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前言:matlab只是个软件,用来完成机械的计算,而如何安排这些计算,需要用户掌握最基本的数学概念。这篇将介绍工程数学中常用的数学概念,与matlab似乎并不相关,但实则是matlab的基础。/ }: P3 c" q2 ?2 d4 O5 c6 i6 F! O
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1.数值与符号6 o$ G+ b9 [# R! K4 w
如果给工程数学问题分类,最大的两类肯定是数值问题和符号问题,对应matlab的数值运算和符号运算。简而言之,数值运算就是所有的变量的值已知,求解的也是一些具体的值;符号运算则刚好相反,不要求所有的变量都已知,求解的结果也不是变量具体的值,而是变量之间的关系。一个简单的例子是
9 C7 [+ G) j, i) ~3 \% X) Y* C①数值问题:求解一元二次方程,ax2+bx+c=0,其中a=b=c=1,所求得的结果一定是x=几点几+几点几i,是个复数,是个具体的数值。
+ D; J7 r- `2 A V& G/ d②符号问题:求解一元二次方程,ax2+bx+c=0,所求的的结果一定是x=求根公式,是abc的函数,是个关系+ @ G" A+ P( M% m: P
可见,一个问题是数值问题还是符号问题,很大程度上决定于结果需要求解的是数值还是关系。当然两个问题也可以相互转化,比如数值问题的一元二次方程,我们一般会先转化成符号问题,把abc代入求根公式,求出来变量x的具体数值。但实际中,一般我们并不推荐这样做,原因是matlab的数值和符号是完全不同的两套系统,相互转化不仅需要多余的数值符号转换语言,更可能带来查错的不便。' U8 _7 a R( @# R3 w) X% Q
2.典型数值问题
6 A+ L+ n4 r A \" s 以下是常见的数值问题,文中提到的解法均可在数值计算、科学计算、数值算法这类书中找到。
$ U; `. G) b& |; D2.1代数方程& m9 I$ s8 g/ k, J9 c+ D8 k3 Z
代数方程又分为线性方程和非线性方程,线性方程一般可以转化为矩阵形式AX=b,对A求逆即可。求逆的数值解法一般有高斯赛德尔迭代,超松弛迭代等。非线性方程一般转化为f(x)=zeros其中x是个向量,右侧的zeros表示f是个多输出函数,数值解法一般是迭代,常见的有牛顿迭代,最速梯度,点斜式等。1 m, {- q& v5 C5 b4 s2 m' v! D
2.2常微分方程
% W; {0 Y! | ~" N& ~ 常微分方程一般转化为Dy=f(y,t),且y(0)=y0是初始条件,其中y和Dy都是向量,f也是个多输出函数,数值解法有欧拉法,龙格库塔法。3 E6 j. Q u- J5 E+ V) |
2.3偏微分方程
5 m1 g+ P5 h- E" e- ~( N+ b 偏微分方程比较复杂,matlab处理偏微分方程也不专业,我也几乎不用matlab处理这类问题。但工程数学上,偏微分方程的解法有两类,差分法和有限元法。差分法需要采用中心差分,迎风差分等。有限元需要计算刚度矩阵等。
- `+ y. x: p, x4 R2.4插值和拟合, \: e9 t( J* v" I
插值和拟合是完全不同的两个数学概念,虽然很多时候很多人都混淆了。两者的描述都可以归结为:已知函数上的点(x1,y1),(x2,y2)...(xn,yn),求一个已知的x,对应的y的数值。插值常用的多项式插值,三次样条插值。拟合的本质是一个最优化问题,其中最常用的一种拟合是线性拟合,求解方法是最小二乘法。
0 {! P. S- u3 s! p2.5离散周期傅里叶变换
/ d4 P% n0 M- f8 o6 A# Z! R* X 严格说来,这并不能算一个数学问题,只是一种运算方式,就好像加减乘除一样。特殊性在于这种变换是对于一个向量进行,且运算后的结果依然是个向量。这里提出来是为了强调这种傅里叶变换的限定,要求是离散周期,这也是数值方法能处理的唯一一种傅里叶变换。3 F4 i) B$ u% g: T: l3 I% L3 k
2.6最优化问题
' q+ E3 ]! h6 k/ z 最优化问题比较宽泛,一般可以归结为求目标函数f(x)的最大或者最小值,其中f是一个单输出的函数,x是一个向量。其中x需要满足线性约束条件、非线性约束条件、上下界。具体的解法有最速梯度,遗传,蚁群,退火等算法。7 i; s z2 q* Y/ _# L
2.7数值积分
! ~# G' m- v: M+ T" m `+ N 已知函数上的点(x1,y1),(x2,y2),...(xn,yn),求函数在x1到xn的定积分。常见算法有矩形公式,梯形公式,辛普森公式。类似的问题还有数值求导。
: J5 D5 d7 C8 O! L4 l" }3.典型符号问题: H/ V4 V- R! B$ L) a
以下是常见的符号问题,需要特别指出的是,无解问题。数值问题中也有一部分无解问题,但大多数工程中是碰不到的。而符号问题恰好相反,绝大部分我们遇到的符号问题都是没有解的,或者准确的说,没有解析解。比如求一元五次方程,我们知道x和这些系数存在关系,但无法写出显式的表达式,也就是说没有解析解。
& V7 F8 y# t( t7 l$ @, d3.1递推转通项1 l9 c( u$ {0 b9 W% z
这个问题可以归结为:已知xn+1=f(xn),求xn,常见于数列的推导。3 ?/ x; i5 h' G
3.2代数方程
& ^! W5 ~! a. ?+ ~* | 区别于数值问题中的代数方程, 这里的代数方程问题可以描述为:f(x,c)=0,求x=x(c),这里需要求解的其实是x和c的关系。1 z2 r+ ?) q0 b( \$ P% ]4 D2 v
3.3常微分方程
1 e0 H* P+ u6 _. t' O 区别于数值问题中的常微分数方程, 这里的代数方程问题可以描述为:Dy=f(y,t,c),求y=x(t,c),一般无需初值条件。3 [+ }* S; R% o# B* X/ {8 f: L
3.4符号积分+ d l/ i( H- A S. ^
区别于数值问题中的数值积分,这里的符号积分可以描述为:已知函数关系y=f(x),求y的不定积分。同样的问题还有符号求导。
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