FPGA实现数字信号处理的定点运算

MrL1

背景

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首先，我们要明确的是不管是什么数字，一切数字在计算机中都是采用二进制表示的，就算你是小数点数。所以，这些概念，我们一定要捋清楚。下面，我们马上就来看看。
. ^1 \( W- v1 ]( k. }' W: D1 u
5 [+ I: T9 H3 i+ F& d
) A6 M+ l7 D& f* c定点数的表示与计算


定点数具有三种表示的形式，原码、反码、以及补码。

4 ~( N. H3 G% }9 B, e

01
/ I8 i/ v- w/ ]8 l
原码

3 Q) M5 J6 ^2 C2 g$ j8 N$ c关于原码，例如二进制 0△110 表示+0.75；1△110表示的是-0.75.这一点很好理解，因为0.75*2^3(定点三位)=6 也就是二进制110.简单的说如何将小数转换为十进制数呢。利用matlab提供的整转二进制函数dec2bin很容易获得转换结果。即需要先将十进制小数乘以一个比例因子2^B-1,并进行四舍五入操作取整。转换函数的表达式子是：
$ U% i8 R: Z2 |. y" y+ N- t
! d& a$ i( ~/ C5 f

需要说明的是十进制的小数转换为二进制存在误差，其误差大小由二进制数的位数决定的。
# ]& Y/ ~3 X- ~' A5 r
  J, W7 f! v1 H9 Hx表示实际的数（一个浮点数）， q表示它的Qn型定点小数（一个整数）。
! t5 {0 T! f  z/ R# f" w3 P$ r. S

* F& ^5 K3 ~- H# K) X
7 {5 i2 q3 l# j( V02
$ Y: t% x" M/ f; H
2 k( ^2 R" ~7 H* G3 z6 M  p反码

! m4 h% C( R+ z& r正数的反码与原码相同，负数的反码为原码除符号位的所有位取反，及得到负数的反码。例如说，十进制的-0.75的二进制原码表示为x=1△110，其反码为1△001
/ Y8 L4 d+ E6 t# r  b. D9 s
& ~, b  Y" m4 X# b
9 y9 g  [2 ~# Q) U' U3 o+ [
03
3 B5 Z, C* m# @5 k0 A
补码
* q/ i; ^5 t% V! n! L+ z; }+ M4 Q/ Z
5 _" W) }. E' O2 _2 u负数的补码就是在反码的最低位加1.补码最重要的特性就是将减法用加法运算实现。同样，将十进制数转换成补码形式的二进制数也可以用dec2bin函数实现。
) q% `/ \3 Y: M3 R8 f( R% Q  i


我们用数学表达式总结一下如何将小数定点化
/ \: ?2 n: k; T: b* i) c

$ m# J" ~8 p. [# n2 E
# e( C/ J9 h6 H8 v; S& V4 G( L假设q1，q2，q3表达的值分别为x1，x2，x3

q3 = q1 + q2 若 x3 = x1 + x2

q3 = q1 - q2 若 x3 = x1 - x2

q3 = q1 * q2 / 2^n若 x3 = x1 * x2
- M0 {4 B8 U, F  I+ L9 N' H
q3 = q1 * 2^n / q2若 x3 = x1 / x2
$ r  `' V+ O- R6 w2 v, P
: u! T" ~2 s. I. \对于加减法到比较简单，对于乘除法，我们对/ 2 ^ n和* 2^n可以简单的用移位来计算。所以定点小数的运算比浮点小数要快的多。



  }5 ?' }, A* C, s( z经常有人问, FPGA里小数乘法怎么搞?
4 |# L. K  Z2 l9 L9 q7 `
如果你乐意, 按照IEEE754标准做"浮点"型运算的ip当然最好(虽然面积上不太好).不过,很多情况下,没有这个必要.
& r$ c; {4 G5 r. Y2 o
一般我们就用"定点"了.你得自己"定个点", 比如用16位, 分成8位整数8位小数(后面记为"(8.8)"), 即"定点"在第8位.那么:1 -> 16’h0100;1.5 -> 16’h0180;-1.5 -> -1.5256 + 65536(补码) -> 16’hFE80(其实就是-16’sh0180, 让综合器给我们算补码去~~);1.164 -> 1.164256 = 298 = 16’h012A

所以 signed input [15:0] a (也是"8整.8小")和 1.164相乘给 signed output [15:0] mul (也是"8整.8小"), 直接写:assign mul = (a * 16’sh012A) >>>8;就行了, 当然, 你的fpga里有DSP block最好, 不然也要几百个LE的.

% A' o. |2 a/ w, E2 Y; ~1 Y  M

Cyberbot6

定点数具有三种表示的形式，原码、反码、以及补码
& `- A- p: N2 R$ a- C4 A  L

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负数的补码就是在反码的最低位加1.补码最重要的特性就是将减法用加法运算实现。同样，将十进制数转换成补码形式的二进制数也可以用dec2bin函数实现
5 b9 n  n  b; c% q1 d

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一切数字在计算机中都是采用二进制表示的，就算你是小数点数