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matlab实现数值积分 【二】(integral函数)

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    [LV.1]初来乍到

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    发表于 2021-2-9 14:17 | 只看该作者 |只看大图 回帖奖励 |倒序浏览 |阅读模式

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    x
    ! O% L, p7 H2 i) l) g- |
    如果被积函数的数学表达式已知,但解析解不易求,可使用数值积分的方法求解积分。
    5 D5 E6 Z% v0 G, `  Z3 ]- f& g目录
    1 x5 M0 ?5 V: \函数调用格式
    & B! x6 h$ |& r4 `& K. C& ]2 Z; D应用举例
    " s$ A  v/ m: Q% |& P& o例1:求解数值解并检验其精度# u- n( ]4 b! F# g  y
    例2:分段函数积分
    8 b9 W2 C( o3 }  ^1 ^/ P. ]例3:与梯形法比较
    1 Z& O  X% F* s; I% b" r& N例4:大范围积分; I/ O- e  g$ L
    例5:广义积分的数值计算
    " g$ A" {  R. d8 ^- `( d6 E" H例6:含参函数数值积分, d  I: t$ r, s# p/ {
    - o# l1 C% B3 z# S+ F1 x$ H

    0 L* m! q9 J8 i, ]函数调用格式& C6 t9 z9 Q2 j3 Y+ D

    0 B! h! h9 s% V- w / V4 B$ T$ m1 t

    : q3 J/ p2 Z8 O  Y' [+ C4 G% x- t4 G" n0 U1 j; s6 c7 H
    ( j; d- J& s2 r# |% ?
    应用举例
    + s" k( T' c9 q8 @4 s0 h: H" q
    + H: k2 y* W- j: f5 I; a例1:求解数值解并检验其精度
    4 z& f. N0 \! ^! E2 {计算积分- u; u; U& X* c8 K& J1 @
    2 _8 [2 \5 c1 q7 r

    3 y% D; b. ^" D$ t& @, }
    • f = @(x) 2/sqrt(pi)*exp(-x.^2);  % //匿名函数
    • y = integral(f,0,1.5)  % //数值求解7 ]3 E$ Y6 u1 F9 h! F7 V- Y5 q
    6 L* o- x! E6 H3 f" S
    - }$ T/ b( J+ G6 u0 Q. S7 B
    结果为y=0.96610514647531
    ( |/ A" |" V! ]( ^4 K
    + ^; c7 s9 F. V. P2 K# E, x/ R求解解析解:. ^* [6 H8 ~+ e& \- ]% G8 A
    syms x, y0=vpa(int(2/sqrt(pi)*exp(-x^2),0,1.5),60)
    * A5 [, K4 v8 h. v/ J结果为:y0=0.96610514647531
    - T# O, W; f8 G+ |% }! ^9 |( e4 P7 N% [
    结论:可以看出,默认选项下数值解函数integral()便可保证高精度的数值解。
    7 F& i# P" g- R' z5 j: e- s: h& ?5 y2 s+ a5 M9 d# }5 B
    1 T- y) W" O/ S" G# a

    : D% ~- f4 u: C+ V例2:分段函数积分4 Y' U7 W5 z6 N( `. a

    ' _. W5 C8 q& \: t给定如下分段函数:' L4 j$ z( `" @- L" X$ b# I

    $ l; ]) _4 x, `! W5 I# W6 ]​        
    ) ~2 s$ M) C7 z! }  X
    • 计算积分值 3 D6 @8 G; }. o8 c) ~' d+ Y! @$ a
    5 \. Y8 U. i+ @/ D( Z9 l# ^
    绘制 填充图" N9 K2 ^! N$ |

    " P4 Y/ K( a& M  Q
    • x=[0:0.01:2, 2+eps:0.01:4,4];
    • y=exp(x.^2).*(x<=2)+80./(4-sin(16*pi*x)).*(x>2);
    • x=[eps,x,4-eps]; y=[0,y,0]; fill(x,y,'g') %//绘制填充图
      9 @1 l, f6 |" v' m

    4 o" u+ d7 C  N' t" v8 F0 I/ X
    0 g) u5 Z9 Q- h# w: R' B1 o
    & J1 J0 m' x% v+ ~
    - g9 f7 }( A, Z7 i, n! c$ k  Z# L/ B% Y& N- f$ e
    & {# G9 W5 O" W' l# r
    • 求解与验证
      % ]! X; I7 X% R2 C* U8 v
    • f = @(x) exp(x.^2).*(x<=2)+80./(4-sin(16*pi*x)).*(x>2);
    • I1 = integral(f,0,4)   %//数值解
    • I2 = integral(f,0,4,'RelTol',1e-20)   %//提高精度
    • syms x
    • f = piecewise( x<=2, exp(x^2),  x>2, 80/(4-sin(16*pi*x)) );
    • I0 = vpa(int(f,x,0,4))   %//解析解
      - K7 l& e  z2 k3 b* ~

    4 C- [$ m5 e1 e* n* O0 E: f' x8 m
    结果为:
    0 |" ]' C7 _; `' n0 X; x1 J  `( t
    8 I0 I* T% R. N/ v变量        值- Q$ u: _% A- |" `/ F0 |: ]
    I 0 I_0 I * A: v. v# v8 a. Z* m; v1 a
    0. u3 T; b& s& w& ^' ~; u! K
    ​        
    9 \0 T8 m4 v/ u4 B; }! P7 S (精确解析解)        57.76445012505301 033331523538518
    - I4 [6 `6 `" {* ?2 I# r; A- z2 LI 1 I_1 I
    5 B) v# |- f8 }6 j; P1* e& F( N9 {: {; n; ]
    ​        
    # r' v6 D. W5 R9 y (正常数值解)        57.7644501250 4850495815844624303
    8 j. [( i* U* |# D- mI 2 I_2 I
    / z$ [, A4 {. g( e: N- v' j* }2
    " |# }) K, l8 p7 W% u* Z​        
    , w. K1 s( l! D( R+ K (高精度数值解)        57.76445012505301 6904530522879210 v. U. D9 p6 I* n
    ; Q; I6 d8 u6 t( f# w' ]( S, Q

    " F$ R+ ~5 i, W/ L5 V" a1 \, k  m. w! O( ?2 l2 c5 L
    9 C# f' G- T9 l# I% S6 _6 p
    例3:与梯形法比较
    4 {& w7 Q6 k+ u) A- G. `6 Q9 S, P4 U  ^' R! J* K$ w
    重新计算积分
    . [3 O7 j* S: c  b + O# Y' {8 I; A4 ?5 x- k8 \

    % D* J4 X/ E% w) m& h; n
    • 梯形法求解链接
    • 数值求解:
      - K- Y+ Z+ @5 t$ [; X4 y

    5 h- r$ E. X& J  Y+ u. s* n' K4 J
    • f = @(x) cos(15*x);
    • S=integral(f,0,3*pi/2,'RelTol',1e-20)* j! o: m5 W- p+ u& q6 B% F

    ) X- c' L* q& U- A, Z4 _结论:和梯形法相比,速度和精度明显提高。
    4 v# j. T5 x& V0 ?
    + H/ y. y. q. j. C3 j* _5 L( T1 Q: b# }3 |% w+ h$ A0 L3 J

      X) t" L+ G# B0 A$ D例4:大范围积分
    $ ?; U1 M8 _& t$ k( m# @
    6 J! N, b0 g! u; R计算积分$ ~+ X3 y5 L5 @+ p/ D3 {9 u7 I
    ; w' @1 ~' g& f# s) h* f% f

    6 {* Q1 r7 d' G
    • f = @(x)cos(15*x);
    • I1 = integral(f,0,100,'RelTol',1e-20)  %//数值解
    • syms x
    • I0 = int(cos(15*x),x,0,100); vpa(I0)   %//解析解6 C* Y' B( d) z; z
    2 K! a; i# W& X& r* B

    , y5 R  r7 D7 x" B. X! p3 w. @) @2 h! _解析解: I 0 = − 0.066260130460443564274928241303306
    6 J2 t2 v0 ?+ J# h) d! Z! N数值解: I 1 = − 0.066260130460282923303694246897066$ @5 b+ H) Z/ Q. \; Q6 d
      a2 Y. ^& Y4 A: r: Y, A: B" m
    ! V% S% `: K& X' j; i5 U( {

    ! O' N0 ~4 o5 }. b- Y) S" a例5:广义积分的数值计算
    0 U( z- K: h: Y, z5 o3 c7 x' W+ O- Y
    计算
    ) t0 _. ~4 n2 D4 d5 l " p- [; V. p- m4 c8 B
    6 X- S0 S) G3 j9 M4 o
    • f = @(x) exp(-x.^2);
    • I1 = integral(f,0,inf,'RelTol',1e-20)  %//数值解
    • syms x
    • I0 = int(exp(-x^2),0,inf); vpa(I0)     %//解析解' ?' z( c3 w+ ^
    % M; W1 A/ M6 K% \/ P% J" Z
    9 l6 S( C: e4 W( q" d  w
    解析解: I 0 = 0.886226925452758013649083741670578 `! D) _# c# E+ d3 N! G, G8 w0 k
    数值解: I 1 = 0.88622692545275805198201624079957) C( b+ N/ {" S2 k

    # w+ P# h' l) D6 h! |  ^' |6 W* I( E0 V; Z$ C  ^$ i
    $ \* a4 |- w$ Z9 y
    例6:含参函数数值积分+ N0 B1 u1 J0 J  H

    5 R; F- v# R& N/ v9 b' ~7 r8 D绘制积分函数 曲线
    - F; C% h! J6 k5 m2 g4 J
    1 D8 o8 c: M% V1 J
    . Z  z9 D+ V6 f) Q
    • a = 0:0.1:4;
    • f = @(x)exp(-a*x.^2).*sin(a.^2*x);
    • I = integral(f,0,inf,'RelTol',1e-20,'ArrayValued',true);
    • plot(a,I),  xlabel('\alpha'),  ylabel('I(\alpha)')
      ! d! D; h2 R* M4 w, G' S3 L2 G
    * r3 D+ q8 _, o3 d1 [
    . t" o& W' Q6 g0 u9 A

    2 \! _/ K/ e6 k: y

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    发表于 2021-2-9 14:55 | 只看该作者
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