matlab实现隐函数求偏导数（impldiff函数）

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4 A6 Y# m3 N5 L目录
& R# x5 t/ m# B3 Q6 j总述
) I" p6 z) U% N. M8 c函数说明
应用举例
7 w8 h+ A3 X& P& @3 L; ]/ }例1
例2
函数实现

总述


5 t( ?6 O6 m1 c

7 R" q4 S- n" I2 \3 O+ L; O
/ |- B/ Q8 K- w7 ^1 b9 Y
由前面给出的算法，可以编写出如下函数来求解隐函数的偏导数。
4 G2 ^% i* H3 x" T+ X. i
7 a* {# s5 T* e$ b函数说明
function dy = impldiff(f, x, y, n)
%impldiff
) x* B$ B4 y* I3 H- F%隐函数求导
%  调用格式：
%    f1 = impldiff(f, x, y, n)
%  其中：f=f(x,y), n为导数阶次
%  注意：该函数求解后有时需要手工化简
%
, D7 I/ y% ~* M& d! }9 y% Examples:
- x9 t0 t) p; U! W5 z. D%  已知二元隐函数 z=f(x,y),求该函数的偏导数。
% MATLAB求解语句：
%  syms x y
! t6 ^7 I, [5 |; Y# Z" b9 d%  f=(x^2-2*x)*exp(-x^2-y^2-x*y)
6 |  y2 T7 o9 I1 C% V# D- h" M/ H%  F1=impldiff(f,x,y,1)  % 1阶
/ |# H0 h8 C5 [%  F2=impldiff(f,x,y,2)  % 2阶
0 D) y: X9 F- i  T  @2 n%  F3=impldiff(f,x,y,3); % 3阶
( A' o, {# @  a7 i- w3 R! \

$ d  L: p' }. x6 [应用举例
例1
问题： 已知二元隐函数 , 求该函数的偏导数。

2 Z1 X: a* J  N代码如下：
7 I$ g% n4 y! N: [
syms x y
f  = (x^2-2*x)*exp(-x^2-y^2-x*y)
8 b, w# p% R6 E- Y. E; x' g; A: DF1 = impldiff(f,x,y,1)  % 1阶
, n( m8 [+ o6 f( b4 X) F1 gF2 = impldiff(f,x,y,2)  % 2阶
, E! a/ Z4 y& a' XF3 = impldiff(f,x,y,3); % 3阶
[n,d]=numden(F3); n=simplify(n); F3=n/d  % 化简


, m7 w7 _1 E: H例2
问题： 已知二元隐函数 , 求该函数的偏导数。

# c, `& ]* T+ ^6 e0 U代码如下：

- ~- s8 M7 t! B3 W6 qsyms x y;
/ y9 U' v. M7 b9 ~) X2 zf=x^2+x*y+y^2-3;
$ R: e( B! W5 k9 N8 e1 }f1=impldiff(f,x,y,1); F1=subs(f1,x^2+x*y+y^2,3)
& R! l9 i# J0 ~8 N9 H0 E9 H1 Ff2=impldiff(f,x,y,2); F2=subs(f2,x^2+x*y+y^2,3)
9 t  V" d* z8 |8 [f3=impldiff(f,x,y,3); F3=subs(f3,x^2+x*y+y^2,3)
f4=impldiff(f,x,y,4); F4=subs(f4,x^2+x*y+y^2,3)
0 w8 ?, K/ `: B0 [% y
$ h) p# d9 Q* E* v
F1,F2,F3分别为：
4 L+ b. p* u' c

, _4 q( X0 a$ r3 E) _
F4为：
8 F% Z3 ]) _2 d: V* P/ ^7 h+ d

化简后得：

/ B; o) @9 l! W: e4 A  `
/ H2 C' u( |! m' y, g函数实现
6 @9 b/ _8 X7 T) I' vfunction dy = impldiff(f, x, y, n)
% o$ b/ K1 M' P/ Y: rif mod(n,1)~=0
* l( j) r" g! E  l  D) }    error('n should positive integer, please correct')
5 c( ^* B- e# m9 ^else
    F1 = -simplify(diff(f,x)/diff(f,y));   dy = F1;
    for i=2:n
        dy = simplify(diff(dy,x)+diff(dy,y)*F1);
    end
end
0 t' T0 m6 w# M$ x5 b, k, B

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