离散傅里叶变换（DFT）

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离散傅里叶变换（DFT）讨论的对象是有限长序列 ，而与有限长序列 相关联的是其周期重复（延拓）（周期为N）而形成的周期序列 ，二者之间的关系是：
0 Q0 d" u% r, V- V
; ^, W1 p" E/ s7 g) J4 D                           (1)

                                       (2)
. g* W7 X9 ?% T; t+ o4 t* a$ f% q" v


周期序列 的离散傅里叶级数(DFS)的系数 本身是一个周期为N的周期序列。

9 h8 B: M7 [: x" P# \为了保持时域与频域之间的对偶性，将把与有限长序列x[n]相联系的傅里叶级数系数选取为与 的一个周期相对应的有限长序列 。

3 _2 U" C7 M  J7 F3 O' _这个有限长序列 称为离散傅里叶变换（DFT）。

因此DFT， 与DFS系数 有如下的关系：

- G. U% t  R: C/ S- R                            (3)

                                        (4)
/ a& ]% g: r, Y5 z
6 \% `  C% k: p我们都知道离散时间序列的傅里叶级数表示以及DFS系数为：

& ^8 v: `9 f* O% G  w$ ~                                               (5)
5 T7 ~( O/ y- @
6 X4 r( ?/ B* a# Q6 ^- {                                        (6)
5 e; E2 W, ?; B5 A+ _% T
在上式中，                                      (7)

由于对于离散傅里叶变换（DFT）只涉及有限长序列，也就是0到N-1这一区间，所以离散傅里叶变换（DFT）可以表示为：
. b% W$ m0 }9 l4 X8 n
分析式：
3 h; t2 u: k( |) F
                       （8）
" T6 e$ R/ y  x! n# ^
合成式：

                （9）

5 L$ H8 I) i8 P0 C! r1 O+ u4 C也就是说，这意味着一个事实，对于在区间 之外的k， 等于0。
" t4 d7 G4 c) u/ t: r
综上内容，这里有一个简短的总结：

DFT针对地是有限长序列，是对有限长序列的离散傅里叶变换，它的表示式为一个周期的傅里叶级数系数。

这源于有限长序列与周期序列之间的紧密关系，也就造就了周期序列DFS与DFT之间的紧密关系。

/ U& ~& q: `: S: A4 }
' ~* B+ w/ N. I# K1 B8 Q2 t
* Z, @2 G  A/ W0 U我们一起来理解下这段话：

5 b, l, \; [( H- O2 u* P( w对于有限长序列用（8）、（9）来改写（5）、（6），并没有消除固有的周期性。
$ \7 U8 k- _* R! P& }! q% d
如同DFS一样，DFT的 等于周期序列的傅里叶变换 的采样，并且若对于在区间 之外的n值来计算（9）式，其结果并不为0，而是x[n]的周期延拓。固有的周期性总是存在的。

, R- ]0 I4 m# m4 S* i# k) @6 l在定义DFT表达式时，仅仅认为，感兴趣的x[n]的值只是在区间内，因为 （9）式只需要这些值。

# M, q. j; U4 [5 G) N

yin123

离散傅里叶变换（DFT）

junshi1000

大学时对此一脸懵逼

15871637698

6 C; E' N, G: g4 g& R: [
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