用 MATLAB 实现离散时间傅里叶变换（DTFT）的两个案例分析

mytomorrow

先给出离散时间傅里叶变换的简单介绍：
4 X& N7 k4 R( j
- A5 l; v/ F+ N: S- q, d: i如果 x(n) 是绝对可加的，即

) j( W% _% ]9 Y+ M8 ?, ?0 n4 ]

那么它的离散时间傅里叶变换给出为：
9 X; h* `9 k# t  l) V


w 称为数字频率，单位是每样本 rad（弧度）或 （弧度/样本）（rad/sample）

1 N. x( z* b6 E' z% A6 t案例1：
求 的离散时间傅里叶变换 ，并用MATLAB将 在 之间的501个等分点上求值，并画出它的幅度、相位、实部和虚部。

+ x1 n' c% a! w- l1 }题解：

由于x(n)是无限长的序列，所以不能直接用MATLAB直接从x(n)得到 。然而，我们可以用它对表达式 在 频率点上求值，然后画出它的幅度和相位（实部或虚部）。

" D3 S$ ]. w2 [. ~3 O, r
9 n: x: D# z3 O6 I- |5 s

' u/ F4 v+ b/ C* a: J  S: M
2 N9 Z; w1 b8 M' F
脚本：

" |1 a* d( w5 ]+ X

• clc
• clear
• close all
• w = [0:500]*pi/500; %[0,pi] axis divided into 501 points
• X = exp(j*w)./( exp(j*w) - 0.5*ones(1,501) );
• magX = abs(X);
• angX = angle(X);
• realX = real(X);
• imagX = imag(X);
• subplot(2,2,1)
• plot(w/pi,magX);
• grid;
• title('Magnitude Part');
• xlabel('frequency in pi units');ylabel('Magnitude');
• subplot(2,2,2)
• plot(w/pi,angX);
• grid;
• title('Angle Part')
• xlabel('frequency in pi units');ylabel('Radians');
• subplot(2,2,3)
• plot(w/pi,realX);
• grid
• title('Real Part');
• xlabel('frequency in pi units');ylabel('Real');
• subplot(2,2,4);
• plot(w/pi,imagX);
• grid;
• title('Imaginary Part');
• xlabel('frequency in pi units');ylabel('Imaginary');
  " Z' o. Y  Y2 T6 T2 A& \& Z5 ^

     
! u* d+ @$ ]* y6 b3 Z: Q


. \+ P3 S0 p$ H$ A5 F4 `: I案例2：
. G! v$ ~8 S) Q7 [, ?6 U3 A3 i求下面有限长序列的离散时间傅里叶变换：
- `1 P8 J2 ^) o: H0 H( T1 n


在[0,pi]之间的501个等分频率上进行数值求值。
$ o  |' u2 r' l1 @# H
" U, K7 Q: ~! `$ i题解：


7 O5 t! p, H  \( F. |3 |: c
我们可以直接对上式进行MATLAB编程，但是这种方法在有限长序列的DTFT中不是太方便，我们可以直接由 x(n) 来求它的DTFT。

我们使用向量化的编程方法，最后得到一个通用的公式。推导如下：
8 t- i, B6 B. w

; e: P' L& L& A: _2 U, K2 }

用MATLAB实现如下：
( E1 W4 y' F' B- ?5 T

• k = [0:M];
• n = [n1:n2];
• X = x * (exp(-j * pi/M)).^(n'*k);
  8 _2 i( E1 V: g

. @( M1 p- z0 t. A给出MATLAB脚本语言如下：

- `  }0 J  s, s; {0 T' t# N. _  _

• clc
• clear
• close all
• n = -1:3;
• x = 1:5;
• k = 0:500;
• w = (pi/500)*k;
• X = x * (exp(-j * pi/500)).^(n' * k);
• magX = abs(X);
• angX = angle(X);
• realX = real(X);
• imagX = imag(X);
• subplot(2,2,1);
• plot(w/pi,magX);
• title('Magnitude Part');
• xlabel('w/pi');ylabel('Magnitude');
• subplot(2,2,2);
• plot(w/pi,angX);
• title('Angle Part');
• xlabel('w/pi');ylabel('Radians');
• subplot(2,2,3);
• plot(w/pi,realX);
• title('Real part');
• xlabel('w/pi');ylabel('Real');
• subplot(2,2,4);
• plot(w/pi,imagX);
• title('Imaginary Part');
• xlabel('w/pi');ylabel('Imaginary');
  

6 }3 i2 ]& z$ T! Q' U. K      

youOK

用 MATLAB 实现离散时间傅里叶变换（DTFT）的两个案例分析