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' c; y+ C9 f: Y4 q
目录' t# }2 y0 J) F) c; ]9 M ^
0.引言& J2 Z5 S+ o' e+ e5 c
1.思路详解与分析
) E; r" |6 t2 X. A6 P# l2.MATLAB程序
- i0 u4 N5 W! A' y
* ^- U' R+ Z1 T0.引言
) W4 v1 x% I$ h6 f 在读文献的时,经常遇到这样的情况:文章里提出的方法好有趣啊,好想拿文中用的数据来试试看看能不能得到相近的结果,可是文中只有根据原始数据绘制的曲线图,没有数据。如下图所示。
( \% i; g. F4 K' P
* y( i9 N# {/ q9 U
6 Q5 I, R7 P4 ~1 c9 a1 x
% @; H) u! F% U+ h" y 此时,如果能从文中把这幅图截取下来,输入到一个函数中去,最后能返回从图片中提取到的曲线的坐标数据,岂不美哉。这便是本文的工作。) w0 p) R4 y- S5 I
9 s- l# v% r' h! ~, k+ }7 |; \
1.思路详解与分析
+ b1 P( F2 W( X. w' p- c$ `! a1.1准备待提取数据的曲线图片
9 m( a5 d9 a) ^' ?6 I' {$ i/ k6 n8 j, J" R2 o
将待提取数据的曲线的图片(如.jpg格式图片),利用 imread 输入到 matlab 中。5 \7 L" ~) c3 k
) \: y* c4 T4 L1.2曲线图片预处理与数据转换; d7 e4 \# I# P
( I, [5 _/ C+ }, S. D9 `& c
曲线图片预处理步骤的主要工作包含如下:2 Y- y! n/ E2 ]: D+ `6 Y0 ?' _) Y
, L+ k! `- r8 h
(1)图像二值化
1 Y6 ^) x5 G: t! m# S; x( s2 R5 G5 G/ J5 _/ r/ [* O- @+ r( j$ u
将输入图像进行二值化处理,但分割得到的结果并不全为数据,其中可能还包括坐标轴等干扰点需要去除。, T8 f v. O( R. f1 H8 T) V7 C* ?/ K
$ ~# f! I: }4 ~! b* Y% |
(2)获取从图片像素到曲线坐标的定标数据
: T' V" F& ~. ]7 c: \! F/ H9 i- x0 a
首先,通过ginput()手动从图片中提取到两个像素点,这两个点分别为曲线坐标框的左上角和右下角。
/ _# p" v/ m8 Y9 p7 U# y
/ k* s1 p( j/ S' ~/ f
& ]. D5 J5 ^0 X% b
5 L" @3 G8 P9 m3 @$ x
此时,便获得了曲线在图片上的像素范围
- o9 f9 n8 [; [0 V- ~. H# u3 }' m: \1 L3 } H# W1 N, Y* Y7 h
[x_index_min, x_index_max] & [y_index_min, y_index_max]
) U$ ~8 A% T! v+ Q
7 z- ~: F1 X; U6 X然后,手动输入实际曲线的数据坐标范围 [x_min, x_max] & [ymin, y_max_]. 如下所示。5 c% I8 d2 j) p7 R$ J L& `$ {6 j
7 C4 L! Q9 k$ i/ n& n0 [
5 q |1 A8 S! h7 \4 s" E0 s: y
4 H) W ]' y0 v9 Q: `此时,一方面得到了像素坐标,一方面得到了实际坐标。接下来便利用这对数据,将图片中全部的像素坐标转换到实际坐标。
8 [+ }) m) \- W' _
, k& E$ {% q9 A" i2 i- h& _! Q6 ^最终,得到了由图片提取到的数据散点图,如下:
! ^- L) K, Y: f: ]; ~% f
# I! h' `' R" z$ E) x
% S& c' ^. G2 m6 m% y- l- E
可以看到,此时得到的结果,虽然曲线与所需要的相近,但曲线外的部分,如坐标轴框、坐标轴刻度等也被转换成了数据,还需要进一步的处理。
, _3 U- Q9 C% J3 d) F3 x2 W3 B6 Z
`2 J) T5 N* }9 x/ J( v# ]6 Z$ y# z1.3数据的进一步处理并得到最终曲线
5 Q5 R0 K, U) q+ m& t. g/ \3 K4 A* I: F2 ~" d% ^
这一步的主要工作是在数据中除去曲线之外的部分(包括坐标轴框、坐标轴刻度等);以及解决一个x数据对应多个y数据的情况。9 C) Z8 O e, `6 r
. d3 F" N6 \0 A1 Z
显然,坐标轴在整幅数据中,均处于边界位置,因此,很容易想到的一种方法是,设定阈值,将距离边界较近的数据直接删除。这里,设定了两个阈值,一个用来限定x方向上的数据,一个用来限定y方向上的数据。比如设定:rate_x=0.08; rate_y=0.05; 意思是阈值设定为曲线最前端8%和最后段8%的数据,曲线最顶端5%和最底端5%的数据。
' O9 N& |/ b: Z. F! t( a; b6 ]& ^- _& [
进一步的,对于提取到的数据图,大多数情况一个x会对应若干y,因为数据是由图片转化而来,而图片的分辨率有限,一个实际数据点会用多个像素来表示。解决此问题的中心思想是将同一个x对应的若干个y取均值,但不能直接求均值,因为还有很多y是噪声(如坐标轴线、由图片噪声带入的干扰点等)需要先去除,在第一个问题中,通过限定y的范围,已经在一定程度上除去了部分干扰,在此基础上,我们求取一个x对应的这组y值的均值mean与标准差std,当某些y值位于[mean-std , mean+std]之外,则认为这些y值波动太大,将它们删去。* ` E+ L3 i0 v- A) z( _
) l5 e* y. J- k0 l5 i* H2 g* ^到这里,我们就将数据的处理部分基本完成了,我们将处理后的数据再次绘制成曲线,便可以得到如下
+ V! b/ N! O0 O( L' g$ L7 D- O! l3 x3 Z0 M7 M M/ O4 O' Q5 B
& q+ ~8 ~9 E2 x( }
) d' f% L( |$ N" z9 A. T& s% f. d* K对比处理之前的数据,由于限定了范围,因此曲线图片中带来的坐标框等内容转化而来的数据已经被删去。 o1 M8 J3 j" J2 x. v
- @* E2 ^! J5 f E+ P$ L
将需要提取坐标的曲线图片,和我们提取并处理后的数据绘制的曲线,放在一起对比如下:
5 Q9 ]6 \ y o. ^. O5 \$ ?8 ]: k0 B: f+ `5 t; B
. |" r5 T" M# N, `$ K
, o" _9 W" }, X' m可以看到,与原曲线图片相比,提取到的数据曲线相似度能达到较高要求。但进一步观察会发现,右图曲线较左图而言,高频分量有一定的减少(即右图曲线更平滑),原因在于数据处理时,对同一个x对应的这组y值进行了均值处理,则在图像上近似反应为均值滤波,从而使得提取到的数据绘制成的曲线的高频分量被滤除。
$ ~" Z! e5 N% b e: b
) G: s: R2 x9 B! k [( r最后,将提取到的最终数据,保存起来如下:
( t, m& T+ P; @, d1 b% H) j7 p* e9 g/ i. I g' u7 @3 S* z% E
0 H# B# [8 {5 o3 Q" I. @# K, v! [1 U _, u: R+ p
1.4进一步的讨论——曲线拟合
$ b9 G1 C" i* Z9 o' ~3 N5 t$ a# h* Z, s9 s- v) ~
通过对图片中曲线的数据提取,可以得到数值上的答案,这会带来进一步的思考,即能否得到这些数据的解析表达式。很容易想到,利用最小二乘法来拟合这些数据,这便涉及到了曲线的拟合。(插值与拟合可以这么理解:对于数据点集,若均落在曲线上,则该曲线为插值曲线,否则为拟合曲线)% L$ D: J3 j$ [( j3 Z% p1 e& I
+ J3 n1 W4 U+ G
对于一些简单的曲线图片(如下),可以考虑用泰勒级数来近似,即多项式拟合。
8 w- Q# I- O$ F. p3 Y' V3 }; ] m' [6 C/ @" L
( U6 f% a ]/ P- ]
4 N5 D8 X. q N数据提取并拟合的结果展示如下
. ^7 t: }6 h6 I* ?" g" n5 O0 D. I- p; r+ L: n/ s* n3 ?
# F% h3 d: H# v I/ K. s1 G. a x, X7 b
同时还能得到拟合多项式的系数
( Z8 Y* ~; P2 \8 W' X" u: o$ `% X: p* `9 T& H! j3 h
* r( s' I9 z# P5 |8 O" s8 B @- M# W0 O- G+ ]4 l: A1 l
从而得到该曲线的多项式(这里采用四阶多项式)表达式为: I5 _5 a4 Q5 C% |# H& E
3 X6 a: C {- h; T
* i ~3 p" q' I9 C
+ S. s0 U7 X7 d- z理论上,泰勒级数可以分解任何函数,但实际上,多项式拟合的次数太高,会出现龙格库塔现象,即摆尾现象。因此,多项式拟合的阶数不易过高,一般低于5阶。对于本文最开始的那幅曲线而言,仅5阶的泰勒级数就显得力不从心了,因此,对于这种存在波动剧烈的函数,可以考虑用傅里叶级数进行拟合,或者如果能提供先验知识,可以直接用先验表达式进行拟合。
) P$ B) i1 b& s" R, U' k8 g
1 ^' o% m; ~9 f7 W( E( l1 u2 F在MATLAB中,提供了cftool工具箱,其提供了拟合与插值的GUI,使用非常方便,直接在命令窗输入cftool即可调用,cftool界面如下所示,其具体使用方法不在此赘述。
! n" n( I, e7 M4 N3 D
) v/ u9 G+ u! R. L2 |& _
, k0 l9 B2 V" u) V! n) S; g! M+ [; D
) U7 N2 o! r9 h/ B2.MATLAB程序9 r2 i/ i" R" m2 y2 V( Z$ y
MATLAB源代码如下所示,和以往的风格一样,提供了详细的注释
& w2 c0 {# a' q) P B" ?) ~. |' a) P' [5 f( `6 f
% //提取图片中的曲线数据
. O' }+ S+ _" P1 _clear,clc,close all
7 A6 i6 m h& j% d' m {7 a, i%% //图片与曲线间的定标
2 p( h& c5 t6 {im=imread('tu1.jpg'); %//读入图片(替换成需要提取曲线的图片)7 k! h1 C" l3 H9 x6 a/ n6 W
im=rgb2gray(im); %//灰度变化
) a3 X. E' l/ I+ h7 V4 l4 Pthresh = graythresh(im); %//二值化阈值) _. M+ ^( r# E$ r/ ?" x: C
im=im2bw(im,thresh); %//二值化
% o2 o8 A0 D- wset(0,'defaultfigurecolor','w')( O( e" R7 ~/ x, }1 q
imshow(im) %//显示图片
" v0 T3 r- g# E) x[y,x]=find(im==0); %//找出图形中的“黑点”的坐标。该坐标是一维数据。' X2 k z, Y7 F
y=max(y)-y; %//将屏幕坐标转换为右手系笛卡尔坐标6 K+ m) W/ B- C% m1 m' O
y=fliplr(y); %//fliplr()——左右翻转数组; [7 O4 A! b- O
plot(x,y,'r.','Markersize', 2);
6 o2 Q6 W) @, Y( Y9 K" sdisp('请在Figrure中先后点击实际坐标框的两个顶点(左上点和右下点),即A、B两点. ');0 a6 C2 Y! C" c. ~9 f1 i! L
[Xx,Yy]=ginput(2); %//Xx,Yy——指实际坐标框的两个顶点
- d6 i6 F7 X2 m) B/ nmin_x=input('最小的x值'); %//输入x轴最小值
" T+ U. @3 V% |max_x=input('最大的x值'); %//输入x轴最大值
% h& h) Q9 w, P" j* G: v& r U: pmin_y=input('最小的y值'); %//输入y轴最小值( p2 \' r5 k9 w0 G2 v
max_y=input('最大的y值'); %//输入y轴最大值
. A% l3 y8 z. j) r8 qx=(x-Xx(1))*(max_x-min_x)/(Xx(2)-Xx(1))+min_x;) ~, J3 I; _# z5 E/ Q+ ]$ z
y=(y-Yy(1))*(min_y-max_y)/(Yy(2)-Yy(1))+max_y;
8 A, L( h6 q; ?0 e4 Nplot(x,y,'r.','Markersize', 2);
5 _1 z1 I2 C ^5 B# h2 y, i: `axis([min_x,max_x,min_y,max_y]) %//根据输入设置坐标范围+ f' C& O; ^4 K" }; j
title('由原图片得到的未处理散点图')3 ~3 O9 E1 A7 Y# a; h- A0 k$ `
%% //将散点转换为可用的曲线6 g! w( z @2 _6 [1 I, l! K( a$ r% [
%//需处理的问题与解决思路
: k. H7 |- V$ K%//(1)散点图中可能一个x对应好几个y <---> 保留mean()-std()到mean()+std()之间的y值 并取平均处理
8 x T1 h0 K+ A& ^( n%//(2)曲线的最前端和最后段干扰较大 <---> 去掉曲线整体的前(如5%)和后5%
) v! N) t% K3 ^! \%//(3)曲线的最顶端和最底段干扰较大 <---> 去掉曲线整体的上10%和下10%
* i; E2 p. e! {- @! U, h* |! Q, e5 T T6 Q, G
%//参数预设$ F# S& y# W/ b* N! N! m
rate_x=0.08; %//曲线的最前端和最后段删除比例) j2 g1 c# ^7 c- A, V
rate_y=0.05; %//曲线的最顶端和最底段删除比例
! _' B5 n/ G0 @) W1 ^8 |; z) V% |8 r/ y4 Q H
[x_uni,index_x_uni]=unique(x); %//找出有多少个不同的x坐标
$ @2 m& i5 w+ Y* f5 [ H+ D4 h% m! [/ |7 K) Q/ u5 g8 `
x_uni(1:floor(length(x_uni)*rate_x))=[]; %//除去前rate_x(如5%)的x坐标
/ r8 D. r4 T3 ?3 I6 J) V2 f- v; o8 hx_uni(floor(length(x_uni)*(1-rate_x)):end)=[]; %//除去后rate_x的x坐标$ y8 \3 ~# A' I9 e
index_x_uni(1:floor(length(index_x_uni)*rate_x))=[]; %//除去前rate_x的x坐标
" ?( O* N* W2 |& hindex_x_uni(floor(length(index_x_uni)*(1-rate_x)):end)=[]; %//除去后rate_x的x坐标
7 l4 z6 J2 l7 }
J8 V$ b/ @ L[mxu,~]=size(x_uni);9 m& u7 i0 z2 C- ^6 d
[mx,~]=size(x);
5 m Z& [7 J5 `# t8 Wfor ii=1:mxu* @! A, C J* f
if ii==mxu
% ~# q2 p2 N( n; Y4 Q0 r1 L! Y$ R6 w# y) I ytemp=y(index_x_uni(ii):mx);
: K+ ?1 N- V( x9 w else
K) s3 R2 n8 e/ ~" `# V1 r ytemp=y(index_x_uni(ii):index_x_uni(ii+1));
s% m3 D9 M7 ? end
7 I+ z% [* V2 i: p! K5 ~ % //删除方差过大的异常点% f. {1 i8 ~/ S" X. o' W, a
threshold1=mean(ytemp)-std(ytemp);
' H6 S6 X) B* Z; `0 Z4 t threshold2=mean(ytemp)+std(ytemp);
- B9 Q8 }) s+ A: b3 u4 Z( y ytemp(find(ytemp<threshold1))=[]; %//删除同一个x对应的一段y中的异常点
8 t) [9 Y; V# O ytemp(find(ytemp>threshold2))=[];1 ~/ z2 B2 y' u0 m* ?% |) g# C
% //删除距顶端和底端较近的点$ Z5 D/ Y% ^4 g6 g" C' M8 Z
thresholdy=(max_y-min_y)*rate_y; %//y坐标向阈值( {" r/ e2 ]$ T$ M" x
ytemp(find(ytemp>max_y-thresholdy))=[]; %//删除y轴向距离顶端与底端距离小于rate_y的坐标
$ r% H; Z) s7 ? ytemp(find(ytemp<min_y+thresholdy))=[];
5 k0 M n" C% g8 |8 y- U % //剩下的y求均值
$ K' T3 O1 j4 b y_uni(ii)=mean(ytemp);
- m8 o9 l- f. S Hend: c4 R' m5 t. W( s
% //此时很多x_uni点处对应的y_uni为空,即NAN,要进一步删去这些空点
! I+ ]- o. X* \, z# `7 y" w! a l3 \6 X( Ex_uni(find(isnan(y_uni)))=[];4 n: h& ^" |0 ~
y_uni(find(isnan(y_uni)))=[];' E) @' H; R- s; q: e
% //画图
+ u( i, y0 Y8 Ufigure,plot(x_uni,y_uni),title('经处理后得到的扫描曲线')
6 s, l6 N5 Z1 l! j raxis([min_x,max_x,min_y,max_y]) %//根据输入设置坐标范围/ ~, w8 c& w. W; M' C; Z5 c
% //将最终提取到的x与y数据保存
1 x9 y% M4 m9 ]curve_val(1,:)=x_uni';8 h1 s( C% g4 a0 c
curve_val(2,:)=y_uni;
6 B6 ~/ j" l0 E2 q( W0 u% J%% //对提取出的数据进行拟合(按实际情况进行修改)
. B$ \; ? V! q0 o( H) t1 @0 F. u[p,s]=polyfit(curve_val(1,:),curve_val(2,:),4); %//多项式拟合(为避免龙格库塔,多项式拟合阶数不宜太高)! i+ C- `% b' _; Q) z
[y_fit,DELTA]=polyval(p,x_uni,s); %//求拟合后多项式在x_uni对应的y_fit值
) U2 P8 h& L1 V2 M5 g( k7 |figure,plot(x_uni,y_fit),title('拟合后的曲线')* X: H+ H: R- k7 T. V% {. m9 ^2 U
axis([min_x,max_x,min_y,max_y]) %//根据输入设置坐标范围
: \# D. l. _# O |
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