MATLAB ------- 看看离散傅里叶级数（DFS）与DFT、DTFT及 z变换之间是什么关系

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MATLAB ------- 看看离散傅里叶级数（DFS）与DFT、DTFT及 z变换之间是什么关系
1 M( t: M7 P' ]# ]
( C$ U, c' i+ x- g& N: {# [0 \
上篇我们简单的讨论了离散傅里叶级数DFS和离散傅里叶变换DFT之间的关系，简单地说，DFT就是DFS在一个周期内的表现。
( i  g3 z5 }# X! Q
' T- Q# n3 Y. n4 X/ V% @MATLAB ------- 用MATLAB实现离散傅里叶变换（DFT）和逆变换（IDFT）
$ S$ n( E* R  e' `# U* S: B2 o
为了后面讨论方便，这里给出DFS的系数公式（分析公式）：
7 i; u/ T& ?/ e; l4 |$ z' S
                   （1）
, d* h& d( I/ \# m$ f
其中：

. L& z* q$ I) e2 U- r! `, _' l9 P
1 Q. \" ~/ n! H' n
9 E: e2 p2 @: @" O/ A% I9 o综合公式：

0 {7 y5 A+ B0 [0 |                 （2）

' I8 `. c% m  L为了对比，给出DFT的分析公式：
4 b& A& o1 d2 O- z) |2 R( ^
                 （3）

                    （4）

% \5 T/ }5 M  Y5 m
9 u9 H) D, q8 t* X3 E% s& Y1 I$ N综合公式：
; k; _3 z; E9 y( c/ M/ K6 n1 s
                     （5）

                （6）
! B5 a  z; Y$ E
; J+ G0 ]& v0 N" s下面讨论DFS和 z 变换之间的关系：

这部分内容提取到文章：MATLAB ------- 快来看看DFS 与 z 变换之间有什么关系
* F0 ^, Q) m. F1 {
设 x(n) 为一有限长序列，长度为N，即，

- s8 s3 L: w6 r                     （7）
' S2 q2 C9 K. ]: W* n" v+ P
那么，能求它的 z 变换为：

                                           （8）
' x  I2 R4 {( I; M& O1 u& A8 {
3 g+ {" \5 Y* c0 \% M0 d现在，以周期N，周期重复x(n)构造一个周期序列 ，即
" x- u) @( [+ X  i6 \3 M
8 t  ]; E7 g9 z* `  ^- P7 j" l                           （9）
8 n$ u  {, R. ~' I0 q$ K
) j# i4 \7 ~5 k" ^: l' I 的DFS给出为：
( _- X9 o  Y6 r1 U5 |3 O
               （10）
( B" u0 _( `( x) v) Y- D
: B5 ]/ q: L' B将（10）式与 z 正变换公式（8）比较后，得到：

                                             （11）

: G+ Q- b  s# k7 A( T. b这就是说，DFS 代表了z变换 X(z)在单位圆上N个等间隔样本。
9 b! k0 l/ p* T) A* |2 B! x" w1 |4 o
接着讨论DFS和DTFT的关系。
* S$ g- S9 ?" E8 e, m
0 {& ~7 E7 X  y; H2 X7 h这部分内容提取出来到：【 MATLAB 】DFS 和 DTFT 之间的关系

" T- M! Q5 ~2 b3 \4 V, d) Z4 A我们大概都知道DTFT和z变换之间的关系，DTFT是单位圆上的z变换。我们通过一个公式就能说清楚，如下：
8 A  R9 r- C9 w  U
# k) w8 B6 x. l6 ~- L8 a5 w7 O  \* j先给出DTFT的公式：

                     （12）
( w- {$ M, `1 H; A' b
对比z变换的公式（8），不难看出：

                                                    （13）

2 W0 V: `/ D9 P2 c% L为了避免某些人的抗议，我们不得不做出声明，这里都是针对有限长序列推导的公式，无论针对其他任何可行信号，推导的关系最后都是一样的。
& d" F6 o7 y$ l
6 Y8 T  y% j5 Y从（13）式可以看出，DTFT是单位圆上的z变换。
$ ^6 Y& ~0 J  @' G, a6 F: E
上面又说了DFS和z变换的关系，关系是，DFS 代表了z变换 X(z)在单位圆上N个等间隔样本。

& [, R( G3 `. i; p2 ?8 G结合z变换和DTFT之间的关系，我们是不是可以说DFS 是对DTFT 上的等间隔采样。采样间隔为 ，下面我们正式推导二者间的关系。
5 Z& f; j% ?; T4 D' T+ a+ ?+ O5 q# b
  q* F# ~8 i: }3 Z9 L" K式（12）为:
1 E/ b5 K2 {, h' Z


) x6 y) p* T! [" X+ {DFS为：

1 K+ z4 J# Y6 r0 _4 ?& x

0 R  _5 r; D) ]/ u3 i# c3 ^
5 L, j: @$ d7 b5 v; C9 r- H: J
可以看出，

& W9 X5 G7 _0 h                                            （14）

) m; X. t8 r3 _+ I令
. a4 i! S0 O2 j# B8 H7 J, R* p1 l0 o                               （15）                                          
& \) p$ |( M! _; B: O0 s9 i
9 q  y+ T0 C$ E# n这样，
% s- Z* w& U9 B3 _8 W0 m4 p" ?7 m2 U$ O
                          （16）

这意味着 DFS 可以通过以 为间隔对DTFT均匀采样而得到。
; G2 t+ C! [# Q! W  `. F
3 v; o$ t4 r& Y% a由式子（13）：
3 g  z. S/ C5 w) S# I5 }/ }" M* Z

& i, s. ^/ I, ~0 O* C2 R; _
' b7 U( \' R) {; h以及式子（14）：
) b% U/ a: [! K) r
6 p8 Q# X! H# N7 c9 g
% l& w" `. |; _) U
可见，DFS 表示给出了一种在频域的采样机理；而这个在原理上类似于时域采样。
& G: C, B" S, w- Z9 _1 [
8 n( E9 t; y) A7 N8 Z' o间隔 是在频域上的采样间隔，也称为频率分辨率。因为它告诉我们频率样本有多密集。

) l0 `9 b2 t% D

8 X; j# R+ `: d% i6 D$ }4 n

) d1 t0 x+ i/ d


& ^9 k8 ]: I1 J5 K6 ^& g7 U  e$ \3 V  F
1 c- K) z0 s9 r* M

hope123

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