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MATLAB ------- DFS 和 DTFT 又有什么关系呢?

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发表于 2019-11-19 10:15 | 只看该作者 |只看大图 回帖奖励 |倒序浏览 |阅读模式

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x

! ^& u, k6 g3 A# q/ r1 K2 B8 D) O上篇讲了DFS和z变换之间的关系:MATLAB ------- 快来看看DFS 与 z 变换之间有什么关系
7 Q6 M& j+ P- U6 W; ]7 ^
8 t, F/ q6 a& T; [7 _  [这篇博文接着看DFS 和 DTFT 之间的关系,文章同样是从我的其他博文中抽取处理的,目的就是怕这种显然而重要的知识点被淹没。: N9 h: q5 k% l5 X6 g; }- {4 e, a
! `3 t' }# f, L9 ^. M# z+ F# S
为了后面讨论方便,这里给出DFS的系数公式(分析公式):
4 G- y3 H5 `/ f$ c, W
. }) w3 w# X# L! Y* W# h             (1)0 o3 \# q; z3 N9 G  b
/ l7 }( `7 d" a  F
其中:
1 a, }5 R& g' h# c7 O( e: c5 m4 n8 m

7 T. Y- y: \7 O2 ~
- Z1 p/ {* y6 y/ F- {8 T综合公式:4 r  m4 v/ a( ^- c" q( L
, Y# U# \0 o  u
                  (2)8 a; E' k: {) l1 m2 ~: [, p
6 B- o9 {/ S+ `" G/ N
0 g) I0 B8 Q. Y2 y& F% Q
为了方便后面讨论,给出z变换公式供使用。
" c; V5 C# D- s. J! K! j. q
; O4 }- R2 |- |1 {3 G' C6 K设 x(n) 为一有限长序列,长度为N,即,/ L5 U1 u6 U* |: k. ^9 H5 g! k5 b

/ z/ `$ _0 K. U! P                    (3)+ C' B2 e9 p" X2 ?; c

5 _8 M5 H# d- A8 m) o那么,能求它的 z 变换为:; l: z2 y) T1 }% o3 x
                  (4)
) B% N, K5 G3 u1 N. k2 R) Q) H
3 k- Y/ x" |6 o8 w# F2 J现在,以周期N,周期重复x(n)构造一个周期序列 ,即
/ B3 p8 k" K/ u8 _9 F8 E4 Y* D0 z  b) i! x5 ^, ^, e; `
             (5)3 o0 }( Z0 S/ t$ X( i) L# x
0 q" E1 G+ G0 m9 N% B

- k% C- v. i7 j& z1 F2 P. F6 s接着讨论DFS和DTFT的关系。
2 }$ S" }3 I. d4 R1 k% d, m0 B7 m4 f0 X* \1 v
我们大概都知道DTFT和z变换之间的关系,DTFT是单位圆上的z变换。我们通过一个公式就能说清楚,如下:. ?: ^- \! u4 u9 G" i- j7 Z

9 k7 I# b4 l" v& I, m先给出DTFT的公式:
+ j$ {% t- {' B0 \, U
8 Z' ]( Z0 k" m3 @* W' w% f4 [                    (6)
( j% L9 s2 k3 T5 w% p+ j6 ?6 s
1 z! Z4 E5 K' ~, c" m对比z变换的公式(4),不难看出:
- N: _# E( l) Y) T: {
2 V0 _% X+ N# e4 `# N             (7)
) ], p  X  m8 o8 ^+ m2 [5 Q! s' G- A) F) K: M7 g7 C; K
为了避免某些人的抗议,我们不得不做出声明,这里都是针对有限长序列推导的公式,无论针对其他任何可行信号,推导的关系最后都是一样的。
2 O: x1 B( x& n7 f0 q1 g) ~
5 \; e  v, y# s2 O5 T从(7)式可以看出,DTFT是单位圆上的z变换。( y& L4 Z2 O+ ]3 ~

/ C3 j0 S: e( H' E  y  q% S; L, o上面又说了DFS和z变换的关系,关系是,DFS 代表了z变换 X(z)在单位圆上N个等间隔样本。
) c* _  Z3 K; h" \7 ~; _/ O
9 m8 u7 w' a& H2 {结合z变换和DTFT之间的关系,我们是不是可以说DFS 是对DTFT 上的等间隔采样。采样间隔为 ,下面我们正式推导二者间的关系。4 s+ o  Q+ E* ]+ l( h3 Z, i

4 f% l8 F5 X0 d& V式(6)为:, J% {' v* X4 W! \

% T0 R7 i8 e0 G  g! d$ E 5 d; B- X0 y' f6 a

5 `+ N8 L3 R, U9 M" a" K) c) S7 aDFS为:2 ~/ S5 `# I, h) \8 q$ N3 l

  t3 ~& b8 y  E6 z% B$ G5 ] / {6 j% f4 ^' ?, {# |

4 ?' a* [( i+ i; W4 }2 h
4 p$ P- @3 e' W5 j5 p/ F
8 T& R. Y: \, G可以看出,
2 m9 T# Y4 o. w* @1 q5 Y: n* z1 o
7 _  t2 K) x5 h" I& }$ a              (8)7 ~$ s9 W1 V" U. E
: V7 ?6 T+ Z$ r
0 f2 h8 r, Z) y8 D5 n9 a
9 v. I" M3 C$ q0 b
               (9)                                           # C2 y" g+ u: P1 c& Q; O

/ _3 o& _! j  P+ w5 U# u1 m这样,7 m* U! S1 \  ~1 s6 I1 C

! x. Q7 [" T% r3 j( w5 Z             (10)" V; U& y0 m* j9 n: s

# M. @4 w  u! e7 t' i+ C# n这意味着 DFS 可以通过以 为间隔对DTFT均匀采样而得到。
) I$ p" Z' s( d6 u$ k& I
$ V) v2 s$ G( Y* u$ J- G由z变换和DFTF之间关系:
, ?! g# ?, T3 h6 q3 Z2 o4 U1 r" l9 V3 G
  `5 }4 K8 ]$ y+ O& B" @6 u" B! B' B: [
9 r% `2 i& W5 E9 j8 Y
以及式子(14):; J$ j# B5 m' |" k1 W

' e2 A: l' Z# u0 q& i 0 p  n5 [3 T0 K
2 V- m% O$ y# }4 Y
可见,DFS 表示给出了一种在频域的采样机理;而这个在原理上类似于时域采样。% {* U/ Q: n' B- d3 n  W

  L0 |+ Z4 p. _# g/ a% |* n间隔 是在频域上的采样间隔,也称为频率分辨率。因为它告诉我们频率样本有多密集。
1 {% `+ }, a( D9 w; ?- @
8 @- {/ ?' P3 G  V3 R
; y% m( A' Q4 }( C; q0 i
4 g8 ^$ b* |2 ?' V
: W/ J, A  _! s3 r$ m. ?

: I# ]" a  W+ w( i% d; K/ g( ~% G# m$ b
$ a3 C& `& H7 B

9 s0 _* p6 ?5 _- z9 T! L% y0 `
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