內积空间

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& M2 {, k, J  ]' ~! O7 I在讲內积空间之前，先提一下线性空间，这是內积空间的基础，也是我们学习任何一门理科所必备的常识。
8 p" [# o1 W5 ^
线性空间介绍：
9 Q, U0 Y4 r, _& P. E0 x
. ^6 f- `8 [8 c# n        向量空间亦称向量空间。它是线性代数的中心内容和基本概念之一。设V是一个非空集合，P是一个域。若：
1 |5 H# |$ v6 @! o5 Y. S
: a& }3 C8 y) \$ `# a) \1.在V中定义了一种运算，称为加法，即对V中任意两个元素α与β都按某一法则对应于V内惟一确定的一个元素α+β，称为α与β的和。  
2.在P与V的元素间定义了一种运算，称为纯量乘法(亦称数量乘法)，即对V中任意元素α和P中任意元素k，都按某一法则对应V内惟一确定的一个元素kα，称为k与α的积。
3.加法与纯量乘法满足以下条件：
! W, S2 E* v  j1) α+β=β+α，对任意α，β∈V.
2) α+(β+γ)=(α+β)+γ，对任意α，β，γ∈V.
3 p$ t' Q0 }3 D: x  l3) 存在一个元素0∈V，对一切α∈V有α+0=α，元素0称为V的零元.
4) 对任一α∈V，都存在β∈V使α+β=0，β称为α的负元素，记为-α.
5) 对P中单位元1，有1α=α(α∈V).
2 R1 ^5 U4 b+ I" B2 `2 h/ d  O, c0 h3 D6) 对任意k，l∈P，α∈V有(kl)α=k(lα).
7) 对任意k，l∈P，α∈V有(k+l)α=kα+lα.
$ K% H7 x# F7 P- ^+ z8) 对任意k∈P，α，β∈V有k(α+β)=kα+kβ，
则称V为域P上的一个线性空间，或向量空间。V中元素称为向量，V的零元称为零向量，P称为线性空间的基域.当P是实数域时，V称为实线性空间.当P是复数域时，V称为复线性空间。
各个版本大同小异，都是一个意思，这里就选百度百科上的描述吧。
1 y* D4 s( R1 {7 x9 ^
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內积空间：


) P8 V3 K! l( l( A3 k" O
也就是说在线性空间上装配上內积，线性空间也就成了內积空间了，內积是什么东西？

內积是一种运算，将线性空间中的两个元素映射成一个元素，即二元映射为一元，且这种运算满足所谓的內积公理，则这种运算才能称为內积。
. ?' {9 U% S3 f! m7 ^% e) \
內积对第二变元具有共轭线性性质，要记住，区分內积对第一变元和第二变元不同的运算规则。
3 Z4 b' ~5 o2 d/ V2 u& ]
' {8 }9 S4 a5 N$ X3 X下面列出一些常用的內积：
7 }, @6 @4 K$ A+ J) f# D6 U* \4 R
5 t: \( W- ^+ A$ [

2 q1 t+ [* Y' n 的意思是在区间[a,b]上平方可积的全体函数。
8 R' z# D2 J5 e# P3 `  i- u
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" z9 h# l  d8 j; l  E8 b
6 _0 s) `) f/ _# A; L% y內积空间中的柯西—施瓦兹不等式：


. @+ B6 R# K/ C8 {$ v
由于
% d- e3 Y+ Y2 ?% d, v" x+ K$ l, o
* W4 z7 q" t7 n, L9 e* p故上面的Cauchy_Schwarz不等式可以写成：



介绍这个不等式的目的如下，就是证明由內积诱导（定义）的范数是否满足范数公理，如果满足，这范数可以由內积来诱导。

9 g; A  E3 w" x, _; d5 r0 f问题如下：
- k- F; T. s  t
5 {: |- ^7 M% I2 R

证明：

) R$ Z) e" R% U# _
& J0 u: k0 I0 b8 m$ v. O$ B; L
( @1 J' S' l) M  m- f0 X: R

既然知道由內积可以诱导范数，那么下面的公式自然不难验证了：
+ V+ c+ b. b% T9 i9 M: r
0 i, m7 ?9 `+ ?* S

左边由內积表示出来，然后经过一系列的化简，即可得到右边的式子。
# f5 u( e1 g/ s- w- F9 y6 O8 B9 p
/ {) e& T. t" `2 Q6 I2 E  B废话不多说，直接上图：

9 S& r- h* E6 ?5 c& d; \

就到这里吧
) k! {9 n! X: y5 I  ]) a; o

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