TA的每日心情 | 衰
2019-11-19 15:32 |
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目录& u- ~! N7 ?0 x8 a6 @, M/ s3 g4 H
一元函数的导数& C# N! u/ \3 x' a) S+ x$ z
MATLAB函数语法) M: T2 H( L9 |1 l: @6 ^% R
应用举例
% ^6 T2 M9 G& T- h! j- F例1 ：普通函数求导$ u2 f* K9 m( \, N/ |
例2 ：复合泛函求导
- V4 _7 b# S/ v' x7 `" \# X例3 ：矩阵函数求导1 h3 y j, h& B. |3 F9 U+ l; i( V
多元函数的偏导数, I! X" E' O! G
MATLAB函数语法
* F9 i) \8 T) G; m# S/ ^/ r' l* g应用举例
' G" l) Z, _' T3 d, U* y例1 ：求偏导并绘图" }- u/ _4 T) b3 l1 J% \
例2 ：三元函数求偏导
2 d) [6 C% S9 Y" c& P! e3 @" z
3 v& ^# _% s5 q( m一元函数的导数7 V* i5 J6 O$ W! c
MATLAB函数语法
5 k! V1 z7 E# c9 g/ ~/ i. W D8 S- y = diff(fun, x) % // 函数fun的一阶导数
- y = diff(fun, x, n) % // 函数fun的 n阶导数
# C) u5 V, B% c; ^
% |+ |& [+ ^3 @; j$ F0 w
/ @3 |2 P {; r7 e% F1 M7 R注：自变量为唯一符号变量时，可以省去 x x x。, J W4 I1 V+ m+ e
+ V e5 d5 D, Q( T7 F1 N
应用举例
$ J# h7 i4 ?4 D8 W例1 ：普通函数求导
9 R$ z( @! o8 c3 B给定函数
6 j$ G& F% |# h. v4 |, u. Z2 [2 b
) t3 A9 |" L" O/ ?5 Z/ }& T1 E T( g & L8 _/ {: i+ ]4 v6 ]7 m
分别求其一阶导数和四阶导数，并绘制原函数和一阶导数的图像，计算求解50阶导数时所用的时间。+ Z: j S3 T1 R2 i
8 Q& |5 x; v7 c
- syms x; f=sin(x)/(x^2+4*x+3); f1=diff(f)
- ezplot(f,[0,5]), hold on; ezplot(f1,[0,5])
- f4 = diff(f,x,4)
- f41 = collect(simplify(f4),sin(x))
- f42 = collect(simplify(f4),cos(x))
- tic, diff(f,x,50); toc
2 ~% o+ ?7 [2 ~! Y j' g. A
L' h e# Z7 `. a0 G! K# i) d( \8 U5 r! V. ?
根据结果可知diff函数的效率较高。
8 w6 a4 f/ l7 i/ g3 J$ f: R8 M5 d3 M1 Z: U5 n
例2 ：复合泛函求导
4 w/ s+ c$ Y9 Y a9 d已知函数
，推导其三阶导数公式。
, X9 x) A9 \' i9 B# Y: P% [" i3 x+ E* `1 \* \8 Q4 t8 Q3 I3 R! N
分析：该题难点为如何定义 f ( t )/ T* L( {7 Q# m
( e7 m) d/ `9 B: H- syms t f(t)
- G = simplify(diff(t^2*sin(t)*f,t,3))
* c1 H4 R5 `3 J. n
( x/ I9 ?5 B# i8 K( @6 c# d9 b
2 P% ]: b( `+ e4 X8 s" G
当
时， F ( t ) 的三阶导数为2 S( x, r7 T) Y, x1 f
) Y; _4 M0 y! z5 Y- G0 = simplify(subs(G,f,exp(-t)))
- err = simplify(diff(t^2*sin(t)*exp(-t),3)-G0)' ]2 L2 b3 t+ R' K+ q7 r
: _" u9 [0 _- N+ B- O0 u0 r" u, b. ?
9 a4 y9 E! w% B- v
例3 ：矩阵函数求导/ u: U ]+ e" b O* f/ K
9 h8 h# |5 s9 C7 \+ r: c, c# x8 q
+ {; I: c4 _2 Z: h( H6 ]- ~$ a! A& q4 E对每个矩阵元素直接求导
3 n* A: F" Y0 x" E. K$ _7 m
* W7 m, @2 i( f/ ~/ s' u- syms x;
- H=[4*sin(5*x), exp(-4*x^2); 3*x^2+4*x+1, sqrt(4*x^2+2)],
- H1=diff(H,x,3)
+ j% y( {4 x$ s
' h" g" w2 f7 V7 b
i3 o: m2 j! r5 i* E2 q. V多元函数的偏导数
1 u2 d& s6 ?5 B+ T1 _+ nMATLAB函数语法
- ^ v2 U- |: x0 P高阶偏导数
7 m. U5 l# n9 a9 |8 I
& @3 g: ]6 [+ Y4 q4 q
的求法
; Y& B, s9 N$ ^: D7 L
; G- }: H! T) t5 h9 K, {5 G5 ^) z- y = diff(diff(fun, x, m), y, n)
- y = diff(diff(fun, y, n), x, m)
8 z4 \( A! j" [# k- _
+ w2 A7 J. ]8 ~
3 a0 }( M& I) U- W
应用举例
8 e4 O7 Q: W2 f3 J0 e+ X( i例1 ：求偏导并绘图
, i7 \$ a! Q1 g/ I求函数
的一阶偏导
,并绘图。
% N4 V+ D) d- ?. s* x: Z- F8 S9 O3 j7 V6 R5 k; ^
- syms x y
- z = (x^2-2*x)*exp(-x^2-y^2-x*y);
- zx = simplify(diff(z,x))
- zy = simplify(diff(z,y))
- X" c* z# q. W: u' E4 M; K
1 s+ N3 O# n. H& W% a
) c5 B# r! y4 ?) z* {: `- 绘制三维曲面! ^4 T+ {: }: N3 z5 C- }
- [x0,y0] = meshgrid(-3:.2:2,-2:.2:2);
- z0 = double(subs(z,{x,y},{x0,y0}));
- suRF(x0,y0,z0), zlim([-0.7 1.5])
* h" {2 j+ L5 \/ Y8 c8 Z) j
' F8 Z; u U% {7 N( F* }
5 ^8 O/ a$ k- |9 U& \4 y
2 t) s" f" `! s% ]: Y) B! U$ d% t- i g! c5 ?1 Y: Z5 p
- contour(x0,y0,z0,30), hold on
- zx0 = subs(zx,{x,y},{x0,y0});
- zy0 = subs(zy,{x,y},{x0,y0});
- quiver(x0,y0,-zx0,-zy0)0 R" c7 o3 t2 G# _7 r$ }8 j a; d9 g
4 `/ M8 m" n; c# N/ g* a
- I1 U. t+ J9 H9 z
$ u! s6 W1 f- ]% B6 L1 b
& l3 R" _8 o2 m6 @4 C, i8 \例2 ：三元函数求偏导
* X! k; O2 L& c h+ p求函数
的偏导数
6 Z: @7 p. {+ L% d' u) C' y2 x- syms x y z
- f = sin(x^2*y)*exp(-x^2*y-z^2);
- df = diff(diff(diff(f,x,2),y),z);
- df = simplify(df)
9 n- q9 g3 `1 B7 Y" G
% b# r/ ?2 N6 j$ J7 C/ G! E, O; Q
* R+ r+ @6 ]( O; {/ D$ Q- ^ |
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发表于 2021-1-25 18:25
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