matlab实现数值积分 【一】（trapz函数）

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/ j/ W- ~* b' `* f总述
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应用举例
. ?1 n+ `9 X' w8 L$ S/ J( V. o例1：梯形法求积分
) D% u* T6 r( K0 o; X) m2 Z; B例2：不同步长对积分结果的影响


总述

  数值积分问题是传统数值分析课程中的重要内容。如果被积函数的数学表达式未知，则需要由实测数据通过梯形算法求出积分的近似值。本文将介绍被积函数的数学表达式未知时数值积分问题的求解方法，即已知数据点求积分。

函数调用格式
) `. e$ s' b% G, t' F

• S = trapz(x, y);
  9 g2 v- [# ?# \% g# T; f5 f; P

6 O5 }, Z% G0 W2 N7 R
应用举例例1：梯形法求积分
1 a- V0 r9 I* G* U$ S0 Z" S( M
& [! t( T: |% U. e& m

1 W3 ], f- W+ A# W
* S3 K' I* @& A* ?- Z5 u; f+ n

• x = [0:pi/30:pi]';
• y = [sin(x) cos(x) sin(x/2)];
• S = trapz(x,y)
  & l- [) M8 q; u" H

结果为：S = [1.9982 0.0000 1.9995]

由于选择的步距较大，为h＝π／30=0.1, 故得出的结果有较大的误差。其实可以将积分问题与样条插值技术相结合，给出 一 个能精确计算积分的MATLAB函数。（待补充）

例2：不同步长对积分结果的影响

题目： 用定步长法求解积分

2 S9 k* D* S* \/ [# J4 e，并讨论不同步长对积分值的影响。

• 首先，绘制被积函数的图像：
  

• x=[0:0.01:3*pi/2, 3*pi/2];  % //这样赋值能确保 3*pi/2 点被包含在内
• y=cos(15*x); plot(x,y)
  : b; w4 @: O" b0 o) l

) x4 D2 h: v7 j& P2 E+ b

% Q1 B: T) W! r- m( J0 @4 i! s由图像观察出在求解区域内被积函数有很强的振荡。
8 g. d5 k, o) {5 K5 ~5 D# \4 c

• 对不同的步距 h = 0.1 , 0.01 , 0.001 , 0.0001 , 0.00001 , 0.000001 h= 0.1, 0.01, 0.001, 0.0001, 0.00001, 0.000001 h=0.1,0.01,0.001,0.0001,0.00001,0.000001 ,可以用下面的语句求出采用不同步长的积分近似结果。
  " j* I# ^1 E; h/ H: R& W! X

• syms x, A=int(cos(15*x),0,3*pi/2) % //求取理论值为1/15
• h0=[0.1,0.01,0.001,0.0001,0.00001,0.000001]; v=[];
• for h=h0
•         x = [0:h:3*pi/2, 3*pi/2];  y=cos(15*x);
•         I = trapz(x,y);
•         v = [v; h,I,A-I];
• end
  

得出结果如下：

, u8 V# v2 b2 {5 y' G( \

! _3 v6 P7 ^8 o4 Q2 |. d可见，随着步距 h h h的减小，计算精度逐渐增加。
2 a. s) e9 H1 y( A0 _( ~

% \; q1 j  h6 F( r
8 `2 K/ l' @" V2 N. k
; {6 y% C# i# M; H5 Y1 Z8 O

& S& ]8 N4 ]9 }9 E5 b
0 h; p$ [3 B5 o4 q$ d

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matlab实现数值积分 【一】（trapz函数）