matlab矩阵的应用

piday123

1、向量组的秩：rank（A）
5 L. x* L$ N9 R
2、判断线性相关性
7 d# P7 B3 w8 L3 P
一般步骤（1）输入向量组
6 o, ^" P# U: C5 |, @8 I
# G4 k, z3 n: O# u! p, b                  （2）用A’将行向量转置为列向量

··                 （3）用rref（A）命令求秩
  G. _: g+ K! \
例：判断向量组a1=(1 2 0 1), a2=(1 3 0 -1), a3=(-1 -1 1 0)是否线性相关,并求秩。
& E( x6 a( {2 k9 h- I! f
* V0 y' _; c6 k>> A=[1 2 0 1;1 3 0-1;-1 -1 1 0]; %输入矩阵

>>A=A’   % 将行向量转置为列向量再求秩

; R6 d9 p! y8 a( \& Q1 [7 A/ `  b>>rank(A)   %求秩

Ans = 3

（注意：当rank（A）等于向量组个数时，线性无关，否则线性相关）

     3、求向量组的极大无关组
6 `. Q4 b" J: F; F
6 P4 K2 J: F% `( g6 a8 e) G" m     一般步骤：（1）输入向量组，并将其进行转置
# U2 N; z! y4 T; S$ [
' x' u+ c2 H4 Z2 M: n0 t                    （2）化为分数形式

                    （3）将向量化为行最简型

: Y( m% w6 _7 T3 N                   （4）对线性相关性进行判断
/ Q9 F. \3 E, s) o/ a
     注：将矩阵化为行最简型的命令为：rref（A）或者rrefmovie（A）
0 N4 K$ D5 o0 {4 B0 s1 F
( Z. N4 |+ g! w- a; f" i2 T  例1：求下列向量组的秩和一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示。

a1=(2 -1 3 5)，a2=(4 -3 1 3)，a3=(3 -2 3 4)，

a4=(4 -1 15 17)，a5=(7 -6 -7 0)
; t$ w& J6 x  z  y, E7 A
. ~8 ^  [" ]8 ?! W0 R>> A=[2 -1 3 5;4 -3 1 3;3 -2 3 4;4 -1 15 17;7 -6 -7 0];

6 I& H6 L6 J: `>> A=A′  %将行向量转化为列向量进行运算

' G& v& T" n2 P% V: E>> format rat   %分数格式形式

>> rref(A)  %将A变换为行最简型
6 H3 X! }% V3 o: {: V/ `0 W0 }: k
ans =
! Z/ j: r) b" s! D2 l' S; O
, Y$ U" h# x! N! G/ l        1      0    0     2     1

        0      1    0    -3     5
& z- G; N& s& P" \( @# _  m
        0      0    1     4    -5
8 ^* e+ ~5 @) O/ [( F" f
        0      0    0     0     0
0 }2 N5 A& [8 x# j0 i6 ^1 j
因为前三行的向量均不全为0，且第1，2，3列的均为1开头，所以a1，a2，a3为一个极大无关组。
1 D+ H# N- G$ E' r6 {+ |, ^
5 i3 y, v+ n9 L0 C$ x0 I

5 I2 y5 h8 Y6 `# o. ?! e4 i% ?例2：求下列向量组的秩和一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示。
a1=(1,-2,2,3)，a2=(-2,4,-1,3)，a3=(-1,2,0,3)，a4=(0,6,2,3)，a5=(2,-6,3,4)

1 D# p" `9 v. q$ w8 S3 @解：
3 ]6 }& O5 d9 ]5 _" R
; M  Q1 h5 `* P" a+ MA=[1,-2,2,3;-2,4,-1,3;-1,2,0,3;0,6,2,3;2,-6,3,4]
* e- W* q# W4 i  M
( _2 z. w' X4 o; X- V>> A=A′  %将行向量转化为列向量进行运算
6 b6 E& Q6 t; j$ {; ^% {
) S: R) r5 r4 F5 o+ t; {% ^>> format rat   %分数格式形式
( N% ?  C, v& o; b. I
>> rref(A)  %将A变换为行最简型
) d4 s5 @. a; }% n! n' P' t


A1,a2,a4为一个线性无关组，a3，a5可用其其线性表示

# p4 E8 K: B, l3、线性方程组的求解

) y9 _+ m. M; G9 X3 O         （1）使用克莱姆法则求解

! A2 t9 M7 e( d! I* h; D

1 Y  f% ~$ g. t5 Z
7 [0 P! T8 J' j7 _4 ]>> A=[2 1-5 1;1 -3 0 -6;0 2 -1 2;1 4 -7 6];  %输入系数矩阵
2 ~, X1 C. ?% X9 p
>>D=det(A)  %判断解的情况

D =  27     

0 \9 b5 j. K0 z1 M$ b8 g>> C1=A;C2=A;C3=A;C4=A;b=[8;9;-5;0];
7 G' X5 S) B4 u+ ^2 e& }
/ W: V# Z6 n- V6 A% j4 o%将A赋值给不同变量

>> C1(:,1)=b;D1=det(C1); %将某行替换为系数列

x1=D1/D    %x求解x1
- j6 \; }( ^& V5 |- x
" ?8 j0 P. w1 kx1 = 3

>> C2(:,2)=b;D2=det(C2);x2=D2/D

% R) f8 z; ~7 m>> C3(:,3)=b;D3=det(C3);x3=D3/D        

# v3 p9 h, w/ c7 i8 y>> C4(:,4)=b;D4=det(C4);x4=D4/D

（2）使用矩阵左除法求线性方程的解
/ p5 @# ]' D. e. Y
线性方程组AX=B的一个解为X=A\B。

6 L5 z4 Q3 x0 F  L例：利用左除法求解上题中线性方程组的解.

>> A=[2 1 -5 1;1 -3 0 -6;0 2 -1 2;1 4 -7 6];

>>rank(A)

>> b=[8;9;-5;0];
' @9 z6 N2 `9 v
- C9 A( L9 V0 {: ^7 B, |>> x=A\b        %左除法

x =
: Q: H! K/ k, w& S2 R7 U
# K) J: v( `2 z    3.0000
8 z; g/ R/ y  |! U$ f
: z) V/ K# `5 I   -4.0000

/ }- b) G& h$ Q/ P   -1.0000

" X/ K4 Z2 A5 n, ]. `& ]) A# A! O0 j    1.0000
6 U' w4 E! m) w, q& s/ \1 P/ g
8 r9 Z7 e* x3 l3 N9 b6 z(3)利用矩阵的行（列）初等变换求线性方程组的通解
- L* v6 W& W6 z2 L/ r
) h9 `1 b# @" |% [" _) z% e  基本步骤：（1）将线性方程组表示成增广矩阵的形式；

（2）对增广矩阵实行初等变换，使增广矩阵转化为行阶梯形矩阵；
! W1 ?( k: _- d% A
/ C3 d) d4 t  \& c- s（3）得到方程组的解。
& Y& K3 |: t; u" `' U1 O
( x+ q* Y- E& @: f6 C1 Q例：求解线性方程组
# G/ q2 t0 y0 N( f( L  l" [
3 s8 P7 M; f3 _) k- O* g) Z6 l; U
" }% S& J9 \4 H% P; {. _/ h
4 d9 [) p6 p& w* L8 j
; W8 p1 Z5 s6 o) U9 M! K  Y) I>>A=[1,1,1,1;0,1,-1,1;2,3,1,3];     %方程组的增广矩阵

>>F=rref(A);    %将方程组增广矩阵化为行阶梯形矩阵
6 {4 Z5 f: F- k- }2 T+ E9 u
>>F  %输出增广矩阵的行阶梯形矩阵

F =

     1     0    2     0
8 B# j& W' G; d( Q" T
" s  p! S/ A- [" u/ T     0     1   -1     1

     0     0    0     0

由该阶梯形矩阵，可得方程组：x1=-2x3    x2=x3+1

# R  a$ P2 H) @+ D. U+ \* u

（4）求非齐次线性方程组的通解

8 S/ }7 B3 S" I  Q- U4 ]0 h; J2 s- D非齐次线性方程组需要先判断是否有解，若有解，再进一步求通解。

一般步骤为：
3 Q5 x- c2 ^6 B( t3 T* Z, t
第一步：判断AX=b是否有解，若有解则进行第二步；（R(A)与R(A,b)比较，即比较系数矩阵的秩和增广矩阵的秩）

第二步：求AX=b的一个特解；（矩阵除法）

# {' p8 e2 n" l# c& ]/ P5 ?第三步：求AX=0的通解；（利用null命令）
/ q) M! L& t9 l/ V! Y' o( Z# C8 Y  ~
第四步：AX=b的通解：AX=0的通解+AX=b的一个特解。
. n% Y* |, h* r$ N7 ]9 \/ H" i  m
例：判断方程组

4 {% ]0 R# S% X' e%第一步：判断系数矩阵与增广矩阵的秩
0 T, x. g$ M' Z$ {! S& S
>> A=[1 -1 1 -1;-1 1 1 -1;2 -2 -1 1];    %系数矩阵A

" f6 {. \: Q! h8 i8 X>> b=[1;1;-1];    %常数b
) h& q. w- G7 ?, l
* u* e" F/ G0 i9 i>> rank(A)     %系数矩阵的秩
6 M( G( T& ]5 e. o1 r$ w
. i# t7 [5 C% Z6 i, [ans =
3 Z* Q; c* a8 O+ f9 R1 m0 J
     2
2 E7 a) {( r0 e
. G" H9 b0 L9 W1 T" Q+ ^; ^, Z) r>> rank([A,b])    %增广矩阵的秩

ans =
  a: I7 [8 y/ H6 X3 r4 o
     2

%求通解
6 p3 [8 Y9 b1 x, K) z& `& F( O9 c
6 E- [7 z9 v' S3 i# _( g化行最简形，用rref命令

>> rref([A,b])

ans =
/ o: T: u% m1 N; r# l
, n8 `. w+ z$ {6 W     1    -1    0     0     0
1 K, V7 m. ~# O. _% B/ d$ Z. }1 q
     0     0    1    -1     1

3 R( j  R. H6 i1 p' C     0     0    0     0     0

; z1 S% u4 _+ s: x. v' d/ h- W取x2,x4为自由变量,从而通解为：x1=x2,x3=x4+1

( m7 G6 W0 o) A$ J8 c& g) M（2）先求出特解及导出组的基础解系, 用命令null，例如：
0 ~6 V$ x" I2 l: V, ~* B( B
6 J, F' D3 H; `, v8 S5 b>>x0=A\b       %方程组的一个特解

. U; T  t4 W+ h# o% j, Nx0 =
9 s7 u: z, Q2 \4 T: G' ~0 r% q
% d" V6 s0 k# D, l5 _# I" ^6 x) V     0
% |, _/ P( P# U
     0

. \& s8 o5 }! O4 R3 l/ i     1
; U0 @" E" o( O4 a2 P- I
     0
# C2 p- ?' p2 q1 T, a& J' ~
>>x1=null(A)    %求导出组的基础解系

5 ], D3 ~" y: }! F/ Wx1 =
/ {% e' \8 ], _2 L7 H* ~
5 A. P" a: I3 P+ O0 T( s  -0.7071               0

   -0.7071               0
/ P3 ?3 I- l6 {$ [  Q. W9 L& W
1 r2 t0 j. c+ C& @   -0.0000        0.7071

' ^. _3 h% |7 ]5 Y, Q- w  -0.0000       0.7071

3 W, X3 o- A4 |3 Z3 ^故原方程组的通解为
$ k: C' b" b6 c$ {. d- M
3 x: H' A4 K' `(x1,x2,x3,x4)=(0,0,1,0)+c1(-0.7071,-0.7071,0,0)   +c2(0,0, 0.7071, 0.7071),c1,c2为任意常数.
# ^1 ]' m( w8 A0 T4 J7 ^: p) j
: W8 U; d- O) v* R7 f* inull是用来求齐次线性方程组的基础解系的，加上'r'则求出的是一组最小正整数解，如果不加，则求出的是解空间的规范正交基。(x1=null(A,'r'))
) v& \* u- J+ @2 Q. u, V

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matlab矩阵的应用

SsaaM7

非齐次线性方程组需要先判断是否有解，若有解，再进一步求通解

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LZ辛苦，学习学习

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