matlab矩阵的应用

piday123

1、向量组的秩：rank（A）

7 U% ~; T% x9 ^$ G' @( C2、判断线性相关性

8 t) \1 G5 e' [一般步骤（1）输入向量组

. y5 u7 _5 X7 \' x% \% Y                  （2）用A’将行向量转置为列向量
5 O$ d/ t* w, @8 r0 R/ C
  f/ q4 x, [: s. l/ V··                 （3）用rref（A）命令求秩
' X5 {# I3 l2 v
例：判断向量组a1=(1 2 0 1), a2=(1 3 0 -1), a3=(-1 -1 1 0)是否线性相关,并求秩。
3 M5 O' _9 ]) E' D
- d; a) S- G- x. W) `# j' X>> A=[1 2 0 1;1 3 0-1;-1 -1 1 0]; %输入矩阵
. u! N* g# f, j2 R
- j' t" c% o1 R/ l$ `>>A=A’   % 将行向量转置为列向量再求秩
5 O6 q/ E  y8 ?' h5 x% I- X1 m, a: K
( p# G% d) _* s& K2 f( o* t" C>>rank(A)   %求秩

Ans = 3

（注意：当rank（A）等于向量组个数时，线性无关，否则线性相关）
5 O3 f- J8 u3 i9 n: ?
( S0 j1 C6 _; ~% o4 f3 L: R7 q     3、求向量组的极大无关组
5 X8 Z" t" w  W
     一般步骤：（1）输入向量组，并将其进行转置
0 E# f3 [( }" q( o- b+ B4 G
1 V/ Q( q  ^9 W0 K* o                    （2）化为分数形式
+ _. C5 t- L' A; \% s
+ {# H" V, r1 u2 G1 b. L0 W                    （3）将向量化为行最简型
+ s$ x  z% F4 a2 m4 f
. y) b* P* t* g7 L( m  w                   （4）对线性相关性进行判断
; a" ~2 _, d5 n  S3 P- u' q- w' {
     注：将矩阵化为行最简型的命令为：rref（A）或者rrefmovie（A）
0 d% M6 W& \3 ?  F1 k- R( |. `
- o6 d! N7 x, t+ ]: g: ?+ g: L  例1：求下列向量组的秩和一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示。
( ^+ b$ g. e) @# r2 Q
' U3 h$ @. c. R  i4 Ya1=(2 -1 3 5)，a2=(4 -3 1 3)，a3=(3 -2 3 4)，
/ M6 ]0 }7 Y  E* |9 ]3 w. ^: R: ^; ]
a4=(4 -1 15 17)，a5=(7 -6 -7 0)
. F  }8 l. ^; C& \8 T. J
>> A=[2 -1 3 5;4 -3 1 3;3 -2 3 4;4 -1 15 17;7 -6 -7 0];

>> A=A′  %将行向量转化为列向量进行运算
$ s- ]2 t) p* n# U. C% U
: g. B8 a5 D. |6 R1 F* ?! G>> format rat   %分数格式形式

3 j) N  F8 V- t2 p>> rref(A)  %将A变换为行最简型
! V2 I( u* F# \8 X# b6 R4 ]
ans =
+ e7 o! _/ L' @" |5 R- t
        1      0    0     2     1

1 X1 L6 u! j0 N! C% b$ [        0      1    0    -3     5
3 R3 T, s: M3 \0 g& N# q( b: m
        0      0    1     4    -5
) z" ]  ?8 l; R3 x& R$ T& E  B3 ^: ]
        0      0    0     0     0
0 O- o& \* H2 T6 x5 M
& i  B$ Q" R, H/ K" A 因为前三行的向量均不全为0，且第1，2，3列的均为1开头，所以a1，a2，a3为一个极大无关组。
1 S- g& b3 I+ V, j


: T  J6 u9 X' A1 ^( H例2：求下列向量组的秩和一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示。
, h" x6 C* E. }5 @8 K" y0 e& O( c; {% ]a1=(1,-2,2,3)，a2=(-2,4,-1,3)，a3=(-1,2,0,3)，a4=(0,6,2,3)，a5=(2,-6,3,4)
1 m; W% Y  w4 U* M' _
' h  W4 @. M( }9 p/ n1 w. O解：

+ }. J* a/ \9 ~" R; ?5 ]A=[1,-2,2,3;-2,4,-1,3;-1,2,0,3;0,6,2,3;2,-6,3,4]

( S' ?+ [+ D6 }$ A, E>> A=A′  %将行向量转化为列向量进行运算
. q; X' x" g: O
# M* T) @: E' V/ W/ m9 M>> format rat   %分数格式形式

' b4 g+ U  h/ @* G4 h>> rref(A)  %将A变换为行最简型

5 ^7 X- A4 r  q& y4 s1 N& w, [; M
7 @+ c: A4 N1 C. H& ^* Q
8 ?& [! l8 K* G) `! W  a! UA1,a2,a4为一个线性无关组，a3，a5可用其其线性表示
" ~! _4 Y4 A. Q5 s- n2 V
3、线性方程组的求解

         （1）使用克莱姆法则求解
: m+ G; `6 K* X

# U3 M# ]) S: |2 K  l# i: b( I

0 t; v" R6 T2 y>> A=[2 1-5 1;1 -3 0 -6;0 2 -1 2;1 4 -7 6];  %输入系数矩阵
# f) L" F+ }& x
3 N, I% ^: j+ \& U>>D=det(A)  %判断解的情况

D =  27     
( F: G9 ~4 D) x" q" \6 x0 @
" {, ?0 X  v$ v8 g: I0 l- B# k>> C1=A;C2=A;C3=A;C4=A;b=[8;9;-5;0];

%将A赋值给不同变量

6 Y3 Y- S7 a. Q; s6 t( G8 p/ ~- ^>> C1(:,1)=b;D1=det(C1); %将某行替换为系数列

; Z, J6 f# f' {8 rx1=D1/D    %x求解x1
& \& b% J2 e- N* Q4 F# r6 L+ o
x1 = 3
1 K" y: ]+ _  s, g+ {
>> C2(:,2)=b;D2=det(C2);x2=D2/D

>> C3(:,3)=b;D3=det(C3);x3=D3/D        
" B$ E6 b* V7 o4 C
>> C4(:,4)=b;D4=det(C4);x4=D4/D
0 h, Y( h; y9 g8 v+ B0 b- `1 P
（2）使用矩阵左除法求线性方程的解

+ W. i% |  `- }( O线性方程组AX=B的一个解为X=A\B。

例：利用左除法求解上题中线性方程组的解.
0 m" H' d) _( V0 z
; `) o2 v. `( M2 Y& H>> A=[2 1 -5 1;1 -3 0 -6;0 2 -1 2;1 4 -7 6];
4 V/ z- p$ ~; k: p$ e: \/ c
, L' D5 x8 ^3 I>>rank(A)

>> b=[8;9;-5;0];

5 h3 i% u2 }' C, h6 {5 Y6 A' @>> x=A\b        %左除法
  k5 I8 d1 `5 [7 u, }' G
: _3 a9 X/ I* [3 U0 fx =
0 g$ o  r- g6 K
    3.0000

   -4.0000

7 A. b7 ]$ D5 v, K/ |2 p* k. }   -1.0000
7 `' T0 _8 }) ?! v; K2 a; `
    1.0000
) I& w' N6 z1 D6 o4 Q
3 a/ y" j8 _' o  t! V(3)利用矩阵的行（列）初等变换求线性方程组的通解
1 `  M9 [* \2 d, y; {
  基本步骤：（1）将线性方程组表示成增广矩阵的形式；

9 K  I0 r+ R! q; `( W9 g3 S- ~' S（2）对增广矩阵实行初等变换，使增广矩阵转化为行阶梯形矩阵；
2 \: c' u' Q$ u# f
3 N8 G6 L& ^+ P+ f- w7 `（3）得到方程组的解。

& K9 f' z0 n& N. m8 R4 N/ `例：求解线性方程组

3 \& \+ r2 S0 J- R3 G


>>A=[1,1,1,1;0,1,-1,1;2,3,1,3];     %方程组的增广矩阵

>>F=rref(A);    %将方程组增广矩阵化为行阶梯形矩阵

: c" k. a. a/ _: o# `>>F  %输出增广矩阵的行阶梯形矩阵
9 Y# ]. t1 D5 i1 ^
4 }% ^; G9 Y1 p1 z! [* K4 eF =

     1     0    2     0
" C4 ]6 u3 V9 _! \
     0     1   -1     1

3 q1 O9 q$ o/ g* z! P: W     0     0    0     0
) ?" V% t) i3 o+ D# A+ ^
由该阶梯形矩阵，可得方程组：x1=-2x3    x2=x3+1


. c* Q+ c7 `7 W! {8 b
- y) p6 M0 \( |! {/ `1 |6 y（4）求非齐次线性方程组的通解
* Y( X# L! [4 \7 E; [# Z. ?
9 E; S  w  b1 o' H+ ]非齐次线性方程组需要先判断是否有解，若有解，再进一步求通解。
) T: P# E) T$ V1 i
一般步骤为：

/ D, z/ C1 G6 o% Z) {第一步：判断AX=b是否有解，若有解则进行第二步；（R(A)与R(A,b)比较，即比较系数矩阵的秩和增广矩阵的秩）

* ^; i6 b, G* c3 V第二步：求AX=b的一个特解；（矩阵除法）

第三步：求AX=0的通解；（利用null命令）
" j1 P/ z3 ^1 k! q2 S1 `2 y
" m2 k" Q0 |% Y7 w第四步：AX=b的通解：AX=0的通解+AX=b的一个特解。

0 K+ x3 t8 l/ ]例：判断方程组

4 f% V+ _* i3 w/ z* s%第一步：判断系数矩阵与增广矩阵的秩

! g: D1 k8 K& I  [. t8 G>> A=[1 -1 1 -1;-1 1 1 -1;2 -2 -1 1];    %系数矩阵A
2 M9 H/ N, h' Z
1 Y& ]! }  ^! X0 }3 p' T+ ~: \' l>> b=[1;1;-1];    %常数b

$ F. z: Q1 B; O& V5 q1 O& ?2 ~>> rank(A)     %系数矩阵的秩
4 `( h# j4 n  i& A7 s% A& g' A
- N4 \* i+ u6 k( c) c( o% @ans =

     2
  p' R8 d! [* [6 K% U7 o
>> rank([A,b])    %增广矩阵的秩

: t$ Q  E9 W, ^/ Z% v3 n$ p5 uans =
5 _  r2 b& a9 u( P, V) ?
     2
3 K3 V' f1 Y* r5 s7 T
9 d; Q8 u+ K3 c- D  e  q1 \%求通解
0 L8 A8 i' n- p; l) l
9 X% n% s5 x# }: p/ A7 W6 }8 L化行最简形，用rref命令
' m, f+ s$ e- x0 y) B5 i9 R7 p% V
- D0 q8 N0 F, h+ |) P>> rref([A,b])

ans =

: ^2 B1 V) `& e& \5 {1 E     1    -1    0     0     0

. ?* _& {( U3 ?) M, x: ]( D     0     0    1    -1     1
" C: v8 a  b/ v' t) y9 \
" x0 R  O) ^7 Y1 ?     0     0    0     0     0
+ C- i# u0 ?2 K/ R9 Z2 o
取x2,x4为自由变量,从而通解为：x1=x2,x3=x4+1

（2）先求出特解及导出组的基础解系, 用命令null，例如：
6 ]0 }) q1 D9 n! ?( U
1 \: ^: `5 m2 ^) `  u>>x0=A\b       %方程组的一个特解
% K+ k4 k) j# H' J
x0 =
/ Q& R! b' d* ~! g. J. [, R
     0

$ V% V' r. e5 M     0
* Q( B7 B) c' G+ u- b
     1

     0
5 \  |2 e1 ~6 `+ ?& {' t
# r; _2 P9 Z3 C3 [. u/ }>>x1=null(A)    %求导出组的基础解系
) r6 {6 V% x! E' o- a
% V1 c3 \8 M6 Gx1 =
! E3 a% I+ L, ^# x
$ e0 o) @* i2 C1 S4 u3 F  -0.7071               0
6 t2 L/ x4 [7 `: D. N: Q
   -0.7071               0
, O+ e7 [/ ^/ ^6 D, l0 B/ `! Z' j
: n2 y) r( l, o8 k   -0.0000        0.7071

  -0.0000       0.7071

故原方程组的通解为

(x1,x2,x3,x4)=(0,0,1,0)+c1(-0.7071,-0.7071,0,0)   +c2(0,0, 0.7071, 0.7071),c1,c2为任意常数.

null是用来求齐次线性方程组的基础解系的，加上'r'则求出的是一组最小正整数解，如果不加，则求出的是解空间的规范正交基。(x1=null(A,'r'))
, }( s1 t5 F4 a

showmaker

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ExxNEN

matlab矩阵的应用

SsaaM7

非齐次线性方程组需要先判断是否有解，若有解，再进一步求通解

ldezgr

LZ辛苦，学习学习

yesnyes

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