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一个经典的Matlab程序:
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- clc
- clear
- close all
- % 1-D信号压缩传感的实现(正交匹配追踪法Orthogonal Matching Pursuit)
- % 测量数M>=K*log(N/K),K是稀疏度,N信号长度,可以近乎完全重构
- % input signal x
- % measurement vector s
- % 待重构的谱域(变换域)向量hat_y
- % 重构得到时域信号hat_x
- %% 1. 时域测试信号生成
- K=7; % 稀疏度(做FFT可以看出来)
- N=256; % 信号长度
- M=64; % 测量数(M>=K*log(N/K),至少40,但有出错的概率)
- f1=50; % 信号频率1
- f2=100; % 信号频率2
- f3=200; % 信号频率3
- f4=400; % 信号频率4
- fs=800; % 采样频率
- ts=1/fs; % 采样间隔
- Ts=1:N; % 采样序列
- x=0.3*cos(2*pi*f1*Ts*ts)+0.6*cos(2*pi*f2*Ts*ts)+0.1*cos(2*pi*f3*Ts*ts)+0.9*cos(2*pi*f4*Ts*ts); % 完整信号,由4个信号叠加而来
- %% 2. 时域信号压缩传感
- Phi=randn(M,N); % 测量矩阵(高斯分布白噪声)64*256的扁矩阵
- s=Phi*x.'; % 获得线性测量
- %% 3. 正交匹配追踪法重构信号(本质上是L_1范数最优化问题)
- %匹配追踪:找到一个其标记看上去与收集到的数据相关的小波;在数据中去除这个标记的所有印迹;不断重复直到我们能用小波标记“解释”收集到的所有数据。
- m=2*K; % 算法迭代次数(m>=K),设x是K-sparse的
- Psi=fft(eye(N,N))/sqrt(N); % 傅里叶正变换矩阵
- T=Phi*Psi'; % 恢复矩阵(测量矩阵*正交反变换矩阵)
- hat_y=zeros(1,N); % 待重构的谱域(变换域)向量,初始化
- Aug_t=[]; % 增量矩阵(初始值为空矩阵)
- r_n=s; % 残差值
- for times=1:m; % 迭代次数(有噪声的情况下,该迭代次数为K)
- for col=1:N; % 恢复矩阵的所有列向量
- product(col)=abs(T(:,col)'*r_n); % 恢复矩阵的列向量和残差的投影系数(内积值)
- end
- [val,pos]=max(product); % 最大投影系数对应的位置,即找到一个其标记看上去与收集到的数据相关的小波
- Aug_t=[Aug_t,T(:,pos)]; % 矩阵扩充
- T(:,pos)=zeros(M,1); % 选中的列置零(实质上应该去掉,为了简单我把它置零),在数据中去除这个标记的所有印迹
- aug_y=(Aug_t'*Aug_t)^(-1)*Aug_t'*s; % 最小二乘,使残差最小
- r_n=s-Aug_t*aug_y; % 残差
- pos_array(times)=pos; % 纪录最大投影系数的位置
- end
- hat_y(pos_array)=aug_y; % 重构的谱域向量
- hat_x=real(Psi'*hat_y.'); % 做逆傅里叶变换重构得到时域信号
- %% 4. 恢复信号和原始信号对比
- figure(1);
- hold on;
- plot(hat_x,'k.-') % 重建信号
- plot(x,'r') % 原始信号
- legend('Recovery','Original')
- norm(hat_x.'-x)/norm(x)' S1 D. m, o" g$ s! R$ p V2 u. l
8 @+ d+ q5 K6 u# p5 }
6 U& l2 K8 b" A |
恢复结果:0 F8 y8 a4 y4 O! N* \) W
& n- o" u+ ]* I9 A* l* `" o
+ c5 g1 F$ U) g0 s
$ X" V q x: s % h) {! o! n& T1 A# h W
1 i# S* w& ?6 W* A. H6 z, {! I% F7 }3 A% r1 Z2 `& b0 [) P5 N- c; X
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