信号仿真与傅里叶变换

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• 一维信号的傅里叶变换：fft(t)

• 二维图像的傅里叶变换：fft2(t)

  fft2(x) ⇒ fft(fft(x)’)’

  
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0. 基础

( w/ [) }5 Z9 v. u  w. H<script type="math/tex; mode=display" id="MathJax-Element-18"> f(t)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}\alpha_ke^{ikt} </script>
* ^" Q7 g) m6 _7 q1. frequency spectrum（频谱）分析

图像的频率是表征图像中灰度变化剧烈程度（导数）的指标，是灰度在平面空间上的梯度。

大面积的沙漠在图像中是一片灰度变化缓慢的区域，对应的频率值很低；而对于地表属性变换剧烈的边缘区域在图像中是一片灰度变化剧烈的区域，对应的频率值较高。

傅立叶变换在实际中有非常明显的物理意义，设 <script type="math/tex" id="MathJax-Element-1">f</script> 是一个能量有限的模拟信号，则其傅立叶变换就表示 <script type="math/tex" id="MathJax-Element-2">f</script> 的谱。从纯粹的数学意义上看，傅立叶变换是将一个函数转换为一系列周期函数来处理的。从物理效果看，傅立叶变换是将图像从空间域转换到频率域，其逆变换是将图像从频率域转换到空间域。

通过观察傅立叶变换后的频谱图（fft2），也叫功率图，我们首先就可以看出，图像的能量分布，如果频谱图中暗的点数更多（0是黑色，1是白色），那么实际图像是比较柔和的（因为各点与邻域差异都不大，梯度相对较小），反之，如果频谱图中亮的点数多，那么实际图像一定是尖锐的，边界分明且边界两边像素差异较大的。

对频谱移频到原点（fftshift）以后，可以看出图像的频率分布是以原点为圆心，对称分布的。将频谱移频到圆心除了可以清晰地看出图像频率分布以外，还有一个好处，它可以分离出有周期性规律的干扰信号，比如正弦干扰，一副带有正弦干扰，移频到原点的频谱图上可以看出除了中心以外还存在以某一点为中心，对称分布的亮点集合，这个集合就是干扰噪音产生的，这时可以很直观的通过在该位置放置带阻滤波器消除干扰。

另外关于图像的二维傅里叶变换：

• 1、图像经过二维傅立叶变换后，其变换系数矩阵表明：

  若变换矩阵Fn原点设在中心，其频谱能量集中分布在变换系数短阵的中心附近(图中阴影区)。若所用的二维傅立叶变换矩阵Fn的原点设在左上角，那么图像信号能量将集中在系数矩阵的四个角上。这是由二维傅立叶变换本身性质决定的。同时也表明一股图像能量集中低频区域。

• 2 、变换之后的图像在原点平移之前四角是低频，最亮，平移之后中间部分是低频，最亮，亮度大说明低频的能量大（幅角比较大）。

  
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傅立叶变换是将一个函数转换为一系列周期函数来处理的