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EDA365欢迎您登录!您需要 登录 才可以下载或查看,没有帐号?注册  # X* P" u( [& @% \+ U# h% M如果被积函数的数学表达式已知,但解析解不易求,可使用数值积分的方法求解积分。# Q+ b6 [+ K% W" l/ `8 j" z+ ?
 目录$ a6 }2 I' y; k
 函数调用格式
 ! k" a! D8 O9 f$ j* V# J( r应用举例
 9 a) O& V4 t* Z, ?4 c例1:求解数值解并检验其精度
 b' T9 c2 h4 V例2:分段函数积分$ Z2 p' n5 ]' ]9 V8 Q" g
 例3:与梯形法比较
 ! ~8 K* B; _5 Z: d例4:大范围积分, A1 ?) I* S+ c( `7 n
 例5:广义积分的数值计算
 7 I+ D: r! q4 w# I+ |, O例6:含参函数数值积分
 / B: j9 D, W3 ]' K6 v! r1 u9 \/ |% l% ~# R
 ( d9 A5 V3 a* v( S* L6 v$ g
 函数调用格式) _3 b! p+ p  a( m+ ~/ n2 x" x
 * B2 T/ J' V  j. ^3 X2 |4 \4 |7 {
 
  3 Z' C: B2 [4 s0 t9 j) e5 C! @: o& w 
 4 ~2 y) Q* U% m, [
 ' w0 x. M, ]5 @  _& ]( K/ A应用举例  r: G+ X6 d. v. w1 Q/ |
 例1:求解数值解并检验其精度* b! Y0 \, E8 E, M- O& \
 计算积分
 7 N* {! u. F* W
  7 I6 O. B0 N2 c5 v5 [ 
 2 }2 r5 k( v2 j% d
 f = @(x) 2/sqrt(pi)*exp(-x.^2);  % //匿名函数y = integral(f,0,1.5)  % //数值求解6 X& l7 O2 _& I% O
 3 y3 m! C2 }3 a结果为  y=0.96610514647531
 + J7 z7 t/ X# ?3 I- P
 ! x! E* ?8 j' o5 b2 P求解解析解:
 6 t9 b: K1 i. K' Tsyms x, y0=vpa(int(2/sqrt(pi)*exp(-x^2),0,1.5),60)8 ]2 e  D% |  U
 结果为:y0=0.96610514647531# {" w  R  s% q7 m4 C% \7 \( i* D
 
 ' H/ G7 }8 \" q  U' u# I5 {结论:可以看出,默认选项下数值解函数integral()便可保证高精度的数值解。" @" R) r: \8 ]" s& D% E2 V- a
 5 D4 Y% Y* j7 u1 w
 
 # r! W2 f+ ]! u- H3 b# P5 j/ E例2:分段函数积分# P" o! t2 ]& v: p+ H. L8 }$ w, A
 * d6 ^# R( @( d5 e' b: J3 E
 给定如下分段函数:/ y& M( N$ Q% X: a7 p3 Q# u
 
   8 g. D$ H& G" _; f0 @6 V计算积分值
  。$ K  U! B$ j5 Q2 X & d. F% a6 H! f! T$ w
 
 绘制 f ( x )填充图+ x# M6 a+ h% n! o3 ]
 x=[0:0.01:2, 2+eps:0.01:4,4];y=exp(x.^2).*(x<=2)+80./(4-sin(16*pi*x)).*(x>2);x=[eps,x,4-eps]; y=[0,y,0]; fill(x,y,'g') %//绘制填充图' _. u5 G+ W3 U4 P4 b
 + _* t- n, I: h
   ) r) R! a2 F; u9 @* W* Q3 f; _# x
 ' o8 B- n( U' I9 ~6 b# ^
 
 求解与验证) G: i) U8 S) @" _  e/ ?
 " `9 \1 `3 x7 p1 P3 ?& R
 ' {4 b# v% m8 |& X& q
 , {  Q5 ^3 N! m* y4 R' B# M% hf = @(x) exp(x.^2).*(x<=2)+80./(4-sin(16*pi*x)).*(x>2);I1 = integral(f,0,4)   %//数值解I2 = integral(f,0,4,'RelTol',1e-20)   %//提高精度syms xf = piecewise( x<=2, exp(x^2),  x>2, 80/(4-sin(16*pi*x)) );I0 = vpa(int(f,x,0,4))   %//解析解% |, @3 ~/ q; w
 8 A# n" r- f, k3 C
 结果为:
 ) X, y6 G) |- Q+ A" ?! _" G/ q. d$ q& z; y4 E1 L
 
  7 O! q5 m' @) L- n& l7 P 3 F: \# }" C3 c: S$ }3 o
 & x. l" X  q  x- K/ H' u  H
 例3:与梯形法比较
 ; |8 M, b0 \5 n8 N5 J% C+ w
 : q8 c$ O( t5 _% _7 V- F2 |, O( k重新计算积分
 9 j( u( M% E, z8 V# }
  6 d' B0 b4 J  u, M 
 6 ]- d7 `' w5 s4 X9 A" _
 梯形法求解链接数值求解:" J, z$ h, \, N1 e; b; E
 f = @(x) cos(15*x);S=integral(f,0,3*pi/2,'RelTol',1e-20)+ @' d+ O" k' l, p" [
 9 L2 K1 E7 A/ K8 q! @/ V
 / d' _9 O) C/ r4 R- X4 d! _结论:和梯形法相比,速度和精度明显提高。
 6 C: m% t. g( ?' @; |& ~7 o6 C% B6 a- y. N# Q$ t, G( r
 # ?$ l$ Z/ r9 Y/ ^. Y
 例4:大范围积分) `3 r  O; Y* R# [  ]+ O# t, Q' f
 
 ~' i2 R- P. D2 \计算积分
 + c, k1 `' J" Y  Q+ Y& A
  6 B* h# n! H8 ]2 h) P0 i2 ?) P: Q 
 ( B& a3 M9 h7 L8 B, U- a$ ^
 " s$ `5 I, a* yf = @(x)cos(15*x);I1 = integral(f,0,100,'RelTol',1e-20)  %//数值解syms xI0 = int(cos(15*x),x,0,100); vpa(I0)   %//解析解6 }8 D9 X% N, g( r9 C# S- f
 
 4 z% e* q. K7 j" N5 t2 J2 X解析解: I 0 = − 0.066260130460443564274928241303306
 . e* L. Y, I# I! p8 S1 d- g1 q数值解: I 1 = − 0.066260130460282923303694246897066
 / M2 D7 M$ D6 D* a  |4 b  R3 [$ b9 T2 z6 ?9 r  `
 ( k2 e* k2 K) h/ m! e9 g6 G- l5 G1 G
 例5:广义积分的数值计算# ?' E$ r. S( W2 A. A0 |: R; r
 计算
 ; h% b+ p2 b4 w- \; G) |' ]. S" ]+ c
  Q: }- M6 V( o6 ~6 \  P% J & K' ~5 U" l+ G, ]) e$ l
 
 ; R0 p: \" A8 J7 X5 df = @(x) exp(-x.^2);I1 = integral(f,0,inf,'RelTol',1e-20)  %//数值解syms xI0 = int(exp(-x^2),0,inf); vpa(I0)     %//解析解. ^! ]5 U0 w6 |' P: x. @
 
 ! ~; V8 \  N2 w6 C; b2 ?解析解: I 0 = 0.88622692545275801364908374167057$ K* P: D/ x  v+ l5 {, s. H
 数值解: I 1 = 0.88622692545275805198201624079957
 - Q3 p! N/ T# _- K  W
 - J2 B6 G; ^% }+ e/ v% r' ^  [* i) t6 _
 例6:含参函数数值积分  r* O9 z( j- M( f7 M% w
 
 ; U6 U; J7 Y+ ]" s绘制积分函数
  曲线  z& E0 j! O# }6 G3 O, k 
   & m) N6 q* Y9 m( R6 J4 G, H- B2 ]9 t, n
 
 a = 0:0.1:4;f = @(x)exp(-a*x.^2).*sin(a.^2*x);I = integral(f,0,inf,'RelTol',1e-20,'ArrayValued',true);plot(a,I),  xlabel('\alpha'),  ylabel('I(\alpha)')& x# t5 Z3 V) H3 f4 D
 & A7 K7 z8 s, A. w7 J: G! t* R- O
 
  4 S1 ?/ b  e+ u3 I' L 
 8 ]: r6 O# \0 s
 - T, E4 D1 C% R
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