FFT的详细解释，你看了就明白了

monsterskyy

FFT是离散傅立叶变换的快速算法，可以将一个信号变换
到频域。有些信号在时域上是很难看出什么特征的，但是如
果变换到频域之后，就很容易看出特征了。这就是很多信号
分析采用FFT变换的原因。另外，FFT可以将一个信号的频谱
- c# o0 u* ?. j/ |: ]0 \) ^* G$ C提取出来，这在频谱分析方面也是经常用的。
    虽然很多人都知道FFT是什么，可以用来做什么，怎么去
做，但是却不知道FFT之后的结果是什意思、如何决定要使用
多少点来做FFT。
' @+ T3 t* t; v. Y1 N/ h, T* n
    现在圈圈就根据实际经验来说说FFT结果的具体物理意义。
0 N. b4 L: t  h) a一个模拟信号，经过ADC采样之后，就变成了数字信号。采样
( H9 }" u, W: e- k5 a! h+ S定理告诉我们，采样频率要大于信号频率的两倍，这些我就
不在此罗嗦了。

    采样得到的数字信号，就可以做FFT变换了。N个采样点，
8 R$ L3 H3 O  b$ a2 e" A经过FFT之后，就可以得到N个点的FFT结果。为了方便进行FFT
运算，通常N取2的整数次方。
1 {8 [" m3 o% @
    假设采样频率为Fs，信号频率F，采样点数为N。那么FFT
1 _4 o/ a/ q9 T9 K2 n之后结果就是一个为N点的复数。每一个点就对应着一个频率
: a' y" w7 \/ {+ o8 `1 l% T点。这个点的模值，就是该频率值下的幅度特性。具体跟原始
信号的幅度有什么关系呢？假设原始信号的峰值为A，那么FFT
的结果的每个点（除了第一个点直流分量之外）的模值就是A
的N/2倍。而第一个点就是直流分量，它的模值就是直流分量
6 `  d5 W- n8 l6 d( T2 U2 c的N倍。而每个点的相位呢，就是在该频率下的信号的相位。
第一个点表示直流分量（即0Hz），而最后一个点N的再下一个
7 n! ?* s1 j% M点（实际上这个点是不存在的，这里是假设的第N+1个点，也
: U& Q# l8 H8 {可以看做是将第一个点分做两半分，另一半移到最后）则表示
  y" M4 P& B# J4 p" @1 \; s" \% w' U采样频率Fs，这中间被N-1个点平均分成N等份，每个点的频率
依次增加。例如某点n所表示的频率为：Fn=(n-1)*Fs/N。
由上面的公式可以看出，Fn所能分辨到频率为为Fs/N，如果
采样频率Fs为1024Hz，采样点数为1024点，则可以分辨到1Hz。
1024Hz的采样率采样1024点，刚好是1秒，也就是说，采样1秒
时间的信号并做FFT，则结果可以分析到1Hz，如果采样2秒时
间的信号并做FFT，则结果可以分析到0.5Hz。如果要提高频率
分辨力，则必须增加采样点数，也即采样时间。频率分辨率和
采样时间是倒数关系。
  假设FFT之后某点n用复数a+bi表示，那么这个复数的模就是
4 }7 g& L+ H7 v% t3 e0 J( \An=根号a*a+b*b，相位就是Pn=atan2(b,a)。根据以上的结果，
就可以计算出n点（n≠1，且n<=N/2）对应的信号的表达式为：
An/(N/2)*cos(2*pi*Fn*t+Pn)，即2*An/N*cos(2*pi*Fn*t+Pn)。
对于n=1点的信号，是直流分量，幅度即为A1/N。
    由于FFT结果的对称性，通常我们只使用前半部分的结果，
即小于采样频率一半的结果。

    好了，说了半天，看着公式也晕，下面圈圈以一个实际的
) F7 P0 h$ I4 b* u- p0 ]4 S信号来做说明。

" J8 E/ n/ N) C9 t5 \' H4 ~: a: |    假设我们有一个信号，它含有2V的直流分量，频率为50Hz、
+ |: ~) f7 d2 Z. L" R相位为-30度、幅度为3V的交流信号，以及一个频率为75Hz、
1 \4 w+ c7 o, N- c2 `. N% `相位为90度、幅度为1.5V的交流信号。用数学表达式就是如下：
% |! b" L3 H( Y, y" ?
0 X; R& v3 R* R5 X+ a$ m% W( y# K5 ZS=2+3*cos(2*pi*50*t-pi*30/180)+1.5*cos(2*pi*75*t+pi*90/180)

    式中cos参数为弧度，所以-30度和90度要分别换算成弧度。
: [" `' ~/ ]+ F我们以256Hz的采样率对这个信号进行采样，总共采样256点。
按照我们上面的分析，Fn=(n-1)*Fs/N，我们可以知道，每两个
' R: L& d; s% \* D, V- Q点之间的间距就是1Hz，第n个点的频率就是n-1。我们的信号
8 v5 s7 r; f5 K2 Z3 U: @有3个频率：0Hz、50Hz、75Hz，应该分别在第1个点、第51个点、
第76个点上出现峰值，其它各点应该接近0。实际情况如何呢？
我们来看看FFT的结果的模值如图所示。

" p( C9 V  F. M

                      图1 FFT结果
/ n1 n/ S! T; x* `! d    从图中我们可以看到，在第1点、第51点、和第76点附近有
& n( w' n+ S4 K" |比较大的值。我们分别将这三个点附近的数据拿上来细看：
! w2 F/ ^" E. l, ?; J* v' Y* l' l1点： 512+0i
2点： -2.6195E-14 - 1.4162E-13i
3点： -2.8586E-14 - 1.1898E-13i

50点：-6.2076E-13 - 2.1713E-12i
* d* `6 A9 K1 y8 o51点：332.55 - 192i
52点：-1.6707E-12 - 1.5241E-12i
1 s& B: l: |, v/ A" R2 t$ d$ {
75点：-2.2199E-13 -1.0076E-12i
76点：3.4315E-12 + 192i
, P, e1 O% z9 m77点：-3.0263E-14 +7.5609E-13i
   
4 v1 T( e  ]& e    很明显，1点、51点、76点的值都比较大，它附近的点值
都很小，可以认为是0，即在那些频率点上的信号幅度为0。
接着，我们来计算各点的幅度值。分别计算这三个点的模值，
结果如下：
6 M& z% V. f! b- V0 D4 X% s1点： 512
51点：384
9 ?5 {( M& f8 ?& H' F0 \( }76点：192
% ]2 k; h# e/ I% ?) X    按照公式，可以计算出直流分量为：512/N=512/256=2；
4 g: J  D. s& t- H50Hz信号的幅度为：384/(N/2)=384/(256/2)=3；75Hz信号的
) k1 D# Z) ?! w4 d  t" }% n2 y幅度为192/(N/2)=192/(256/2)=1.5。可见，从频谱分析出来
) _' |* e/ q; R# p, v  m的幅度是正确的。
, }5 L4 t( q. V    然后再来计算相位信息。直流信号没有相位可言，不用管
7 K* R1 f  N, A6 \它。先计算50Hz信号的相位，atan2(-192, 332.55)=-0.5236,
8 G& ?, ]' A; \* B2 d) m8 R: f结果是弧度，换算为角度就是180*(-0.5236)/pi=-30.0001。再
计算75Hz信号的相位，atan2(192, 3.4315E-12)=1.5708弧度，
" J* i2 ?0 y+ \. m. R" [* B换算成角度就是180*1.5708/pi=90.0002。可见，相位也是对的。
根据FFT结果以及上面的分析计算，我们就可以写出信号的表达
式了，它就是我们开始提供的信号。

5 n7 Q9 ]) f! ^' L2 i. R    总结：假设采样频率为Fs，采样点数为N，做FFT之后，某
& `! t2 F1 v  }  H一点n（n从1开始）表示的频率为：Fn=(n-1)*Fs/N；该点的模值
除以N/2就是对应该频率下的信号的幅度（对于直流信号是除以
7 {  C, V0 x$ I2 C* aN）；该点的相位即是对应该频率下的信号的相位。相位的计算
可用函数atan2(b,a)计算。atan2(b,a)是求坐标为(a,b)点的角
$ s  I- b0 n% ~* O* R$ O$ e度值，范围从-pi到pi。要精确到xHz，则需要采样长度为1/x秒
% _) c) C0 l$ c3 Y! ~3 {' y的信号，并做FFT。要提高频率分辨率，就需要增加采样点数，
这在一些实际的应用中是不现实的，需要在较短的时间内完成
3 `3 u2 `$ p- C- g, }" n分析。解决这个问题的方法有频率细分法，比较简单的方法是
$ p* o5 m, L7 n  D# G采样比较短时间的信号，然后在后面补充一定数量的0，使其长度
达到需要的点数，再做FFT，这在一定程度上能够提高频率分辨力。
  M- i1 F+ w( x# `/ m- ^) |具体的频率细分法可参考相关文献。
/ W4 ?: F  t& u0 x" n, ?$ a
[附录：本测试数据使用的matlab程序]
, C% V; A9 I" m* g0 O8 [' P1 mclose all; %先关闭所有图片
6 J# o: p9 h# [2 qAdc=2;  %直流分量幅度
1 e/ a8 r7 m" W# u9 r- U" Z, v! R+ oA1=3;   %频率F1信号的幅度
A2=1.5; %频率F2信号的幅度
F1=50;  %信号1频率(Hz)
F2=75;  %信号2频率(Hz)
Fs=256; %采样频率(Hz)
+ b% p9 u8 r* G) rP1=-30; %信号1相位(度)
P2=90;  %信号相位(度)
0 k& u; t* m3 a, Q$ [N=256;  %采样点数
3 w6 _  a; G$ ?" nt=[0:1/Fs:N/Fs]; %采样时刻

%信号
5 d) `& E0 r# b; t2 nS=Adc+A1*cos(2*pi*F1*t+pi*P1/180)+A2*cos(2*pi*F2*t+pi*P2/180);
%显示原始信号
7 s9 N; W" p7 X9 yplot(S);
title('原始信号');

figure;
Y = fft(S,N); %做FFT变换
Ayy = (abs(Y)); %取模
plot(Ayy(1:N)); %显示原始的FFT模值结果
title('FFT 模值');
0 s8 S! y1 C" S# d% R; C; C
figure;
Ayy=Ayy/(N/2);   %换算成实际的幅度
- T7 R8 i: Z* D4 ?$ c: lAyy(1)=Ayy(1)/2;
F=([1:N]-1)*Fs/N; %换算成实际的频率值
1 Z  |1 Q$ \* v& B# l3 F" x2 \plot(F(1:N/2),Ayy(1:N/2));   %显示换算后的FFT模值结果
title('幅度-频率曲线图');
" G$ o6 j* ]+ u; M$ l
figure;
6 \9 }3 a6 L: X, `9 hPyy=[1:N/2];
for i="1:N/2"
Pyy(i)=phase(Y(i)); %计算相位
Pyy(i)=Pyy(i)*180/pi; %换算为角度
end;
plot(F(1:N/2),Pyy(1:N/2));   %显示相位图
title('相位-频率曲线图');
( n# |$ L" z. Z* X
看完这个你就明白谐波分析了。

modengxian111

FFT是离散傅立叶变换的快速算法，可以将一个信号变换到频域

ninik342

) T; S& \; ]1 s; @把DSP的精髓FFT讲解的很完整呢~