matlab矩阵的应用

piday123

; V% K1 Q/ G, O( T1、向量组的秩：rank（A）

. W) z. B6 E5 W1 r" Y0 E2 q! Y2、判断线性相关性
0 a4 e1 ~8 x4 v" o8 h; m% c
一般步骤（1）输入向量组
3 d" c" \3 G6 w; A+ l' H) G6 h( q8 Z
0 c( R) o3 I- |$ P) l4 \4 B                  （2）用A’将行向量转置为列向量
* S3 [, c" o4 y8 s/ a4 m4 j
" X% G1 N$ g) ?  \3 p( l; ]··                 （3）用rref（A）命令求秩

例：判断向量组a1=(1 2 0 1), a2=(1 3 0 -1), a3=(-1 -1 1 0)是否线性相关,并求秩。

>> A=[1 2 0 1;1 3 0-1;-1 -1 1 0]; %输入矩阵

>>A=A’   % 将行向量转置为列向量再求秩
1 B" Q! w* z8 r/ \" h
>>rank(A)   %求秩
2 G4 w9 K% w+ X; c+ a
Ans = 3

（注意：当rank（A）等于向量组个数时，线性无关，否则线性相关）

     3、求向量组的极大无关组
7 h% l; X7 P' Q9 }' G1 V8 \
     一般步骤：（1）输入向量组，并将其进行转置
) }" Z7 o+ K2 L* G. m1 w+ N
                    （2）化为分数形式

& b: A" S7 r- A) d7 _4 |                    （3）将向量化为行最简型

                   （4）对线性相关性进行判断
# B% x( [! x2 B1 p7 w
     注：将矩阵化为行最简型的命令为：rref（A）或者rrefmovie（A）
9 _5 X8 I# t) f0 i1 ?% ]& p
4 {5 e. i- H- u- {) g) ?  例1：求下列向量组的秩和一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示。
$ K" N/ ]* Y  M+ j) b2 K9 v8 i) Y% S
a1=(2 -1 3 5)，a2=(4 -3 1 3)，a3=(3 -2 3 4)，

! V% i0 R  ?4 b0 p3 P( q/ pa4=(4 -1 15 17)，a5=(7 -6 -7 0)
3 N$ Y8 g$ @& v
8 W" D& W- f; y/ j! T>> A=[2 -1 3 5;4 -3 1 3;3 -2 3 4;4 -1 15 17;7 -6 -7 0];

>> A=A′  %将行向量转化为列向量进行运算
- U: }( y  d  S6 G/ w
$ B3 q6 G  K, ]' c>> format rat   %分数格式形式
! E9 G" Z# w! l5 ]# |- K
>> rref(A)  %将A变换为行最简型

0 H7 l9 u4 }3 N; N) u1 c6 tans =
$ S. q% R( y! N6 d; r
        1      0    0     2     1

        0      1    0    -3     5
9 w: r; |  n- X% Y0 b+ p: }$ f
        0      0    1     4    -5
" P+ P* _% M$ O. Y: A
        0      0    0     0     0
- ~* Y0 T8 N! [6 t
因为前三行的向量均不全为0，且第1，2，3列的均为1开头，所以a1，a2，a3为一个极大无关组。
5 ^. G3 b! \% Y* @/ @6 t2 M


例2：求下列向量组的秩和一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示。
a1=(1,-2,2,3)，a2=(-2,4,-1,3)，a3=(-1,2,0,3)，a4=(0,6,2,3)，a5=(2,-6,3,4)
" F( U+ H" T5 N. q4 }4 p3 {) I
1 G/ K6 b$ v# H9 t/ |解：
' ~' Z# V& S& `& Y
' m5 E% y: D; B7 jA=[1,-2,2,3;-2,4,-1,3;-1,2,0,3;0,6,2,3;2,-6,3,4]

>> A=A′  %将行向量转化为列向量进行运算
9 i6 @" s( I4 |# {% U7 M
& m! q5 S) a! v% |>> format rat   %分数格式形式

>> rref(A)  %将A变换为行最简型


1 |  N4 f- P- O& B+ x
A1,a2,a4为一个线性无关组，a3，a5可用其其线性表示

: M/ N+ v( n: o$ _" f; ]- ]3、线性方程组的求解
( {1 ~  B9 k3 v
/ ]- }- u% a6 U) |( v, Z3 `         （1）使用克莱姆法则求解
* ~$ Q; W* O  D& X( P
8 y5 C, c) r: Q* i/ b2 m


/ I" o0 ^7 n+ X  M>> A=[2 1-5 1;1 -3 0 -6;0 2 -1 2;1 4 -7 6];  %输入系数矩阵

>>D=det(A)  %判断解的情况

D =  27     

; h! X( t1 Q6 A>> C1=A;C2=A;C3=A;C4=A;b=[8;9;-5;0];

%将A赋值给不同变量

$ S3 F! w; J7 Q( c>> C1(:,1)=b;D1=det(C1); %将某行替换为系数列
! o9 x+ ]% {( W# M0 _
; ?- ~1 f- H+ w5 I  n& lx1=D1/D    %x求解x1

2 M: h. o( e" u% e9 vx1 = 3

>> C2(:,2)=b;D2=det(C2);x2=D2/D

>> C3(:,3)=b;D3=det(C3);x3=D3/D        

4 v; b7 M( ~; Q3 R0 |  p>> C4(:,4)=b;D4=det(C4);x4=D4/D
! Z6 V& n9 k% A+ V
（2）使用矩阵左除法求线性方程的解
* W' E+ V" h1 _
线性方程组AX=B的一个解为X=A\B。

例：利用左除法求解上题中线性方程组的解.
; G1 ]% G' t2 b  f( [& t
" w8 a4 |& Q' t) v1 \" L>> A=[2 1 -5 1;1 -3 0 -6;0 2 -1 2;1 4 -7 6];
9 N1 s9 ~0 E4 C4 j( `% t$ U' @1 t2 E
>>rank(A)

>> b=[8;9;-5;0];

>> x=A\b        %左除法
+ _  G. ~! r# [, Z
x =

% j: S# R0 F5 `0 \. E) f8 m    3.0000
8 v% ~  x& R4 |6 l; T& W' W
) J1 u" {/ q% M   -4.0000
) f$ j" ]) _- R& J9 n! S
6 Y/ j' h; ]" n6 Q   -1.0000
) n  E& S- a# u& P' d
    1.0000
# x( m) f! ]% ~& l" d0 l3 S) c# ^
6 p6 H3 w+ P8 s8 L% G" H(3)利用矩阵的行（列）初等变换求线性方程组的通解
& X7 ^9 ?1 L7 |$ s: i) R$ a* Q% W" L
  基本步骤：（1）将线性方程组表示成增广矩阵的形式；

（2）对增广矩阵实行初等变换，使增广矩阵转化为行阶梯形矩阵；
) }% a% D" K  e+ Z9 K3 d
) c3 E. I' A* W（3）得到方程组的解。
; C# M4 F+ z3 ]$ m& f. Z+ C
例：求解线性方程组



0 g0 ]3 {2 ]) Z2 `
>>A=[1,1,1,1;0,1,-1,1;2,3,1,3];     %方程组的增广矩阵

>>F=rref(A);    %将方程组增广矩阵化为行阶梯形矩阵

>>F  %输出增广矩阵的行阶梯形矩阵
3 M4 {; g3 u0 q: b$ W2 v7 U! p' I; ?
F =
9 o& I- d# z0 Q) b4 C& Y( Q; T* \* S
' c8 Y% W. G3 r' O     1     0    2     0

" H  i( [+ D. `+ O     0     1   -1     1

& R8 H% z4 A, s- _8 N     0     0    0     0
  g; c1 R( K1 X" N2 |* G$ {
* C1 C" K+ s5 X( O& O由该阶梯形矩阵，可得方程组：x1=-2x3    x2=x3+1
" A$ M# L: V! o. ~" k. i: `1 t$ z  c0 V


5 c. a: c6 a2 _, g（4）求非齐次线性方程组的通解

1 R; b0 ^) |7 \& a" k# L非齐次线性方程组需要先判断是否有解，若有解，再进一步求通解。

一般步骤为：
0 I0 p" g1 d( {( T
$ g7 M, U, j% @1 W3 I4 C  _第一步：判断AX=b是否有解，若有解则进行第二步；（R(A)与R(A,b)比较，即比较系数矩阵的秩和增广矩阵的秩）

- v# I5 T4 q9 T: z6 Y第二步：求AX=b的一个特解；（矩阵除法）

第三步：求AX=0的通解；（利用null命令）
2 U- L. y2 }! @2 S' j
第四步：AX=b的通解：AX=0的通解+AX=b的一个特解。

8 Y, s  W: [) b( i- e' d/ u( e0 l" ~( V例：判断方程组

9 \0 p! |7 Z8 b' z9 E, D3 m%第一步：判断系数矩阵与增广矩阵的秩

/ C* H! l6 D( {6 d# N0 P# m>> A=[1 -1 1 -1;-1 1 1 -1;2 -2 -1 1];    %系数矩阵A
' a# A, e7 A; |, m) \
>> b=[1;1;-1];    %常数b
# S' T+ j9 \/ Y) Z# ~
>> rank(A)     %系数矩阵的秩

ans =

     2
, n' J! M7 r. r7 H$ i6 v7 l: t
) v% _- D* F0 Q5 \>> rank([A,b])    %增广矩阵的秩

ans =

     2
- n& i. J5 X8 U" u# }& Y
2 X: A9 h9 e. U8 s% F6 [%求通解

化行最简形，用rref命令
( ^0 @- H. x) m, l* O& k- T
0 q. b* G  d, p6 q>> rref([A,b])
) r7 K) l( p( p& X' f. p( }& U* m
ans =
2 B0 [1 p  c' k4 v0 R0 \: E4 E
+ e: \6 W# l8 f2 j( m     1    -1    0     0     0

     0     0    1    -1     1
2 U' w/ u" v  n
4 i2 {; |5 ~8 M# o# V: q* d9 |0 }( a     0     0    0     0     0

( C8 l! C* d5 @5 u$ w0 ~取x2,x4为自由变量,从而通解为：x1=x2,x3=x4+1
0 |; H2 n$ _. R- N1 i, Y
/ e: `: v' h- J+ D$ ]8 I7 J7 w; V（2）先求出特解及导出组的基础解系, 用命令null，例如：
4 h# D* F9 @8 h  p1 n# j/ F% l% i( P
>>x0=A\b       %方程组的一个特解
6 Q3 y, Z: S6 i1 p& K9 k
5 ~  A. m! r# k$ O+ d* [0 hx0 =
; F' @9 p8 B: `# V
     0
8 T% R7 p, W& J: X
     0
3 |* w; Y" M0 R5 l2 u
     1
3 m! _! r2 \2 w! A& e8 I
9 {! |* w2 Y% ^% K7 h' n  V9 ]. W6 Y     0
( ^; o4 f2 m8 M% L5 v& o) x
: o! n4 v2 R1 {* Y7 x3 {>>x1=null(A)    %求导出组的基础解系

x1 =

7 D( i* a' O( @$ R  -0.7071               0
! V" ]$ f" e  ?) [  H% T% q
4 E. v; g+ U3 P" s4 @; [  p' n/ s9 d   -0.7071               0
) W; ^6 k6 w: A( E$ z
   -0.0000        0.7071

  -0.0000       0.7071

. R+ g  H0 Z& B7 f9 @' A故原方程组的通解为

(x1,x2,x3,x4)=(0,0,1,0)+c1(-0.7071,-0.7071,0,0)   +c2(0,0, 0.7071, 0.7071),c1,c2为任意常数.

" n7 C+ g0 q) C6 o& t* c& C# Jnull是用来求齐次线性方程组的基础解系的，加上'r'则求出的是一组最小正整数解，如果不加，则求出的是解空间的规范正交基。(x1=null(A,'r'))
/ c5 S; v, x- A$ e& p

showmaker

很清楚   感谢分享

ExxNEN

matlab矩阵的应用

SsaaM7

非齐次线性方程组需要先判断是否有解，若有解，再进一步求通解

ldezgr

LZ辛苦，学习学习

yesnyes

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