离散傅里叶变换（DFT）

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离散傅里叶变换（DFT）讨论的对象是有限长序列 ，而与有限长序列 相关联的是其周期重复（延拓）（周期为N）而形成的周期序列 ，二者之间的关系是：
. I* \0 w4 f# J9 S
                          (1)
% ^1 o6 ^+ _3 P7 ^# j; Y
7 l& N6 q4 |2 w# c                                        (2)
8 \0 O* L. D0 `6 i& B/ w/ `
4 p6 ?+ s9 v. X; D7 x* H
% m6 t4 n: i% f% O3 R( z3 A/ B
0 X& L, J2 G5 z+ h周期序列 的离散傅里叶级数(DFS)的系数 本身是一个周期为N的周期序列。
9 E9 d4 G, G4 C% [. q( D
% D$ s5 ~1 q( \; c! ?. `* S' P为了保持时域与频域之间的对偶性，将把与有限长序列x[n]相联系的傅里叶级数系数选取为与 的一个周期相对应的有限长序列 。
' d1 r& S+ G# o' w+ y4 r
* h; Y! x0 R; J+ R3 w这个有限长序列 称为离散傅里叶变换（DFT）。
( E9 ]- [/ G8 v5 d* f
因此DFT， 与DFS系数 有如下的关系：

                           (3)
7 P0 n2 b' ]/ w' Z( x
                                        (4)
) `6 R1 z/ N' n: ^
8 i9 l3 V2 P: {我们都知道离散时间序列的傅里叶级数表示以及DFS系数为：

                                              (5)

* x+ B. }  U+ R& D4 P" G7 Y$ p                                        (6)
2 q" `3 J  b& t6 R& w
在上式中，                                      (7)

6 ?/ d  T0 |0 ?9 I8 ?- n* i由于对于离散傅里叶变换（DFT）只涉及有限长序列，也就是0到N-1这一区间，所以离散傅里叶变换（DFT）可以表示为：

% H# ]4 ?& L; N) v! U分析式：
# a) p$ I5 S1 l# }  V9 f
* H8 `: u4 w4 ~* U) U# S) G, }                        （8）
# n  r$ m9 {* N$ {6 h
合成式：

! H$ c. |7 c  ~0 O5 c                 （9）
: e! ~% _% j4 [. t- o
0 R, I" w5 w0 C) Y5 E! n% X7 ~也就是说，这意味着一个事实，对于在区间 之外的k， 等于0。
) z7 K, T# l* A/ J" U& E3 Q
$ R1 f) z: U. U+ K) Z& v综上内容，这里有一个简短的总结：
  Y1 D0 Q8 Q  v# P4 p+ j
7 A* {& t& z  B  z9 QDFT针对地是有限长序列，是对有限长序列的离散傅里叶变换，它的表示式为一个周期的傅里叶级数系数。

这源于有限长序列与周期序列之间的紧密关系，也就造就了周期序列DFS与DFT之间的紧密关系。

9 [! D( s! U4 e" ^* |" w$ o' m
9 k4 Z! o5 V2 Z1 q( X: D+ c
/ Q3 l5 A; y+ K( {9 B! r3 X8 l我们一起来理解下这段话：

对于有限长序列用（8）、（9）来改写（5）、（6），并没有消除固有的周期性。
2 V) K9 P3 k. K+ [- |* ]% W& ?
+ Z. N( k4 E: i7 Z! i. m如同DFS一样，DFT的 等于周期序列的傅里叶变换 的采样，并且若对于在区间 之外的n值来计算（9）式，其结果并不为0，而是x[n]的周期延拓。固有的周期性总是存在的。

在定义DFT表达式时，仅仅认为，感兴趣的x[n]的值只是在区间内，因为 （9）式只需要这些值。
% I( E" \8 Z7 }& {0 y

/ a4 _6 T3 H6 X; u+ R4 x
: @/ ?; C2 i: T; t1 f( l4 b7 E" V! B

yin123

离散傅里叶变换（DFT）

junshi1000

大学时对此一脸懵逼

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