离散傅里叶变换（DFT）

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+ P; P: q" p' z' c1 }. [3 M& Q! ~离散傅里叶变换（DFT）讨论的对象是有限长序列 ，而与有限长序列 相关联的是其周期重复（延拓）（周期为N）而形成的周期序列 ，二者之间的关系是：
3 D) w* U6 T4 }6 M! I) q# j: r
                          (1)

( [" y. T% M2 j" D4 [& s                                        (2)

8 s$ b* C$ S2 Z7 c% l* s/ _$ @
8 Z- N% C  t1 E7 y3 s( v
9 g# g$ k4 Q# a& ]% d1 I0 V周期序列 的离散傅里叶级数(DFS)的系数 本身是一个周期为N的周期序列。

为了保持时域与频域之间的对偶性，将把与有限长序列x[n]相联系的傅里叶级数系数选取为与 的一个周期相对应的有限长序列 。
! z# Q0 w+ @) L! u5 e- _9 W: C
这个有限长序列 称为离散傅里叶变换（DFT）。
1 u% h+ k/ `2 F
' S- L" ]  S+ O* ~7 H$ i因此DFT， 与DFS系数 有如下的关系：
1 {; b) L, W8 q2 v. s% m  A
0 a" ^' e+ i5 B* Q8 k9 x% B                            (3)
% i- G3 S1 R' q
                                        (4)
9 i2 H% G) @) _1 p7 L
1 c+ u9 g2 g; ]0 v. z我们都知道离散时间序列的傅里叶级数表示以及DFS系数为：
8 N" A# T4 ?  I/ F, s' q* _6 O
4 n: ^) I5 e3 v$ F                                               (5)
6 f1 p. G: S  u
                                       (6)

在上式中，                                      (7)
+ w5 I$ z; K; e, ?2 V2 T# v
: g0 R3 B( p2 G由于对于离散傅里叶变换（DFT）只涉及有限长序列，也就是0到N-1这一区间，所以离散傅里叶变换（DFT）可以表示为：

分析式：
( ^( {/ o# @2 K% X, L9 j
; f  V+ h* N5 w( M* x  l( ^; T                        （8）

合成式：

                （9）
9 g: I1 b4 |) p; Y7 |( [
也就是说，这意味着一个事实，对于在区间 之外的k， 等于0。
+ E7 J! _* Z7 ]
综上内容，这里有一个简短的总结：

DFT针对地是有限长序列，是对有限长序列的离散傅里叶变换，它的表示式为一个周期的傅里叶级数系数。
& l. Q1 Q; P9 }) c
这源于有限长序列与周期序列之间的紧密关系，也就造就了周期序列DFS与DFT之间的紧密关系。


% t8 @) W) y  F6 a& a# k* X
我们一起来理解下这段话：

对于有限长序列用（8）、（9）来改写（5）、（6），并没有消除固有的周期性。
% H9 F, C0 t! G; B
如同DFS一样，DFT的 等于周期序列的傅里叶变换 的采样，并且若对于在区间 之外的n值来计算（9）式，其结果并不为0，而是x[n]的周期延拓。固有的周期性总是存在的。

在定义DFT表达式时，仅仅认为，感兴趣的x[n]的值只是在区间内，因为 （9）式只需要这些值。
  S& _9 n0 x; V4 s
3 g# j' s& B  r2 N" `5 M2 f

' Z: K$ O) ~8 u) k3 Q

yin123

离散傅里叶变换（DFT）

junshi1000

大学时对此一脸懵逼

15871637698

' v8 D& H  ~; S9 \; _
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) z, N' \. T5 p4 X  A$ T' R6 J/ W
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