中频率和实际频率的关系（快速傅里叶变换）

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一  四个名词：实际物理频率，角频率，圆周频率，归一化频率

$ `+ V4 Y/ c. A
( k8 }% K7 a3 ^- W1 F! V% y· 实际物理频率表示AD采集物理信号的频率，fs为采样频率，由奈奎斯特采样定理可以知道，fs必须≥信号最高频率的2倍才不会发生信号混叠，因此fs能采样到的信号最高频率为fs/2。


7 E. K, y0 m& p
· 角频率是物理频率的2*pi倍，这个也称模拟频率。（卢注：由于一个信号周期（如交流电）是360度，即2pi。故角频率就是转了多少个2pi。设置角频率纯粹为了便于计算。）3 Z& d7 C, G: `3 a& j$ J% U* V


· 归一化频率是将实际物理频率按fs归一化之后的结果，最高的信号频率为fs/2对应归一化频率0.5，这也就是为什么在matlab的fdtool工具中归一化频率为什么最大只到0.5的原因。
* b/ k( C3 z/ g# D

· 圆周频率是归一化频率的2*pi倍，这个也称数字频率。也就是归一化的角频率。% G# U$ |7 X7 T5 E( q1 x( H' e9 A
/ _0 t  Q# _- f& P5 S9 D
! o. _6 f9 v# ~4 h+ P6 q
! y; X2 {" x1 u) @% E6 v2 N5 I二  有关FFT频率与实际物理频率的分析
做n个点的FFT，表示在时域上对原来的信号取了n个点来做频谱分析，n点FFT变换的结果仍为n个点。


; m9 F' O& Y# v/ g9 W  b换句话说，就是将2pi数字频率w分成n份，而整个数字频率w的范围覆盖了从0-2pi*fs的模拟频率范围。这里的fs是采样频率。而我们通常只关心0-pi中的频谱，因为根据奈科斯特定律，只有f=fs/2范围内的信号才是被采样到的有效信号。那么，在w的范围内，得到的频谱肯定是关于n/2对称的。* S, }( ?& Z, K/ Z8 D3 D( H
, m+ G6 x. P* k4 \5 l  ]  |" L  ^) E2 q+ N' P4 E% e
/ e2 V$ J6 |1 t; B" L3 v0 ^) p7 Q
举例说，如果做了16个点的FFT分析，你原来的模拟信号的最高频率f=32kHz，采样频率是64kHz，n的范围是0,1,2...15。（卢注：这意味着已经将原来的模拟信号采样了8遍。）这时，64kHz的模拟频率被分成了16分，每一份是4kHz，这个叫频率分辨率（卢注：做FFT用的点越多，频率分辨率越高）。那么在横坐标中，n=1时对应的f是4kHz, n=2对应的是8kHz, n=15时对应的是60kHz，你的频谱是关于n=8对称的。你只需要关心n=0到7以内的频谱就足够了，因为，原来信号的最高模拟频率是32kHz。
4 W: y9 W6 i' B. G  [( p: d- I/ i% k3 [, S6 C$ X0 @  V+ |3 c  z
8 ~; P  z1 E, A% C# l$ ?, A. e, c5 C1 L8 r4 k
/ c7 }2 v! F- W% u5 X0 P这里可以有两个结论。

4 W, w8 ]1 r5 C2 Q! e: ?4 [
· 第一，必须知道原来信号的采样频率fs是多少，才可以知道每个n对应的实际频率是多少，第k个点的实际频率的计算为f(k)=k*(fs/n)
8 v( f! D1 t9 y( H3 s
# z8 J: T1 c& Q# _
. E. m9 h2 g6 B3 s8 s· 第二，你64kHz做了16个点FFT之后，因为频率分辨率是4kHz，如果原来的信号在5kHz或者63kHz有分量，你在频谱上是看不见的，这就表示你越想频谱画得逼真，就必须取越多的点数来做FFT，n就越大，你在时域上就必须取更长的信号样本来做分析。但是无论如何，由于离散采样的原理，你不可能完全准确地画出原来连续时间信号的真实频谱，只能无限接近（就是n无限大的时候），这个就叫做频率泄露。在采样频率fs不变得情况下，频率泄漏可以通过取更多的点来改善，也可以通过做FFT前加窗来改善，这就是另外一个话题了。
! Z5 q* r& B2 m1 ^3 D5 i$ C5 |: G6 R7 c. P

三 离散信号傅里叶变换的周期性讨论
（从下图可以看出：S平面，相当于直角坐标系，它的实轴是复数的实部，虚轴是复数的虚部。在这里可以理解为信号的在此频率下的幅值；Z平面，相当于极坐标系，与Re轴的夹角相当于频率，向量长度相当于幅值。）" x' m( k. i+ t5 a4 |6 ]2 z
要分析这个，我们先从Laplace变换与Z变换之间的关系谈起。5 X8 T4 i% P6 X& h  I& k
0 ?* Q' G& z6 W# V% }# b& u

由，得z平面与s平面的关系图

% ^& d/ l5 R( U' h8 S, a% g. M( C# h

7 c, X- \, q* D7 l

) ]. c! v  L, i

图中的关系有以下几点：

- R* c% q7 n1 ^, v: @· s平面的虚轴映射到z平面的单位圆上$ y3 e. U8 H2 [/ A6 y8 H6 {  J- z
: @! X  A; M) H5 w; j$ b( _3 U, I· s平面的负半轴映射到z平面的单位圆内4 Y) \4 B2 c' ~6 u7 ?
· s平面的正半轴映射到z平面的单位圆外0 N$ _. d  `/ J1 g
1 ?5 u) h, ]3 m' i0 L

! [6 N% v: W: ~& xLaplace变换是用于连续信号的变换，相对应的z变换是应用到z平面的变换。因此从另一个角度，上面谈到的角频率

（模拟频率）对应的是s平面，圆周频率

对应的是z平面（也是为什么称为圆周频率的原因）。# o- A2 m2 c5 ~: q+ @; Q


' j0 C5 Y" T* ^现在我们来看一下s平面虚轴上模拟频率的变换将会导致z平面单位圆上如何变化：
' J; p, H# f6 J' Y, g· 当模拟频率在s平面的虚轴上从0变到fs 时，数字频率在z平面单位圆上从0变到2 pi。. E' M& S5 |7 K6 n/ t
' f* r7 v5 B2 f# r5 }& X$ H3 R$ `. T; _4 s8 }' Z# G  ~+ f/ M

' J: v% l9 f' ?% y/ Y/ e' E· 当模拟频率在s平面的虚轴上从2fs变到4fs时，数字频率在z平面单位圆上仍然从0变到2 pi。8 U% x# G- X( ?) ^+ @

; R4 a- k' r6 u/ w6 n6 M$ a) x+ W
- I% h" y0 t% U1 d( i。。。。。。z平面如此循环重复

- f; A. {, A6 t4 z  c8 }$ A. d
我们知道离散信号的傅里叶变换对应到单位圆上的z变换，因此上面的结论就验证了为什么离散信号的傅里叶变换是周期性：根本原因所是单位圆上的周期性。
6 ~. Y( E7 l' n  }, |  c5 a
8 X/ F2 n% F0 _. J$ b
考虑到我们实际应用中可选择一个周期，这也能够解释：因为实际信号的频率总是在fs/2以下，这就对应到z平面单位圆上的0~pi，在一个周期范围内就可以进行信号分析了。5 d' d- I