matlab实现数值积分 【一】（trapz函数）

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4 N' a- T# ?; B总述
函数调用格式
应用举例
例1：梯形法求积分
例2：不同步长对积分结果的影响
2 k$ _/ m5 {) t: e) `" _
& Q  t0 Y4 j. |2 y
总述

  数值积分问题是传统数值分析课程中的重要内容。如果被积函数的数学表达式未知，则需要由实测数据通过梯形算法求出积分的近似值。本文将介绍被积函数的数学表达式未知时数值积分问题的求解方法，即已知数据点求积分。

, o0 E( ~: |5 Z. M$ M- F( g

函数调用格式

• S = trapz(x, y);
  

& f1 X! J' y9 T& Q- i& G  C7 i4 f2 O
/ V* N5 h2 N' m, C1 s+ @. O应用举例例1：梯形法求积分
5 j4 H" t8 e/ M
. X2 n' J" d' `

6 s0 U& I" i% r' w4 N7 Z4 t# U
! s* f3 u7 g: H0 l, C1 e

• x = [0:pi/30:pi]';
• y = [sin(x) cos(x) sin(x/2)];
• S = trapz(x,y)
  3 K& u6 p2 M5 {" B7 ]  j

& S; y' r9 m% P' z4 `
2 X1 K/ l' c: M+ q) n8 U

结果为：S = [1.9982 0.0000 1.9995]

由于选择的步距较大，为h＝π／30=0.1, 故得出的结果有较大的误差。其实可以将积分问题与样条插值技术相结合，给出 一 个能精确计算积分的MATLAB函数。（待补充）

例2：不同步长对积分结果的影响

题目： 用定步长法求解积分

, T* u# ~: J* q6 W8 E，并讨论不同步长对积分值的影响。

• 首先，绘制被积函数的图像：
  

• x=[0:0.01:3*pi/2, 3*pi/2];  % //这样赋值能确保 3*pi/2 点被包含在内
• y=cos(15*x); plot(x,y)
    n- L8 z3 T$ ^& ~7 U0 z! A& ?" `

. \0 Q$ r8 h5 e  w1 a
) ~+ _7 L  Z3 M  x" z
: e7 r8 ]$ K% O& n. w由图像观察出在求解区域内被积函数有很强的振荡。

" ]( p  e0 Q) u& e

• 对不同的步距 h = 0.1 , 0.01 , 0.001 , 0.0001 , 0.00001 , 0.000001 h= 0.1, 0.01, 0.001, 0.0001, 0.00001, 0.000001 h=0.1,0.01,0.001,0.0001,0.00001,0.000001 ,可以用下面的语句求出采用不同步长的积分近似结果。
  

• syms x, A=int(cos(15*x),0,3*pi/2) % //求取理论值为1/15
• h0=[0.1,0.01,0.001,0.0001,0.00001,0.000001]; v=[];
• for h=h0
•         x = [0:h:3*pi/2, 3*pi/2];  y=cos(15*x);
•         I = trapz(x,y);
•         v = [v; h,I,A-I];
• end
  

4 F* Y/ p+ v& S! \
得出结果如下：
1 p$ M; B& ^$ F

5 o7 ]3 a, D' Q& q% q# k) ~* `
0 U$ J' V) U% }7 I( b可见，随着步距 h h h的减小，计算精度逐渐增加。
$ e& d% w2 b3 s1 c! V) m& u


% |# J8 x+ T- q5 S


+ x" ~) _6 T, X* G5 w9 L
2 P) {+ D6 @9 M  Y+ L+ i5 M

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matlab实现数值积分 【一】（trapz函数）