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目录: a' w$ k; H% S9 h1 @* P+ i) I. s
总述
, h% O; M; {6 D6 a- n函数调用格式
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q6 A! p: x! X4 X例1:梯形法求积分
3 E4 x/ ?9 J& O7 ~6 S例2:不同步长对积分结果的影响
3 J7 r& r) I) T d, Y' m. k0 w* {2 Z$ u7 D, [, k, }4 @* c4 @1 V
7 Q {$ s8 O. \/ Y) g& L. V9 H总述 数值积分问题是传统数值分析课程中的重要内容。如果被积函数的数学表达式未知,则需要由实测数据通过梯形算法求出积分的近似值。本文将介绍被积函数的数学表达式未知时数值积分问题的求解方法,即已知数据点求积分。
+ z2 {6 M) z2 h' u: t* @: `( p
函数调用格式
* B# O& |# d5 x9 d6 a6 V0 X! i- S = trapz(x, y);
6 M" Y0 ?5 E7 r; ~/ m: T# T* e
. h# N. `7 s" |: [/ U3 f$ K1 t% \& a# m2 A' _
应用举例例1:梯形法求积分
! q' O' G' g' P$ g( q
3 H: j. h3 g2 h% z/ L& @
+ ]2 e- g8 Y7 L8 Q" w' M0 ^* V7 I2 j b7 ?3 c: {
- x = [0:pi/30:pi]';
- y = [sin(x) cos(x) sin(x/2)];
- S = trapz(x,y): K w$ k; V8 a6 J! w$ v' x
5 {% [" o1 }) b$ ]" b; n' ^: f- T3 Z$ r6 [. a: o( v
结果为:S = [1.9982 0.0000 1.9995]
/ G1 E# W/ o' v* J由于选择的步距较大,为h=π/30=0.1, 故得出的结果有较大的误差。其实可以将积分问题与样条插值技术相结合,给出 一 个能精确计算积分的MATLAB函数。(待补充) 例2:不同步长对积分结果的影响题目: 用定步长法求解积分
. q; _7 M9 U1 x' {
,并讨论不同步长对积分值的影响。 - 首先,绘制被积函数的图像:
3 w; U8 O* k" s+ h }& I & T/ X7 X, b8 v! y6 h( D
- x=[0:0.01:3*pi/2, 3*pi/2]; % //这样赋值能确保 3*pi/2 点被包含在内
- y=cos(15*x); plot(x,y)) r. e2 m4 x7 K* x$ L
( F1 {# P+ G7 h5 @
1 P1 x* p4 X+ I1 v
# x( b7 d: ]& ?# w1 p$ C
由图像观察出在求解区域内被积函数有很强的振荡。
, a0 V4 z0 m4 ]
! h; A/ E- N/ `: R5 Q* y, T- 对不同的步距 h = 0.1 , 0.01 , 0.001 , 0.0001 , 0.00001 , 0.000001 h= 0.1, 0.01, 0.001, 0.0001, 0.00001, 0.000001 h=0.1,0.01,0.001,0.0001,0.00001,0.000001 ,可以用下面的语句求出采用不同步长的积分近似结果。
# N5 @8 l: J. m/ M% g; P2 x: G! t7 r+ \
- syms x, A=int(cos(15*x),0,3*pi/2) % //求取理论值为1/15
- h0=[0.1,0.01,0.001,0.0001,0.00001,0.000001]; v=[];
- for h=h0
- x = [0:h:3*pi/2, 3*pi/2]; y=cos(15*x);
- I = trapz(x,y);
- v = [v; h,I,A-I];
- end
$ m# g# a! r3 M: s ) ]( U5 g, ^# g7 y* |, a% P. n
0 R* j/ B( K2 G得出结果如下:! F, T4 X8 ^. \ v! q/ c2 Y
' X) S1 d3 Y# n2 c4 |4 U
W4 C7 `1 c/ s! d, p
3 f3 u3 \+ ~1 [; H3 k5 P* P可见,随着步距 h h h的减小,计算精度逐渐增加。' e0 C' g: @) J) l
8 s, I" ~1 I- Y1 E8 z8 s3 a2 ^
* D. f9 }, V9 Q0 J4 S: a
# G3 H8 P4 B% a4 }/ Y% |; U4 o, R9 R
- A8 \6 R6 p$ L( s
2 Z& ] J6 L/ A+ E
8 f8 U, z6 E9 m- T2 ?
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