用 MATLAB 实现离散时间傅里叶变换（DTFT）的两个案例分析

mytomorrow

, ?8 u; S2 @8 @  i: e% G4 r! b% X3 @先给出离散时间傅里叶变换的简单介绍：
# {$ n8 M( z6 X& B3 S5 ?; r& _, x
如果 x(n) 是绝对可加的，即



1 Z* `' c9 b& S: ~; r6 ^3 ^那么它的离散时间傅里叶变换给出为：
7 g8 d+ z# f  k; L


w 称为数字频率，单位是每样本 rad（弧度）或 （弧度/样本）（rad/sample）

案例1：
求 的离散时间傅里叶变换 ，并用MATLAB将 在 之间的501个等分点上求值，并画出它的幅度、相位、实部和虚部。

题解：

由于x(n)是无限长的序列，所以不能直接用MATLAB直接从x(n)得到 。然而，我们可以用它对表达式 在 频率点上求值，然后画出它的幅度和相位（实部或虚部）。

1 H( j* L  I3 e2 _0 f6 _
$ O0 E8 o/ x  i& P
' C  w* A1 ~# a, P/ c8 c; ~3 Q

" d9 ~: Q* _& S/ m
脚本：

% n5 j7 ]" h$ I9 `# t

• clc
• clear
• close all
• w = [0:500]*pi/500; %[0,pi] axis divided into 501 points
• X = exp(j*w)./( exp(j*w) - 0.5*ones(1,501) );
• magX = abs(X);
• angX = angle(X);
• realX = real(X);
• imagX = imag(X);
• subplot(2,2,1)
• plot(w/pi,magX);
• grid;
• title('Magnitude Part');
• xlabel('frequency in pi units');ylabel('Magnitude');
• subplot(2,2,2)
• plot(w/pi,angX);
• grid;
• title('Angle Part')
• xlabel('frequency in pi units');ylabel('Radians');
• subplot(2,2,3)
• plot(w/pi,realX);
• grid
• title('Real Part');
• xlabel('frequency in pi units');ylabel('Real');
• subplot(2,2,4);
• plot(w/pi,imagX);
• grid;
• title('Imaginary Part');
• xlabel('frequency in pi units');ylabel('Imaginary');
  

     
" f+ f2 j' n( k
% _$ p: s2 A. A8 _6 w/ x

案例2：
求下面有限长序列的离散时间傅里叶变换：
) L* `6 n4 X5 J  {5 G0 l
! J5 o3 B# t5 ?- @4 L& r
. G  L# w# ~3 s2 ~3 p
在[0,pi]之间的501个等分频率上进行数值求值。
+ t- d/ ^9 x4 g4 K- p& v
# l3 ?/ L  n2 }6 w' x" A题解：

- ~. m7 p  U) X; G, Y
- e0 i1 o5 s! y" H. d. ?
8 j, b9 e1 z% C* R7 T我们可以直接对上式进行MATLAB编程，但是这种方法在有限长序列的DTFT中不是太方便，我们可以直接由 x(n) 来求它的DTFT。
$ W- e* S3 E' F4 k
# ~% Q2 E! f5 S% K8 k& S我们使用向量化的编程方法，最后得到一个通用的公式。推导如下：

& C7 A. R3 i' q


4 P5 t1 ]1 p/ ~- s% Q用MATLAB实现如下：
  S1 ^/ a. k; [3 w0 I6 j
  q! A/ f' ~( B4 r( R" R, m

• k = [0:M];
• n = [n1:n2];
• X = x * (exp(-j * pi/M)).^(n'*k);
  

给出MATLAB脚本语言如下：

. O6 c. Q# U5 Y4 v

• clc
• clear
• close all
• n = -1:3;
• x = 1:5;
• k = 0:500;
• w = (pi/500)*k;
• X = x * (exp(-j * pi/500)).^(n' * k);
• magX = abs(X);
• angX = angle(X);
• realX = real(X);
• imagX = imag(X);
• subplot(2,2,1);
• plot(w/pi,magX);
• title('Magnitude Part');
• xlabel('w/pi');ylabel('Magnitude');
• subplot(2,2,2);
• plot(w/pi,angX);
• title('Angle Part');
• xlabel('w/pi');ylabel('Radians');
• subplot(2,2,3);
• plot(w/pi,realX);
• title('Real part');
• xlabel('w/pi');ylabel('Real');
• subplot(2,2,4);
• plot(w/pi,imagX);
• title('Imaginary Part');
• xlabel('w/pi');ylabel('Imaginary');
    k& i- s! f' g. i0 X- I' u

8 |: `$ g4 _9 E4 Q8 {5 q
) a1 C& H9 W7 D4 E; X+ B      

4 A5 N. }. E9 \% {  B& v

youOK

用 MATLAB 实现离散时间傅里叶变换（DTFT）的两个案例分析