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Matlab 矩阵的应用

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发表于 2021-8-18 11:19 | 只看该作者 回帖奖励 |倒序浏览 |阅读模式

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x
% h% c8 W" H* R4 m  W1 k
一、稀疏矩阵
/ _! R7 R8 A4 Y/ F: E
8 L1 A5 _/ u0 d) Z1 a& x对于一个 n 阶矩阵,通常需要 n2 的存储空间,当 n 很大时,进行矩阵运算时会占用大量的内存空间和运算时间。在许多实际问题中遇到的大规模矩阵中通常含有大量0元素,这样的矩阵称为稀疏矩阵。Matlab支持稀疏矩阵,只存储矩阵的非零元素。由于不存储那些”0″元素,也不对它们进行操作,从而节省内存空间和计算时间,其计算的复杂性和代价仅仅取决于稀疏矩阵的非零元素的个数,这在矩阵的存储空间和计算时间上都有很大的优点。) ?/ j6 E+ K% d0 x& X3 {: |
矩阵的密度定义为矩阵中非零元素的个数除以矩阵中总的元素个数。对于低密度的矩阵,采用稀疏方式存储是一种很好的选择。
( R3 A( p7 j. P: v; q1 K, H; @4 H/ o( ]  I9 ^
1、稀疏矩阵的创建
1 A4 ]% `; _; o(1) 将完全存储方式转化为稀疏存储方式 函数A=sparse(S)将矩阵S转化为稀疏存储方式的矩阵A。当矩阵S是稀疏存储方式时,则函数调用相当于A=S。 sparse函数还有其他一些调用格式: sparse(m,n):生成一个m*n的所有元素都是0的稀疏矩阵。 sparse(u,v,S)--:u,v,S是3个等长的向量。S是要建立的稀疏矩阵的非0元素,u(i)、v(i)分别是S(i)的行和列下标,该函数建立一个max(u)行、max(v)列并以S为稀疏元素的稀疏矩阵。 此外,还有一些和稀疏矩阵操作有关的函数。full(A):返回和稀疏存储矩阵A对应的完全存储方式矩阵。! V& H/ z. h& S- B3 p, o" y
(2) 直接创建稀疏矩阵 S=sparse(i,j,s,m,n),其中i 和j 分别是矩阵非零元素的行和列指标向量,s 是非零元素值向量,m,n 分别是矩阵的行数和列数。7 K& j2 g% e$ _6 T: E& G7 _2 p
(3) 从文件中创建稀疏矩阵 利用load和spconvert函数可以从包含一系列下标和非零元素的文本文件中输入稀疏矩阵。例:设文本文件 T.txt 中有三列内容\begin{bmatrix}1\; 3 \; 5\\ 2 \; 4 \; 6\\ 2 \; 5 \; 8\\ 3 \; 6 \; 9\end{bmatrix},第一列是一些行下标,第二列是列下标,第三列是非零元素值。load T.txt S=spconvert(T)。& r  K: P2 n$ P1 u
(4) 稀疏带状矩阵的创建 S=spdiags(B,d,m,n) 其中m 和n 分别是矩阵的行数和列数;d是长度为p的整数向量,它指定矩阵S的对角线位置;B是全元素矩阵,用来给定S对角线位置上的元素,行数为min(m,n),列数为p 。% f1 O* `9 y/ J  X% v
(5) 其它稀疏矩阵创建函数
4 K2 t( z+ @$ _) qS=speye(m,n)
( U* O* P/ L( ~& [# z/ eS=speye(size(A)) % has the same size as A8 f) L3 n! \& S! [+ \. Y8 F
S=buchy % 一个内置的稀疏矩阵(邻接矩阵)" O/ b; F% q  u& O- v" r
等等$ I# X' a5 b: Y! j  ~, s! C. i

- f6 L1 G; G0 \& Q! N* w8 a2、稀疏矩阵的运算+ I1 H2 w* p5 s% n  }
+ {4 ?$ q# K' \# N  o
稀疏存储矩阵只是矩阵的存储方式不同,它的运算规则与普通矩阵是一样的,可以直接参与运算。所以,Matlab中对满矩阵的运算和函数同样可用在稀疏矩阵中。结果是稀疏矩阵还是满矩阵,取决于运算符或者函数。当参与运算的对象不全是稀疏存储矩阵时,所得结果一般是完全存储形式。1 x( b% Q% C! u
# L+ a8 @, E& F0 T; _1 U7 p
3、其他
" x. E  H' {4 q  U  m% M) X7 R+ y  n0 G
(1) 非零元素信息
5 d4 `& u2 k+ T' D" p) D( ^nnz(S) % 返回非零元素的个数7 h% K% u6 j1 C* m- t
nonzeros(S) % 返回列向量,包含所有的非零元素
& }8 O* s9 U- znzmax(S) % 返回分配给稀疏矩阵中非零项的总的存储空间! C6 a; U  J% g9 E
(2) 查看稀疏矩阵的形状 spy(S)
9 W; ]  \1 _: o& T8 \(3) find函数与稀疏矩阵8 B4 Q( g0 \6 V$ C; {6 p! J
[i,j,s]=find(S)
7 n' a: A& N$ i! I6 ]6 t8 x% L[i,j]=find(S)
$ V4 t% r0 V, k8 i$ M8 t$ H' P* D返回 S 中所有非零元素的下标和数值,S 可以是稀疏矩阵或满矩阵。- h3 \: T' u) W1 q5 k4 o, N4 r
* _. h; Z" s& v) W' L
二、有限域中的矩阵: l) w# d3 q0 g6 n1 h

/ a6 j  k* S3 G2 j: h1 H信道编码中的矩阵运算一般都是基于有限域的,因此需要将普通矩阵转换为有限域中的矩阵,使其运算在有限域GF(m)中。可以通过命令gf(data,m)将数据限制在有限域中,这样如矩阵求逆、相加、相乘等运算就均是基于有限域GF(m)的运算了。1 ]. c! h2 [% J- N

1 y1 T+ S5 w  l! ?, s那么如何将有限域元素转换为double型的呢?可以利用命令 double(data.x) 其中x是后缀。关于有限域的详细情况请参考 这里。
" x8 @5 W0 m4 G& W6 h
4 \3 T2 L" }6 f, V/ e, W% L4 {( C
6 ~. r2 P" R2 d( s: |解决方法:用\;代替&。估计这个问题是Latex Math插件的bug。呵呵,不知道有没有更好的解决办法。

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发表于 2021-8-18 13:14 | 只看该作者
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发表于 2021-8-18 13:52 | 只看该作者
稀疏存储矩阵只是矩阵的存储方式不同,它的运算规则与普通矩阵是一样的,可以直接参与运算

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发表于 2021-8-18 13:52 | 只看该作者
矩阵的密度定义为矩阵中非零元素的个数除以矩阵中总的元素个数
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