怎样在MATLAB中实现这几种常见的窗函数

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怎样在MATLAB中实现这几种常见的窗函数
: J' s- |) F/ L# Q, k" F
9 c5 r( ~! V( o9 O, J
数字信号处理中通常是取其有限的时间片段进行分析，而不是对无限长的信号进行测量和运算。具体做法是从信号中截取一个时间片段，然后对信号进行傅里叶变换、相关分析等数学处理。信号的截断产生了能量泄漏，而用FFT算法计算频谱又产生了栅栏效应，从原理上讲这两种误差都是不能消除的。在FFT分析中为了减少或消除频谱能量泄漏及栅栏效应，可采用不同的截取函数对信号进行截短，截短函数称为窗函数，简称为窗。
3 T- |8 ]4 }& M1 i7 J9 {! y. L% {泄漏与窗函数频谱的两侧旁瓣有关，对于窗函数的选用总的原则是，要从保持最大信息和消除旁瓣的综合效果出发来考虑问题，尽可能使窗函数频谱中的主瓣宽度应尽量窄，以获得较陡的过渡带；旁瓣衰减应尽量大，以提高阻带的衰减，但通常都不能同时满足这两个要求。频谱中的如果两侧瓣的高度趋于零，而使能量相对集中在主瓣，就可以较为接近于真实的频谱。不同的窗函数对信号频谱的影响是不一样的，这主要是因为不同的窗函数，产生泄漏的大小不一样，频率分辨能力也不一样。信号的加窗处理，重要的问题是在于根据信号的性质和研究目的来选用窗函数。图1是几种常用的窗函数的时域和频域波形，其中矩形窗主瓣窄，旁瓣大，频率识别精度最高，幅值识别精度最低，如果仅要求精确读出主瓣频率，而不考虑幅值精度，则可选用矩形窗，例如测量物体的自振频率等；布莱克曼窗主瓣宽，旁瓣小，频率识别精度最低，但幅值识别精度最高；如果分析窄带信号，且有较强的干扰噪声，则应选用旁瓣幅度小的窗函数，如汉宁窗、三角窗等；对于随时间按指数衰减的函数，可采用指数窗来提高信噪比。表1 是几种常用的窗函数的比较。
6 a- k* z( o" e' T, b. A
如果被测信号是随机或者未知的，或者是一般使用者对窗函数不大了解，要求也不是特别高时，可以选择汉宁窗，因为它的泄漏、波动都较小，并且选择性也较高。但在用于校准时选用平顶窗较好，因为它的通带波动非常小，幅度误差也较小。

" E! ~) l; `( n; c

表1 几种常用的窗函数的比较

名称	特点	应用
矩形窗 Rectangle	矩形窗使用最多，习惯上不加窗就是使信号通过了矩形窗。这种窗的优点是主瓣比较集中，缺点是旁瓣较高，并有负旁瓣，导致变换中带进了高频干扰和泄漏，甚至出现负谱现象。频率识别精度最高，幅值识别精度最低，所以矩形窗不是一个理想的窗。	如果仅要求精确读出主瓣频率，而不考虑幅值精度，则可选用矩形窗，例如测量物体的自振频率等，也可以用在阶次分析中。
汉宁窗 Hanning	又称升余弦窗。主瓣加宽并降低，旁瓣则显著减小，从减小泄漏观点出发，汉宁窗优于矩形窗．但汉宁窗主瓣加宽，相当于分析带宽加宽，频率分辨力下降。它与矩形窗相比，泄漏、波动都减小了,并且选择性也提高。	是很有用的窗函数。如果测试信号有多个频率分量，频谱表现的十分复杂，且测试的目的更多关注频率点而非能量的大小，需要选择汉宁窗。如果被测信号是随机或者未知的，选择汉宁窗。
海明窗 （汉明窗） Hamming	与汉宁窗都是余弦窗，又称改进的升余弦窗，只是加权系数不同，使旁瓣达到更小。但其旁瓣衰减速度比汉宁窗衰减速度慢。	与汉明窗类似，也是很有用的窗函数。
平顶窗 Flap Top	平顶窗在频域时的表现就象它的名称一样有非常小的通带波动。	由于在幅度上有较小的误差，所以这个窗可以用在校准上。
凯塞窗 Kaiser	定义了一组可调的由零阶贝塞尔Bessel 函数构成的窗函数，通过调整参数β可以在主瓣宽度和旁瓣衰减之间自由选择它们的比重。对于某一长度的Kaiser 窗，给定β，则旁瓣高度也就固定了。
布莱克曼窗 Blackman	二阶升余弦窗，主瓣宽，旁瓣比较低，但等效噪声带宽比汉宁窗要大一点，波动却小一点。频率识别精度最低，但幅值识别精度最高，有更好的选择性。	常用来检测两个频率相近幅度不同的信号。
高斯窗 Gaussian	是一种指数窗。主瓣较宽，故而频率分辨力低；无负的旁瓣，第一旁瓣衰减达一55dB。常被用来截短一些非周期信号，如指数衰减信号等。	对于随时间按指数衰减的函数，可采用指数窗来提高信噪比。
三角窗 （费杰窗） Fejer	是幂窗的一次方形式。与矩形窗比较，主瓣宽约等于矩形窗的两倍，但旁瓣小，而且无负旁瓣。	如果分析窄带信号，且有较强的干扰噪声，则应选用旁瓣幅度小的窗函数，如汉宁窗、三角窗等；
切比雪夫窗（Chebyshev）	在给定旁瓣高度下，Chebyshev窗的主瓣宽度最小，具有等波动性，也就是说，其所有的旁瓣都具有相等的高度。

/ ^4 Y$ `* v; r9 }& N
; ?$ b# E  a9 s# l7 z/ H
( f1 X3 v' T6 S) t下面是几种窗函数归一化DTFT幅度的MATLAB程序:
% O8 W" H* G( |1 z
附上DTFT函数（dtft.m）：

" x& q" y/ m6 C! P* Xfunction [ X ] = dtft( x,n,w )

/ B5 P) M. a6 D; C* `! B0 h* v%   Computes Discrete-time Fourier Transform
% A# T+ i* I# H; [& R
%   [X] = dtft(x,n,w)
: }' q7 L+ F- G1 V
%    X = DTFT values computed at w.frequencies

%    x = finite duration sequence over n
5 G& r% w) ]7 R* e
" c$ b& H/ v$ N8 K%    n = sample position vector
3 g8 R8 u7 B) J7 |  ?& u6 O
6 p8 \# ?4 Q+ Y' m# e- Q) O%    w = frequency location vector

X = x*exp(-j*n'*w);

%
3 @  X1 }" F" [% |5 G5 }, l# V
end


: A, m( B% p: R3 V/ b; a0 o! H- b0 F
: o% w2 m2 K. L; e/ o) j2 N. E矩形窗:

* H; N$ c# D. Q$ s6 i%DTFT of a Rectangular Window, M=10,25,50,101

clc; close all;
) x+ R* m6 m" U5 H* m: h' R6 T+ P
5 P! i; o8 x9 p( |* c) P( _% B- R( wHf_1=figure; set(Hf_1,'NumberTitle','off','Name','P0304a');

: @5 a5 y8 w5 H( H# nw=linspace(-pi,pi,501); wtick=[-1:0.5:1]; magtick=[0:0.5:1.1];
, U& b- q( s& X4 O- Y1 r6 L* K* @
) {9 C+ o2 ^( P& T: R; U% M=10
5 o  n7 y$ E- Q
M=10; n=0:M; x=ones(1,length(n));

% X5 E8 V$ c5 m! V. tX=dtft(x,n,w); magX=abs(X); magX=magX/max(magX);
" C( j9 R) S! \5 }
. L+ b! i3 f( F6 Nsubplot(2,2,1); plot(w/pi,magX,'LineWidth',1.5); axis([-1 1 0 1.1]);
% F5 O' [) D0 u; H, P% Q; m
2 w0 B3 t; V, O. [7 u( ]& w( S, Uylabel('|X|'); title(['M=10']);
% j8 t* |2 i% U  T4 F$ T5 ^; z. c' Y
set(gca,'XTick',wtick,'YTick',magtick);

% M=25
1 O! I3 j' B7 r, D
M=25; n=0:M; x=ones(1,length(n));
+ K  a1 u- f1 k" F
/ x) N7 R4 ~3 A7 CX=dtft(x,n,w); magX=abs(X); magX=magX/max(magX);
* a  ~8 l4 U5 q  I9 q+ M
8 ?: x/ c" G$ M: }; V8 X8 Q, q$ |subplot(2,2,2); plot(w/pi,magX,'LineWidth',1.5); axis([-1 1 0 1.1]);
! @1 y8 d+ Y, @
title(['M=25']); set(gca,'XTick',wtick,'YTick',magtick);
; ^' K8 w& V' |
: k# t# s# H- m1 C: L% M=50
8 T( L9 A; \$ f6 q6 ]7 |9 ?
) \* S: W2 D+ RM=50; n=0:M; x=ones(1,length(n));

6 H; y  n; ~7 G# {; H0 PX=dtft(x,n,w); magX=abs(X); magX=magX/max(magX);

subplot(2,2,3); plot(w/pi,magX,'LineWidth',1.5); axis([-1 1 0 1.1]);

xlabel('\omega/\pi'); ylabel('|X|');
  i( f: G& G4 m$ l
4 h9 P2 C$ i* K; o# n2 v3 g7 Vtitle('M=50'); set(gca,'XTick',wtick,'YTick',magtick);
+ @9 h9 w; g" x) X6 X0 `. O
8 D9 B% T# k, s6 S" b% M=101

- d: i' j) U7 O+ Z' M! N: E6 M5 t% JM=101; n=0:M; x=ones(1,length(n));
# q! z/ T' N! r. I2 V* W
3 D  S* f8 J. J+ c. d0 NX=dtft(x,n,w); magX=abs(X); magX=magX/max(magX);

subplot(2,2,4); plot(w/pi,magX,'LineWidth',1.5); axis([-1 1 0 1.1]);

xlabel('\omega/\pi'); ylabel('|X|');
! ~& J) u  z) q- O4 A  W) D) _) b
/ f9 m3 g) v9 C9 \# O% {. Gtitle(['M=101']);

# q8 F' A8 G) |8 n7 [) v, T
" j* ]: Y8 ?. K; E三角窗:
2 L, U2 A* D9 a( S# b' s2 o
% Triangular Window:
* [1 p& v* _, O: |7 ~4 D
$ }" N, u7 x% C$ n) S# M% DTFT of a Triangular Window,M = 10,25,50,101
" j/ D0 Z) B( Q
8 [$ v! S" r. R5 j6 ]clc; close all;
7 A5 z8 x: {+ R3 {6 f6 \6 D% r
. x$ X! F( ^5 [1 z, WHf_1=figure; set(Hf_1,'NumberTitle','off','Name','P0304b');
% ]' Q5 i& l, w% Y0 }+ [3 m
* N( [+ _' b) P2 \- ]w=linspace(-pi,pi,501); wtick=[-1:0.5:1]; magtick=[0:0.5:1.1];

% M = 10
' M. z0 }2 f2 p+ \5 q6 C
M=10; n=0:M; x=(1-(abs(M-1-(2*n))/(M+1)));
: G' ?: k- l; k* V7 Q! Y( q
x=dtft(x,n,w); magX=abs(X); magX=magX/max(magX);

subplot(2,2,1); plot(w/pi,magX,'LineWidth',1.5); axis([-1 1 0 1.1]);
' |: N, {% n7 e; H/ T2 t4 l1 r' i
4 `' n* a- p# |, V9 j5 Bylabel('|X|'); title(['M = 10']);

set(gca,'XTick',wtick,'YTick',magtick);

% M = 25

( A9 Q$ X4 a9 ?+ r9 mM=25; n=0:M; x=(1-(abs(M-1-(2*n))/(M+1)));

, S: e3 `  V2 }( O2 `! a0 x* ~X=dtft(x,n,w); magX=abs(X); magX=magX/max(magX);

: O* q: c3 P6 [4 Z; a( V; Nsubplot(2,2,2); plot(w/pi,magX,'LineWidth',1.5); axis([-1 1 0 1.1]);

7 r7 q* N4 i! ]  _& x% E5 mtitle(['M = 25']); set(gca,'XTick',wtick,'YTick',magtick);

3 w- ~9 s2 u" \" Z: ~6 s0 ]% M = 50
, C7 q- W- [) O, O* o8 v
- R3 g) A) z8 a8 u- E0 G7 X3 xM=50; n=0:M; x=(1-(abs(M-1-(2*n))/(M+1)));
, h. y: \) M8 P# ^; K/ P
$ u* H( O4 }4 |. FX=dtft(x,n,w); magX=abs(X); magX=magX/max(magX);

/ R/ b% G) q5 r4 y; Q7 ^) U5 hsubplot(2,2,3); plot(w/pi,magX,'LineWidth',1.5); axis([-1 1 0 1.1]);

" c7 F( G" R2 J7 G: e1 sxlabel('\omega/\pi'); ylabel('|X|'); title(['M = 50']);
  [7 ^! H, T$ K' K* @2 R4 _; C
* S6 t' d# X+ J" I* W& ?% Gset(gca,'XTick',wtick,'YTick',magtick);

8 r# d- X6 P- C6 ~' Y# A" Y1 u- g% M = 100

+ L- x9 @8 s; D+ f6 {2 {3 K5 YM=101;n=0:M; x=(1-(abs(M-1-(2*n))/(M+1)));

X=dtft(x,n,w); magX=abs(X); magX=magX/max(magX);
# J. S2 e. `# s7 q0 L0 u
0 b: l# ?7 _& g( ^6 I7 csubplot(2,2,4); plot(w/pi,magX,'LineWidth',1.5); axis([-1 1 0 1.1]);
$ J5 U6 o" m. e( j( e' z! I8 p
4 a8 e2 \% O1 F0 B( k' e3 ixlabel('\omega/\pi'); title(['M = 101']);
) W. O1 p: F; Z8 w% Z  Y
$ t) y, b: H" X3 ~! V% D* u" N) Yset(gca,'XTick',wtick,'YTick',magtick);

) I8 ~* |4 Q; ^" a+ b+ }6 O: O. ~

海宁窗:
+ U: J/ S! d1 K  J$ V
1 {$ A0 Q6 m: P- O. h9 l1 Y  H% Hann Window
8 i6 ~  u6 m% T
/ @5 h5 w* l* k& i+ y8 G* \% DTFT of a Hann Window, M = 10,25,50,101

6 P* f# y( O, S7 D$ h% e8 y! Fclc;close all;

. [; ]% E' C3 @: \4 W# h- ^Hf_1 = figure; set(Hf_1,'NumberTitle','off','Name','P0304c');
. I$ z) x! \1 [$ k
w=linspace(-pi,pi,501); wtick=[-1:0.5:1]; magtick=[0:0.5:1.1];

! s  W  @# k$ w( T7 ~0 U! l- x0 c% M = 10

M=10;n=0:M; x=0.5*(1-cos((2*pi*n)/(M-1)));
5 N4 @, r! i+ A4 L" ^* G
X=dtft(x,n,w); magX=abs(X); magX=magX/max(magX);

subplot(2,2,1); plot(w/pi,magX,'LineWidth',1.5); axis([-1 1 0 1.1]);
- t5 r9 a9 n' R" L
ylabel('|X|'); title(['M = 10']);
: C9 G% ]: C5 l+ e2 {
+ j( b" L2 m+ Y8 \2 m, Hset(gca,'XTick',wtick,'YTick',magtick);
* t& L/ m  `" _/ i4 q
9 c' c5 h2 P4 `  k) y' D5 I- [% M = 25

M=25;n=0:M; x=0.5*(1-cos((2*pi*n)/(M-1)));

X=dtft(x,n,w); magX=abs(X); magX=magX/max(magX);

subplot(2,2,2); plot(w/pi,magX,'LineWidth',1.5); axis([-1 1 0 1.1]);

title(['M = 25']);

* {% M! @% l: m( Tset(gca,'XTick',wtick,'YTick',magtick);

% M = 50
1 X$ I$ k. c1 X% `. ^) Y! ~$ A
M=50;n=0:M; x=0.5*(1-cos((2*pi*n)/(M-1)));

X=dtft(x,n,w); magX=abs(X); magX=magX/max(magX);
3 V) }, m$ u8 g9 N" C
subplot(2,2,3); plot(w/pi,magX,'LineWidth',1.5); axis([-1 1 0 1.1]);

- Q/ R2 U2 ~$ d* c( m) E, exlabel('\omega/\pi'); ylabel('|X|'); title(['M = 50']);

& W# ]+ b7 W* Q( Cset(gca,'XTick',wtick,'YTick',magtick);
, {: A% |8 `8 i% H4 x. V7 L2 a5 ~
  v- W) y/ S+ z8 y( k) r: v% M = 101
, x3 `$ D. W3 N% j
9 E2 J2 ~$ @8 T' m) k) V: L9 ?M=101;n=0:M; x=0.5*(1-cos((2*pi*n)/(M-1)));
, O! ]( h) M  j7 u( ~. P
X=dtft(x,n,w); magX=abs(X); magX=magX/max(magX);
7 F3 J2 ~" F& {) F) O/ z' i/ [5 E$ P
subplot(2,2,4); plot(w/pi,magX,'LineWidth',1.5); axis([-1 1 0 1.1]);
6 Z/ X/ {0 D" C: w
( a5 {0 x! z; ]8 g! yxlabel('\omega/\pi'); title(['M = 101']);

set(gca,'XTick',wtick,'YTick',magtick);
( t' o( B; f" o3 h

哈明窗:

% Hamming Window:

clc; close all;

$ M0 |5 y, j" I/ e9 v( d/ iHf_1=figure; set(Hf_1,'NumberTitle','off','Name','P0304d');
; w- R# p9 B4 W0 ^
w=linspace(-pi,pi,501); wtick=[-1:0.5:1]; magtick=[0:0.5:1.1];
4 J& {+ w4 c2 P# Q! w
% M = 10
% |6 \5 K) F1 g' ]4 c7 n9 [
, k6 a1 b) o! e! ]& F8 N6 uM=10; n=0:M; x=(0.54-0.46*cos((2*pi*n)/(M-1)));

X=dtft(x,n,w); magX=abs(X); magX=magX/max(magX);
4 s9 t8 [4 E- }( q# v- \  G
subplot(2,2,1); plot(w/pi,magX,'LineWidth',1.5); axis([-1 1 0 1.1]);

5 V. Z/ c  e' ^: I ylabel('|X|'); title(['M = 10']);

) H3 f( T2 G( e( H9 `4 d; J& fset(gca,'XTick',wtick,'YTick',magtick);
/ _, z7 I5 O1 N* [1 w0 e: ^2 o
% M = 25

M=25; n=0:M; x=(0.54-0.46*cos((2*pi*n)/(M-1)));
! E7 g  ?/ @: U/ e2 q3 l
X=dtft(x,n,w); magX=abs(X); magX=magX/max(magX);
/ b8 e1 m# U! T# ?( }, m% k
  W! n% }8 `2 P/ Y" Bsubplot(2,2,2); plot(w/pi,magX,'LineWidth',1.5); axis([-1 1 0 1.1]);

title(['M = 25']);
4 n! `  z0 }) ?. p0 l: r
set(gca,'XTick',wtick,'YTick',magtick);
. H. \- G& \5 O: b
% M = 50

! v' x; o9 d( @M=50; n=0:M; x=(0.54-0.46*cos((2*pi*n)/(M-1)));

X=dtft(x,n,w); magX=abs(X); magX=magX/max(magX);
* L' P3 T6 ~# u" U0 ^# _
; k% W' e+ M# g! G: g6 vsubplot(2,2,3); plot(w/pi,magX,'LineWidth',1.5); axis([-1 1 0 1.1]);
+ h: R: N  K6 H0 n% X7 ?7 {. Z' d
xlabel('\omega/\pi'); ylabel('|X|'); title(['M=50']);

" n; V& t; }7 W! l2 h0 S$ ^set(gca,'XTick',wtick,'YTick',magtick);

. r" X2 \' u) x" w) [8 g6 x% M = 101

M=101; n=0:M; x=(0.54-0.46*cos((2*pi*n)/(M-1)));

7 x7 `, y8 Q" t$ AX=dtft(x,n,w); magX=abs(X); magX=magX/max(magX);
, d1 D' d1 F4 k
subplot(2,2,4); plot(w/pi,magX,'LineWidth',1.5); axis([-1 1 0 1.1]);

xlabel('\omega/\pi');title(['M=101']);

set(gca,'XTick',wtick,'YTick',magtick);
; o' J. D5 H# ?7 d. D! C/ q7 p

  z! q* p) |/ v3 ~9 \( t# R
! M5 @; R9 g: v! x

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