matlab矩阵的应用

piday123

( g# y4 M4 B- |! ~% i1、向量组的秩：rank（A）
' x8 O- q2 G% C/ z  o) {6 N  K5 l# M
2、判断线性相关性

. b; _8 F$ b. b8 H一般步骤（1）输入向量组
( M  u0 F5 D, G2 t2 e
' [. R6 |2 K+ [" B6 ]. g: q                  （2）用A’将行向量转置为列向量
5 X( I( X3 a7 O& q  I6 R: M
, H& N: B5 L8 ~6 V6 k··                 （3）用rref（A）命令求秩
+ _1 u+ f* F- x1 e3 z! T
例：判断向量组a1=(1 2 0 1), a2=(1 3 0 -1), a3=(-1 -1 1 0)是否线性相关,并求秩。
. B7 c6 A3 L+ S: q9 k: c
7 f. |* O7 f& r; s9 P1 z! v>> A=[1 2 0 1;1 3 0-1;-1 -1 1 0]; %输入矩阵
, V; I# ?# p0 k: ?% k
>>A=A’   % 将行向量转置为列向量再求秩

- U+ n% |4 Q2 U( \>>rank(A)   %求秩
  N5 Z' `5 }7 |; R: J" X3 C; f
Ans = 3
, D- ^* }# }$ ~) V$ N/ ]
# l1 I* l5 e" H& M4 o* h（注意：当rank（A）等于向量组个数时，线性无关，否则线性相关）

+ h  J& s+ Z% U  K     3、求向量组的极大无关组
! A) W7 ]- e( m5 d6 M9 @% V8 F
3 f- _  W  L. g- ?7 p0 u$ C9 V     一般步骤：（1）输入向量组，并将其进行转置
  p9 p7 w4 k3 o2 r
( L; v( X5 w) D4 p$ i                    （2）化为分数形式

+ ~8 P2 c: u' o, \8 A                    （3）将向量化为行最简型

                   （4）对线性相关性进行判断
4 {) ]  }" u5 l, p& S- D
& [! U- T3 ~  V& U4 s     注：将矩阵化为行最简型的命令为：rref（A）或者rrefmovie（A）

, U4 a7 Y* L7 |: G, _+ ]& }  例1：求下列向量组的秩和一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示。

! ?! [- Z% d8 f, Ua1=(2 -1 3 5)，a2=(4 -3 1 3)，a3=(3 -2 3 4)，

a4=(4 -1 15 17)，a5=(7 -6 -7 0)

7 J3 p- w. {( v>> A=[2 -1 3 5;4 -3 1 3;3 -2 3 4;4 -1 15 17;7 -6 -7 0];
6 J" _$ g8 b9 I7 E
>> A=A′  %将行向量转化为列向量进行运算
6 d+ O! k6 e4 T) ^
9 c! p- F9 d! i>> format rat   %分数格式形式

" s  F7 l8 R4 ~9 @>> rref(A)  %将A变换为行最简型

: Z! _  T9 s1 _3 F/ e$ p3 aans =
0 T, Y$ C5 D+ t# D. @2 ?
        1      0    0     2     1

0 v; O- C) `6 V% ]. n        0      1    0    -3     5

. y: d( m5 L' [        0      0    1     4    -5
. J" x! w1 s' d' B: F
        0      0    0     0     0
: z6 R0 r$ m! l* b  g# w
因为前三行的向量均不全为0，且第1，2，3列的均为1开头，所以a1，a2，a3为一个极大无关组。
. ^) q& p0 P  @

9 c6 J) s8 |# c* }8 [4 o, b
例2：求下列向量组的秩和一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示。
0 s2 H4 z. C" i+ n. l8 ja1=(1,-2,2,3)，a2=(-2,4,-1,3)，a3=(-1,2,0,3)，a4=(0,6,2,3)，a5=(2,-6,3,4)

) |/ f' _( y& s% A) y# {! ^解：
( M+ J+ @" l2 v4 |2 X$ Z- S* v2 X" D
A=[1,-2,2,3;-2,4,-1,3;-1,2,0,3;0,6,2,3;2,-6,3,4]

4 c) J  ~% g# W+ |/ i, P0 A, a>> A=A′  %将行向量转化为列向量进行运算
# N3 m$ B4 u6 i( F9 p! w) B5 _
>> format rat   %分数格式形式
% A9 x- l! {0 y9 W# W$ u5 ?
. p3 `; B; M0 f>> rref(A)  %将A变换为行最简型
7 e( w/ S9 I; b$ G

" C) D6 w- ^! }& L0 a" [
6 R7 f" z( J! [1 W* }A1,a2,a4为一个线性无关组，a3，a5可用其其线性表示

( f  Q8 Z; `: F; U5 d0 j3、线性方程组的求解
1 C  n/ ~3 P& ^# i4 Z
! V7 A7 ?, z5 d' e8 m8 j3 I, b         （1）使用克莱姆法则求解

" x$ C/ H$ ~1 c  `# s
( _. u( q$ W& D. j8 @( v1 b

% e8 H: V8 `) [& p>> A=[2 1-5 1;1 -3 0 -6;0 2 -1 2;1 4 -7 6];  %输入系数矩阵
& `- c: Y' d- l6 m9 |8 g
>>D=det(A)  %判断解的情况
) O( ^3 A4 y+ U, r
4 i, Y2 A2 F  K# ~) h. S$ V& x1 k8 K6 GD =  27     
. O4 v' x5 j8 W1 s- k  `
>> C1=A;C2=A;C3=A;C4=A;b=[8;9;-5;0];

%将A赋值给不同变量

$ J$ ^/ f$ D+ a; H( C>> C1(:,1)=b;D1=det(C1); %将某行替换为系数列

x1=D1/D    %x求解x1
  ]" q& w% Q8 l
x1 = 3

>> C2(:,2)=b;D2=det(C2);x2=D2/D

>> C3(:,3)=b;D3=det(C3);x3=D3/D        
, w; e% d8 \# c8 ?: G5 E
0 X1 X+ {& [# O4 m* U* C5 V>> C4(:,4)=b;D4=det(C4);x4=D4/D
  q& b! u9 C6 C) W
0 B) M  |& B* E3 g6 E6 \: i; T; o. C（2）使用矩阵左除法求线性方程的解
  R( F0 U9 `* d# o# `
8 R" p' w5 O) u+ |2 l8 x线性方程组AX=B的一个解为X=A\B。

; |# u2 A$ [( W+ t例：利用左除法求解上题中线性方程组的解.

>> A=[2 1 -5 1;1 -3 0 -6;0 2 -1 2;1 4 -7 6];

>>rank(A)

>> b=[8;9;-5;0];
' H) h2 o& g$ x0 E% u
>> x=A\b        %左除法
6 J; X) o, G1 E& e4 M% a) r
x =

$ n- ^+ H. l( g6 D. V# x    3.0000

   -4.0000

   -1.0000

    1.0000

(3)利用矩阵的行（列）初等变换求线性方程组的通解

! m) g; Q9 V0 [* N- u* V  e  基本步骤：（1）将线性方程组表示成增广矩阵的形式；

（2）对增广矩阵实行初等变换，使增广矩阵转化为行阶梯形矩阵；

9 d4 W0 i$ r" u2 g3 Y$ |6 n（3）得到方程组的解。

例：求解线性方程组
  ?5 @0 U, p( L2 ?& v) j5 b


  `2 c/ x# B+ m( B
# S* h& m6 S: z, b2 N>>A=[1,1,1,1;0,1,-1,1;2,3,1,3];     %方程组的增广矩阵

>>F=rref(A);    %将方程组增广矩阵化为行阶梯形矩阵
- G! O1 D  s7 g) I
/ f) S( Y. C. C2 n* ^>>F  %输出增广矩阵的行阶梯形矩阵

F =

& L0 I2 H" C: H$ V% {" y     1     0    2     0

     0     1   -1     1

     0     0    0     0

. _- W0 Z3 f( W由该阶梯形矩阵，可得方程组：x1=-2x3    x2=x3+1
! u8 m9 T. C8 ?0 t
3 z6 J4 F6 ^8 ]' A  [

/ N7 i: i* B7 d! m* e（4）求非齐次线性方程组的通解
& d2 `6 l) m6 K0 F4 Z5 P0 d3 _
. D1 H$ K: F: V( N; l$ Y非齐次线性方程组需要先判断是否有解，若有解，再进一步求通解。
2 x2 A0 I/ {6 Y, z, K! |# _
% E( O8 a' [% a" b  Y- x9 ?6 I* ]0 F3 y" X一般步骤为：
7 o. c0 Q, _3 Q
6 A) p* K, @6 G  e第一步：判断AX=b是否有解，若有解则进行第二步；（R(A)与R(A,b)比较，即比较系数矩阵的秩和增广矩阵的秩）

" X- Z2 v6 W, w第二步：求AX=b的一个特解；（矩阵除法）

# n5 w- g- b" Y* M) m% l第三步：求AX=0的通解；（利用null命令）
  }/ Y% A+ q/ u& v
/ \* ~3 L( n9 s( h第四步：AX=b的通解：AX=0的通解+AX=b的一个特解。

+ ^2 a- e) p: p3 H6 M% k6 k例：判断方程组

%第一步：判断系数矩阵与增广矩阵的秩

% u9 X0 z4 b% X# X>> A=[1 -1 1 -1;-1 1 1 -1;2 -2 -1 1];    %系数矩阵A

>> b=[1;1;-1];    %常数b
; r' u0 o- h4 |: j. s
>> rank(A)     %系数矩阵的秩
$ S; g4 p! A4 O' b# m  n
$ t% E" ^9 T! W' _; X. a$ i; Zans =
( \- V: x: h3 z: E5 S, j
     2

0 H8 Y: M  p% O( {( ?>> rank([A,b])    %增广矩阵的秩
/ y0 E& S( p( X8 L  D1 U! m
ans =

     2

& N$ J4 }$ d8 D. C. m%求通解
5 Z& m& {- J$ E) J' @) L0 s. l1 ~
* j) |# ]: D4 k- U4 [# a化行最简形，用rref命令
; ~7 R! l- s) N$ Z! U) B
! o& U% ?2 Q9 Z1 N- @4 v& O>> rref([A,b])

ans =
6 u1 O5 G. m& E8 M. m7 x
     1    -1    0     0     0

     0     0    1    -1     1
  H3 @4 U* Y5 F3 z/ l
  r) h4 Z/ L/ [     0     0    0     0     0

取x2,x4为自由变量,从而通解为：x1=x2,x3=x4+1
: {* A' r- \- G5 C% K0 \
: l3 h  l, ]; Y. {! ^6 @（2）先求出特解及导出组的基础解系, 用命令null，例如：

>>x0=A\b       %方程组的一个特解
4 s4 ^' G7 O1 S% Z* L. _: F; A
% i, [& e, H8 U% _$ P/ px0 =

9 U8 v6 p* p1 D; L; I     0
. r7 L2 s  M/ o1 w8 C5 X2 c( Q2 N
% P& Q' m$ }- W: c# @9 H; j     0

     1
" P  _; y  F" M2 h; X1 o; a5 j
7 r( l$ E! N/ j, {% B$ O7 O     0

* D# ^+ C5 p! C4 f, b% P+ D2 H>>x1=null(A)    %求导出组的基础解系
* ?) M# ^( z- X) O' ~1 {1 t0 E
; n, \( o' l4 \# q9 J. @# qx1 =

, Z3 [1 s* M! l9 n- e/ F4 T  -0.7071               0

2 a) L) n8 D! j+ U7 \   -0.7071               0
# ^9 x7 X0 h5 J5 \
   -0.0000        0.7071
+ k* U) i+ @) w3 u2 }
4 V6 }/ d" Z) [/ m# F  -0.0000       0.7071

故原方程组的通解为
/ q- t- b" j& f0 J- u
(x1,x2,x3,x4)=(0,0,1,0)+c1(-0.7071,-0.7071,0,0)   +c2(0,0, 0.7071, 0.7071),c1,c2为任意常数.

# h9 ~8 h4 Q9 j2 |( O& o0 Xnull是用来求齐次线性方程组的基础解系的，加上'r'则求出的是一组最小正整数解，如果不加，则求出的是解空间的规范正交基。(x1=null(A,'r'))
& Y* H# O" O# Y1 o+ W  Z) n) i

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matlab矩阵的应用

SsaaM7

非齐次线性方程组需要先判断是否有解，若有解，再进一步求通解

ldezgr

LZ辛苦，学习学习

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