MATLAB ------- DFS 和 DTFT 又有什么关系呢？

ulppknot

上篇讲了DFS和z变换之间的关系：MATLAB ------- 快来看看DFS 与 z 变换之间有什么关系
2 S& n- c( T4 h& f" W7 q; J
这篇博文接着看DFS 和 DTFT 之间的关系，文章同样是从我的其他博文中抽取处理的，目的就是怕这种显然而重要的知识点被淹没。
" n+ q4 H) r! ~2 h; G! y7 U: w
为了后面讨论方便，这里给出DFS的系数公式（分析公式）：

            （1）

其中：



综合公式：

. ~( \: P/ s$ E: P7 g7 {8 u- G                   （2）
7 V4 u/ f9 I/ {3 f5 a

3 N) d; \, H  W- c- {/ w为了方便后面讨论，给出z变换公式供使用。
1 Z4 L: J7 d; r1 R" R& Z8 h
8 s8 X" n7 a9 S: |6 q' ]设 x(n) 为一有限长序列，长度为N，即，
" q# J5 C: F4 A7 D2 ?9 I0 R) ~
                   （3）
) e5 g7 Y8 C$ I% ]
那么，能求它的 z 变换为：
8 y- v3 U% Z- `2 Z1 T                   （4）

现在，以周期N，周期重复x(n)构造一个周期序列 ，即

) T3 k) \2 P/ e              （5）
3 w) F# f0 y2 M

" s$ U" V6 H% _3 n6 L0 F) G接着讨论DFS和DTFT的关系。
9 C1 u# _& w7 o4 g2 p. U" V
& ]) j) X) b+ I+ o6 E8 r- I我们大概都知道DTFT和z变换之间的关系，DTFT是单位圆上的z变换。我们通过一个公式就能说清楚，如下：

先给出DTFT的公式：

) J/ D* Z8 s7 |0 u" r' u                    （6）
, ]* b& Z9 M7 n# C# T
对比z变换的公式（4），不难看出：

7 ~0 v" J' n( T1 k! z6 n             （7）
& M& E$ C  q0 A. u' g
! I- z. ^/ i+ b# D7 U为了避免某些人的抗议，我们不得不做出声明，这里都是针对有限长序列推导的公式，无论针对其他任何可行信号，推导的关系最后都是一样的。

7 r6 a' s# x1 i从（7）式可以看出，DTFT是单位圆上的z变换。

- Q% g' u, c: Q, R0 J, E" q上面又说了DFS和z变换的关系，关系是，DFS 代表了z变换 X(z)在单位圆上N个等间隔样本。
5 }# v7 _" x/ k1 G
结合z变换和DTFT之间的关系，我们是不是可以说DFS 是对DTFT 上的等间隔采样。采样间隔为 ，下面我们正式推导二者间的关系。
9 G1 x3 N. o! ~9 L/ @! o1 l
式（6）为:

6 s8 n8 j) n1 ?- Q
# ]% H& F# l3 e. G) a/ g
# q- a2 d/ s1 l/ P  B$ i  hDFS为：
3 T. x- v+ b0 A2 B
5 v% s/ t& q1 m$ l2 k2 J


# f; B1 K4 ~) N% _
可以看出，

4 d% M1 ~# |1 l" O& m9 i. G9 g              （8）

令

               （9）                                          
/ l! m( Z2 Y; P' b% F
* v; y- T) m) m% N这样，

, g4 |3 Y( g' l& L) X0 z             （10）
( y% K: o! p9 k1 ]0 u
这意味着 DFS 可以通过以 为间隔对DTFT均匀采样而得到。

由z变换和DFTF之间关系：
$ {9 y$ F; o' H% Q+ E  o4 x) k

$ Y2 f! F4 i+ g1 B- d# B* U
以及式子（14）：


2 k+ R+ }  ^9 Z7 ~$ j" b2 A
可见，DFS 表示给出了一种在频域的采样机理；而这个在原理上类似于时域采样。
6 S  Y- J: V9 o
5 k" X# n0 V3 m5 W4 }7 c间隔 是在频域上的采样间隔，也称为频率分辨率。因为它告诉我们频率样本有多密集。
" E' Q! o  L$ g0 D
! z) B) C1 V" K3 j$ T5 y

3 j! E3 v& O9 _1 ~% K
& p1 g. a8 G% b3 _- u


; o7 R0 T) S; S

kinidrily

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