TA的每日心情 | 衰 2019-11-19 15:32 |
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, A# ?, I9 L5 X8 A9 S3 d# a" f* [' f一元函数的导数
: L' a5 H- ~/ n# q$ h: ~MATLAB函数语法* [$ A+ T" V4 p6 |+ Y3 E: A" w0 y' m
应用举例; K: C4 q7 z. e, i+ Y
例1 :普通函数求导
- h1 o* u5 y; j" A例2 :复合泛函求导
% a2 U) t% [+ l: n6 h例3 :矩阵函数求导
6 P& l% d& @0 Q3 d7 {! k多元函数的偏导数
L) n6 S. @* M4 TMATLAB函数语法
5 S* t) O% P N ~应用举例
& y! j. `3 ^5 z7 a" p例1 :求偏导并绘图+ o$ }8 L0 u: G: }! E$ d
例2 :三元函数求偏导" D T8 {& d* {' V
: @, _, d. ~: C* D; g; o' N4 e一元函数的导数
9 |( a8 q( R! qMATLAB函数语法
! n5 q1 u/ p$ F! e$ Y- y = diff(fun, x) % // 函数fun的一阶导数
- y = diff(fun, x, n) % // 函数fun的 n阶导数: J) I5 ~3 k; e* D
( A J4 l# G% x( Z3 U/ J, A& T- K0 V7 C& q4 r* @4 n
注:自变量为唯一符号变量时,可以省去 x x x。
: C- N$ ^# s* f
9 W% K" S: m* ^9 M; W8 p5 N应用举例2 t" b8 u8 @. a6 U# M& O& z$ ]
例1 :普通函数求导
* |6 s5 p0 K9 `( C/ U给定函数
5 E( G, c2 u1 z* }6 F1 e( C
1 a) v# H7 D) q
, q: c9 k7 ? h3 S分别求其一阶导数和四阶导数,并绘制原函数和一阶导数的图像,计算求解50阶导数时所用的时间。9 }/ X) T; b- g6 G' H
( E9 u0 m$ K, p( S- x9 h
- syms x; f=sin(x)/(x^2+4*x+3); f1=diff(f)
- ezplot(f,[0,5]), hold on; ezplot(f1,[0,5])
- f4 = diff(f,x,4)
- f41 = collect(simplify(f4),sin(x))
- f42 = collect(simplify(f4),cos(x))
- tic, diff(f,x,50); toc7 q B) g% m. Y( L x
5 l& l0 |; B/ {( Y: T; {4 R
. Y, n1 z4 U$ Q' B2 b
根据结果可知diff函数的效率较高。
) r9 _. @- x' m }, n7 m
" H9 a, h9 Q6 p t! I( H9 {0 C例2 :复合泛函求导7 i, i0 o- l6 v* d4 D
已知函数
,推导其三阶导数公式。1 R& D p$ [6 Q' J( l2 G
6 }/ {6 Q" d! W* o! b
分析:该题难点为如何定义 f ( t )
! y k7 x1 ~/ f6 x. F* j0 z' J& {6 `; D) g3 U: {; M4 c( P6 g
- syms t f(t)
- G = simplify(diff(t^2*sin(t)*f,t,3))
) U4 X* Y2 l! Y2 C- j7 \8 q" k) G ; O! M' _- z) C5 e6 I$ o
0 r; \6 M7 {5 o0 M% [! _' F当
时, F ( t ) 的三阶导数为, p" n# ^* a1 `8 k9 f+ M/ J* \
5 A- T; i: M2 a5 X- G0 = simplify(subs(G,f,exp(-t)))
- err = simplify(diff(t^2*sin(t)*exp(-t),3)-G0)5 c$ h# j: H8 u& _7 u- z0 C
2 _1 f- V2 l5 o
9 G# {) b- U! h; G
例3 :矩阵函数求导
) k3 |- r. G, J' R" n
8 E) |: g" n0 y* i
: I; ?& U K+ }
对每个矩阵元素直接求导% F! V( {$ B. j4 P: Y
! a0 w$ H& _3 ^- u; M$ C* n. g- syms x;
- H=[4*sin(5*x), exp(-4*x^2); 3*x^2+4*x+1, sqrt(4*x^2+2)],
- H1=diff(H,x,3)
i+ F. d3 y d8 I' x * y8 t) w- _. Z$ u' N
: S% G. n L4 c: p' [. L# [
多元函数的偏导数
, T: E( Q; {$ oMATLAB函数语法
! e. q$ R% {; t, S; } c/ v4 B高阶偏导数1 Q n6 f' z' A0 P
- k! Z1 V0 Q M b
的求法
0 e ^: C( H* w9 L' `- ^! i* Z5 T# n% i) _- a. I$ ?" \3 v
- y = diff(diff(fun, x, m), y, n)
- y = diff(diff(fun, y, n), x, m)0 @; g% p6 I- Z# f0 ?
4 b9 |9 H; A& L& [2 M" ~( U" h
应用举例2 R8 N$ a5 N) C$ q( H/ Y1 O: I* c3 d8 c
例1 :求偏导并绘图. Z( Z4 K. d' _ Z% S
求函数
的一阶偏导
,并绘图。
/ ^+ t" c6 b" I" x
0 P: T) L6 D) B; F( t- 求偏导数
8 C: C% Y2 `6 C6 M F
- syms x y
- z = (x^2-2*x)*exp(-x^2-y^2-x*y);
- zx = simplify(diff(z,x))
- zy = simplify(diff(z,y))8 D! E: h v0 w- E
( b+ _/ ~% L2 M. d* W. n3 B! N t6 X" ^3 ]! A( |
- [x0,y0] = meshgrid(-3:.2:2,-2:.2:2);
- z0 = double(subs(z,{x,y},{x0,y0}));
- suRF(x0,y0,z0), zlim([-0.7 1.5])
+ ]! l S9 }2 P0 k) Q# _ 9 k+ ~6 m: u9 n
3 X% i. y" B6 S0 r4 H! S
( \2 J" u2 i/ F# [& a( ^8 v4 \% i: [/ Z, R* w) ?9 B+ T% W x
- 绘制引力线(负梯度)
! w) X" w% a( ~( Q$ e
- contour(x0,y0,z0,30), hold on
- zx0 = subs(zx,{x,y},{x0,y0});
- zy0 = subs(zy,{x,y},{x0,y0});
- quiver(x0,y0,-zx0,-zy0)
7 K" I) `9 u9 S! O 2 [! y- g' {4 T G4 ^
# I: H$ V+ N" W: U6 c* H9 l& D( G6 W7 k: j5 {$ E$ R* }
0 H7 a, I/ \1 Y+ [0 |例2 :三元函数求偏导# Y+ F+ B; ^( V( s' ?
求函数
的偏导数
( s, p4 D/ j+ s+ t4 J
- syms x y z
- f = sin(x^2*y)*exp(-x^2*y-z^2);
- df = diff(diff(diff(f,x,2),y),z);
- df = simplify(df)
2 B. e5 P2 E7 n8 V
) R8 B( b! n& g( C- |; x
) v8 `1 ^4 f7 a [9 p. F# h u t |
|