 D8 c- |- A' T+ _, O
* Y# c6 W* p" c/ T5 M* M7 ?9 y%信号
2 Y3 K0 p# _9 ^# P/ o2 jS=Adc+A1*cos(2*pi*F1*t+pi*P1/180)+A2*cos(2*pi*F2*t+pi*P2/180);
) V* D/ A3 L; {( B9 u' h7 ^%显示原始信号
2 }% T- F: Z7 U7 x' Eplot(S);
; h2 h4 o$ A' }: ktitle('原始信号');
! E* \ Z& H6 S) N- R
A" W6 y! l& h* `figure;
. e1 ]5 C9 O# }) J) ]Y = fft(S,N); %做FFT变换
9 e- Q, g F6 Y- J; LAyy = (abs(Y)); %取模. i- a/ N6 H$ \9 x, m
plot(Ayy(1:N)); %显示原始的FFT模值结果
/ j8 s0 l# T& ~! W: [1 rtitle('FFT 模值');6 v! C9 `, G3 I. T* n0 Y, u* ]
+ N' B% _# U5 q
figure;6 l S$ r# W8 j8 r+ s
Ayy=Ayy/(N/2); %换算成实际的幅度
. s$ _4 H c, g% ]- U# AAyy(1)=Ayy(1)/2;$ Y+ a) O! {( q- l
F=([1:N]-1)*Fs/N; %换算成实际的频率值
$ v5 h c4 Z6 S+ l h/ Qplot(F(1:N/2),Ayy(1:N/2)); %显示换算后的FFT模值结果$ o" a2 R3 e( Z% p6 b9 S& C" m
title('幅度-频率曲线图');5 Z. _# [ Z7 ^! s9 Y `1 S( P# r
7 U5 C9 u, Y8 i6 x6 ^/ U z
figure;8 y4 b; d4 i& Z4 |" B
Pyy=[1:N/2];
) z$ ? c# G2 p6 K. ~0 {5 ?for i="1:N/2"& O8 r' {; q R2 ~; @0 P2 y7 B
Pyy(i)=phase(Y(i)); %计算相位! \9 N1 s$ t, U" ]) D2 _9 N: |
Pyy(i)=Pyy(i)*180/pi; %换算为角度
: I1 t! @% A" m+ n: tend;
( [( @6 B6 ~9 J! m8 F5 {8 a5 }plot(F(1:N/2),Pyy(1:N/2)); %显示相位图
1 F+ B: }0 x5 R. z3 O& b: L* |: gtitle('相位-频率曲线图');) h3 h) p0 Q* W2 L0 ?* j( ~
8 z# Z6 x/ ?6 }0 ^/ `$ Q) b看完这个你就明白谐波分析了。 z' i- L4 H. K# U: v4 b
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