matlab实现数值积分 【二】（integral函数）

uperrua

9 }0 b7 C0 X: V如果被积函数的数学表达式已知，但解析解不易求，可使用数值积分的方法求解积分。
目录
8 z2 b4 g: [4 }  r; j函数调用格式
  m5 n" q" ]0 u( `: X8 z% C  i# k应用举例
7 g' n# r) ^6 l1 D, D例1：求解数值解并检验其精度
0 x4 m* y7 A. u: E: s例2：分段函数积分
& m; J& e/ H! X! D0 w% R例3：与梯形法比较
例4：大范围积分
+ b: `! Y1 K5 ]% A3 M' @. E. F% U例5：广义积分的数值计算
例6：含参函数数值积分

  f& e, d6 c, }( u  R5 J
函数调用格式

* s1 l7 `* O" u& N' e: B$ t


) S& r" q9 }* ~: x" G7 V应用举例
例1：求解数值解并检验其精度
计算积分

• f = @(x) 2/sqrt(pi)*exp(-x.^2);  % //匿名函数
• y = integral(f,0,1.5)  % //数值求解
  

结果为  y=0.96610514647531
% j  t4 _/ B, P% L
求解解析解：
& F8 F& _  q( d, U6 V( C+ z0 ^. vsyms x, y0=vpa(int(2/sqrt(pi)*exp(-x^2),0,1.5),60)
结果为：y0=0.96610514647531

结论：可以看出，默认选项下数值解函数integral()便可保证高精度的数值解。


, Z5 O) d* e4 ~" L1 J例2：分段函数积分
* u( v  A' Y% e; u
: @$ Z5 p) w' B5 \% {给定如下分段函数：
. _7 v) l9 Q- g# b4 Q! e: z( U
- f1 K' a9 H4 F! H( {* q& f3 T0 X# @计算积分值 。

% q) Z  M: x2 _) ]

• 绘制 f ( x )填充图
  ) b" r3 J1 \/ L6 R3 s

• x=[0:0.01:2, 2+eps:0.01:4,4];
• y=exp(x.^2).*(x<=2)+80./(4-sin(16*pi*x)).*(x>2);
• x=[eps,x,4-eps]; y=[0,y,0]; fill(x,y,'g') %//绘制填充图
  

" ]1 @0 V3 [" L7 j
, C* t$ f, V4 {+ R0 j
& r/ ~( n! L4 S% r4 Y" i

• 求解与验证
  ( i6 ]) g/ g; [( b* P; T+ R& |3 S

  g2 R+ f) G- ]) O
0 u7 l! }; c. ]; w

• f = @(x) exp(x.^2).*(x<=2)+80./(4-sin(16*pi*x)).*(x>2);
• I1 = integral(f,0,4)   %//数值解
• I2 = integral(f,0,4,'RelTol',1e-20)   %//提高精度
• syms x
• f = piecewise( x<=2, exp(x^2),  x>2, 80/(4-sin(16*pi*x)) );
• I0 = vpa(int(f,x,0,4))   %//解析解
  

5 v6 ?2 U9 M; h+ L
% ]* R2 {+ q% b* A* i. P结果为：


* M) n- W$ `) g! U2 E0 u! c
1 S& ]1 D$ t8 k: G) D/ M% j
0 S9 c7 a: t5 a9 u! ]& Z, N例3：与梯形法比较
: E9 {" c9 E+ B: H+ M
重新计算积分

8 z  L3 c# Z6 A7 R

• 梯形法求解链接
• 数值求解：
  

• f = @(x) cos(15*x);
• S=integral(f,0,3*pi/2,'RelTol',1e-20)
  

$ @6 ^$ \+ z8 I' D4 v$ N0 Y结论：和梯形法相比，速度和精度明显提高。

; Y( R/ i  f; ]# @; m. J
& p5 v6 c6 M. F0 K4 p例4：大范围积分

计算积分
, \2 G  k2 o# X; l* {

" h0 r, K# i7 l0 Z- H' N0 U

• f = @(x)cos(15*x);
• I1 = integral(f,0,100,'RelTol',1e-20)  %//数值解
• syms x
• I0 = int(cos(15*x),x,0,100); vpa(I0)   %//解析解
  

( E& ]+ a# u; g6 g) C0 K  `$ P
. w) y2 c5 v; L$ V' t0 `" E) ^! K解析解： I 0 = − 0.066260130460443564274928241303306
数值解： I 1 = − 0.066260130460282923303694246897066

! Q+ j9 o, R2 v* S4 p
. f$ X% T: q+ M$ ~4 l. D3 b/ w例5：广义积分的数值计算
' w4 F/ m6 h# o' ?/ E6 z) _计算


% l* c" d8 e- Z" n  O/ Y3 t( |

• f = @(x) exp(-x.^2);
• I1 = integral(f,0,inf,'RelTol',1e-20)  %//数值解
• syms x
• I0 = int(exp(-x^2),0,inf); vpa(I0)     %//解析解
  3 l! m5 s3 s( ~- V4 h# {" J; @

/ u+ ~  z; }/ X8 r) ^: o- E' Z
8 x; R7 h8 v" e9 S9 H解析解： I 0 = 0.88622692545275801364908374167057
数值解： I 1 = 0.88622692545275805198201624079957
& D- q( \/ m+ M8 V9 N2 j
0 U5 f* p/ i* Y3 p0 x3 Y
/ H; N) _( b* z  Q例6：含参函数数值积分

绘制积分函数 曲线
% d. Y) O) }4 i! @/ D- z

• a = 0:0.1:4;
• f = @(x)exp(-a*x.^2).*sin(a.^2*x);
• I = integral(f,0,inf,'RelTol',1e-20,'ArrayValued',true);
• plot(a,I),  xlabel('\alpha'),  ylabel('I(\alpha)')
  7 G" c4 c5 l2 _8 D3 L

# M5 `6 Z6 v/ t
! O( V% |6 L& r' w+ O7 c. _& n
, C  W8 @; F* S& {  H0 Z

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matlab实现数值积分 【二】（integral函数）