MATLAB ------- DFS 和 DTFT 又有什么关系呢？

ulppknot

! ^& u, k6 g3 A# q/ r1 K2 B8 D) O上篇讲了DFS和z变换之间的关系：MATLAB ------- 快来看看DFS 与 z 变换之间有什么关系
7 Q6 M& j+ P- U6 W; ]7 ^
8 t, F/ q6 a& T; [7 _  [这篇博文接着看DFS 和 DTFT 之间的关系，文章同样是从我的其他博文中抽取处理的，目的就是怕这种显然而重要的知识点被淹没。

为了后面讨论方便，这里给出DFS的系数公式（分析公式）：
4 G- y3 H5 `/ f$ c, W
. }) w3 w# X# L! Y* W# h             （1）

其中：
1 a, }5 R& g' h# c

7 T. Y- y: \7 O2 ~
- Z1 p/ {* y6 y/ F- {8 T综合公式：

                  （2）


为了方便后面讨论，给出z变换公式供使用。
" c; V5 C# D- s. J! K! j. q
; O4 }- R2 |- |1 {3 G' C6 K设 x(n) 为一有限长序列，长度为N，即，

/ z/ `$ _0 K. U! P                    （3）

5 _8 M5 H# d- A8 m) o那么，能求它的 z 变换为：
                  （4）
) B% N, K5 G3 u1 N. k2 R) Q) H
3 k- Y/ x" |6 o8 w# F2 J现在，以周期N，周期重复x(n)构造一个周期序列 ，即
/ B3 p8 k" K/ u8 _9 F8 E
             （5）


- k% C- v. i7 j& z1 F2 P. F6 s接着讨论DFS和DTFT的关系。
2 }$ S" }3 I. d4 R
我们大概都知道DTFT和z变换之间的关系，DTFT是单位圆上的z变换。我们通过一个公式就能说清楚，如下：

9 k7 I# b4 l" v& I, m先给出DTFT的公式：
+ j$ {% t- {' B0 \, U
8 Z' ]( Z0 k" m3 @* W' w% f4 [                    （6）
( j% L9 s2 k3 T5 w% p+ j6 ?6 s
1 z! Z4 E5 K' ~, c" m对比z变换的公式（4），不难看出：
- N: _# E( l) Y) T: {
2 V0 _% X+ N# e4 `# N             （7）
) ], p  X  m8 o8 ^+ m2 [
为了避免某些人的抗议，我们不得不做出声明，这里都是针对有限长序列推导的公式，无论针对其他任何可行信号，推导的关系最后都是一样的。
2 O: x1 B( x& n7 f0 q1 g) ~
5 \; e  v, y# s2 O5 T从（7）式可以看出，DTFT是单位圆上的z变换。

/ C3 j0 S: e( H' E  y  q% S; L, o上面又说了DFS和z变换的关系，关系是，DFS 代表了z变换 X(z)在单位圆上N个等间隔样本。
) c* _  Z3 K; h" \7 ~; _/ O
9 m8 u7 w' a& H2 {结合z变换和DTFT之间的关系，我们是不是可以说DFS 是对DTFT 上的等间隔采样。采样间隔为 ，下面我们正式推导二者间的关系。

4 f% l8 F5 X0 d& V式（6）为:

% T0 R7 i8 e0 G  g! d$ E

5 `+ N8 L3 R, U9 M" a" K) c) S7 aDFS为：

  t3 ~& b8 y  E6 z% B$ G5 ]

4 ?' a* [( i+ i; W4 }2 h
4 p$ P- @3 e' W5 j5 p/ F
8 T& R. Y: \, G可以看出，
2 m9 T# Y4 o. w* @1 q5 Y: n* z1 o
7 _  t2 K) x5 h" I& }$ a              （8）

令

               （9）                                          

/ _3 o& _! j  P+ w5 U# u1 m这样，

! x. Q7 [" T% r3 j( w5 Z             （10）

# M. @4 w  u! e7 t' i+ C# n这意味着 DFS 可以通过以 为间隔对DTFT均匀采样而得到。
) I$ p" Z' s( d6 u$ k& I
$ V) v2 s$ G( Y* u$ J- G由z变换和DFTF之间关系：
, ?! g# ?, T3 h6 q3 Z


以及式子（14）：

' e2 A: l' Z# u0 q& i

可见，DFS 表示给出了一种在频域的采样机理；而这个在原理上类似于时域采样。

  L0 |+ Z4 p. _# g/ a% |* n间隔 是在频域上的采样间隔，也称为频率分辨率。因为它告诉我们频率样本有多密集。
1 {% `+ }, a( D9 w; ?- @
8 @- {/ ?' P3 G  V3 R



: I# ]" a  W+ w


9 s0 _* p6 ?5 _- z9 T! L% y0 `

kinidrily

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