matlab实现数值积分 【二】（integral函数）

uperrua

# X* P" u( [& @% \+ U# h% M如果被积函数的数学表达式已知，但解析解不易求，可使用数值积分的方法求解积分。
目录
函数调用格式
! k" a! D8 O9 f$ j* V# J( r应用举例
9 a) O& V4 t* Z, ?4 c例1：求解数值解并检验其精度
  b' T9 c2 h4 V例2：分段函数积分
例3：与梯形法比较
! ~8 K* B; _5 Z: d例4：大范围积分
例5：广义积分的数值计算
7 I+ D: r! q4 w# I+ |, O例6：含参函数数值积分
/ B: j9 D, W3 ]' K6 v

函数调用格式



4 ~2 y) Q* U% m, [
' w0 x. M, ]5 @  _& ]( K/ A应用举例
例1：求解数值解并检验其精度
计算积分
7 N* {! u. F* W

2 }2 r5 k( v2 j% d

• f = @(x) 2/sqrt(pi)*exp(-x.^2);  % //匿名函数
• y = integral(f,0,1.5)  % //数值求解
  

3 y3 m! C2 }3 a结果为  y=0.96610514647531
+ J7 z7 t/ X# ?3 I- P
! x! E* ?8 j' o5 b2 P求解解析解：
6 t9 b: K1 i. K' Tsyms x, y0=vpa(int(2/sqrt(pi)*exp(-x^2),0,1.5),60)
结果为：y0=0.96610514647531

' H/ G7 }8 \" q  U' u# I5 {结论：可以看出，默认选项下数值解函数integral()便可保证高精度的数值解。


# r! W2 f+ ]! u- H3 b# P5 j/ E例2：分段函数积分

给定如下分段函数：

8 g. D$ H& G" _; f0 @6 V计算积分值 。

• 绘制 f ( x )填充图
  + x# M6 a+ h% n! o3 ]

• x=[0:0.01:2, 2+eps:0.01:4,4];
• y=exp(x.^2).*(x<=2)+80./(4-sin(16*pi*x)).*(x>2);
• x=[eps,x,4-eps]; y=[0,y,0]; fill(x,y,'g') %//绘制填充图
  ' _. u5 G+ W3 U4 P4 b

+ _* t- n, I: h
) r) R! a2 F; u

• 求解与验证
  ) G: i) U8 S) @" _  e/ ?

" `9 \1 `3 x7 p1 P3 ?& R
' {4 b# v% m8 |& X& q

• f = @(x) exp(x.^2).*(x<=2)+80./(4-sin(16*pi*x)).*(x>2);
• I1 = integral(f,0,4)   %//数值解
• I2 = integral(f,0,4,'RelTol',1e-20)   %//提高精度
• syms x
• f = piecewise( x<=2, exp(x^2),  x>2, 80/(4-sin(16*pi*x)) );
• I0 = vpa(int(f,x,0,4))   %//解析解
  

结果为：
) X, y6 G) |- Q+ A



例3：与梯形法比较
; |8 M, b0 \5 n8 N5 J% C+ w
: q8 c$ O( t5 _% _7 V- F2 |, O( k重新计算积分
9 j( u( M% E, z8 V# }

6 ]- d7 `' w5 s4 X9 A" _

• 梯形法求解链接
• 数值求解：
  " J, z$ h, \, N1 e; b; E

• f = @(x) cos(15*x);
• S=integral(f,0,3*pi/2,'RelTol',1e-20)
  + @' d+ O" k' l, p" [

9 L2 K1 E7 A/ K8 q! @/ V
/ d' _9 O) C/ r4 R- X4 d! _结论：和梯形法相比，速度和精度明显提高。
6 C: m% t. g( ?' @; |& ~

例4：大范围积分

  ~' i2 R- P. D2 \计算积分
+ c, k1 `' J" Y  Q+ Y& A

( B& a3 M9 h7 L8 B, U- a$ ^

• f = @(x)cos(15*x);
• I1 = integral(f,0,100,'RelTol',1e-20)  %//数值解
• syms x
• I0 = int(cos(15*x),x,0,100); vpa(I0)   %//解析解
  6 }8 D9 X% N, g( r9 C# S- f

4 z% e* q. K7 j" N5 t2 J2 X解析解： I 0 = − 0.066260130460443564274928241303306
. e* L. Y, I# I! p8 S1 d- g1 q数值解： I 1 = − 0.066260130460282923303694246897066
/ M2 D7 M$ D6 D* a  |4 b

例5：广义积分的数值计算
计算
; h% b+ p2 b4 w- \; G) |' ]. S" ]+ c

• f = @(x) exp(-x.^2);
• I1 = integral(f,0,inf,'RelTol',1e-20)  %//数值解
• syms x
• I0 = int(exp(-x^2),0,inf); vpa(I0)     %//解析解
  . ^! ]5 U0 w6 |' P: x. @

! ~; V8 \  N2 w6 C; b2 ?解析解： I 0 = 0.88622692545275801364908374167057
数值解： I 1 = 0.88622692545275805198201624079957
- Q3 p! N/ T# _- K  W
- J2 B6 G; ^% }+ e
例6：含参函数数值积分

; U6 U; J7 Y+ ]" s绘制积分函数 曲线

& m) N6 q* Y9 m

• a = 0:0.1:4;
• f = @(x)exp(-a*x.^2).*sin(a.^2*x);
• I = integral(f,0,inf,'RelTol',1e-20,'ArrayValued',true);
• plot(a,I),  xlabel('\alpha'),  ylabel('I(\alpha)')
  

& A7 K7 z8 s, A. w


8 ]: r6 O# \0 s
- T, E4 D1 C% R

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matlab实现数值积分 【二】（integral函数）