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x
3 D* I( O" q+ p
离散傅里叶变换(DFT)讨论的对象是有限长序列
,而与有限长序列
相关联的是其周期重复(延拓)(周期为N)而形成的周期序列
,二者之间的关系是:
. I* \0 w4 f# J9 S* y- M2 B, j* S% C9 D) d6 `
(1)
% ^1 o6 ^+ _3 P7 ^# j; Y
7 l& N6 q4 |2 w# c
(2)
8 \0 O* L. D0 `6 i& B/ w/ `
4 p6 ?+ s9 v. X; D7 x* H
% m6 t4 n: i% f% O3 R( z3 A/ B
0 X& L, J2 G5 z+ h周期序列
的离散傅里叶级数(DFS)的系数
本身是一个周期为N的周期序列。
9 E9 d4 G, G4 C% [. q( D
% D$ s5 ~1 q( \; c! ?. `* S' P为了保持时域与频域之间的对偶性,将把与有限长序列x[n]相联系的傅里叶级数系数选取为与
的一个周期相对应的有限长序列
。
' d1 r& S+ G# o' w+ y4 r
* h; Y! x0 R; J+ R3 w这个有限长序列
称为离散傅里叶变换(DFT)。
( E9 ]- [/ G8 v5 d* f$ k$ y0 U3 g' i j0 Q
因此DFT,
与DFS系数
有如下的关系:) z8 H* Q t. `
( g7 w( o% K2 P3 l7 |9 l ?
(3)
7 P0 n2 b' ]/ w' Z( x' H; s+ u, G4 n: S# D% V
(4)
) `6 R1 z/ N' n: ^
8 i9 l3 V2 P: {我们都知道离散时间序列的傅里叶级数表示以及DFS系数为:; _6 `" w" y" E6 B5 A D
: [/ D, C; D j
(5): K! W% K/ G% P6 q0 H$ G# j
* x+ B. } U+ R& D4 P" G7 Y$ p
(6)
2 q" `3 J b& t6 R& w# Z5 ~- y) Y9 T; z2 ~" z: x
在上式中,
(7) R5 C8 x. q% t" o6 d$ D, h5 Q& @
6 ?/ d T0 |0 ?9 I8 ?- n* i由于对于离散傅里叶变换(DFT)只涉及有限长序列,也就是0到N-1这一区间,所以离散傅里叶变换(DFT)可以表示为:! d! z+ j" x. S- h4 z4 ]
% H# ]4 ?& L; N) v! U分析式:
# a) p$ I5 S1 l# } V9 f
* H8 `: u4 w4 ~* U) U# S) G, }
(8)
# n r$ m9 {* N$ {6 h+ Q9 L+ _# F2 ]+ X1 e2 N
合成式:: `( d3 |; u: e" n, {" D
! H$ c. |7 c ~0 O5 c
(9)
: e! ~% _% j4 [. t- o
0 R, I" w5 w0 C) Y5 E! n% X7 ~也就是说,这意味着一个事实,对于在区间
之外的k,
等于0。
) z7 K, T# l* A/ J" U& E3 Q
$ R1 f) z: U. U+ K) Z& v综上内容,这里有一个简短的总结:
Y1 D0 Q8 Q v# P4 p+ j
7 A* {& t& z B z9 QDFT针对地是有限长序列,是对有限长序列的离散傅里叶变换,它的表示式为一个周期的傅里叶级数系数。- A% T+ m7 J$ d# |
3 G# [7 s5 @% P( ]7 _' o2 T, w {
这源于有限长序列与周期序列之间的紧密关系,也就造就了周期序列DFS与DFT之间的紧密关系。8 [% _/ h. Z" V/ L# `
9 [! D( s! U4 e" ^* |" w$ o' m
9 k4 Z! o5 V2 Z1 q( X: D+ c
/ Q3 l5 A; y+ K( {9 B! r3 X8 l我们一起来理解下这段话:+ j, {! G( k& m S
) t5 @1 O3 B6 L3 o
对于有限长序列用(8)、(9)来改写(5)、(6),并没有消除固有的周期性。
2 V) K9 P3 k. K+ [- |* ]% W& ?
+ Z. N( k4 E: i7 Z! i. m如同DFS一样,DFT的
等于周期序列的傅里叶变换
的采样,并且若对于在区间
之外的n值来计算(9)式,其结果并不为0,而是x[n]的周期延拓。固有的周期性总是存在的。' ]; g+ |( m, c
/ p0 {" Q- J) m% \
在定义DFT表达式时,仅仅认为,感兴趣的x[n]的值只是在区间内,因为
(9)式只需要这些值。
% I( E" \8 Z7 }& {0 y; B/ Y9 c+ V$ m( i/ ?, @; _+ p0 I: b- n
/ a4 _6 T3 H6 X; u+ R4 x
: @/ ?; C2 i: T; t1 f( l4 b7 E" V! B |
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