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离散傅里叶变换(DFT)

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发表于 2021-3-8 10:27 | 只看该作者 |只看大图 回帖奖励 |倒序浏览 |阅读模式

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x
3 D* I( O" q+ p
离散傅里叶变换(DFT)讨论的对象是有限长序列 ,而与有限长序列 相关联的是其周期重复(延拓)(周期为N)而形成的周期序列 ,二者之间的关系是:
. I* \0 w4 f# J9 S* y- M2 B, j* S% C9 D) d6 `
                          (1)
% ^1 o6 ^+ _3 P7 ^# j; Y
7 l& N6 q4 |2 w# c                                        (2)
8 \0 O* L. D0 `6 i& B/ w/ `
4 p6 ?+ s9 v. X; D7 x* H
% m6 t4 n: i% f% O3 R( z3 A/ B
0 X& L, J2 G5 z+ h周期序列 的离散傅里叶级数(DFS)的系数 本身是一个周期为N的周期序列。
9 E9 d4 G, G4 C% [. q( D
% D$ s5 ~1 q( \; c! ?. `* S' P为了保持时域与频域之间的对偶性,将把与有限长序列x[n]相联系的傅里叶级数系数选取为与 的一个周期相对应的有限长序列
' d1 r& S+ G# o' w+ y4 r
* h; Y! x0 R; J+ R3 w这个有限长序列 称为离散傅里叶变换(DFT)。
( E9 ]- [/ G8 v5 d* f$ k$ y0 U3 g' i  j0 Q
因此DFT, 与DFS系数 有如下的关系:) z8 H* Q  t. `
( g7 w( o% K2 P3 l7 |9 l  ?
                           (3)
7 P0 n2 b' ]/ w' Z( x' H; s+ u, G4 n: S# D% V
                                        (4)
) `6 R1 z/ N' n: ^
8 i9 l3 V2 P: {我们都知道离散时间序列的傅里叶级数表示以及DFS系数为:; _6 `" w" y" E6 B5 A  D
: [/ D, C; D  j
                                              (5): K! W% K/ G% P6 q0 H$ G# j

* x+ B. }  U+ R& D4 P" G7 Y$ p                                        (6)
2 q" `3 J  b& t6 R& w# Z5 ~- y) Y9 T; z2 ~" z: x
在上式中,                                      (7)  R5 C8 x. q% t" o6 d$ D, h5 Q& @

6 ?/ d  T0 |0 ?9 I8 ?- n* i由于对于离散傅里叶变换(DFT)只涉及有限长序列,也就是0到N-1这一区间,所以离散傅里叶变换(DFT)可以表示为:! d! z+ j" x. S- h4 z4 ]

% H# ]4 ?& L; N) v! U分析式:
# a) p$ I5 S1 l# }  V9 f
* H8 `: u4 w4 ~* U) U# S) G, }                        (8)
# n  r$ m9 {* N$ {6 h+ Q9 L+ _# F2 ]+ X1 e2 N
合成式:: `( d3 |; u: e" n, {" D

! H$ c. |7 c  ~0 O5 c                 (9)
: e! ~% _% j4 [. t- o
0 R, I" w5 w0 C) Y5 E! n% X7 ~也就是说,这意味着一个事实,对于在区间 之外的k, 等于0。
) z7 K, T# l* A/ J" U& E3 Q
$ R1 f) z: U. U+ K) Z& v综上内容,这里有一个简短的总结:
  Y1 D0 Q8 Q  v# P4 p+ j
7 A* {& t& z  B  z9 QDFT针对地是有限长序列,是对有限长序列的离散傅里叶变换,它的表示式为一个周期的傅里叶级数系数。- A% T+ m7 J$ d# |
3 G# [7 s5 @% P( ]7 _' o2 T, w  {
这源于有限长序列与周期序列之间的紧密关系,也就造就了周期序列DFS与DFT之间的紧密关系。8 [% _/ h. Z" V/ L# `

9 [! D( s! U4 e" ^* |" w$ o' m
9 k4 Z! o5 V2 Z1 q( X: D+ c
/ Q3 l5 A; y+ K( {9 B! r3 X8 l我们一起来理解下这段话:+ j, {! G( k& m  S
) t5 @1 O3 B6 L3 o
对于有限长序列用(8)、(9)来改写(5)、(6),并没有消除固有的周期性。
2 V) K9 P3 k. K+ [- |* ]% W& ?
+ Z. N( k4 E: i7 Z! i. m如同DFS一样,DFT的 等于周期序列的傅里叶变换 的采样,并且若对于在区间 之外的n值来计算(9)式,其结果并不为0,而是x[n]的周期延拓。固有的周期性总是存在的。' ]; g+ |( m, c
/ p0 {" Q- J) m% \
在定义DFT表达式时,仅仅认为,感兴趣的x[n]的值只是在区间内,因为 (9)式只需要这些值。
% I( E" \8 Z7 }& {0 y; B/ Y9 c+ V$ m( i/ ?, @; _+ p0 I: b- n

/ a4 _6 T3 H6 X; u+ R4 x
: @/ ?; C2 i: T; t1 f( l4 b7 E" V! B
  • TA的每日心情

    2019-11-29 15:37
  • 签到天数: 1 天

    [LV.1]初来乍到

    2#
    发表于 2021-3-8 11:21 | 只看该作者
    离散傅里叶变换(DFT)

    该用户从未签到

    3#
    发表于 2021-3-9 08:29 | 只看该作者
    大学时对此一脸懵逼

    “来自电巢APP”

    该用户从未签到

    4#
    发表于 2021-3-10 15:30 | 只看该作者
    本帖最后由 15871637698 于 2021-3-10 15:34 编辑 2 w7 o# p6 o8 O
    ) g% E: e  i* P- [2 @! \
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    % K; ^# Z" q( e
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