matlab实现数值积分 【二】（integral函数）

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( \' t" S$ l( N4 |0 ^如果被积函数的数学表达式已知，但解析解不易求，可使用数值积分的方法求解积分。
目录
2 \( p$ Y& @% E& o- T函数调用格式
7 Z1 A7 |" R( M, t2 R! {* D应用举例
例1：求解数值解并检验其精度
例2：分段函数积分
例3：与梯形法比较
例4：大范围积分
+ {" j0 u* m0 y+ \, S$ }) ~例5：广义积分的数值计算
7 h) i" |1 F5 x6 t例6：含参函数数值积分
7 S+ E5 Y5 S+ }. {# e

: `1 y, [7 c& k9 M+ ^0 _函数调用格式

8 W# o2 C0 g/ Z: u& a  f
) d$ L) @* l6 v- E' }3 n
7 b( W) S: D% W3 G9 O$ M) P
7 v  x0 W9 t% Y; C2 I& l6 e7 B
应用举例
$ l+ Z. A7 @- s5 }3 c
例1：求解数值解并检验其精度
1 {7 g# O. E$ y2 ?* B8 c# c6 R计算积分
3 @/ G$ @9 p- N. I
4 T) C% _" |" B4 _0 b% W3 V7 D0 G4 X6 j

• f = @(x) 2/sqrt(pi)*exp(-x.^2);  % //匿名函数
• y = integral(f,0,1.5)  % //数值求解
  3 A+ l6 C8 O" e* O6 B

/ x( X* ?6 ^; t, [4 Q结果为y=0.96610514647531

- m* H# H4 j) Z3 G3 ]求解解析解：
syms x, y0=vpa(int(2/sqrt(pi)*exp(-x^2),0,1.5),60)
结果为：y0=0.96610514647531

: f8 ^8 c% F! [) v* Z结论：可以看出，默认选项下数值解函数integral()便可保证高精度的数值解。

2 E5 n( B* P% q  s$ y

例2：分段函数积分
6 r- R4 e4 h9 {  x* q7 J
! R6 k" e! Q. e& W2 u: B  Q9 v给定如下分段函数：

7 ^/ O7 P0 g0 o+ v/ V; \+ [​        

• 计算积分值 。
  7 S: Z+ ^; a( Y' ]2 t

1 t  b: Y+ [  q/ m% b7 {" d绘制 填充图

• x=[0:0.01:2, 2+eps:0.01:4,4];
• y=exp(x.^2).*(x<=2)+80./(4-sin(16*pi*x)).*(x>2);
• x=[eps,x,4-eps]; y=[0,y,0]; fill(x,y,'g') %//绘制填充图
  " R* ?6 y" l3 K0 O+ i8 G% J3 G1 T, G

1 h6 `2 v1 L' ~( W/ c; P

6 _% L$ q/ ]$ ^; W
: [0 ^7 o1 j' d

• 求解与验证
  

• f = @(x) exp(x.^2).*(x<=2)+80./(4-sin(16*pi*x)).*(x>2);
• I1 = integral(f,0,4)   %//数值解
• I2 = integral(f,0,4,'RelTol',1e-20)   %//提高精度
• syms x
• f = piecewise( x<=2, exp(x^2),  x>2, 80/(4-sin(16*pi*x)) );
• I0 = vpa(int(f,x,0,4))   %//解析解
  

结果为：

变量        值
0 |& t9 {4 w9 KI 0 I_0 I
# ?) A3 g6 w0 O3 a1 r0
6 D# C; g( @+ V​        
（精确解析解）        57.76445012505301 033331523538518
I 1 I_1 I
. H- |- `3 P! Z$ R1
5 @0 T% Y) K8 p​        
（正常数值解）        57.7644501250 4850495815844624303
I 2 I_2 I
( U6 X3 d' c- Z4 v4 Y1 ^0 D2
# F4 v# A: H- _: t8 `+ f​        
$ R1 t/ n, F, T: K- w) q7 u' ` （高精度数值解）        57.76445012505301 690453052287921

- c( j3 y; b7 T0 F' n0 A


例3：与梯形法比较
. d' @, Y& ]+ f( u5 ~" C. l
8 q* w0 ?$ R( u/ K重新计算积分


: ~; j3 @0 h7 |, j- z+ z6 C6 ~' A

• 梯形法求解链接
• 数值求解：
  

. {8 q! X5 \9 U2 Q0 r3 C

• f = @(x) cos(15*x);
• S=integral(f,0,3*pi/2,'RelTol',1e-20)
  

) l/ y4 u1 q# d$ k* m# a结论：和梯形法相比，速度和精度明显提高。
! p6 y8 F* O" V

* V7 E- I: C3 y1 Z( U2 x9 w- m8 T
例4：大范围积分

. h7 g  H0 _* z6 d计算积分

3 D$ H3 Y( f- S& I1 I0 Z4 m

• f = @(x)cos(15*x);
• I1 = integral(f,0,100,'RelTol',1e-20)  %//数值解
• syms x
• I0 = int(cos(15*x),x,0,100); vpa(I0)   %//解析解
  ! c0 G7 {; a1 R& w/ S, b

解析解： I 0 = − 0.066260130460443564274928241303306
数值解： I 1 = − 0.066260130460282923303694246897066



& m8 k% h; K$ q. ]例5：广义积分的数值计算
6 \) r! w9 _3 F! J) |
8 l( u, |. X1 ~! h* t1 Z/ n8 o计算
, @' `3 C2 U' O4 _
$ C8 C3 P5 }3 w

• f = @(x) exp(-x.^2);
• I1 = integral(f,0,inf,'RelTol',1e-20)  %//数值解
• syms x
• I0 = int(exp(-x^2),0,inf); vpa(I0)     %//解析解
  ! O7 O' n* c8 E, w3 O1 z

% O( S4 ^6 J( d- i
6 Q6 v( h9 R$ Q解析解： I 0 = 0.88622692545275801364908374167057
/ ]( ~8 A8 L& K数值解： I 1 = 0.88622692545275805198201624079957



8 F; {, M- ~: S! N2 L" r; U. `例6：含参函数数值积分

8 \' f( x, S7 ?2 E. z' B9 V5 }绘制积分函数 曲线
! Y6 ?5 N+ T1 F4 W* c1 f+ s# ^' p$ c

: q6 ]/ `8 r: i' m" ~

• a = 0:0.1:4;
• f = @(x)exp(-a*x.^2).*sin(a.^2*x);
• I = integral(f,0,inf,'RelTol',1e-20,'ArrayValued',true);
• plot(a,I),  xlabel('\alpha'),  ylabel('I(\alpha)')
  

) e# f6 J; `) F* [6 q& t- `1 ]
& |. C# P: m* _: R" r: e

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matlab实现数值积分 【二】（integral函数）