matlab实现数值积分 【二】（integral函数）

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如果被积函数的数学表达式已知，但解析解不易求，可使用数值积分的方法求解积分。
5 D5 E6 Z% v0 G, `  Z3 ]- f& g目录
1 x5 M0 ?5 V: \函数调用格式
& B! x6 h$ |& r4 `& K. C& ]2 Z; D应用举例
" s$ A  v/ m: Q% |& P& o例1：求解数值解并检验其精度
例2：分段函数积分
8 b9 W2 C( o3 }  ^1 ^/ P. ]例3：与梯形法比较
1 Z& O  X% F* s; I% b" r& N例4：大范围积分
例5：广义积分的数值计算
" g$ A" {  R. d8 ^- `( d6 E" H例6：含参函数数值积分


0 L* m! q9 J8 i, ]函数调用格式

0 B! h! h9 s% V- w

: q3 J/ p2 Z8 O  Y' [+ C4 G% x

应用举例
+ s" k( T' c9 q8 @4 s0 h: H" q
+ H: k2 y* W- j: f5 I; a例1：求解数值解并检验其精度
4 z& f. N0 \! ^! E2 {计算积分


3 y% D; b. ^" D$ t& @, }

• f = @(x) 2/sqrt(pi)*exp(-x.^2);  % //匿名函数
• y = integral(f,0,1.5)  % //数值求解
  

结果为y=0.96610514647531
( |/ A" |" V! ]( ^4 K
+ ^; c7 s9 F. V. P2 K# E, x/ R求解解析解：
syms x, y0=vpa(int(2/sqrt(pi)*exp(-x^2),0,1.5),60)
* A5 [, K4 v8 h. v/ J结果为：y0=0.96610514647531
- T# O, W; f8 G
结论：可以看出，默认选项下数值解函数integral()便可保证高精度的数值解。
7 F& i# P" g- R' z5 j: e


: D% ~- f4 u: C+ V例2：分段函数积分

' _. W5 C8 q& \: t给定如下分段函数：

$ l; ]) _4 x, `! W5 I# W6 ]​        
) ~2 s$ M) C7 z! }  X

• 计算积分值 。
  

绘制 填充图

" P4 Y/ K( a& M  Q

• x=[0:0.01:2, 2+eps:0.01:4,4];
• y=exp(x.^2).*(x<=2)+80./(4-sin(16*pi*x)).*(x>2);
• x=[eps,x,4-eps]; y=[0,y,0]; fill(x,y,'g') %//绘制填充图
  9 @1 l, f6 |" v' m

4 o" u+ d7 C  N' t" v8 F0 I/ X
0 g) u5 Z9 Q- h# w: R' B1 o
& J1 J0 m' x% v+ ~
- g9 f7 }( A, Z7 i, n! c

• 求解与验证
  % ]! X; I7 X% R2 C* U8 v

• f = @(x) exp(x.^2).*(x<=2)+80./(4-sin(16*pi*x)).*(x>2);
• I1 = integral(f,0,4)   %//数值解
• I2 = integral(f,0,4,'RelTol',1e-20)   %//提高精度
• syms x
• f = piecewise( x<=2, exp(x^2),  x>2, 80/(4-sin(16*pi*x)) );
• I0 = vpa(int(f,x,0,4))   %//解析解
  - K7 l& e  z2 k3 b* ~

4 C- [$ m5 e1 e* n
结果为：
0 |" ]' C7 _; `' n0 X; x1 J  `( t
8 I0 I* T% R. N/ v变量        值
I 0 I_0 I
0
​        
9 \0 T8 m4 v/ u4 B; }! P7 S （精确解析解）        57.76445012505301 033331523538518
- I4 [6 `6 `" {* ?2 I# r; A- z2 LI 1 I_1 I
5 B) v# |- f8 }6 j; P1
​        
# r' v6 D. W5 R9 y （正常数值解）        57.7644501250 4850495815844624303
8 j. [( i* U* |# D- mI 2 I_2 I
/ z$ [, A4 {. g( e: N- v' j* }2
" |# }) K, l8 p7 W% u* Z​        
, w. K1 s( l! D( R+ K （高精度数值解）        57.76445012505301 690453052287921


" F$ R+ ~5 i, W/ L5 V" a

例3：与梯形法比较
4 {& w7 Q6 k+ u) A- G. `6 Q
重新计算积分
. [3 O7 j* S: c  b

% D* J4 X/ E% w) m& h; n

• 梯形法求解链接
• 数值求解：
  - K- Y+ Z+ @5 t$ [; X4 y

5 h- r$ E. X& J  Y+ u. s* n' K4 J

• f = @(x) cos(15*x);
• S=integral(f,0,3*pi/2,'RelTol',1e-20)
  

) X- c' L* q& U- A, Z4 _结论：和梯形法相比，速度和精度明显提高。
4 v# j. T5 x& V0 ?
+ H/ y. y. q. j. C3 j* _5 L( T1 Q: b

  X) t" L+ G# B0 A$ D例4：大范围积分
$ ?; U1 M8 _& t$ k( m# @
6 J! N, b0 g! u; R计算积分


6 {* Q1 r7 d' G

• f = @(x)cos(15*x);
• I1 = integral(f,0,100,'RelTol',1e-20)  %//数值解
• syms x
• I0 = int(cos(15*x),x,0,100); vpa(I0)   %//解析解
  

, y5 R  r7 D7 x" B. X! p3 w. @) @2 h! _解析解： I 0 = − 0.066260130460443564274928241303306
6 J2 t2 v0 ?+ J# h) d! Z! N数值解： I 1 = − 0.066260130460282923303694246897066



! O' N0 ~4 o5 }. b- Y) S" a例5：广义积分的数值计算
0 U( z- K: h: Y, z
计算
) t0 _. ~4 n2 D4 d5 l

• f = @(x) exp(-x.^2);
• I1 = integral(f,0,inf,'RelTol',1e-20)  %//数值解
• syms x
• I0 = int(exp(-x^2),0,inf); vpa(I0)     %//解析解
  

解析解： I 0 = 0.88622692545275801364908374167057
数值解： I 1 = 0.88622692545275805198201624079957

# w+ P# h' l) D6 h! |  ^' |6 W* I

例6：含参函数数值积分

5 R; F- v# R& N/ v9 b' ~7 r8 D绘制积分函数 曲线
- F; C% h! J6 k5 m2 g4 J
1 D8 o8 c: M% V1 J
. Z  z9 D+ V6 f) Q

• a = 0:0.1:4;
• f = @(x)exp(-a*x.^2).*sin(a.^2*x);
• I = integral(f,0,inf,'RelTol',1e-20,'ArrayValued',true);
• plot(a,I),  xlabel('\alpha'),  ylabel('I(\alpha)')
  ! d! D; h2 R* M4 w, G' S3 L2 G

2 \! _/ K/ e6 k: y

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matlab实现数值积分 【二】（integral函数）