matlab实现数值积分 【一】（trapz函数）

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目录
总述
, h% O; M; {6 D6 a- n函数调用格式
; T9 }2 V2 y3 {& N4 w; N应用举例
  q6 A! p: x! X4 X例1：梯形法求积分
3 E4 x/ ?9 J& O7 ~6 S例2：不同步长对积分结果的影响
3 J7 r& r) I) T  d, Y' m. k

7 Q  {$ s8 O. \/ Y) g& L. V9 H总述

  数值积分问题是传统数值分析课程中的重要内容。如果被积函数的数学表达式未知，则需要由实测数据通过梯形算法求出积分的近似值。本文将介绍被积函数的数学表达式未知时数值积分问题的求解方法，即已知数据点求积分。

+ z2 {6 M) z2 h' u: t* @: `( p

函数调用格式
* B# O& |# d5 x9 d6 a6 V0 X! i

• S = trapz(x, y);
  6 M" Y0 ?5 E7 r; ~/ m: T# T* e

. h# N. `7 s" |: [/ U3 f
应用举例例1：梯形法求积分
! q' O' G' g' P$ g( q
3 H: j. h3 g2 h% z/ L& @

+ ]2 e- g8 Y7 L8 Q" w' M

• x = [0:pi/30:pi]';
• y = [sin(x) cos(x) sin(x/2)];
• S = trapz(x,y)
  

5 {% [" o1 }) b$ ]" b; n' ^: f

结果为：S = [1.9982 0.0000 1.9995]

/ G1 E# W/ o' v* J

由于选择的步距较大，为h＝π／30=0.1, 故得出的结果有较大的误差。其实可以将积分问题与样条插值技术相结合，给出 一 个能精确计算积分的MATLAB函数。（待补充）

例2：不同步长对积分结果的影响

题目： 用定步长法求解积分

，并讨论不同步长对积分值的影响。

• 首先，绘制被积函数的图像：
  3 w; U8 O* k" s+ h  }& I

• x=[0:0.01:3*pi/2, 3*pi/2];  % //这样赋值能确保 3*pi/2 点被包含在内
• y=cos(15*x); plot(x,y)
  

由图像观察出在求解区域内被积函数有很强的振荡。
, a0 V4 z0 m4 ]
! h; A/ E- N/ `: R5 Q* y, T

• 对不同的步距 h = 0.1 , 0.01 , 0.001 , 0.0001 , 0.00001 , 0.000001 h= 0.1, 0.01, 0.001, 0.0001, 0.00001, 0.000001 h=0.1,0.01,0.001,0.0001,0.00001,0.000001 ,可以用下面的语句求出采用不同步长的积分近似结果。
  # N5 @8 l: J. m/ M% g; P2 x: G! t7 r+ \

• syms x, A=int(cos(15*x),0,3*pi/2) % //求取理论值为1/15
• h0=[0.1,0.01,0.001,0.0001,0.00001,0.000001]; v=[];
• for h=h0
•         x = [0:h:3*pi/2, 3*pi/2];  y=cos(15*x);
•         I = trapz(x,y);
•         v = [v; h,I,A-I];
• end
  $ m# g# a! r3 M: s

0 R* j/ B( K2 G得出结果如下：

' X) S1 d3 Y# n2 c4 |4 U

3 f3 u3 \+ ~1 [; H3 k5 P* P可见，随着步距 h h h的减小，计算精度逐渐增加。


* D. f9 }, V9 Q0 J4 S: a
# G3 H8 P4 B% a4 }/ Y

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matlab实现数值积分 【一】（trapz函数）