matlab求解普通函数的导数问题（diff函数的用法）

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目录
& Q+ x2 l! m; L% X一元函数的导数
, V# v$ `2 S- k* e3 W4 D5 l+ K* NMATLAB函数语法
  S( z3 B* T1 r  X, ]应用举例
# I8 w  y: g$ H例1 ：普通函数求导
- l: j) |9 t7 j% P7 q! }. j3 X例2 ：复合泛函求导
例3 ：矩阵函数求导
多元函数的偏导数
MATLAB函数语法
应用举例
2 b' Q# W5 r& [4 j8 T  A例1 ：求偏导并绘图
4 ^: e" g: ^& R( g" U+ p, a例2 ：三元函数求偏导
! z* l* C' l; n  @1 a6 Z9 I
  c/ W; ?0 D0 `  D3 L3 e! [% q  G一元函数的导数
MATLAB函数语法

• y = diff(fun, x)        % // 函数fun的一阶导数
• y = diff(fun, x, n)     % // 函数fun的 n阶导数
  

注：自变量为唯一符号变量时，可以省去 x x x。

应用举例
例1 ：普通函数求导
& G5 F0 O  a8 o% Z) O  |. r6 A% c给定函数
4 g, F) `* V. p8 L- U' v
​        
$ Y4 f2 q: \9 }: W- P0 U5 S分别求其一阶导数和四阶导数，并绘制原函数和一阶导数的图像，计算求解50阶导数时所用的时间。

& ?9 z7 q: g+ n4 ]) P

• syms x; f=sin(x)/(x^2+4*x+3); f1=diff(f)
• ezplot(f,[0,5]), hold on; ezplot(f1,[0,5])
• f4 = diff(f,x,4)
• f41 = collect(simplify(f4),sin(x))
• f42 = collect(simplify(f4),cos(x))
• tic, diff(f,x,50); toc
  2 ]3 O4 n7 ^% F0 k: V  x, \

7 ~% S; N/ X+ g8 F5 W根据结果可知diff函数的效率较高。
4 e8 p2 |1 q' X6 h$ n
% N0 w  ~  p  A8 D+ U* n: X/ |9 g+ A8 H例2 ：复合泛函求导
2 s7 W$ ~7 R3 ?0 n5 Q# j, P已知函数 ，推导其三阶导数公式。
. m* j- Z; j9 y. a, u
分析：该题难点为如何定义 f ( t )
- a& S0 z, O. b: o% V# U1 w% [

• syms t f(t)
• G = simplify(diff(t^2*sin(t)*f,t,3))
  3 C0 Q, D" X$ S& m

3 S; _( x% S1 r" N( J* b
2 m3 E! c0 `5 `: s4 S当 时， F ( t ) 的三阶导数为
% O4 k2 d7 p* ~- c0 w' X# D
* u/ \3 r" M, C4 f* E/ r

• G0 = simplify(subs(G,f,exp(-t)))
• err = simplify(diff(t^2*sin(t)*exp(-t),3)-G0)
  

, D8 X: k8 Q* I! F% {
2 m4 n% A2 R2 o# ~" _. `, N例3 ：矩阵函数求导
* h. E6 v! i/ |4 F" B

) [: e; s4 |1 b7 {对每个矩阵元素直接求导
% d' h9 P) ^, p8 v- l: a
* _- _  U3 \& i0 ?, l

• syms x;
• H=[4*sin(5*x), exp(-4*x^2); 3*x^2+4*x+1, sqrt(4*x^2+2)],
• H1=diff(H,x,3)
  

4 ]8 ?1 S) `$ K/ F- }: a
多元函数的偏导数
5 N% D8 k& Q* _+ ~8 MMATLAB函数语法
3 J9 |  i+ j7 {7 ?, H# R高阶偏导数

的求法
+ U; I- n# @( U* i( v0 w" Y( K, ]
9 [. B) A0 p: H7 [# }& [

• y = diff(diff(fun, x, m), y, n)
• y = diff(diff(fun, y, n), x, m)
  & w: X0 |/ l4 ~6 w! f

: M3 B% F7 m+ ], h& z. c7 A应用举例
例1 ：求偏导并绘图
# o) [$ ]3 o7 {* \; B/ ~) E& b求函数 的一阶偏导 ,并绘图。
2 r( v: ~4 Y& h6 y4 x, D

• 求偏导数
  . e. ~# w" o- W

• syms x y
• z  = (x^2-2*x)*exp(-x^2-y^2-x*y);
• zx = simplify(diff(z,x))
• zy = simplify(diff(z,y))
  7 k7 g5 v# {6 S8 @" T4 h

• 绘制三维曲面
  

• [x0,y0] = meshgrid(-3:.2:2,-2:.2:2);
• z0 = double(subs(z,{x,y},{x0,y0}));
• suRF(x0,y0,z0), zlim([-0.7 1.5])
  

& N! w% p0 m* f  J1 Z: P& e/ O

+ s% S" A8 V4 Y' P
" U2 \' O' M4 R5 a% e( @

• 绘制引力线（负梯度）
  

• contour(x0,y0,z0,30), hold on
• zx0 = subs(zx,{x,y},{x0,y0});
• zy0 = subs(zy,{x,y},{x0,y0});
• quiver(x0,y0,-zx0,-zy0)
  

例2 ：三元函数求偏导
, n1 r) @% R2 h求函数 的偏导数
, Y( J2 Q" ?) _( z, e  w" ]* ^

• syms x y z
• f  = sin(x^2*y)*exp(-x^2*y-z^2);
• df = diff(diff(diff(f,x,2),y),z);
• df = simplify(df)
  / Y' T% @% h5 y% G# \4 Q" w0 y

# @2 n# U+ b. }/ G1 Y4 {

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