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TA的每日心情|  | 衰 2019-11-19 15:32
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! O% L, p7 H2 i) l) g- |
x
EDA365欢迎您登录!您需要 登录 才可以下载或查看,没有帐号?注册  如果被积函数的数学表达式已知,但解析解不易求,可使用数值积分的方法求解积分。
 5 D5 E6 Z% v0 G, `  Z3 ]- f& g目录
 1 x5 M0 ?5 V: \函数调用格式
 & B! x6 h$ |& r4 `& K. C& ]2 Z; D应用举例
 " s$ A  v/ m: Q% |& P& o例1:求解数值解并检验其精度# u- n( ]4 b! F# g  y
 例2:分段函数积分
 8 b9 W2 C( o3 }  ^1 ^/ P. ]例3:与梯形法比较
 1 Z& O  X% F* s; I% b" r& N例4:大范围积分; I/ O- e  g$ L
 例5:广义积分的数值计算
 " g$ A" {  R. d8 ^- `( d6 E" H例6:含参函数数值积分, d  I: t$ r, s# p/ {
 - o# l1 C% B3 z# S+ F1 x$ H
 
 0 L* m! q9 J8 i, ]函数调用格式& C6 t9 z9 Q2 j3 Y+ D
 
 0 B! h! h9 s% V- w
  / V4 B$ T$ m1 t 
 : q3 J/ p2 Z8 O  Y' [+ C4 G% x- t4 G" n0 U1 j; s6 c7 H
 ( j; d- J& s2 r# |% ?
 应用举例
 + s" k( T' c9 q8 @4 s0 h: H" q
 + H: k2 y* W- j: f5 I; a例1:求解数值解并检验其精度
 4 z& f. N0 \! ^! E2 {计算积分- u; u; U& X* c8 K& J1 @
 
  2 _8 [2 \5 c1 q7 r 
 3 y% D; b. ^" D$ t& @, }
 6 L* o- x! E6 H3 f" Sf = @(x) 2/sqrt(pi)*exp(-x.^2);  % //匿名函数y = integral(f,0,1.5)  % //数值求解7 ]3 E$ Y6 u1 F9 h! F7 V- Y5 q
 - }$ T/ b( J+ G6 u0 Q. S7 B
 结果为y=0.96610514647531
 ( |/ A" |" V! ]( ^4 K
 + ^; c7 s9 F. V. P2 K# E, x/ R求解解析解:. ^* [6 H8 ~+ e& \- ]% G8 A
 syms x, y0=vpa(int(2/sqrt(pi)*exp(-x^2),0,1.5),60)
 * A5 [, K4 v8 h. v/ J结果为:y0=0.96610514647531
 - T# O, W; f8 G+ |% }! ^9 |( e4 P7 N% [
 结论:可以看出,默认选项下数值解函数integral()便可保证高精度的数值解。
 7 F& i# P" g- R' z5 j: e- s: h& ?5 y2 s+ a5 M9 d# }5 B
 1 T- y) W" O/ S" G# a
 
 : D% ~- f4 u: C+ V例2:分段函数积分4 Y' U7 W5 z6 N( `. a
 
 ' _. W5 C8 q& \: t给定如下分段函数:' L4 j$ z( `" @- L" X$ b# I
 
   $ l; ]) _4 x, `! W5 I# W6 ]
 ) ~2 s$ M) C7 z! }  X
 5 \. Y8 U. i+ @/ D( Z9 l# ^计算积分值
 。3 D6 @8 G; }. o8 c) ~' d+ Y! @$ a 
 绘制
  填充图" N9 K2 ^! N$ | 
 " P4 Y/ K( a& M  Q
 x=[0:0.01:2, 2+eps:0.01:4,4];y=exp(x.^2).*(x<=2)+80./(4-sin(16*pi*x)).*(x>2);x=[eps,x,4-eps]; y=[0,y,0]; fill(x,y,'g') %//绘制填充图9 @1 l, f6 |" v' m
 4 o" u+ d7 C  N' t" v8 F0 I/ X
 0 g) u5 Z9 Q- h# w: R' B1 o
   & J1 J0 m' x% v+ ~
 - g9 f7 }( A, Z7 i, n! c$ k  Z# L/ B% Y& N- f$ e
 & {# G9 W5 O" W' l# r
 
 求解与验证% ]! X; I7 X% R2 C* U8 v
 f = @(x) exp(x.^2).*(x<=2)+80./(4-sin(16*pi*x)).*(x>2);I1 = integral(f,0,4)   %//数值解I2 = integral(f,0,4,'RelTol',1e-20)   %//提高精度syms xf = piecewise( x<=2, exp(x^2),  x>2, 80/(4-sin(16*pi*x)) );I0 = vpa(int(f,x,0,4))   %//解析解- K7 l& e  z2 k3 b* ~
 4 C- [$ m5 e1 e* n* O0 E: f' x8 m
 结果为:
 0 |" ]' C7 _; `' n0 X; x1 J  `( t
 8 I0 I* T% R. N/ v变量        值- Q$ u: _% A- |" `/ F0 |: ]
 I 0 I_0 I * A: v. v# v8 a. Z* m; v1 a
 0. u3 T; b& s& w& ^' ~; u! K
 
 9 \0 T8 m4 v/ u4 B; }! P7 S (精确解析解)        57.76445012505301 033331523538518
 - I4 [6 `6 `" {* ?2 I# r; A- z2 LI 1 I_1 I
 5 B) v# |- f8 }6 j; P1* e& F( N9 {: {; n; ]
 
 # r' v6 D. W5 R9 y (正常数值解)        57.7644501250 4850495815844624303
 8 j. [( i* U* |# D- mI 2 I_2 I
 / z$ [, A4 {. g( e: N- v' j* }2
 " |# }) K, l8 p7 W% u* Z
 , w. K1 s( l! D( R+ K (高精度数值解)        57.76445012505301 6904530522879210 v. U. D9 p6 I* n
 ; Q; I6 d8 u6 t( f# w' ]( S, Q
 
 " F$ R+ ~5 i, W/ L5 V" a1 \, k  m. w! O( ?2 l2 c5 L
 9 C# f' G- T9 l# I% S6 _6 p
 例3:与梯形法比较
 4 {& w7 Q6 k+ u) A- G. `6 Q9 S, P4 U  ^' R! J* K$ w
 重新计算积分
 . [3 O7 j* S: c  b
  + O# Y' {8 I; A4 ?5 x- k8 \ 
 % D* J4 X/ E% w) m& h; n
 梯形法求解链接数值求解:- K- Y+ Z+ @5 t$ [; X4 y
 5 h- r$ E. X& J  Y+ u. s* n' K4 J
 f = @(x) cos(15*x);S=integral(f,0,3*pi/2,'RelTol',1e-20)* j! o: m5 W- p+ u& q6 B% F
 ) X- c' L* q& U- A, Z4 _结论:和梯形法相比,速度和精度明显提高。
 4 v# j. T5 x& V0 ?
 + H/ y. y. q. j. C3 j* _5 L( T1 Q: b# }3 |% w+ h$ A0 L3 J
 
 X) t" L+ G# B0 A$ D例4:大范围积分
 $ ?; U1 M8 _& t$ k( m# @
 6 J! N, b0 g! u; R计算积分$ ~+ X3 y5 L5 @+ p/ D3 {9 u7 I
 
  ; w' @1 ~' g& f# s) h* f% f 
 6 {* Q1 r7 d' G
 2 K! a; i# W& X& r* Bf = @(x)cos(15*x);I1 = integral(f,0,100,'RelTol',1e-20)  %//数值解syms xI0 = int(cos(15*x),x,0,100); vpa(I0)   %//解析解6 C* Y' B( d) z; z
 
 , y5 R  r7 D7 x" B. X! p3 w. @) @2 h! _解析解: I 0 = − 0.066260130460443564274928241303306
 6 J2 t2 v0 ?+ J# h) d! Z! N数值解: I 1 = − 0.066260130460282923303694246897066$ @5 b+ H) Z/ Q. \; Q6 d
 a2 Y. ^& Y4 A: r: Y, A: B" m
 ! V% S% `: K& X' j; i5 U( {
 
 ! O' N0 ~4 o5 }. b- Y) S" a例5:广义积分的数值计算
 0 U( z- K: h: Y, z5 o3 c7 x' W+ O- Y
 计算
 ) t0 _. ~4 n2 D4 d5 l
  " p- [; V. p- m4 c8 B 6 X- S0 S) G3 j9 M4 o
 
 % M; W1 A/ M6 K% \/ P% J" Zf = @(x) exp(-x.^2);I1 = integral(f,0,inf,'RelTol',1e-20)  %//数值解syms xI0 = int(exp(-x^2),0,inf); vpa(I0)     %//解析解' ?' z( c3 w+ ^
 9 l6 S( C: e4 W( q" d  w
 解析解: I 0 = 0.886226925452758013649083741670578 `! D) _# c# E+ d3 N! G, G8 w0 k
 数值解: I 1 = 0.88622692545275805198201624079957) C( b+ N/ {" S2 k
 
 # w+ P# h' l) D6 h! |  ^' |6 W* I( E0 V; Z$ C  ^$ i
 $ \* a4 |- w$ Z9 y
 例6:含参函数数值积分+ N0 B1 u1 J0 J  H
 
 5 R; F- v# R& N/ v9 b' ~7 r8 D绘制积分函数
  曲线 - F; C% h! J6 k5 m2 g4 J
   1 D8 o8 c: M% V1 J
 . Z  z9 D+ V6 f) Q
 * r3 D+ q8 _, o3 d1 [a = 0:0.1:4;f = @(x)exp(-a*x.^2).*sin(a.^2*x);I = integral(f,0,inf,'RelTol',1e-20,'ArrayValued',true);plot(a,I),  xlabel('\alpha'),  ylabel('I(\alpha)')! d! D; h2 R* M4 w, G' S3 L2 G
 . t" o& W' Q6 g0 u9 A
 
   2 \! _/ K/ e6 k: y
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