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7 w6 A* j# {& g/ {
本文介绍利用MATLAB求解函数或序列的极限问题，顺便介绍limit函数的用法。内容主要包括单变量函数的极限和多变量函数的极限。& G. p7 \7 P) R8 h
目录1 K4 s- T. W' @: A
单变量函数的极限
2 ]/ X0 M% n* @8 s极限的定义
$ a2 d+ E! O6 }2 [7 I普通极限
6 R. F/ E* Y4 }" ]左极限
& [& w$ I$ {$ m0 n右极限- E% y. n* y# G+ _* n( p
matlab实现方法+ N$ m$ p W3 O
应用举例9 g. N7 G' L8 _' n( f# C
多变量函数的极限8 {- h# U5 ^+ ~& g7 c" s$ V
matlab实现方法
, a I0 N2 \4 }. H( v F应用举例
) S; F7 z# m; B! U. d) P单变量函数的极限
! i% {. G% _& B4 a; ]极限的定义; ~" Y1 p1 B! V# y; s
( G; t7 N5 M5 Y: S
0 J' e" I! K; t8 r3 n: z: P: Z, V+ M. s
$ {; c+ }+ A+ Z2 V
' j$ O* w5 x4 N2 h+ F$ Q% D& }matlab实现方法: \$ _. V# K' X& Z4 \ `
- L=limit(fun, x, x0) % //普通极限
- L=limit(fun, x, x0, 'left') % //左极限
- L=limit(fun, x, x0, 'right') % //右极限# c- r* d& c* p: ?
! z6 d! @0 L; _3 p- {) D; h0 q' H# W' H, b; d1 x6 D
应用举例) @$ i. F6 E& C$ F
求解极限： x# C5 n {/ M6 ^
+ p: t" p x/ c
7 s* A8 k# ]3 T9 K: V' q
% t( C1 V9 B& c
0 w) X+ x$ r" e9 l! H- syms x; f=sin(x)/x; L=limit(f, x, 0)
' a+ C! {* r% N, `, x
4 y. C! v9 W$ u4 g, W4 q/ G" P+ a$ n
求解极限：
5 \( w) f u* S4 R4 I, {6 \& V9 S
2 W1 W0 \: J% z3 s' @
: b' ~ q& J" E4 [/ R2 d" p; k3 r + \7 Z$ R, [! d% l
- syms x a b
- f = x*(1+a/x)^x*sin(b/x)
- L = limit(f, x, inf)
% F& ~0 A4 {2 d; m( s- _5 h$ W
5 N4 Z0 j( m% o- u) ^6 p( n: m# q: n
2 z$ u( J1 m4 u( ~) s) F求解单边极限：0 V5 `2 D( X, |3 t# p
/ M* n- Q& q8 L6 w# f: U
+ L/ N8 M- g1 d
9 |6 O6 p- N/ C% ~ i2 ]/ G- syms x; L = limit((exp(x^3)-1)/(1-cos(sqrt(x-sin(x)))),x,0,'right')
8 m8 b+ P, G0 L! n$ V% J
& A2 D2 X7 E, r' u( d6 T$ u- N! y, N9 i3 l: C) E
用下面的语句还可以绘制出 ( − 0.1 , 0.1 ) (-0.1,0.1) (−0.1,0.1)区间的函数曲线。
* L: ?6 e! Q& \' D d+ t
$ j& B, J2 T3 `0 ~9 U { {+ _4 M- x0=-0.1:0.001:0.1;
- y0=((exp(x0.^3)-1)./(1-cos(sqrt(x0-sin(x0)))));
- plot(x0, y0, '-', [0], [L], 'o')+ X% Y* G, ?/ R$ S3 f1 b
, n( Y! ` U6 m5 `. p- Q- C) G+ w; }9 x1 s- x9 B/ B
函数曲线如下： }. f1 V" B1 L) |
9 g: d) }3 q! j1 C6 _
可见， 对这个例子来说， 即使不用单边极限也能求出函数极限值是12。; C* ~2 h0 F5 l) h0 e- B4 O
3 x4 u9 G* I3 Q! S- L = limit((exp(x^3)-1)/(1-cos(sqrt(x-sin(x)))),x,0)9 M+ I$ m& A' r
+ G' L. {7 r" ^: n6 T! r6 @- [( x8 V$ w E1 K8 m, A
求函数 t a n t tan t tant 在 π / 2 \pi/2 π/2 点处的左右极限。* C, K% ^4 o0 e" g0 Z2 h6 \
- syms t; f=tan(t);
- L1=limit(f,t,pi/2,'left')
- L2=limit(f,t,pi/2,'right')
' j+ h! f! r4 d. ?+ O7 ?
1 O0 E2 t8 ?) e4 O) ]8 T' x- U( c" U6 q
求下面序列的极限
4 }3 |( ^. |% O8 w' @* \# q" U' k
) l. H2 m- s5 U8 T7 z* { F
- syms n positive
- f = n^(2/3)*sin(factorial(n))/(n+1);
- F = limit(f,n,inf)
3 [) W3 G0 i' ?
: `) O- w- L2 n6 s) e
' K/ Q. ]3 i2 f+ n; v
求下面序列函数的极限0 L" j% q; Z- P5 c6 K+ q0 b3 h
5 ^% Y' f6 d/ c6 P* Z m- syms x n
- f = n*atan(1/(n*(x^2+1)+x))*tan(pi/4+x/2/n)^n;
- F = limit(f,n,inf)4 P, Z, j1 h3 O# D ~
& \( x5 r) Q) h' d& Y E0 Y. D: F
! f1 t* |8 k# Q多变量函数的极限
6 @ [2 z" c# ]# T! ~3 c6 V& I) pmatlab实现方法# f3 i% x9 o, `
多元函数的极限也可以同样用MATLAB中的limit()函数直接求解。: N, T$ \7 j1 u# b4 ~% W
/ L* W0 u: f5 t7 c, W5 r
假设有二元函数 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)， 若想求出二元函数的累极限3 Z8 h% |& w! g7 H7 d. X: n
; d0 C: p8 j, D3 ?
则可以嵌套使用limit()函数。例如:
6 ^ b! e3 C# Z7 G2 O& Z5 B* S6 S# b: Z; u. T
- L1 = limit(limit(f,x, x0), y, y0)
- L2 = limit(limit(f,y, y0), x, x0)0 u! T+ Y: O/ }, O3 L6 [' E- O
( m, l- D/ f$ o- t* H3 U! X* k! q( v/ g3 S0 l
如果 x0或y0不是确定的值， 而是另一个变量的函数， 例如 x → g ( y ) x \rightarrow g(y) x→g(y)， 则上述的极限求取顺序不能交换。: K- P- O3 p- a3 `
/ x' q z! R) s9 h3 R" S( S
假设有二元函数 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)， 若想求出二元函数的重极限4 {# D5 S |; L+ v( D# q- }
4 J- ]/ S" v# O1 H
$ \$ ~" W& D* ^4 K; B
$ @& B6 `% [1 r% V _/ l; I: d9 O ?8 s理论上不易求解，只有沿所有方向得出相同的极限才可，不可能用累极限方法求解。! {: _: `. U4 V9 Z6 I% I% W
( K$ G$ @6 s1 W3 p
应用举例
6 E a: @; }2 v3 c6 U& x试求出二元函数极限值$ R$ c0 a; v) f, h
q8 c1 P {9 y2 ]' H1 g
- syms x a; syms y positive;
- f = exp(-1/(y^2+x^2))*sin(x)^2/x^2*(1+1/y^2)^(x+a^2*y^2);
- L = limit(limit(f, x, 1/sqrt(y)), y, inf)
) |1 s, d" `% V6 J5 V4 a
" B/ O+ N8 t% {* T( v& e: ?# v% [3 d1 i2 h& X
重极限的尝试 ，求解重极限
' F' y/ }3 x) P. ~
/ c& b* ]. M$ t2 r1 N2 u% i
q& ~; a8 n2 W: X, }0 j- syms x y;
- f=(x*y/(x^2+y^2))^(x^2);
- L1=limit(limit(f,x,inf),y,inf)
- L2=limit(limit(f,y,inf),x,inf)
- L3=limit(limit(f,x,y^2),y,inf)
- L4=limit(limit(f,y,x^2),x,inf)
% \' d( }+ j" [: u: _( O# [* {
0 m+ W) k4 Y# [/ R% T/ T6 X; G8 Z- J6 y# e& _1 l- v( t
判断重极限是否存在
% h$ z/ l5 O6 r8 G V
3 d7 e3 P" F7 h" I, H, B证明极限不存在比求重极限容易的多，可以沿 y = k x y=kx y=kx趋近。
; C' B# o4 M: r, u3 G; [- r0 z6 L- G5 Y. Y3 z# D0 c
- syms r x y
- f=x*y/(x^2+y^2);
- L=limit(subs(f,y,r*x),x,0)
- x4 E, B/ D: I9 A+ N8 N
$ a' x2 b5 `, n& {
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发表于 2021-1-22 18:38
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