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怎样在MATLAB中实现这几种常见的窗函数
: J' s- |) F/ L# Q, k" F
9 c5 r( ~! V( o9 O, J4 W+ Y# D- Q2 i' O3 Y" q. R
数字信号处理中通常是取其有限的时间片段进行分析,而不是对无限长的信号进行测量和运算。具体做法是从信号中截取一个时间片段,然后对信号进行傅里叶变换、相关分析等数学处理。信号的截断产生了能量泄漏,而用FFT算法计算频谱又产生了栅栏效应,从原理上讲这两种误差都是不能消除的。在FFT分析中为了减少或消除频谱能量泄漏及栅栏效应,可采用不同的截取函数对信号进行截短,截短函数称为窗函数,简称为窗。
3 T- |8 ]4 }& M1 i7 J9 {! y. L% {泄漏与窗函数频谱的两侧旁瓣有关,对于窗函数的选用总的原则是,要从保持最大信息和消除旁瓣的综合效果出发来考虑问题,尽可能使窗函数频谱中的主瓣宽度应尽量窄,以获得较陡的过渡带;旁瓣衰减应尽量大,以提高阻带的衰减,但通常都不能同时满足这两个要求。频谱中的如果两侧瓣的高度趋于零,而使能量相对集中在主瓣,就可以较为接近于真实的频谱。不同的窗函数对信号频谱的影响是不一样的,这主要是因为不同的窗函数,产生泄漏的大小不一样,频率分辨能力也不一样。信号的加窗处理,重要的问题是在于根据信号的性质和研究目的来选用窗函数。图1是几种常用的窗函数的时域和频域波形,其中矩形窗主瓣窄,旁瓣大,频率识别精度最高,幅值识别精度最低,如果仅要求精确读出主瓣频率,而不考虑幅值精度,则可选用矩形窗,例如测量物体的自振频率等;布莱克曼窗主瓣宽,旁瓣小,频率识别精度最低,但幅值识别精度最高;如果分析窄带信号,且有较强的干扰噪声,则应选用旁瓣幅度小的窗函数,如汉宁窗、三角窗等;对于随时间按指数衰减的函数,可采用指数窗来提高信噪比。表1 是几种常用的窗函数的比较。
6 a- k* z( o" e' T, b. A* N9 R; W* I! v4 r
如果被测信号是随机或者未知的,或者是一般使用者对窗函数不大了解,要求也不是特别高时,可以选择汉宁窗,因为它的泄漏、波动都较小,并且选择性也较高。但在用于校准时选用平顶窗较好,因为它的通带波动非常小,幅度误差也较小。; O' K% y$ N# `& o/ C# ~ Y
" E! ~) l; `( n; c表1 几种常用的窗函数的比较 0 e! j, s _8 P0 w
名称 | 特点 | 应用 | 矩形窗 Rectangle | 矩形窗使用最多,习惯上不加窗就是使信号通过了矩形窗。这种窗的优点是主瓣比较集中,缺点是旁瓣较高,并有负旁瓣,导致变换中带进了高频干扰和泄漏,甚至出现负谱现象。频率识别精度最高,幅值识别精度最低,所以矩形窗不是一个理想的窗。 | 如果仅要求精确读出主瓣频率,而不考虑幅值精度,则可选用矩形窗,例如测量物体的自振频率等,也可以用在阶次分析中。 | 汉宁窗 Hanning | 又称升余弦窗。主瓣加宽并降低,旁瓣则显著减小,从减小泄漏观点出发,汉宁窗优于矩形窗.但汉宁窗主瓣加宽,相当于分析带宽加宽,频率分辨力下降。它与矩形窗相比,泄漏、波动都减小了,并且选择性也提高。 | 是很有用的窗函数。如果测试信号有多个频率分量,频谱表现的十分复杂,且测试的目的更多关注频率点而非能量的大小,需要选择汉宁窗。如果被测信号是随机或者未知的,选择汉宁窗。 | 海明窗 (汉明窗) Hamming | 与汉宁窗都是余弦窗,又称改进的升余弦窗,只是加权系数不同,使旁瓣达到更小。但其旁瓣衰减速度比汉宁窗衰减速度慢。 | 与汉明窗类似,也是很有用的窗函数。 | 平顶窗 Flap Top | 平顶窗在频域时的表现就象它的名称一样有非常小的通带波动。 | 由于在幅度上有较小的误差,所以这个窗可以用在校准上。 | 凯塞窗 Kaiser | 定义了一组可调的由零阶贝塞尔Bessel 函数构成的窗函数,通过调整参数β可以在主瓣宽度和旁瓣衰减之间自由选择它们的比重。对于某一长度的Kaiser 窗,给定β,则旁瓣高度也就固定了。 | | 布莱克曼窗 Blackman | 二阶升余弦窗,主瓣宽,旁瓣比较低,但等效噪声带宽比汉宁窗要大一点,波动却小一点。频率识别精度最低,但幅值识别精度最高,有更好的选择性。 | 常用来检测两个频率相近幅度不同的信号。 | 高斯窗 Gaussian | 是一种指数窗。主瓣较宽,故而频率分辨力低;无负的旁瓣,第一旁瓣衰减达一55dB。常被用来截短一些非周期信号,如指数衰减信号等。 | 对于随时间按指数衰减的函数,可采用指数窗来提高信噪比。 | 三角窗 (费杰窗) Fejer | 是幂窗的一次方形式。与矩形窗比较,主瓣宽约等于矩形窗的两倍,但旁瓣小,而且无负旁瓣。 | 如果分析窄带信号,且有较强的干扰噪声,则应选用旁瓣幅度小的窗函数,如汉宁窗、三角窗等; | 切比雪夫窗(Chebyshev) | 在给定旁瓣高度下,Chebyshev窗的主瓣宽度最小,具有等波动性,也就是说,其所有的旁瓣都具有相等的高度。 | |
/ ^4 Y$ `* v; r9 }& N
; ?$ b# E a9 s# l7 z/ H
( f1 X3 v' T6 S) t下面是几种窗函数归一化DTFT幅度的MATLAB程序:
% O8 W" H* G( |1 z' N+ p5 [; I. o0 ?8 z" X
附上DTFT函数(dtft.m):# N9 m% j$ Z4 B+ H2 K
" x& q" y/ m6 C! P* Xfunction [ X ] = dtft( x,n,w )1 x: Q9 R& _ d' T5 Y
/ B5 P) M. a6 D; C* `! B0 h* v% Computes Discrete-time Fourier Transform
% A# T+ i* I# H; [& R& L8 c/ v/ c" Q- R* |
% [X] = dtft(x,n,w)
: }' q7 L+ F- G1 V! X7 s+ H2 q8 |/ {. y5 {# e
% X = DTFT values computed at w.frequencies' X0 n$ y' E ]/ o5 } O. k
* q" U! a/ D+ `* ^; h- G
% x = finite duration sequence over n
5 G& r% w) ]7 R* e
" c$ b& H/ v$ N8 K% n = sample position vector
3 g8 R8 u7 B) J7 | ?& u6 O
6 p8 \# ?4 Q+ Y' m# e- Q) O% w = frequency location vector0 x0 ^; r' Z6 U
0 d+ e. W+ M: \, [* C
X = x*exp(-j*n'*w);- b* b; I- ~$ ?0 n, a B
5 v& a3 W( t' j3 [. v
%
3 @ X1 }" F" [% |5 G5 }, l# V5 e6 A' ?4 t, T: Y4 I
end4 R3 G2 Z Z- q D- P
( X5 M3 w( E2 d; v1 U) }) N9 Y1 F' n
: A, m( B% p: R3 V/ b; a0 o! H- b0 F
: o% w2 m2 K. L; e/ o) j2 N. E矩形窗:( J6 @3 Q* \% j$ [0 g6 M# M
* H; N$ c# D. Q$ s6 i%DTFT of a Rectangular Window, M=10,25,50,1012 u/ t- c/ v5 k2 [6 }- _2 N
# P( `5 e9 [# Q
clc; close all;
) x+ R* m6 m" U5 H* m: h' R6 T+ P
5 P! i; o8 x9 p( |* c) P( _% B- R( wHf_1=figure; set(Hf_1,'NumberTitle','off','Name','P0304a');( P" c/ D# M g9 J5 }' c; C4 Z. {
: @5 a5 y8 w5 H( H# nw=linspace(-pi,pi,501); wtick=[-1:0.5:1]; magtick=[0:0.5:1.1];
, U& b- q( s& X4 O- Y1 r6 L* K* @
) {9 C+ o2 ^( P& T: R; U% M=10
5 o n7 y$ E- Q7 `# e& Q$ g9 q; e
M=10; n=0:M; x=ones(1,length(n));" u* r$ s, {- e$ R/ p
% X5 E8 V$ c5 m! V. tX=dtft(x,n,w); magX=abs(X); magX=magX/max(magX);
" C( j9 R) S! \5 }
. L+ b! i3 f( F6 Nsubplot(2,2,1); plot(w/pi,magX,'LineWidth',1.5); axis([-1 1 0 1.1]);
% F5 O' [) D0 u; H, P% Q; m
2 w0 B3 t; V, O. [7 u( ]& w( S, Uylabel('|X|'); title(['M=10']);
% j8 t* |2 i% U T4 F$ T5 ^; z. c' Y1 l+ f8 J. Y% h: } `5 |* X/ Z
set(gca,'XTick',wtick,'YTick',magtick);. t- h" g+ o- A/ m% W T- P# w. F
R8 l' m" S: X8 D; a) R
% M=25
1 O! I3 j' B7 r, D0 {- q2 ?/ ^# G
M=25; n=0:M; x=ones(1,length(n));
+ K a1 u- f1 k" F
/ x) N7 R4 ~3 A7 CX=dtft(x,n,w); magX=abs(X); magX=magX/max(magX);
* a ~8 l4 U5 q I9 q+ M
8 ?: x/ c" G$ M: }; V8 X8 Q, q$ |subplot(2,2,2); plot(w/pi,magX,'LineWidth',1.5); axis([-1 1 0 1.1]);
! @1 y8 d+ Y, @; [/ r% `) \5 I2 }( d5 i
title(['M=25']); set(gca,'XTick',wtick,'YTick',magtick);
; ^' K8 w& V' |
: k# t# s# H- m1 C: L% M=50
8 T( L9 A; \$ f6 q6 ]7 |9 ?
) \* S: W2 D+ RM=50; n=0:M; x=ones(1,length(n));" l6 R. E' P. x! W6 h4 @( H( K- m
6 H; y n; ~7 G# {; H0 PX=dtft(x,n,w); magX=abs(X); magX=magX/max(magX);1 Q2 l: e! I: t% c" ?1 {- [
2 C% `8 v% D) O
subplot(2,2,3); plot(w/pi,magX,'LineWidth',1.5); axis([-1 1 0 1.1]);! Y8 s! y( ~# P) {( e, u. ^
9 F% I5 \8 H: D) t. c
xlabel('\omega/\pi'); ylabel('|X|');
i( f: G& G4 m$ l
4 h9 P2 C$ i* K; o# n2 v3 g7 Vtitle('M=50'); set(gca,'XTick',wtick,'YTick',magtick);
+ @9 h9 w; g" x) X6 X0 `. O
8 D9 B% T# k, s6 S" b% M=101; m# Q+ f+ s l- A* ^; u
- d: i' j) U7 O+ Z' M! N: E6 M5 t% JM=101; n=0:M; x=ones(1,length(n));
# q! z/ T' N! r. I2 V* W
3 D S* f8 J. J+ c. d0 NX=dtft(x,n,w); magX=abs(X); magX=magX/max(magX);8 ?% N5 o: ^) r; a; a y
- _4 b" G6 V: T$ w9 _4 ~3 o5 N
subplot(2,2,4); plot(w/pi,magX,'LineWidth',1.5); axis([-1 1 0 1.1]);3 I* E9 l1 e. S8 y( s9 Z" Q( e
4 E" C- s0 T' J8 s- S
xlabel('\omega/\pi'); ylabel('|X|');
! ~& J) u z) q- O4 A W) D) _) b
/ f9 m3 g) v9 C9 \# O% {. Gtitle(['M=101']);+ t9 b; ]$ o$ s2 @- u
# q8 F' A8 G) |8 n7 [) v, T
" j* ]: Y8 ?. K; E三角窗:
2 L, U2 A* D9 a( S# b' s2 o! ?+ C3 x- r: H/ U% Q b) a
% Triangular Window:
* [1 p& v* _, O: |7 ~4 D
$ }" N, u7 x% C$ n) S# M% DTFT of a Triangular Window,M = 10,25,50,101
" j/ D0 Z) B( Q
8 [$ v! S" r. R5 j6 ]clc; close all;
7 A5 z8 x: {+ R3 {6 f6 \6 D% r
. x$ X! F( ^5 [1 z, WHf_1=figure; set(Hf_1,'NumberTitle','off','Name','P0304b');
% ]' Q5 i& l, w% Y0 }+ [3 m
* N( [+ _' b) P2 \- ]w=linspace(-pi,pi,501); wtick=[-1:0.5:1]; magtick=[0:0.5:1.1];3 R4 i( O C8 c& f k
/ c" t8 y& g) N2 J7 V3 |
% M = 10
' M. z0 }2 f2 p+ \5 q6 C% V) ^5 ]5 [" o, {, m1 b
M=10; n=0:M; x=(1-(abs(M-1-(2*n))/(M+1)));
: G' ?: k- l; k* V7 Q! Y( q) z6 P( O/ ^$ Y- A. b. ]
x=dtft(x,n,w); magX=abs(X); magX=magX/max(magX);9 x6 m4 \) I; n& f7 \' |1 g8 N; U
( O% i3 [- q* ^8 y1 y% e8 U
subplot(2,2,1); plot(w/pi,magX,'LineWidth',1.5); axis([-1 1 0 1.1]);
' |: N, {% n7 e; H/ T2 t4 l1 r' i
4 `' n* a- p# |, V9 j5 Bylabel('|X|'); title(['M = 10']);$ A1 t, x8 S+ n
- A S6 d& q6 q, \/ @* G$ [
set(gca,'XTick',wtick,'YTick',magtick);9 A, W5 Y% g4 I8 V' t0 U" v7 @. E4 R6 S: k
2 s0 w) r2 @* R7 I% [0 Q8 y
% M = 25' |/ c4 f I9 \3 P
( A9 Q$ X4 a9 ?+ r9 mM=25; n=0:M; x=(1-(abs(M-1-(2*n))/(M+1)));4 f) Y U2 q9 z' g! f/ {
, S: e3 ` V2 }( O2 `! a0 x* ~X=dtft(x,n,w); magX=abs(X); magX=magX/max(magX);, q$ h/ r; I5 [ N5 w5 V
: O* q: c3 P6 [4 Z; a( V; Nsubplot(2,2,2); plot(w/pi,magX,'LineWidth',1.5); axis([-1 1 0 1.1]);( p7 s. N" X0 y) e' Z
7 r7 q* N4 i! ] _& x% E5 mtitle(['M = 25']); set(gca,'XTick',wtick,'YTick',magtick);, J0 @- A6 l3 X l! ^* b( i
3 w- ~9 s2 u" \" Z: ~6 s0 ]% M = 50
, C7 q- W- [) O, O* o8 v
- R3 g) A) z8 a8 u- E0 G7 X3 xM=50; n=0:M; x=(1-(abs(M-1-(2*n))/(M+1)));
, h. y: \) M8 P# ^; K/ P
$ u* H( O4 }4 |. FX=dtft(x,n,w); magX=abs(X); magX=magX/max(magX);. i. Y! x( V* M: V
/ R/ b% G) q5 r4 y; Q7 ^) U5 hsubplot(2,2,3); plot(w/pi,magX,'LineWidth',1.5); axis([-1 1 0 1.1]);, X; K$ F+ m5 X+ y2 o, }
" c7 F( G" R2 J7 G: e1 sxlabel('\omega/\pi'); ylabel('|X|'); title(['M = 50']);
[7 ^! H, T$ K' K* @2 R4 _; C
* S6 t' d# X+ J" I* W& ?% Gset(gca,'XTick',wtick,'YTick',magtick);7 J5 k7 q' x/ T- `: j5 {9 d/ a
8 r# d- X6 P- C6 ~' Y# A" Y1 u- g% M = 100/ \! _8 f0 u9 i8 G
+ L- x9 @8 s; D+ f6 {2 {3 K5 YM=101;n=0:M; x=(1-(abs(M-1-(2*n))/(M+1)));, j+ T6 t% ^, r3 J ~
3 [" i* x3 j% K2 q
X=dtft(x,n,w); magX=abs(X); magX=magX/max(magX);
# J. S2 e. `# s7 q0 L0 u
0 b: l# ?7 _& g( ^6 I7 csubplot(2,2,4); plot(w/pi,magX,'LineWidth',1.5); axis([-1 1 0 1.1]);
$ J5 U6 o" m. e( j( e' z! I8 p
4 a8 e2 \% O1 F0 B( k' e3 ixlabel('\omega/\pi'); title(['M = 101']);
) W. O1 p: F; Z8 w% Z Y
$ t) y, b: H" X3 ~! V% D* u" N) Yset(gca,'XTick',wtick,'YTick',magtick);: |. T( m z( J& G
) I8 ~* |4 Q; ^" a+ b+ }6 O: O. ~ 7 I J7 |, A) t/ w. U& b% e+ Y
w0 F3 A( @; f. D- y
海宁窗:
+ U: J/ S! d1 K J$ V
1 {$ A0 Q6 m: P- O. h9 l1 Y H% Hann Window
8 i6 ~ u6 m% T
/ @5 h5 w* l* k& i+ y8 G* \% DTFT of a Hann Window, M = 10,25,50,101; _1 v! W6 e& a/ @; i; C
6 P* f# y( O, S7 D$ h% e8 y! Fclc;close all;# |( j0 ?/ \; {( X1 k
. [; ]% E' C3 @: \4 W# h- ^Hf_1 = figure; set(Hf_1,'NumberTitle','off','Name','P0304c');
. I$ z) x! \1 [$ k. T- S5 b* e# n0 L2 g" L) b
w=linspace(-pi,pi,501); wtick=[-1:0.5:1]; magtick=[0:0.5:1.1];/ ~2 Z7 O5 y; y9 ^6 W7 g
! s W @# k$ w( T7 ~0 U! l- x0 c% M = 10) w" }2 E: x# Z, v/ ^; H
+ h# D, s! F6 C; }
M=10;n=0:M; x=0.5*(1-cos((2*pi*n)/(M-1)));
5 N4 @, r! i+ A4 L" ^* G. g; N6 Y6 b. W, l0 F8 F
X=dtft(x,n,w); magX=abs(X); magX=magX/max(magX);2 o U; T+ r$ L8 ^& p; i. M
" l3 q4 Y; o! b2 M3 _
subplot(2,2,1); plot(w/pi,magX,'LineWidth',1.5); axis([-1 1 0 1.1]);
- t5 r9 a9 n' R" L8 {( }% y- a, t, F T" ~9 b0 h; q" d
ylabel('|X|'); title(['M = 10']);
: C9 G% ]: C5 l+ e2 {
+ j( b" L2 m+ Y8 \2 m, Hset(gca,'XTick',wtick,'YTick',magtick);
* t& L/ m `" _/ i4 q
9 c' c5 h2 P4 ` k) y' D5 I- [% M = 25/ ~" Y. A: y# i0 Q/ h& H! s# C
$ }5 D w# }* @9 ]+ g9 W+ c
M=25;n=0:M; x=0.5*(1-cos((2*pi*n)/(M-1)));) j4 }/ ~9 e3 `9 o) ?8 g" W0 q \
7 ?9 [/ n/ [& `0 N4 {" B
X=dtft(x,n,w); magX=abs(X); magX=magX/max(magX);5 n/ ~" o5 O; T8 f" P' m+ w
# c, {# g" c4 Z
subplot(2,2,2); plot(w/pi,magX,'LineWidth',1.5); axis([-1 1 0 1.1]);/ v8 X% E; a0 K6 ^+ i. x4 ?% R
9 B) h' J9 F# t4 e. M! W
title(['M = 25']);( F% f1 u4 ^" L: M
* {% M! @% l: m( Tset(gca,'XTick',wtick,'YTick',magtick);* @5 m: J) ]/ w @: j3 H
! C+ ~4 w; d$ ^2 ]
% M = 50
1 X$ I$ k. c1 X% `. ^) Y! ~$ A# B. ~- b) Y7 a0 { \+ o8 R
M=50;n=0:M; x=0.5*(1-cos((2*pi*n)/(M-1)));: G( E- \' q3 e: J# x
) `! e( V' B% ]; {5 S3 E; q
X=dtft(x,n,w); magX=abs(X); magX=magX/max(magX);
3 V) }, m$ u8 g9 N" C0 ^+ F2 H" o [
subplot(2,2,3); plot(w/pi,magX,'LineWidth',1.5); axis([-1 1 0 1.1]);) ?" V" D2 i+ z+ v/ X0 q
- Q/ R2 U2 ~$ d* c( m) E, exlabel('\omega/\pi'); ylabel('|X|'); title(['M = 50']);2 L8 q3 k9 g1 x- V
& W# ]+ b7 W* Q( Cset(gca,'XTick',wtick,'YTick',magtick);
, {: A% |8 `8 i% H4 x. V7 L2 a5 ~
v- W) y/ S+ z8 y( k) r: v% M = 101
, x3 `$ D. W3 N% j
9 E2 J2 ~$ @8 T' m) k) V: L9 ?M=101;n=0:M; x=0.5*(1-cos((2*pi*n)/(M-1)));
, O! ]( h) M j7 u( ~. P( W, V E% ^8 I# W* V* U
X=dtft(x,n,w); magX=abs(X); magX=magX/max(magX);
7 F3 J2 ~" F& {) F) O/ z' i/ [5 E$ P6 X8 V) Y0 K7 e/ E2 W
subplot(2,2,4); plot(w/pi,magX,'LineWidth',1.5); axis([-1 1 0 1.1]);
6 Z/ X/ {0 D" C: w
( a5 {0 x! z; ]8 g! yxlabel('\omega/\pi'); title(['M = 101']);3 o5 K8 E6 c3 q: z1 z
+ \- z6 o- k; V7 d8 M& X) k
set(gca,'XTick',wtick,'YTick',magtick);
( t' o( B; f" o3 h # R- L G6 p) {' x
! E; Q- W# `# ` S! m
哈明窗:: |0 y; Q# i" i5 K
6 ~) c0 v% @! w3 z
% Hamming Window:4 E! g8 g/ o4 z2 a
4 }- }9 n! K4 T+ Y% S+ u+ D, U
clc; close all;( `5 _4 f! m& _8 Q2 L) p$ k* G
$ M0 |5 y, j" I/ e9 v( d/ iHf_1=figure; set(Hf_1,'NumberTitle','off','Name','P0304d');
; w- R# p9 B4 W0 ^& I# \ w7 A" j$ `# p* H9 M
w=linspace(-pi,pi,501); wtick=[-1:0.5:1]; magtick=[0:0.5:1.1];
4 J& {+ w4 c2 P# Q! w& }2 j0 e$ i: I
% M = 10
% |6 \5 K) F1 g' ]4 c7 n9 [
, k6 a1 b) o! e! ]& F8 N6 uM=10; n=0:M; x=(0.54-0.46*cos((2*pi*n)/(M-1)));2 G4 E" n/ J* W8 h1 Q; M
" n9 T$ F: f" y1 \$ k3 w
X=dtft(x,n,w); magX=abs(X); magX=magX/max(magX);
4 s9 t8 [4 E- }( q# v- \ G& ~- [6 \) Z) n+ E& U6 j
subplot(2,2,1); plot(w/pi,magX,'LineWidth',1.5); axis([-1 1 0 1.1]);: [- o2 f/ U. O/ Q
5 V. Z/ c e' ^: I ylabel('|X|'); title(['M = 10']);+ {1 O5 U( b% y3 p+ s
) H3 f( T2 G( e( H9 `4 d; J& fset(gca,'XTick',wtick,'YTick',magtick);
/ _, z7 I5 O1 N* [1 w0 e: ^2 o9 I U, n" w8 s" l0 j/ ]$ u
% M = 258 @3 l+ H: z6 A; C0 _: Q* e7 b( H2 A
5 v# s3 z& n+ Z& w; j
M=25; n=0:M; x=(0.54-0.46*cos((2*pi*n)/(M-1)));
! E7 g ?/ @: U/ e2 q3 l4 l1 D; v% v& O/ [; D* [2 ^
X=dtft(x,n,w); magX=abs(X); magX=magX/max(magX);
/ b8 e1 m# U! T# ?( }, m% k
W! n% }8 `2 P/ Y" Bsubplot(2,2,2); plot(w/pi,magX,'LineWidth',1.5); axis([-1 1 0 1.1]);' v. K! G$ n6 i9 e' J
" L. ^$ d# t7 V% |6 s/ x P5 Q
title(['M = 25']);
4 n! ` z0 }) ?. p0 l: r7 Z" w" C3 `& ~; s8 `% u
set(gca,'XTick',wtick,'YTick',magtick);
. H. \- G& \5 O: b( |8 X, P" [) e6 j8 U6 h
% M = 50; p- B- P; ]: q; i7 d/ \" {3 Q& T
! v' x; o9 d( @M=50; n=0:M; x=(0.54-0.46*cos((2*pi*n)/(M-1)));/ T' L' n$ b a& v4 t: S1 l3 B: T
* y2 u8 X& l6 R; y
X=dtft(x,n,w); magX=abs(X); magX=magX/max(magX);
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; k% W' e+ M# g! G: g6 vsubplot(2,2,3); plot(w/pi,magX,'LineWidth',1.5); axis([-1 1 0 1.1]);
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