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matlab实现数值积分 【二】(integral函数)

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发表于 2021-2-5 10:20 | 只看该作者 |只看大图 回帖奖励 |倒序浏览 |阅读模式

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x

# X* P" u( [& @% \+ U# h% M如果被积函数的数学表达式已知,但解析解不易求,可使用数值积分的方法求解积分。# Q+ b6 [+ K% W" l/ `8 j" z+ ?
目录$ a6 }2 I' y; k
函数调用格式
! k" a! D8 O9 f$ j* V# J( r应用举例
9 a) O& V4 t* Z, ?4 c例1:求解数值解并检验其精度
  b' T9 c2 h4 V例2:分段函数积分$ Z2 p' n5 ]' ]9 V8 Q" g
例3:与梯形法比较
! ~8 K* B; _5 Z: d例4:大范围积分, A1 ?) I* S+ c( `7 n
例5:广义积分的数值计算
7 I+ D: r! q4 w# I+ |, O例6:含参函数数值积分
/ B: j9 D, W3 ]' K6 v! r1 u9 \/ |% l% ~# R
( d9 A5 V3 a* v( S* L6 v$ g
函数调用格式) _3 b! p+ p  a( m+ ~/ n2 x" x
* B2 T/ J' V  j. ^3 X2 |4 \4 |7 {
3 Z' C: B2 [4 s0 t9 j) e5 C! @: o& w

4 ~2 y) Q* U% m, [
' w0 x. M, ]5 @  _& ]( K/ A应用举例  r: G+ X6 d. v. w1 Q/ |
例1:求解数值解并检验其精度* b! Y0 \, E8 E, M- O& \
计算积分
7 N* {! u. F* W 7 I6 O. B0 N2 c5 v5 [

2 }2 r5 k( v2 j% d
  • f = @(x) 2/sqrt(pi)*exp(-x.^2);  % //匿名函数
  • y = integral(f,0,1.5)  % //数值求解6 X& l7 O2 _& I% O

3 y3 m! C2 }3 a结果为  y=0.96610514647531
+ J7 z7 t/ X# ?3 I- P
! x! E* ?8 j' o5 b2 P求解解析解:
6 t9 b: K1 i. K' Tsyms x, y0=vpa(int(2/sqrt(pi)*exp(-x^2),0,1.5),60)8 ]2 e  D% |  U
结果为:y0=0.96610514647531# {" w  R  s% q7 m4 C% \7 \( i* D

' H/ G7 }8 \" q  U' u# I5 {结论:可以看出,默认选项下数值解函数integral()便可保证高精度的数值解。" @" R) r: \8 ]" s& D% E2 V- a
5 D4 Y% Y* j7 u1 w

# r! W2 f+ ]! u- H3 b# P5 j/ E例2:分段函数积分# P" o! t2 ]& v: p+ H. L8 }$ w, A
* d6 ^# R( @( d5 e' b: J3 E
给定如下分段函数:/ y& M( N$ Q% X: a7 p3 Q# u

8 g. D$ H& G" _; f0 @6 V计算积分值 $ K  U! B$ j5 Q2 X
& d. F% a6 H! f! T$ w
  • 绘制 f ( x )填充图
    + x# M6 a+ h% n! o3 ]
  • x=[0:0.01:2, 2+eps:0.01:4,4];
  • y=exp(x.^2).*(x<=2)+80./(4-sin(16*pi*x)).*(x>2);
  • x=[eps,x,4-eps]; y=[0,y,0]; fill(x,y,'g') %//绘制填充图
    ' _. u5 G+ W3 U4 P4 b

+ _* t- n, I: h
) r) R! a2 F; u9 @* W* Q3 f; _# x
' o8 B- n( U' I9 ~6 b# ^
  • 求解与验证
    ) G: i) U8 S) @" _  e/ ?

" `9 \1 `3 x7 p1 P3 ?& R
' {4 b# v% m8 |& X& q
  • f = @(x) exp(x.^2).*(x<=2)+80./(4-sin(16*pi*x)).*(x>2);
  • I1 = integral(f,0,4)   %//数值解
  • I2 = integral(f,0,4,'RelTol',1e-20)   %//提高精度
  • syms x
  • f = piecewise( x<=2, exp(x^2),  x>2, 80/(4-sin(16*pi*x)) );
  • I0 = vpa(int(f,x,0,4))   %//解析解% |, @3 ~/ q; w
, {  Q5 ^3 N! m* y4 R' B# M% h
8 A# n" r- f, k3 C
结果为:
) X, y6 G) |- Q+ A" ?! _" G/ q. d$ q& z; y4 E1 L
7 O! q5 m' @) L- n& l7 P
3 F: \# }" C3 c: S$ }3 o
& x. l" X  q  x- K/ H' u  H
例3:与梯形法比较
; |8 M, b0 \5 n8 N5 J% C+ w
: q8 c$ O( t5 _% _7 V- F2 |, O( k重新计算积分
9 j( u( M% E, z8 V# } 6 d' B0 b4 J  u, M

6 ]- d7 `' w5 s4 X9 A" _
  • 梯形法求解链接
  • 数值求解:
    " J, z$ h, \, N1 e; b; E
  • f = @(x) cos(15*x);
  • S=integral(f,0,3*pi/2,'RelTol',1e-20)
    + @' d+ O" k' l, p" [

9 L2 K1 E7 A/ K8 q! @/ V
/ d' _9 O) C/ r4 R- X4 d! _结论:和梯形法相比,速度和精度明显提高。
6 C: m% t. g( ?' @; |& ~7 o6 C% B6 a- y. N# Q$ t, G( r
# ?$ l$ Z/ r9 Y/ ^. Y
例4:大范围积分) `3 r  O; Y* R# [  ]+ O# t, Q' f

  ~' i2 R- P. D2 \计算积分
+ c, k1 `' J" Y  Q+ Y& A 6 B* h# n! H8 ]2 h) P0 i2 ?) P: Q

( B& a3 M9 h7 L8 B, U- a$ ^
  • f = @(x)cos(15*x);
  • I1 = integral(f,0,100,'RelTol',1e-20)  %//数值解
  • syms x
  • I0 = int(cos(15*x),x,0,100); vpa(I0)   %//解析解
    6 }8 D9 X% N, g( r9 C# S- f
" s$ `5 I, a* y

4 z% e* q. K7 j" N5 t2 J2 X解析解: I 0 = − 0.066260130460443564274928241303306
. e* L. Y, I# I! p8 S1 d- g1 q数值解: I 1 = − 0.066260130460282923303694246897066
/ M2 D7 M$ D6 D* a  |4 b  R3 [$ b9 T2 z6 ?9 r  `
( k2 e* k2 K) h/ m! e9 g6 G- l5 G1 G
例5:广义积分的数值计算# ?' E$ r. S( W2 A. A0 |: R; r
计算
; h% b+ p2 b4 w- \; G) |' ]. S" ]+ c   Q: }- M6 V( o6 ~6 \  P% J
& K' ~5 U" l+ G, ]) e$ l
  • f = @(x) exp(-x.^2);
  • I1 = integral(f,0,inf,'RelTol',1e-20)  %//数值解
  • syms x
  • I0 = int(exp(-x^2),0,inf); vpa(I0)     %//解析解
    . ^! ]5 U0 w6 |' P: x. @
; R0 p: \" A8 J7 X5 d

! ~; V8 \  N2 w6 C; b2 ?解析解: I 0 = 0.88622692545275801364908374167057$ K* P: D/ x  v+ l5 {, s. H
数值解: I 1 = 0.88622692545275805198201624079957
- Q3 p! N/ T# _- K  W
- J2 B6 G; ^% }+ e/ v% r' ^  [* i) t6 _
例6:含参函数数值积分  r* O9 z( j- M( f7 M% w

; U6 U; J7 Y+ ]" s绘制积分函数 曲线  z& E0 j! O# }6 G3 O, k

& m) N6 q* Y9 m( R6 J4 G, H- B2 ]9 t, n
  • a = 0:0.1:4;
  • f = @(x)exp(-a*x.^2).*sin(a.^2*x);
  • I = integral(f,0,inf,'RelTol',1e-20,'ArrayValued',true);
  • plot(a,I),  xlabel('\alpha'),  ylabel('I(\alpha)')& x# t5 Z3 V) H3 f4 D

& A7 K7 z8 s, A. w7 J: G! t* R- O
4 S1 ?/ b  e+ u3 I' L

8 ]: r6 O# \0 s
- T, E4 D1 C% R
  • TA的每日心情
    慵懒
    2020-6-13 15:46
  • 签到天数: 1 天

    [LV.1]初来乍到

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    发表于 2021-2-5 10:56 | 只看该作者
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