MATLAB ------- DFS 和 DTFT 又有什么关系呢？

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% U( y6 v; }/ J* i上篇讲了DFS和z变换之间的关系：MATLAB ------- 快来看看DFS 与 z 变换之间有什么关系
' X# @5 O! E0 @4 n7 g3 r
7 j1 V$ M$ i. ?/ E这篇博文接着看DFS 和 DTFT 之间的关系，文章同样是从我的其他博文中抽取处理的，目的就是怕这种显然而重要的知识点被淹没。

为了后面讨论方便，这里给出DFS的系数公式（分析公式）：
8 L# H2 O, W$ M+ L5 ~
( A& H2 Z; g( `0 i5 ^             （1）

其中：

% Z- Q0 x& Z) O. v
5 \+ }" j. y/ S' u, s
5 w6 O/ S: D6 s: I综合公式：
2 |4 C, |5 }8 y' j5 @
                  （2）
' F5 L' A2 O  Z0 _7 g& C7 d4 Z  @

& {2 D) J5 Q, t2 V7 ~' S为了方便后面讨论，给出z变换公式供使用。
) P/ R5 n' }( @$ M
; K8 p) h; Z7 b9 v2 I设 x(n) 为一有限长序列，长度为N，即，
1 V* V3 J7 I( h7 A, o1 l/ ^
; `8 N9 I- y. c/ z& L$ d7 ]/ _                    （3）

% Y' H8 V" m. L. q" E那么，能求它的 z 变换为：
                  （4）
$ C0 E  J1 ^0 W  H- H8 T
4 _3 E7 w% M4 c现在，以周期N，周期重复x(n)构造一个周期序列 ，即
/ D5 g7 i9 o! R$ a: ?
             （5）

  G* g1 {9 r3 d4 S6 p4 y4 t
9 j% Z; S' }. q接着讨论DFS和DTFT的关系。

" u. C; X, F. h! v: Y6 O我们大概都知道DTFT和z变换之间的关系，DTFT是单位圆上的z变换。我们通过一个公式就能说清楚，如下：

6 j5 B2 x  _9 s/ m- ]4 e7 n# Q先给出DTFT的公式：

                   （6）
8 ?$ [6 z4 F6 |6 w1 W
. s0 \8 H0 |$ C( Y9 a* ~对比z变换的公式（4），不难看出：
. c% x, G$ j- L1 H4 j
/ a' U" z" q' F( ~             （7）
. j, a. ?  p/ C: V( I% n; c
6 ~4 m5 @$ r; `- }5 s4 D为了避免某些人的抗议，我们不得不做出声明，这里都是针对有限长序列推导的公式，无论针对其他任何可行信号，推导的关系最后都是一样的。
; A% P7 C6 p8 {/ i
- J; d6 y% I: _( B- M! }! ]从（7）式可以看出，DTFT是单位圆上的z变换。
+ ~0 [/ N1 z! y4 P' y* U  V! g
上面又说了DFS和z变换的关系，关系是，DFS 代表了z变换 X(z)在单位圆上N个等间隔样本。
) t9 L3 ?7 T5 S7 |+ q0 m# e
% x. q; R+ Y) d结合z变换和DTFT之间的关系，我们是不是可以说DFS 是对DTFT 上的等间隔采样。采样间隔为 ，下面我们正式推导二者间的关系。
1 b4 g6 j  f+ v
, l3 l" N& C  T, n式（6）为:

# a! y/ A) E* s+ D  B& l' W/ w
7 L) e5 ?) `) e5 x3 p& }% {' n; L
DFS为：
1 S+ l) i5 y3 E3 |4 H


7 J% S* @2 t4 o% I6 ^  D

可以看出，
, Y/ O. f3 Q& }( J+ Z% Y4 K
             （8）

  Q, U$ U$ J' n. C# M2 h令
) y& c8 U- t2 ^+ q
4 `9 ?0 b  Z1 @% ^# f7 D+ }; i                （9）                                          
4 K9 J9 q  J2 C) b
这样，

9 f" T5 f4 U) i) e             （10）

! k7 _* P1 U/ [7 B. \4 _; J7 {" d这意味着 DFS 可以通过以 为间隔对DTFT均匀采样而得到。
( i% L# L" M+ c' v" i
9 [; S5 c9 C& P5 ]8 W8 J% B7 _由z变换和DFTF之间关系：
6 B. |$ f: n4 G6 I1 y


; B3 W" l7 i' H. M. v9 A- H以及式子（14）：
% ]/ ~( {8 _; P
6 `3 e' b& U0 r  y* {
6 G. {# E. f9 B9 i8 i) o: D
* M, \5 m5 N. I! L; U% i; e可见，DFS 表示给出了一种在频域的采样机理；而这个在原理上类似于时域采样。
7 b1 z9 b! U- @2 Y" b, M1 v/ k
- Z% s. W3 n' G3 e7 s间隔 是在频域上的采样间隔，也称为频率分辨率。因为它告诉我们频率样本有多密集。
) S- W6 c7 \" |0 d% k% e

% t  c" b- k4 J) r7 i1 H
: e# `4 E0 s6 @9 D2 o& G1 [
* L; X  W5 p2 m

kinidrily

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