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matlab实现数值积分 【一】(trapz函数)

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    发表于 2021-2-2 10:25 | 只看该作者 |只看大图 回帖奖励 |倒序浏览 |阅读模式

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    x
    ' m' ~1 y" O; [4 \
    目录: a' w$ k; H% S9 h1 @* P+ i) I. s
    总述
    , h% O; M; {6 D6 a- n函数调用格式
    ; T9 }2 V2 y3 {& N4 w; N应用举例
      q6 A! p: x! X4 X例1:梯形法求积分
    3 E4 x/ ?9 J& O7 ~6 S例2:不同步长对积分结果的影响
    3 J7 r& r) I) T  d, Y' m. k0 w* {2 Z$ u7 D, [, k, }4 @* c4 @1 V

    7 Q  {$ s8 O. \/ Y) g& L. V9 H总述

      数值积分问题是传统数值分析课程中的重要内容。如果被积函数的数学表达式未知,则需要由实测数据通过梯形算法求出积分的近似值。本文将介绍被积函数的数学表达式未知时数值积分问题的求解方法,即已知数据点求积分。


    + z2 {6 M) z2 h' u: t* @: `( p

    函数调用格式
    * B# O& |# d5 x9 d6 a6 V0 X! i
    • S = trapz(x, y);
      6 M" Y0 ?5 E7 r; ~/ m: T# T* e

    . h# N. `7 s" |: [/ U3 f$ K1 t% \& a# m2 A' _
    应用举例例1:梯形法求积分
    ! q' O' G' g' P$ g( q
    3 H: j. h3 g2 h% z/ L& @


    + ]2 e- g8 Y7 L8 Q" w' M0 ^* V7 I2 j  b7 ?3 c: {
    • x = [0:pi/30:pi]';
    • y = [sin(x) cos(x) sin(x/2)];
    • S = trapz(x,y): K  w$ k; V8 a6 J! w$ v' x

    5 {% [" o1 }) b$ ]" b; n' ^: f- T3 Z$ r6 [. a: o( v

    结果为:S = [1.9982 0.0000 1.9995]


    / G1 E# W/ o' v* J

    由于选择的步距较大,为h=π/30=0.1, 故得出的结果有较大的误差。其实可以将积分问题与样条插值技术相结合,给出 一 个能精确计算积分的MATLAB函数。(待补充)

    例2:不同步长对积分结果的影响

    题目: 用定步长法求解积分

    . q; _7 M9 U1 x' {
    ,并讨论不同步长对积分值的影响。

    • 首先,绘制被积函数的图像:
      3 w; U8 O* k" s+ h  }& I
    & T/ X7 X, b8 v! y6 h( D
    • x=[0:0.01:3*pi/2, 3*pi/2];  % //这样赋值能确保 3*pi/2 点被包含在内
    • y=cos(15*x); plot(x,y)) r. e2 m4 x7 K* x$ L
    ( F1 {# P+ G7 h5 @
    1 P1 x* p4 X+ I1 v
    # x( b7 d: ]& ?# w1 p$ C
    由图像观察出在求解区域内被积函数有很强的振荡。
    , a0 V4 z0 m4 ]
    ! h; A/ E- N/ `: R5 Q* y, T
    • 对不同的步距 h = 0.1 , 0.01 , 0.001 , 0.0001 , 0.00001 , 0.000001 h= 0.1, 0.01, 0.001, 0.0001, 0.00001, 0.000001 h=0.1,0.01,0.001,0.0001,0.00001,0.000001 ,可以用下面的语句求出采用不同步长的积分近似结果。
      # N5 @8 l: J. m/ M% g; P2 x: G! t7 r+ \
    • syms x, A=int(cos(15*x),0,3*pi/2) % //求取理论值为1/15
    • h0=[0.1,0.01,0.001,0.0001,0.00001,0.000001]; v=[];
    • for h=h0
    •         x = [0:h:3*pi/2, 3*pi/2];  y=cos(15*x);
    •         I = trapz(x,y);
    •         v = [v; h,I,A-I];
    • end
      $ m# g# a! r3 M: s
    ) ]( U5 g, ^# g7 y* |, a% P. n

    0 R* j/ B( K2 G得出结果如下:! F, T4 X8 ^. \  v! q/ c2 Y

    ' X) S1 d3 Y# n2 c4 |4 U   W4 C7 `1 c/ s! d, p

    3 f3 u3 \+ ~1 [; H3 k5 P* P可见,随着步距 h h h的减小,计算精度逐渐增加。' e0 C' g: @) J) l
    8 s, I" ~1 I- Y1 E8 z8 s3 a2 ^

    * D. f9 }, V9 Q0 J4 S: a
    # G3 H8 P4 B% a4 }/ Y% |; U4 o, R9 R
    - A8 \6 R6 p$ L( s
    2 Z& ]  J6 L/ A+ E
    8 f8 U, z6 E9 m- T2 ?

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    发表于 2021-2-2 11:27 | 只看该作者
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