matlab矩阵的应用

piday123

1、向量组的秩：rank（A）
8 C9 w8 Q* q" R& T  F. ^
2、判断线性相关性
( m/ \4 ?) l  |, N6 y
一般步骤（1）输入向量组

7 i+ P- j  c" V                  （2）用A’将行向量转置为列向量
" F1 r! y$ z5 J7 B
··                 （3）用rref（A）命令求秩

例：判断向量组a1=(1 2 0 1), a2=(1 3 0 -1), a3=(-1 -1 1 0)是否线性相关,并求秩。
# Q! X6 H' p' |1 ?/ Q
>> A=[1 2 0 1;1 3 0-1;-1 -1 1 0]; %输入矩阵

7 T; P4 w9 M, {0 D# G; k$ D8 l>>A=A’   % 将行向量转置为列向量再求秩
5 P* V8 j( S' A3 E5 l
>>rank(A)   %求秩

, w; r( c) R+ c+ M5 ~Ans = 3
  g% S* A4 @; X1 A' t
（注意：当rank（A）等于向量组个数时，线性无关，否则线性相关）

/ N% w0 i% c) K2 P     3、求向量组的极大无关组

. F6 R4 w+ i$ n* M7 m4 c) ~( ?2 q     一般步骤：（1）输入向量组，并将其进行转置

                    （2）化为分数形式
( Q, S3 ]) g& Q
6 v9 U& T$ d. w( z) L  M  {4 k% H                    （3）将向量化为行最简型

: B; w. m. M( x5 G& R# F" {' D                   （4）对线性相关性进行判断

5 X+ E, z. H8 |7 N% e) j, D     注：将矩阵化为行最简型的命令为：rref（A）或者rrefmovie（A）

  例1：求下列向量组的秩和一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示。

a1=(2 -1 3 5)，a2=(4 -3 1 3)，a3=(3 -2 3 4)，
/ j/ }  E9 |- e+ [7 X1 `6 y" `0 f
a4=(4 -1 15 17)，a5=(7 -6 -7 0)
5 t, H6 `; l- V# t6 W! |9 F* a
9 I. Q+ d9 s$ p3 @3 |) K/ Z. i0 o6 l>> A=[2 -1 3 5;4 -3 1 3;3 -2 3 4;4 -1 15 17;7 -6 -7 0];
) P1 Z! o. H# t8 b; M4 B
+ N' S1 K! j; }: R>> A=A′  %将行向量转化为列向量进行运算
. Q2 {$ @2 n5 P  K7 A7 q
; X: V. N4 c- ~>> format rat   %分数格式形式
! F$ b& W* T  {2 |) i/ U1 V
>> rref(A)  %将A变换为行最简型
) b2 f7 A+ C4 r
ans =

        1      0    0     2     1
& b0 q- }/ J3 E9 l) H) b
        0      1    0    -3     5

; V* i5 ~: z3 t& S$ N+ T3 a        0      0    1     4    -5

        0      0    0     0     0
! M# f/ x5 F2 Z4 b9 j/ r- F
因为前三行的向量均不全为0，且第1，2，3列的均为1开头，所以a1，a2，a3为一个极大无关组。


& x1 X$ S( I: b6 x
5 m* V% o) K1 t  P- W例2：求下列向量组的秩和一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示。
9 a4 Q# d8 B/ M! p8 T, Na1=(1,-2,2,3)，a2=(-2,4,-1,3)，a3=(-1,2,0,3)，a4=(0,6,2,3)，a5=(2,-6,3,4)

解：
" L$ t; J; g$ y) K, `, N
A=[1,-2,2,3;-2,4,-1,3;-1,2,0,3;0,6,2,3;2,-6,3,4]
+ C$ E; g/ i- d5 }( k! s
>> A=A′  %将行向量转化为列向量进行运算
9 a2 s8 X5 i! s$ `& f
; f- _3 {& R% ^1 e2 x>> format rat   %分数格式形式
8 Y4 [5 h7 z- I) e4 T' `4 w1 q
>> rref(A)  %将A变换为行最简型
5 B/ [/ K6 M5 o3 {, S! p

* W, S/ H5 r7 P. e; M8 N
! a' [7 g4 _4 R* h& j% |A1,a2,a4为一个线性无关组，a3，a5可用其其线性表示
3 Q2 H  L+ \" a' x. e" S# X
  q7 B9 U, o7 p$ p$ @* A' V- O3、线性方程组的求解
, d% T' _- Q& Z& I5 ]( j
; y: L( i2 w; X2 v1 M; @         （1）使用克莱姆法则求解
. X/ N- s; _, N. `

& Y+ E8 [- _2 K3 Y& a7 N1 f2 {6 T

( `- u. f" M8 C' B; N, @>> A=[2 1-5 1;1 -3 0 -6;0 2 -1 2;1 4 -7 6];  %输入系数矩阵

>>D=det(A)  %判断解的情况
, b. Y! _8 `2 t) v9 m
D =  27     
. W. E5 \9 `4 M5 G8 Q
) F: o' e7 E& |" O>> C1=A;C2=A;C3=A;C4=A;b=[8;9;-5;0];
' D: l5 ]* N. {5 \* h. Q4 a
%将A赋值给不同变量
& T# _" Y: D6 k
3 X# K7 O3 v- k7 b" Y5 I2 D  j1 B! f>> C1(:,1)=b;D1=det(C1); %将某行替换为系数列
; T6 D' x1 g2 m9 c, j6 S  ^4 K
  b4 D" I0 P! c5 S% ix1=D1/D    %x求解x1
, i( B* g: W0 ?5 t
* R( f3 Z+ T$ U$ z' }" L5 M6 jx1 = 3
* h( q% H# T5 ?& x
2 R+ K* [$ K, J$ ?3 S>> C2(:,2)=b;D2=det(C2);x2=D2/D

>> C3(:,3)=b;D3=det(C3);x3=D3/D        
$ d# ?' G; B( P( f- G& S; K* F
>> C4(:,4)=b;D4=det(C4);x4=D4/D

: `9 I% h4 P3 y/ b0 U; W; Q（2）使用矩阵左除法求线性方程的解
2 a) U& q$ v: i/ }- v$ o
0 g1 R! j: F* \7 E线性方程组AX=B的一个解为X=A\B。

& N- K5 X4 S8 {( g  @例：利用左除法求解上题中线性方程组的解.
* ^4 Z$ G6 n% `# v
- W8 _% g! M2 B0 k/ r>> A=[2 1 -5 1;1 -3 0 -6;0 2 -1 2;1 4 -7 6];

% l, e4 }9 G$ n  p$ A>>rank(A)

>> b=[8;9;-5;0];
- p% }# i. u9 d6 N: ^
>> x=A\b        %左除法
* Z7 O/ J/ ]# `$ z0 W1 f* N
x =
; ~8 X2 v7 H3 w3 @
. H: C8 v5 x1 c5 K7 @! |    3.0000

   -4.0000

* s% z8 ~: |4 Z: s' C* _0 ^   -1.0000
. M: A2 I. X. s0 M8 F  v4 d
    1.0000

(3)利用矩阵的行（列）初等变换求线性方程组的通解

  基本步骤：（1）将线性方程组表示成增广矩阵的形式；
: A. I$ t- m& h7 Z3 H0 a
+ D) N0 y) @+ Q2 Y; h: d（2）对增广矩阵实行初等变换，使增广矩阵转化为行阶梯形矩阵；
& ]2 Z+ l" W+ l8 g
（3）得到方程组的解。

例：求解线性方程组
6 D7 B% {0 s6 H
3 g, f' B% L, R% \/ G5 N4 K, [


# G1 N( q0 `- s& T) E>>A=[1,1,1,1;0,1,-1,1;2,3,1,3];     %方程组的增广矩阵
# \( L; t) s; R
8 K, `5 B. x- D' P( \6 h>>F=rref(A);    %将方程组增广矩阵化为行阶梯形矩阵
$ V6 u) Y# X( ]8 G0 p' q
3 q2 S" r# i( ]" w6 R' ]" L>>F  %输出增广矩阵的行阶梯形矩阵
: o6 ~6 }% I7 ^) Q. c
F =
) ~+ K4 j! J4 ~/ z! |% V* |6 _7 o" ]
     1     0    2     0

     0     1   -1     1

     0     0    0     0

由该阶梯形矩阵，可得方程组：x1=-2x3    x2=x3+1
5 o/ L- M  @/ |5 F, V

  l; K; G/ p: T1 F1 M! \0 x/ v
  M. b, C8 n; B9 p& X- d（4）求非齐次线性方程组的通解
1 A; g1 }7 F2 o5 R
非齐次线性方程组需要先判断是否有解，若有解，再进一步求通解。
# z% Q# X$ v& D9 `- \8 d% F( ?* j
: w3 Y$ P0 I/ m& o9 N一般步骤为：
1 ?, [! B# e) Z& U: ~9 K& {
第一步：判断AX=b是否有解，若有解则进行第二步；（R(A)与R(A,b)比较，即比较系数矩阵的秩和增广矩阵的秩）
  ?# }3 Z0 r: H6 V4 n
第二步：求AX=b的一个特解；（矩阵除法）

第三步：求AX=0的通解；（利用null命令）
. A$ O9 K" R6 i2 H
第四步：AX=b的通解：AX=0的通解+AX=b的一个特解。

例：判断方程组
1 c& i* m  x5 [6 S
%第一步：判断系数矩阵与增广矩阵的秩
! q' y$ {+ E' }8 q; k% P
1 M& O( o% p' t& C: E, y>> A=[1 -1 1 -1;-1 1 1 -1;2 -2 -1 1];    %系数矩阵A

>> b=[1;1;-1];    %常数b
! ?2 ]- S( [+ A% {/ e9 S+ X
>> rank(A)     %系数矩阵的秩

ans =

     2

9 x! O. P! f# K, v>> rank([A,b])    %增广矩阵的秩
/ Q; `+ q2 _5 K
ans =

. j! q/ R3 i; U' W5 B! J     2

3 u  L5 c  V' B: S; p- C%求通解
: Z0 L. Q; S+ t& Y& P- t( a
/ G* F& I2 m* ?化行最简形，用rref命令
3 K/ i7 C2 ^1 U1 M( k9 m
>> rref([A,b])

* O( H* q4 ^7 @7 U6 N& A  Uans =

% j0 B( ~! M; B5 z5 s2 Q. O     1    -1    0     0     0
& m& B4 L2 R' q$ m
     0     0    1    -1     1

     0     0    0     0     0

取x2,x4为自由变量,从而通解为：x1=x2,x3=x4+1

. |3 b" H( {- k（2）先求出特解及导出组的基础解系, 用命令null，例如：

% K$ q% ?* y! M>>x0=A\b       %方程组的一个特解
  |9 q1 N8 N. q5 Y7 n
5 S2 _( C: j7 A* q5 ix0 =

, z; o! \; b. c) n+ V+ P! k     0

; c* z7 N( M+ q5 a7 ^. ~     0
# Z& C1 {) I! q9 G7 F
3 E7 e+ G8 \* ]5 R/ |     1
+ l& c% q% `" |3 b( i' n( N
+ X& v# I, {6 z     0
9 x5 T- ?( a! B- a- F  @
% B' E9 q3 v! q5 q+ Q% C/ s0 v  V>>x1=null(A)    %求导出组的基础解系
5 m$ A, u* g2 \( o' g
x1 =
3 g- e0 p, e7 e
  -0.7071               0
$ V9 K, n) ]6 m3 l5 @) T
+ D6 R1 L# m, A+ }7 _   -0.7071               0

   -0.0000        0.7071
+ ]: O1 L$ |; a, L- {
  -0.0000       0.7071

  w2 C8 y7 Y7 o. u: @5 c故原方程组的通解为

( g  z" L% @8 t' I% H& t& S, ~(x1,x2,x3,x4)=(0,0,1,0)+c1(-0.7071,-0.7071,0,0)   +c2(0,0, 0.7071, 0.7071),c1,c2为任意常数.

! Y) \& z4 y1 K) E8 Qnull是用来求齐次线性方程组的基础解系的，加上'r'则求出的是一组最小正整数解，如果不加，则求出的是解空间的规范正交基。(x1=null(A,'r'))

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ExxNEN

matlab矩阵的应用

SsaaM7

非齐次线性方程组需要先判断是否有解，若有解，再进一步求通解

ldezgr

LZ辛苦，学习学习

yesnyes

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