MATLAB求解方程之solve(Symbolic Math Toolbox)

pulbieup

通常在不确定方程是否有符号解的时候，推荐先使用 solve 进行尝试，因为 solve 相比于数值求解来说，它不需要提供初值，并且一般情况下能够得到方程的所有解。对于一些简单的超越方程，solve 还能够自动调用数值计算系统给出一个数值解。
% i5 n; F& _; ^0 l) n* ~
- I, b) J+ X; }! Q; ~7 e  Csolve 的常见调用形式：
& K( V* g/ V% y; k0 d) Esol = solve(eq)
9 h& \$ N9 N1 B. J8 R4 K% ]% e- [4 Rsol = solve(eq,var)
) Y! ^9 }/ s" w% g1 Z) D! L2 isol = solve(eq1,eq2,…,eqn)
sol = solve(eq1,eq2,…,eqn,var1,var2,…,varn)
eq 为符号表达式，var 为指定的要求解的变量。如果不声明要求解的变量(第一和第三种形式)，则 MATLAB 自动按默认变量进行求解，默认变量可以由 symvar(eq) 确定。
%例：求解方程组:  x+y = 1,  x-11y = 5
' i2 j6 z$ D4 o  w; o4 \# @0 a% F
syms x y      %声明符号变量
eq1 = x+y-1;
* |, [- m' A1 h0 r# meq2 = x-11*y-5;
sol = solve(eq1,eq2,x,y);
x = sol.x
  C/ q& M3 L0 G  {y = sol.y
solve 求得的解通过结构体的形式赋值给 sol，然后再通过 x = sol.x 和 y = sol.y 分别赋值给 x 和 y 。 也可以直接使用：
' p; n# ~& n0 v2 p) N7 `[x,y] = solve(eq1,eq2,x,y)
! [4 G+ ]% N7 @& O进行求解，但需要注意，等式左边接收参数时应当按字母表进行排序，否则 MATLAB 不会自动识别你的参数顺序，比如：
+ n  b, N  @6 \) W" n) {[x,y] = solve(eq1,eq2,x,y)
8 R) H- @) C( y[y,x] = solve(eq1,eq2,x,y)
$ m0 |9 j% P/ \" l. Q- m: i/ Fsolve 会把答案按字母表进行排序后进行赋值，x 解赋值给第一个参数，y 解赋值给第二个参数，对于第二种形式，实际上最终结果是变量 y 存储了 x 的解而变量 x 存储了 y 的解。 上述情况另一种解决方案是用下面的方法指定输出顺序：
! }/ d* b9 m2 t! Isyms x y
" U- a9 }9 {! c4 Y. y; L[y,x] = solve(x + y == 2,x - y == 1, [y, x])
由于是符号求解，有时候得到的解是一大串式子（符号求解无精度损失，所以 MATLAB 不会自动将答案转化为浮点数），这时候可以用 vpa 或者 double 函数将结果转换为单一的数，但需要注意的是 double 的结果为浮点数，vpa 的结果仍然是符号类型（即 sym 类型）。
- F- y9 v+ P8 a7 N( H' A
* l& |& _$ Z" k另外，很多人习惯对于 solve 的参数采用字符型输入，这种方式有几个弊端。
: M& N' w/ H8 U# D5 w  [: g7 o8 [/ j首先就是程序的调试，一旦式子输入有误(最常见的就是括号的匹配)，则调试起来会非常困难，例如：
9 ?4 \  {* p9 d: [! F, ysolve('10^(-4.74)*0.965*y/60000x/(10^(-4.74)+x)+0.1/36500+10^(-14)/x-x=0','10^(-3.2)*x+0.333/3000+8*10^((-3.2)*0.1+0.1/333*y','x','y')
! u! T7 ~# W5 w) w1 W4 s' b这时要去寻找式子输入错误会是一件很麻烦的事，MATLAB 也不会报告具体出错的地方。如果采用符号变量输入：
. G' ^% X6 y3 P* q4 Msyms x y
+ H8 N) c- b$ J6 V$ heq1=10^(-4.74)*0.965*y/60000x/(10^(-4.74)+x)+0.1/36500+10^(-14)/x-x;
  x0 w; i8 ]- G9 H3 w: P% aeq2=10^(-3.2)*x+0.333/3000+8*10^((-3.2)*0.1+0.1/333*y;
sol=solve(eq1,eq2,x,y)
会给程序的调试带来许多便利。对于某些错误，MATLAB 会给出错误代码颜色的高亮， 命令行还能返回具体的错误信息。并且采用字符型输入时，变量的赋值不能传入方程：
# L9 A+ D: y, [1 [%例：x+y*sin(x) = 1
0 k  [+ r$ a& p0 A  o2 S6 t
. `. o# I/ n9 s8 ~y = 1;
sol = solve('x+y*sin(x)=1','x')
MATLAB 会返回一个空解，而 sym 型输入：
syms x
y = 1;
' H7 d! Z% X! Keq = x+y*sin(x)-1;
7 i+ A7 ^; l7 hsol = solve(eq,x)
! V2 f5 y* e& L2 m+ H' b能够得到 sol = 0.51097342938856910952001397114508，其中的区别就在于 char 型输入尽管在 solve 前对 y 有一个赋值，但 solve 求解时依然会将 y 当作一个未赋值的常数。
3 e- q  b6 y' B' G, L* t9 q最后，在今后的高版本 solve 将不支持 char 型参数输入，因此应该尽量放弃使用这种方法。

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