用 MATLAB 实现离散时间傅里叶变换（DTFT）的两个案例分析

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先给出离散时间傅里叶变换的简单介绍：
! t7 V6 y% e" N9 u; H" {& m
  C; g+ N& U( o+ B& L$ C0 L, y如果 x(n) 是绝对可加的，即



那么它的离散时间傅里叶变换给出为：


$ n5 E. B2 \; w. Q; s
7 d1 B9 n/ o# i( O. \; `. g9 M& zw 称为数字频率，单位是每样本 rad（弧度）或 （弧度/样本）（rad/sample）

/ n0 _* X+ d" v$ j- }案例1：
: |% I* i* r: y6 W& T求 的离散时间傅里叶变换 ，并用MATLAB将 在 之间的501个等分点上求值，并画出它的幅度、相位、实部和虚部。
" N4 b9 M+ `. j
1 K, Q% Z2 ~6 C" x4 m题解：
0 r* P8 Z" `- B. ?9 }: N& ]4 J
: O- h5 t1 f' d, I- R由于x(n)是无限长的序列，所以不能直接用MATLAB直接从x(n)得到 。然而，我们可以用它对表达式 在 频率点上求值，然后画出它的幅度和相位（实部或虚部）。
3 @$ @1 P, ^# n: e8 e6 _, ]
7 @! }! i9 y$ _6 p2 I1 n4 G) M
( E2 m* U& l) t1 c


) @6 p2 L( d% n9 d# s: i
/ q6 U: K1 F; u$ {% B  r, `" C脚本：

• clc
• clear
• close all
• w = [0:500]*pi/500; %[0,pi] axis divided into 501 points
• X = exp(j*w)./( exp(j*w) - 0.5*ones(1,501) );
• magX = abs(X);
• angX = angle(X);
• realX = real(X);
• imagX = imag(X);
• subplot(2,2,1)
• plot(w/pi,magX);
• grid;
• title('Magnitude Part');
• xlabel('frequency in pi units');ylabel('Magnitude');
• subplot(2,2,2)
• plot(w/pi,angX);
• grid;
• title('Angle Part')
• xlabel('frequency in pi units');ylabel('Radians');
• subplot(2,2,3)
• plot(w/pi,realX);
• grid
• title('Real Part');
• xlabel('frequency in pi units');ylabel('Real');
• subplot(2,2,4);
• plot(w/pi,imagX);
• grid;
• title('Imaginary Part');
• xlabel('frequency in pi units');ylabel('Imaginary');
  

     

- E4 q9 I* S! {; i
4 m( N( j/ P9 Y9 M4 l8 u; s
案例2：
求下面有限长序列的离散时间傅里叶变换：


& s/ G2 p) B) L! v8 P7 e* _
3 l1 Y$ Q  m! D! Z, t" l: }在[0,pi]之间的501个等分频率上进行数值求值。
6 Y, N! Q2 y! G5 c# `$ x
题解：
3 N4 i, k" t) t" I% ^8 I4 I1 E
/ Q. Y/ K8 R9 y3 F/ X6 V% Z8 ~

6 X. H& l- G' K7 D* s6 T+ D. S我们可以直接对上式进行MATLAB编程，但是这种方法在有限长序列的DTFT中不是太方便，我们可以直接由 x(n) 来求它的DTFT。

  ]: c. Z% C  {  U0 g我们使用向量化的编程方法，最后得到一个通用的公式。推导如下：
# D* \8 P) M- [) f/ `. V
0 G* w! O6 n! f+ D" ^9 F3 c
1 f+ [# |$ |+ B1 w  [* B
0 n% ^9 I' D% `
( `2 i1 a; e0 z9 r$ I用MATLAB实现如下：

• k = [0:M];
• n = [n1:n2];
• X = x * (exp(-j * pi/M)).^(n'*k);
  

0 h* j. }3 ]$ F) K& g& D给出MATLAB脚本语言如下：

. j7 W. E6 i) {9 n$ E9 G+ Z

• clc
• clear
• close all
• n = -1:3;
• x = 1:5;
• k = 0:500;
• w = (pi/500)*k;
• X = x * (exp(-j * pi/500)).^(n' * k);
• magX = abs(X);
• angX = angle(X);
• realX = real(X);
• imagX = imag(X);
• subplot(2,2,1);
• plot(w/pi,magX);
• title('Magnitude Part');
• xlabel('w/pi');ylabel('Magnitude');
• subplot(2,2,2);
• plot(w/pi,angX);
• title('Angle Part');
• xlabel('w/pi');ylabel('Radians');
• subplot(2,2,3);
• plot(w/pi,realX);
• title('Real part');
• xlabel('w/pi');ylabel('Real');
• subplot(2,2,4);
• plot(w/pi,imagX);
• title('Imaginary Part');
• xlabel('w/pi');ylabel('Imaginary');
  

8 m' [6 d0 X. h( G. q, X1 l* h: b
. U6 C" p& R4 h' D% n+ M      

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