matlab求解极限问题（limit函数的用法）

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( j+ A: |) F- G% _$ n, L本文介绍利用MATLAB求解函数或序列的极限问题，顺便介绍limit函数的用法。内容主要包括单变量函数的极限和多变量函数的极限。
目录
单变量函数的极限
' h5 T: I# _' w; ]1 p  a极限的定义
; W, H6 f. d. s7 F1 U3 Q普通极限
% z, p) t7 g! O  I左极限
右极限
1 X* b& A! r+ R  M  }% vmatlab实现方法
应用举例
: c" c( n% A% c2 w多变量函数的极限
matlab实现方法
应用举例
单变量函数的极限
: s" A4 m6 S, o, j极限的定义
4 f/ t+ G# Y. L
% V3 H5 _* U5 X% K2 K* H
8 Z" M3 X; k8 c3 w: I6 S
8 w; v0 @1 p. n, N- Y; Z8 E( I4 M
matlab实现方法
9 A; u# Y+ O: }; X+ M* ~' P

• L=limit(fun, x, x0)                % //普通极限
• L=limit(fun, x, x0, 'left')        % //左极限
• L=limit(fun, x, x0, 'right')       % //右极限
  ! p& b$ l' \% @2 y, D( \

应用举例
求解极限：
" {; T8 [. U" E

9 @5 o; V1 k) X: |5 t: X1 G% d​        
3 D# z0 |% l, Y
! ?( u3 l1 o" r4 L

• syms x;  f=sin(x)/x;  L=limit(f, x, 0)
  ) O! j: @# S5 B3 J) r

2 t7 V0 g# `. _7 p" X1 E: G求解极限：
* [# P6 p* X3 j


4 t, U2 v2 ?/ j' g3 l+ S  K

• syms x a b
• f = x*(1+a/x)^x*sin(b/x)
• L = limit(f, x, inf)
  

  D5 U& _& ]. c0 R" T. f+ p, J; Y
求解单边极限：

( F  L2 x/ s1 e# |8 K4 C

• syms x; L = limit((exp(x^3)-1)/(1-cos(sqrt(x-sin(x)))),x,0,'right')
  * w3 K8 n% P# B0 W/ u

用下面的语句还可以绘制出 ( − 0.1 , 0.1 ) (-0.1,0.1) (−0.1,0.1)区间的函数曲线。

: f2 k, [( [4 x* m$ O

• x0=-0.1:0.001:0.1;
• y0=((exp(x0.^3)-1)./(1-cos(sqrt(x0-sin(x0)))));
• plot(x0, y0, '-', [0], [L], 'o')
  + Y' c# ^  S; C  z  S

函数曲线如下：
. l3 g  t/ Q7 ~  y+ f7 }
可见， 对这个例子来说， 即使不用单边极限也能求出函数极限值是12。

• L = limit((exp(x^3)-1)/(1-cos(sqrt(x-sin(x)))),x,0)
  

2 }0 E$ X1 A7 P" V# t
- G/ v5 F6 B% R* F( c求函数 t a n t tan t tant 在 π / 2 \pi/2 π/2 点处的左右极限。

• syms t; f=tan(t);
• L1=limit(f,t,pi/2,'left')
• L2=limit(f,t,pi/2,'right')
  % r) f9 H; B4 ^# g+ v$ o6 V& F2 ~

) W& q: [' P1 v
求下面序列的极限
" Z7 s0 S! c2 h! m" L

• syms n positive
• f = n^(2/3)*sin(factorial(n))/(n+1);
• F = limit(f,n,inf)
  , c: p% K: K5 Q" p  Z. h

求下面序列函数的极限
% b8 F& s* [) x! ?/ C

• syms x n
• f = n*atan(1/(n*(x^2+1)+x))*tan(pi/4+x/2/n)^n;
• F = limit(f,n,inf)
  ' ^' H9 v6 Z! T* e% x/ x/ C8 m

- W6 a! i* N3 O1 h, I6 u多变量函数的极限
0 P; r8 f% `4 b! h- F5 @matlab实现方法
多元函数的极限也可以同样用MATLAB中的limit()函数直接求解。

6 P$ E+ ]/ z8 p, ]$ L- H7 ^假设有二元函数 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)， 若想求出二元函数的累极限

- q8 Z. n. f9 c: ~8 c! @4 l7 U. n# q则可以嵌套使用limit()函数。例如:

1 `0 ^% W) t- h2 u% y; G) `

• L1 = limit(limit(f,x, x0), y, y0)
• L2 = limit(limit(f,y, y0), x, x0)
  

. i+ V' }. s4 Y) Z6 y如果 x0或y0不是确定的值， 而是另一个变量的函数， 例如 x → g ( y ) x \rightarrow g(y) x→g(y)， 则上述的极限求取顺序不能交换。
$ M1 k! L4 o* ]$ G+ w4 m5 |
假设有二元函数 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)， 若想求出二元函数的重极限

! J* L4 N  [1 Z/ G& ?
2 x4 N- X. F( Y$ P, J, n/ x8 ?" I
- @9 c( R" `/ {& d/ e% I4 q理论上不易求解，只有沿所有方向得出相同的极限才可，不可能用累极限方法求解。
6 i! q; Y% w, H/ P2 S/ T
7 z3 C- ]7 w( `1 D- w& [应用举例
1 `' w, ?  e! f' L% Z; B试求出二元函数极限值

1 O7 E' E5 }( n' I: s

• syms x a;  syms y positive;
• f = exp(-1/(y^2+x^2))*sin(x)^2/x^2*(1+1/y^2)^(x+a^2*y^2);
• L = limit(limit(f, x, 1/sqrt(y)), y, inf)
  

, j% l# }7 ~) o* G! [8 W) b9 L
8 n$ @  E! D4 _) J. ?2 M重极限的尝试 ，求解重极限

) L7 i0 t3 s- D9 M3 w

• syms x y;
• f=(x*y/(x^2+y^2))^(x^2);
• L1=limit(limit(f,x,inf),y,inf)
• L2=limit(limit(f,y,inf),x,inf)
• L3=limit(limit(f,x,y^2),y,inf)
• L4=limit(limit(f,y,x^2),x,inf)
  # Q$ }  N+ M2 ~- y. g% A/ a7 v% {( V/ {

$ C0 e0 O" I& d( ?, v
判断重极限是否存在

证明极限不存在比求重极限容易的多，可以沿 y = k x y=kx y=kx趋近。

+ |" Y7 J3 I9 @! `) M

• syms r x y
• f=x*y/(x^2+y^2);
• L=limit(subs(f,y,r*x),x,0)
  

" i9 o- a, R8 ?

NingW

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