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EDA365欢迎您登录!您需要 登录 才可以下载或查看,没有帐号?注册  ( j+ A: |) F- G% _$ n, L本文介绍利用MATLAB求解函数或序列的极限问题,顺便介绍limit函数的用法。内容主要包括单变量函数的极限和多变量函数的极限。9 H% F* S- b3 i( u! G8 I
 目录3 L4 m( M# k* {! M) H/ K- |+ f) l
 单变量函数的极限
 ' h5 T: I# _' w; ]1 p  a极限的定义
 ; W, H6 f. d. s7 F1 U3 Q普通极限
 % z, p) t7 g! O  I左极限3 p% x5 `! s( C$ t/ H2 v( z6 d/ s; @" N
 右极限
 1 X* b& A! r+ R  M  }% vmatlab实现方法$ C1 A+ y# ?  T6 c' O2 E
 应用举例
 : c" c( n% A% c2 w多变量函数的极限  S. f. t( W0 k0 L+ u
 matlab实现方法/ a9 {+ a& w' Y1 j5 G% X
 应用举例: r8 X! s( t  @
 单变量函数的极限
 : s" A4 m6 S, o, j极限的定义
 4 f/ t+ G# Y. L
 % V3 H5 _* U5 X% K2 K* H
 8 Z" M3 X; k8 c3 w: I6 S
   8 w; v0 @1 p. n, N- Y; Z8 E( I4 M7 k- ^' {1 L; @5 ]; y
 matlab实现方法
 9 A; u# Y+ O: }; X+ M* ~' P
 + P# E, Y0 L# o4 {4 s! `6 NL=limit(fun, x, x0)                % //普通极限L=limit(fun, x, x0, 'left')        % //左极限L=limit(fun, x, x0, 'right')       % //右极限! p& b$ l' \% @2 y, D( \
 R' Q  A+ B* @/ @) _" D
 应用举例4 h' L2 W9 d6 T) N7 s% q
 求解极限:
 " {; T8 [. U" E8 Z% y6 P2 N; s2 G
 
   9 @5 o; V1 k) X: |5 t: X1 G% d
 3 D# z0 |% l, Y
 ! ?( u3 l1 o" r4 L
 " c3 @! G1 K( S! t2 Y, A/ c  Zsyms x;  f=sin(x)/x;  L=limit(f, x, 0)) O! j: @# S5 B3 J) r
 
 2 t7 V0 g# `. _7 p" X1 E: G求解极限:
 * [# P6 p* X3 j% n+ b5 E$ p* w: {
 
  , g* t! t5 h( n5 i5 s 
 4 t, U2 v2 ?/ j' g3 l+ S  K
 syms x a bf = x*(1+a/x)^x*sin(b/x)L = limit(f, x, inf); ]/ L& C* {% P, F# z0 Z) }
 D5 U& _& ]. c0 R" T. f+ p, J; Y, W+ w9 z+ U2 F2 R! o, [
 求解单边极限:. K- W9 w% E  n+ m: h( O5 i; q
 
 ( F  L2 x/ s1 e# |8 K4 C
  $ E% K6 }( T+ X% M % D" o0 S3 H! T! C
 
 8 @8 D; n9 z, o# K  D2 Esyms x; L = limit((exp(x^3)-1)/(1-cos(sqrt(x-sin(x)))),x,0,'right')* w3 K8 n% P# B0 W/ u
 + o: h! k! y# v) ]  e  k" I
 用下面的语句还可以绘制出 ( − 0.1 , 0.1 ) (-0.1,0.1) (−0.1,0.1)区间的函数曲线。: d& `2 A2 K9 A# ~! P
 
 : f2 k, [( [4 x* m$ O
 8 K+ E6 `+ E& Ox0=-0.1:0.001:0.1;y0=((exp(x0.^3)-1)./(1-cos(sqrt(x0-sin(x0)))));plot(x0, y0, '-', [0], [L], 'o')+ Y' c# ^  S; C  z  S
 : s. u6 C7 v* E7 f: K5 |* G
 函数曲线如下:
 . l3 g  t/ Q7 ~  y+ f7 }
  W& F6 a+ t& [- Q  k; j% t* ^ 可见, 对这个例子来说, 即使不用单边极限也能求出函数极限值是12。! o* b5 g$ c! p0 U& O
 " p6 k5 {3 L# E
 
 L = limit((exp(x^3)-1)/(1-cos(sqrt(x-sin(x)))),x,0)8 D. k% o; G! r4 H( c
 2 }0 E$ X1 A7 P" V# t
 - G/ v5 F6 B% R* F( c求函数 t a n t tan t tant 在 π / 2 \pi/2 π/2 点处的左右极限。; r/ j5 ^  R* o! _8 v
 
 syms t; f=tan(t);L1=limit(f,t,pi/2,'left')L2=limit(f,t,pi/2,'right')% r) f9 H; B4 ^# g+ v$ o6 V& F2 ~
 ) W& q: [' P1 v" A  d$ x  H# z: R$ r6 M
 求下面序列的极限
 " Z7 s0 S! c2 h! m" L
  / D# [1 ?* z! N0 u& H9 C" M 
 % K8 Q, u0 g& c2 n6 |4 \syms n positivef = n^(2/3)*sin(factorial(n))/(n+1);F = limit(f,n,inf), c: p% K: K5 Q" p  Z. h
 7 `; y+ u' c  @3 y, Y' E
 求下面序列函数的极限
 % b8 F& s* [) x! ?/ C
  # c5 ]( _' U7 C- C7 j8 \ 
 ! ]& e; i; z6 l  e3 J5 c2 zsyms x nf = n*atan(1/(n*(x^2+1)+x))*tan(pi/4+x/2/n)^n;F = limit(f,n,inf)' ^' H9 v6 Z! T* e% x/ x/ C8 m
 
 - W6 a! i* N3 O1 h, I6 u多变量函数的极限
 0 P; r8 f% `4 b! h- F5 @matlab实现方法( n3 C  _8 ~# h! h5 G0 u3 d& v% ]1 F& W
 多元函数的极限也可以同样用MATLAB中的limit()函数直接求解。0 `5 k8 f2 \, E" p) H# @
 
 6 P$ E+ ]/ z8 p, ]$ L- H7 ^假设有二元函数 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y), 若想求出二元函数的累极限. N4 }. S% E  w7 S& k
 
   - q8 Z. n. f9 c: ~8 c! @4 l7 U. n# q则可以嵌套使用limit()函数。例如:! F  N2 H. l3 w
 
 1 `0 ^% W) t- h2 u% y; G) `
 ' Z7 t) @. F! sL1 = limit(limit(f,x, x0), y, y0)L2 = limit(limit(f,y, y0), x, x0)7 H& l3 @9 o" P0 Y' o9 P
 
 . i+ V' }. s4 Y) Z6 y如果 x0或y0不是确定的值, 而是另一个变量的函数, 例如 x → g ( y ) x \rightarrow g(y) x→g(y), 则上述的极限求取顺序不能交换。
 $ M1 k! L4 o* ]$ G+ w4 m5 |* G+ m: i7 P5 m
 假设有二元函数 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y), 若想求出二元函数的重极限9 {, K' T2 C) j6 a
 
 ! J* L4 N  [1 Z/ G& ?
   2 x4 N- X. F( Y$ P, J, n/ x8 ?" I
 - @9 c( R" `/ {& d/ e% I4 q理论上不易求解,只有沿所有方向得出相同的极限才可,不可能用累极限方法求解。
 6 i! q; Y% w, H/ P2 S/ T
 7 z3 C- ]7 w( `1 D- w& [应用举例
 1 `' w, ?  e! f' L% Z; B试求出二元函数极限值( U8 H, L5 H3 q* k
 
   1 O7 E' E5 }( n' I: s
 syms x a;  syms y positive;f = exp(-1/(y^2+x^2))*sin(x)^2/x^2*(1+1/y^2)^(x+a^2*y^2);L = limit(limit(f, x, 1/sqrt(y)), y, inf)8 C% A5 V3 z' G* z. x" M
 , j% l# }7 ~) o* G! [8 W) b9 L
 8 n$ @  E! D4 _) J. ?2 M重极限的尝试 ,求解重极限, ^  R. o2 N' ?" ^5 A
 
   ) L7 i0 t3 s- D9 M3 w. g, t4 M: y9 I% i
 
 syms x y;f=(x*y/(x^2+y^2))^(x^2);L1=limit(limit(f,x,inf),y,inf)L2=limit(limit(f,y,inf),x,inf)L3=limit(limit(f,x,y^2),y,inf)L4=limit(limit(f,y,x^2),x,inf)# Q$ }  N+ M2 ~- y. g% A/ a7 v% {( V/ {
 $ C0 e0 O" I& d( ?, v3 K% ~- R3 R" x: z2 _2 x% X1 u
 判断重极限是否存在9 q0 {5 @5 {' B5 \" X! u% P
 
  , S) @' B% z+ {' S( d/ P7 E 证明极限不存在比求重极限容易的多,可以沿 y = k x y=kx y=kx趋近。4 x  t; v% g# i% J
 
 + |" Y7 J3 I9 @! `) M
 syms r x yf=x*y/(x^2+y^2);L=limit(subs(f,y,r*x),x,0)1 p) c* ?% n4 B6 Y
 " i9 o- a, R8 ?
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