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MATLAB ------- 看看离散傅里叶级数(DFS)与DFT、DTFT及 z变换之间是什么关系

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发表于 2019-11-27 14:52 | 只看该作者 |只看大图 回帖奖励 |倒序浏览 |阅读模式

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MATLAB ------- 看看离散傅里叶级数(DFS)与DFT、DTFT及 z变换之间是什么关系
3 a# s) \9 f- k0 l/ ~4 \6 I1 e$ [

- U6 b, v. S0 j/ ?
4 Z. u7 C/ }$ p7 L上篇我们简单的讨论了离散傅里叶级数DFS和离散傅里叶变换DFT之间的关系,简单地说,DFT就是DFS在一个周期内的表现。
# y! ?) i+ J/ l( r' s
4 @3 C5 l5 E5 }7 V* |MATLAB ------- 用MATLAB实现离散傅里叶变换(DFT)和逆变换(IDFT)( D" U7 U& ~# u. K( J) E
3 Q5 s- o0 b/ G$ m+ r' |
为了后面讨论方便,这里给出DFS的系数公式(分析公式):
3 A  E' O5 h/ x/ v! t' T
0 N+ k& K# ~( [- r( D1 w                    (1)
7 V  o7 q) O& S/ e- l5 C- a% a9 F6 Z& `: d+ J
其中:
; H& d1 \& x$ j. {* ]; _
8 q5 m9 }: p! ~; Y2 o3 C / Y8 Z- T; `. n$ E# }
* x8 A- X3 \' z) U
综合公式:
! r: Q5 I& W' A1 W. m7 Q; |% m" i% j) a( e- E
                (2)
3 _! z; y9 e6 S0 J$ R
% h& r4 z3 T+ z# @& |; K  O为了对比,给出DFT的分析公式:
2 N. T& w5 b5 {
/ `& B$ w1 T$ f2 k                  (3)7 g1 ?/ a8 N4 T& w4 ~
& _. R( h! G" [4 }  c
                    (4)
) j! s' P2 G6 ^7 [5 j! S( i. a- D" Q
. D4 }, i# c1 c/ O2 V6 Q4 Y! F3 r
0 h3 {; M3 T7 H7 A  l& I% {综合公式:( ?. s9 ^1 M1 [3 Y$ E) k8 I
" {( a  F' D2 M4 @4 r
                     (5)
$ d1 }0 T1 o, F* G( a- C5 ]) U- O: P, q
                (6), S0 z/ c2 k2 {5 ]" @
5 C3 U6 w2 G. c5 i2 O2 ~
下面讨论DFS和 z 变换之间的关系:
4 y* Z. c1 i  {, n
1 E) X: ]+ F5 ^7 V* O这部分内容提取到文章:MATLAB ------- 快来看看DFS 与 z 变换之间有什么关系, B) r+ H2 x2 N) i

5 b8 |$ z2 k9 y0 _, \$ D$ q设 x(n) 为一有限长序列,长度为N,即,
/ Z  O- e3 t3 P9 l& `, s7 i7 G2 k$ }
                    (7)
9 s" v8 |, @8 L9 z& Q2 k5 X
& x- j* v6 |& u. t0 }那么,能求它的 z 变换为:
$ d/ x& I' y: o9 t, L
, \1 h+ m& U2 O3 M' `                                            (8)$ L( x7 T# A; f5 l: g

" S& f6 [# \! i8 L& d0 D现在,以周期N,周期重复x(n)构造一个周期序列 ,即
5 I& y0 q9 J- ^) c/ `! u9 W
$ v& o7 x4 o* g# m2 ?                           (9)* I1 k6 K; o* W9 @

/ h1 c+ J- B' x. f- A 的DFS给出为:' h6 i0 D/ r3 W2 |
) `4 I4 ?! i) ]3 n5 u  S; E
               (10)- q  t1 Z, _; A+ s' l
+ Y+ N6 B  B1 i! ?- B4 F
将(10)式与 z 正变换公式(8)比较后,得到:
" j, v( C, I6 a; u: l! a
5 f# V& E1 ]6 T- p$ l* f, z                                              (11)( U" x' h/ O9 v( e  U) ^4 B

5 ^% z- B$ B- `2 B这就是说,DFS 代表了z变换 X(z)在单位圆上N个等间隔样本。, o4 n9 J* z4 K3 G, v; m" Z
2 T( i- x9 H. f' {! a
接着讨论DFS和DTFT的关系。. W2 o+ ], v- x1 ^7 q$ i

8 `' |8 f4 d" b, D5 p4 A这部分内容提取出来到:【 MATLAB 】DFS 和 DTFT 之间的关系3 k- V5 G$ R! `* z4 @

& V9 e3 M3 H1 f" N- N我们大概都知道DTFT和z变换之间的关系,DTFT是单位圆上的z变换。我们通过一个公式就能说清楚,如下:
# E' u" t) {# L) s0 p; k) T3 s' c! t) W( b1 h; ^; S
先给出DTFT的公式:
2 o  j5 D( T0 `% R# p; B5 C% ^$ e3 C3 A# k" W& I5 {5 y" V+ u- I
                     (12)
. u( p) F1 }% }; n3 h) [9 }0 R. h/ J9 S
对比z变换的公式(8),不难看出:: H9 F* \& ?3 d2 b. j

7 ^/ b/ {+ D7 V9 _( A: t- J                                                     (13)1 F7 P1 f% A( y; o$ B

2 w- b! A( p) {0 ~% l为了避免某些人的抗议,我们不得不做出声明,这里都是针对有限长序列推导的公式,无论针对其他任何可行信号,推导的关系最后都是一样的。
6 W: i" ~3 u4 |4 J: m% a( N5 F3 o5 a. j' I4 y1 |3 a. L/ v
从(13)式可以看出,DTFT是单位圆上的z变换。
: H5 }! H% o% [; s9 f3 A6 X7 j9 C) j9 h( B" p# Q
上面又说了DFS和z变换的关系,关系是,DFS 代表了z变换 X(z)在单位圆上N个等间隔样本。
3 u6 C5 `( A7 Y1 P+ h' \
" D# c! B- N* u7 R2 R1 ^结合z变换和DTFT之间的关系,我们是不是可以说DFS 是对DTFT 上的等间隔采样。采样间隔为 ,下面我们正式推导二者间的关系。
8 l& {% ~0 O( ?
9 K2 P9 A1 Q/ K4 P, L0 Y% y7 V; u  K式(12)为:# k2 y3 |) E8 T* o0 y: ^# N' T

/ Y. n6 U# i' V% [" P, n : e- F& i" p, `# M* e

% H. A1 G/ A, V: r: N2 i- _DFS为:
2 I+ u1 l" }& J, `; ?) O- h% B' B9 F

: c) X! i" E$ ]3 m+ D( a; ~
8 ]0 h, P- X2 F 6 \* Y, A: K+ _2 }; b0 Z" \0 o
' i" }9 u- Z9 n- H$ |  O7 g5 ]
可以看出,2 ^1 S* H& W% }. D( d  s
! p6 |4 T4 R0 S8 c5 h# W
                                           (14): v- Y5 c: x# t2 v* L! b
# M% g; U. h, _; V8 x: ^. g

% w& B% P- Q* v5 e3 L7 e: {0 O                               (15)                                           / s- v/ v* d/ i- T5 O
8 A8 ]. m; Y3 h+ n6 \6 h& Z- `
这样,, c& q6 \) D- J1 c+ k
$ \2 v2 z5 E4 \# E3 {' d
                          (16)
: w3 p0 x9 M& {% t2 _
+ P* m5 k+ W+ L& U9 k% [这意味着 DFS 可以通过以 为间隔对DTFT均匀采样而得到。
3 J6 j' |& Q/ i1 Q5 Z4 Q& Z) W- G1 R. I! I4 r! b+ V3 U
由式子(13):
% Z: P4 F& ~' _$ x
$ I# S% t+ L/ e4 r% W6 A 4 T5 h7 B. e% k% |

1 o/ `; `0 O$ X# ^! s9 V以及式子(14):
1 j  [. e4 x+ L( h0 [& |
8 n: q5 }6 j, Y1 q 6 g- _: T0 N  l

/ ?2 Q0 g4 N5 ?! r可见,DFS 表示给出了一种在频域的采样机理;而这个在原理上类似于时域采样。/ b( d0 }7 a' S( ^8 F
8 g& v- u  r' F
间隔 是在频域上的采样间隔,也称为频率分辨率。因为它告诉我们频率样本有多密集。
; U: W( W9 U% d0 a1 @) ~
! u  m5 D3 U4 A; L; m( P! H0 [   ^. G# h* c7 Z" g6 }0 F! M6 i
$ U( n( M# y0 @, ^. B2 r! b
' F  f2 I  n# [0 Q$ H

9 o# r4 _, q% O( Q. J
: R9 m0 X9 ?1 ~# ~; f

) j' ^* A! Y: {; w+ s: h# ]' N% {/ t  a: g+ r
# j: M$ o: K$ p+ K

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2#
发表于 2019-11-27 17:51 | 只看该作者
看看,很好的分享
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