matlab求解极限问题（limit函数的用法）

ulppknot

0 H6 C+ `: r% I& w本文介绍利用MATLAB求解函数或序列的极限问题，顺便介绍limit函数的用法。内容主要包括单变量函数的极限和多变量函数的极限。
' J6 G/ z. p9 @# E, I% s( E$ c目录
单变量函数的极限
8 ]" G+ [9 ?3 a1 n  D+ Z极限的定义
普通极限
( O8 F1 ~, a+ \( Q左极限
右极限
matlab实现方法
: F, S6 X6 I/ e' ~7 c* K应用举例
多变量函数的极限
matlab实现方法
应用举例
单变量函数的极限
# j$ q. |4 S$ L: j极限的定义

' O! _0 y& y6 Q9 m
. V" U2 Z4 l7 w! ~

matlab实现方法

• L=limit(fun, x, x0)                % //普通极限
• L=limit(fun, x, x0, 'left')        % //左极限
• L=limit(fun, x, x0, 'right')       % //右极限
  

5 E: E+ s# K  W
应用举例
) y' v) J4 i! S# U! A# [. p0 B求解极限：
. \4 E% i+ L4 B" v+ O8 O
( Y! Z. F: O" ?' p6 k. `! _
​        
0 p0 P1 Y+ D$ W: J5 s
( S6 d6 |4 S4 G$ i# X; y

• syms x;  f=sin(x)/x;  L=limit(f, x, 0)
  # o8 f! X* g8 B

8 D$ b) Z) e" c
求解极限：
$ r1 _* K) g  q5 N- J; w, Z


; ^/ R- q  _( W) b: f

• syms x a b
• f = x*(1+a/x)^x*sin(b/x)
• L = limit(f, x, inf)
  

( C/ [- C8 q9 u: M
. [2 Q) D5 S/ k+ P& g求解单边极限：



2 e: X6 H: h3 k& y

• syms x; L = limit((exp(x^3)-1)/(1-cos(sqrt(x-sin(x)))),x,0,'right')
  2 N% \4 l8 Z. P7 W

1 T7 s( f1 h! D% x用下面的语句还可以绘制出 ( − 0.1 , 0.1 ) (-0.1,0.1) (−0.1,0.1)区间的函数曲线。
4 r. A) r; G$ S% B5 N4 f, S$ n
0 @# q- p4 x5 q8 I5 G& g- x( [

• x0=-0.1:0.001:0.1;
• y0=((exp(x0.^3)-1)./(1-cos(sqrt(x0-sin(x0)))));
• plot(x0, y0, '-', [0], [L], 'o')
  6 z" G2 s7 z" B6 a( C, E$ Q% v

函数曲线如下：

可见， 对这个例子来说， 即使不用单边极限也能求出函数极限值是12。
- E3 V; [0 j% z! O; \& s8 y
* f5 F: A7 F' A$ c6 Q; L% E+ v

• L = limit((exp(x^3)-1)/(1-cos(sqrt(x-sin(x)))),x,0)
  

求函数 t a n t tan t tant 在 π / 2 \pi/2 π/2 点处的左右极限。
7 |: q, v! s" E6 j, T# O

• syms t; f=tan(t);
• L1=limit(f,t,pi/2,'left')
• L2=limit(f,t,pi/2,'right')
  % v: E/ z( M3 L

: n2 }' q$ D" t4 v* c
7 ^6 T% ~/ @; }- I* Q$ X求下面序列的极限

• syms n positive
• f = n^(2/3)*sin(factorial(n))/(n+1);
• F = limit(f,n,inf)
  

1 ~& M% N* F* ]4 h9 ~' V
求下面序列函数的极限
: e9 h7 `# t# b  {
# r% ~8 y' ^- Y+ u3 c

• syms x n
• f = n*atan(1/(n*(x^2+1)+x))*tan(pi/4+x/2/n)^n;
• F = limit(f,n,inf)
  

) J: e. }. n8 Y! t; Y
. H, l# O8 [- g7 y7 {3 N3 m多变量函数的极限
matlab实现方法
多元函数的极限也可以同样用MATLAB中的limit()函数直接求解。

( ]5 Z8 ^( ~: Y) D% ]假设有二元函数 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)， 若想求出二元函数的累极限

则可以嵌套使用limit()函数。例如:
) [( h1 f4 A0 f' K
# ]7 N) u# [9 H: a* W! t. D

• L1 = limit(limit(f,x, x0), y, y0)
• L2 = limit(limit(f,y, y0), x, x0)
  

如果 x0或y0不是确定的值， 而是另一个变量的函数， 例如 x → g ( y ) x \rightarrow g(y) x→g(y)， 则上述的极限求取顺序不能交换。

假设有二元函数 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)， 若想求出二元函数的重极限
! `9 ?- L& D/ b* z

# [2 q$ ^) i0 \8 P
理论上不易求解，只有沿所有方向得出相同的极限才可，不可能用累极限方法求解。

应用举例
& y  v- O9 v/ K0 b+ I试求出二元函数极限值

• syms x a;  syms y positive;
• f = exp(-1/(y^2+x^2))*sin(x)^2/x^2*(1+1/y^2)^(x+a^2*y^2);
• L = limit(limit(f, x, 1/sqrt(y)), y, inf)
  

' [( G* A: T8 U" J" K2 A- b6 G重极限的尝试 ，求解重极限

• syms x y;
• f=(x*y/(x^2+y^2))^(x^2);
• L1=limit(limit(f,x,inf),y,inf)
• L2=limit(limit(f,y,inf),x,inf)
• L3=limit(limit(f,x,y^2),y,inf)
• L4=limit(limit(f,y,x^2),x,inf)
  0 }" v* E- z5 o' E

2 Q7 ?7 |% k3 U/ S判断重极限是否存在

) M7 Z: D' |7 X: F( Z8 S证明极限不存在比求重极限容易的多，可以沿 y = k x y=kx y=kx趋近。
/ w; G2 t% c& @
7 ^* i1 v( K2 O1 Y8 v: T. P

• syms r x y
• f=x*y/(x^2+y^2);
• L=limit(subs(f,y,r*x),x,0)
  

NingW

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