MATLAB ------- 看看离散傅里叶级数（DFS）与DFT、DTFT及 z变换之间是什么关系

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MATLAB ------- 看看离散傅里叶级数（DFS）与DFT、DTFT及 z变换之间是什么关系
3 a# s) \9 f- k0 l/ ~4 \6 I1 e$ [
- U6 b, v. S0 j/ ?
4 Z. u7 C/ }$ p7 L上篇我们简单的讨论了离散傅里叶级数DFS和离散傅里叶变换DFT之间的关系，简单地说，DFT就是DFS在一个周期内的表现。
# y! ?) i+ J/ l( r' s
4 @3 C5 l5 E5 }7 V* |MATLAB ------- 用MATLAB实现离散傅里叶变换（DFT）和逆变换（IDFT）

为了后面讨论方便，这里给出DFS的系数公式（分析公式）：
3 A  E' O5 h/ x/ v! t' T
0 N+ k& K# ~( [- r( D1 w                    （1）
7 V  o7 q) O& S/ e- l5 C
其中：
; H& d1 \& x$ j. {* ]; _
8 q5 m9 }: p! ~; Y2 o3 C

综合公式：
! r: Q5 I& W' A1 W
                （2）
3 _! z; y9 e6 S0 J$ R
% h& r4 z3 T+ z# @& |; K  O为了对比，给出DFT的分析公式：
2 N. T& w5 b5 {
/ `& B$ w1 T$ f2 k                  （3）

                    （4）
) j! s' P2 G6 ^7 [5 j! S( i. a- D" Q
. D4 }, i# c1 c/ O2 V6 Q4 Y! F3 r
0 h3 {; M3 T7 H7 A  l& I% {综合公式：

                     （5）
$ d1 }0 T1 o, F* G( a
                （6）

下面讨论DFS和 z 变换之间的关系：
4 y* Z. c1 i  {, n
1 E) X: ]+ F5 ^7 V* O这部分内容提取到文章：MATLAB ------- 快来看看DFS 与 z 变换之间有什么关系

5 b8 |$ z2 k9 y0 _, \$ D$ q设 x(n) 为一有限长序列，长度为N，即，
/ Z  O- e3 t3 P9 l
                    （7）
9 s" v8 |, @8 L9 z& Q2 k5 X
& x- j* v6 |& u. t0 }那么，能求它的 z 变换为：
$ d/ x& I' y: o9 t, L
, \1 h+ m& U2 O3 M' `                                            （8）

" S& f6 [# \! i8 L& d0 D现在，以周期N，周期重复x(n)构造一个周期序列 ，即
5 I& y0 q9 J- ^) c/ `! u9 W
$ v& o7 x4 o* g# m2 ?                           （9）

/ h1 c+ J- B' x. f- A 的DFS给出为：

               （10）

将（10）式与 z 正变换公式（8）比较后，得到：
" j, v( C, I6 a; u: l! a
5 f# V& E1 ]6 T- p$ l* f, z                                              （11）

5 ^% z- B$ B- `2 B这就是说，DFS 代表了z变换 X(z)在单位圆上N个等间隔样本。

接着讨论DFS和DTFT的关系。

8 `' |8 f4 d" b, D5 p4 A这部分内容提取出来到：【 MATLAB 】DFS 和 DTFT 之间的关系

& V9 e3 M3 H1 f" N- N我们大概都知道DTFT和z变换之间的关系，DTFT是单位圆上的z变换。我们通过一个公式就能说清楚，如下：
# E' u" t) {# L) s
先给出DTFT的公式：
2 o  j5 D( T0 `% R# p; B5 C% ^$ e3 C3 A# k
                     （12）
. u( p) F1 }% }; n3 h) [
对比z变换的公式（8），不难看出：

7 ^/ b/ {+ D7 V9 _( A: t- J                                                     （13）

2 w- b! A( p) {0 ~% l为了避免某些人的抗议，我们不得不做出声明，这里都是针对有限长序列推导的公式，无论针对其他任何可行信号，推导的关系最后都是一样的。
6 W: i" ~3 u4 |4 J: m% a( N5 F
从（13）式可以看出，DTFT是单位圆上的z变换。
: H5 }! H% o% [; s9 f
上面又说了DFS和z变换的关系，关系是，DFS 代表了z变换 X(z)在单位圆上N个等间隔样本。
3 u6 C5 `( A7 Y1 P+ h' \
" D# c! B- N* u7 R2 R1 ^结合z变换和DTFT之间的关系，我们是不是可以说DFS 是对DTFT 上的等间隔采样。采样间隔为 ，下面我们正式推导二者间的关系。
8 l& {% ~0 O( ?
9 K2 P9 A1 Q/ K4 P, L0 Y% y7 V; u  K式（12）为:

/ Y. n6 U# i' V% [" P, n

% H. A1 G/ A, V: r: N2 i- _DFS为：
2 I+ u1 l" }& J, `

: c) X! i" E$ ]3 m+ D( a; ~
8 ]0 h, P- X2 F

可以看出，

                                           （14）

令
% w& B% P- Q* v5 e3 L7 e: {0 O                               （15）                                          

这样，

                          （16）
: w3 p0 x9 M& {% t2 _
+ P* m5 k+ W+ L& U9 k% [这意味着 DFS 可以通过以 为间隔对DTFT均匀采样而得到。
3 J6 j' |& Q/ i1 Q5 Z4 Q& Z) W
由式子（13）：
% Z: P4 F& ~' _$ x
$ I# S% t+ L/ e4 r% W6 A

1 o/ `; `0 O$ X# ^! s9 V以及式子（14）：
1 j  [. e4 x+ L( h0 [& |
8 n: q5 }6 j, Y1 q

/ ?2 Q0 g4 N5 ?! r可见，DFS 表示给出了一种在频域的采样机理；而这个在原理上类似于时域采样。

间隔 是在频域上的采样间隔，也称为频率分辨率。因为它告诉我们频率样本有多密集。
; U: W( W9 U% d0 a1 @) ~
! u  m5 D3 U4 A; L; m( P! H0 [



9 o# r4 _, q% O( Q. J
: R9 m0 X9 ?1 ~# ~; f
) j' ^* A! Y: {; w+ s

hope123

看看，很好的分享