用 MATLAB 实现离散时间傅里叶变换（DTFT）的两个案例分析

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# c8 i3 k/ X( L/ H% t先给出离散时间傅里叶变换的简单介绍：

如果 x(n) 是绝对可加的，即
/ j  W5 }5 W8 ^
( y4 A; z/ j4 P6 X- F0 f! F, _
& L& x" h- ^7 F5 g
那么它的离散时间傅里叶变换给出为：
, D/ r4 m, M' V9 E6 J
0 J. @' ]  z! L% ]

" b' f6 v3 `$ z8 N- s. Nw 称为数字频率，单位是每样本 rad（弧度）或 （弧度/样本）（rad/sample）
. p7 |3 g7 K4 H# s8 J
案例1：
求 的离散时间傅里叶变换 ，并用MATLAB将 在 之间的501个等分点上求值，并画出它的幅度、相位、实部和虚部。
8 z4 a7 S4 {+ G- S/ Y) ^! r3 V
0 t( t( y( z( [8 }! T题解：

1 r9 o* ~" W! b4 a9 n& z: H+ X由于x(n)是无限长的序列，所以不能直接用MATLAB直接从x(n)得到 。然而，我们可以用它对表达式 在 频率点上求值，然后画出它的幅度和相位（实部或虚部）。
" ^  j) W/ e1 |4 _, j7 ~. y' @/ X
# G! S% c( e+ D" q! D" Z, A
5 m6 G6 N4 s; H


8 G  y: n8 [( Q8 U' |
& Q6 G* M, e  D9 h脚本：

! V' M8 V  Z; w% R7 y( q( F

• clc
• clear
• close all
• w = [0:500]*pi/500; %[0,pi] axis divided into 501 points
• X = exp(j*w)./( exp(j*w) - 0.5*ones(1,501) );
• magX = abs(X);
• angX = angle(X);
• realX = real(X);
• imagX = imag(X);
• subplot(2,2,1)
• plot(w/pi,magX);
• grid;
• title('Magnitude Part');
• xlabel('frequency in pi units');ylabel('Magnitude');
• subplot(2,2,2)
• plot(w/pi,angX);
• grid;
• title('Angle Part')
• xlabel('frequency in pi units');ylabel('Radians');
• subplot(2,2,3)
• plot(w/pi,realX);
• grid
• title('Real Part');
• xlabel('frequency in pi units');ylabel('Real');
• subplot(2,2,4);
• plot(w/pi,imagX);
• grid;
• title('Imaginary Part');
• xlabel('frequency in pi units');ylabel('Imaginary');
  

     

# n+ B& {7 q1 W' E$ _- s

案例2：
求下面有限长序列的离散时间傅里叶变换：

; C$ `* y3 [2 ^2 w4 c6 _( P

& @3 g# [) f7 F: d1 y$ j在[0,pi]之间的501个等分频率上进行数值求值。
6 z3 |. p) J2 Y" o9 c6 K8 C
7 a$ M: J& }. T0 x' ^题解：
0 Z* V! e3 n! |8 g1 A2 v


我们可以直接对上式进行MATLAB编程，但是这种方法在有限长序列的DTFT中不是太方便，我们可以直接由 x(n) 来求它的DTFT。
* U! ?) o, K! h# f  F
; y  I! ?3 ]+ d7 Z我们使用向量化的编程方法，最后得到一个通用的公式。推导如下：


7 e/ z6 d0 n# Z& f
! S- G# d, j% O; ~  t
用MATLAB实现如下：
  ^3 K) y: ]- x. e8 f( s  C7 |

• k = [0:M];
• n = [n1:n2];
• X = x * (exp(-j * pi/M)).^(n'*k);
  

; `7 U' L8 M4 l  {+ _( @3 o) u
给出MATLAB脚本语言如下：

/ k7 M& \& ]6 L; y

• clc
• clear
• close all
• n = -1:3;
• x = 1:5;
• k = 0:500;
• w = (pi/500)*k;
• X = x * (exp(-j * pi/500)).^(n' * k);
• magX = abs(X);
• angX = angle(X);
• realX = real(X);
• imagX = imag(X);
• subplot(2,2,1);
• plot(w/pi,magX);
• title('Magnitude Part');
• xlabel('w/pi');ylabel('Magnitude');
• subplot(2,2,2);
• plot(w/pi,angX);
• title('Angle Part');
• xlabel('w/pi');ylabel('Radians');
• subplot(2,2,3);
• plot(w/pi,realX);
• title('Real part');
• xlabel('w/pi');ylabel('Real');
• subplot(2,2,4);
• plot(w/pi,imagX);
• title('Imaginary Part');
• xlabel('w/pi');ylabel('Imaginary');
  

( ?# J3 c# i  H0 K6 x0 X
      
# N2 o4 R/ C/ y! ~

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