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本帖最后由 mytomorrow 于 2021-2-25 18:47 编辑
* D( c o1 g% Q
; O, w/ j5 b) ^" _上篇(对离散序列的傅里叶分析大总结(一))的最后讨论了有限长序列与周期序列之间的关系,首先给出了有限长序列以及由其构成的周期序列之间的关系,具体参看,得出的结论是:0 x! d! H; s( ^1 M3 h+ y
* V3 X( b' P+ a! `6 z+ z/ b
- P4 H* `) s5 l. }" E8 T
9 n8 l# h' r+ i' d9 w7 f3 n( P8 Q
今天的主题:
8 S! z! M" S& c今天的主题讨论了非周期序列与周期序列之间的更一般的关系:
* P8 a3 f+ p F2 M- ^0 s0 {2 C) Y
8 Y B8 s: K6 x. ]8 \7 m- m" x先给出非周期有限长序列以及其DTFT,然后对其傅里叶变换(DTFT)进行等间隔采样,等间隔采样后的序列的逆变换对应的序列是什么样的呢?3 Q( N" I0 y6 |
# Z- W" ?) s! X' L b是不是有限长序列的周期延拓?
1 H+ k) _0 f+ m, C3 d7 `2 Y( g4 E2 t3 x1 |
看下面的分析:
4 z9 Z0 v) u% q+ i: c% F0 A2 Q/ `* I) m$ f$ k
F/ \( ?; ] S
) _ n$ m3 t" w0 ]
' m7 ?$ B# Q1 k/ e! t f
# ]; K- \" l& B) b
/ D& b, b) c9 D0 R6 ^2 f
% _7 q5 c) P3 ]! I7 u/ P
) Z8 r$ ]5 L; J0 q1 p8 c3 I' f可见,是一个周期延拓关系,延拓周期为N。! s* }6 y& ~! g% K3 n% d4 y
, K5 A1 u/ R } F i有意义的举例讨论:6 P$ i( c0 W1 O2 M
下面再给出一个十分有意思的讨论:; f3 p" v2 s3 R* ?) Z
" ~: ~4 g$ J# ?4 D) O5 f- X情形一:* P. [. [+ w) h0 n3 ~. x) K
在下图中,x[n]是长度为9的序列,对其进行傅里叶变换(DTFT)得到
,对
进行等间隔采样,间隔为
,取N=12,也就是间隔为
,得到采样后的序列为
,该序列对应的时域波形为
下图(b),也就是对x[n]的周期延拓,周期为12。+ k/ O0 h: x0 F4 p
$ z2 q' |8 b" N, n% g
' E) q! S' I6 C3 t8 p- X/ G- V0 x8 F4 B5 L4 v, m1 m' o
3 q% ?! q" K: H! ]4 P6 n情形二:' X8 f; ^! e: k- R/ l. f( S
同样是这个有限长序列x[n]:: C. h+ S- ^; O+ Y$ {4 R. b0 j! W
0 U& C4 e+ B; _- L6 N& |
7 c5 R( m' I# S% D9 m
m2 [% u2 S2 {' @* D5 W当N=7的时候,对应的
为:
9 `2 o/ t7 c, Y0 U' }* o+ n# W/ s/ w1 I. C* `0 C) S
8 A. W* M1 u4 W% t$ U) ?, N# @ T7 [$ t. S
可见,发生了混叠现象。/ H/ |( U8 l8 q! o9 ~
) i1 M V" s" R" E0 w; b
下面对其进行解释:
" r' w4 x# _) h9 n/ @4 Q. T
" p; E3 B: U. \3 _) i情形一的情况,
的一个周期是x[n],这是没有发生混叠的情况,但对于情形二,
的一个周期就不再等于x[n]了,这是由于时域波形x[n]周期延拓后发生了混叠。 R6 S+ I1 r) i
% F1 Q+ G- v& A0 H( P: @尽管如此,下式依然成立:
; X% f2 O0 R6 R0 f6 o, s( \9 [, p# Q* z* H! J
; m) Q/ H- I- z9 x5 o
1 @4 F9 d: N# i8 H* ]也就是说在这两种情况下,
的DFS系数都是x[n]的傅里叶变换在频率
整数倍的等间隔点上的采样值。
; a: _ x. J3 {; S, K: F+ F' ~5 a* [4 L4 Z' e
对于情形一,原来的序列x[n]可以从
中抽取一个周期而恢复。1 j% h# H) H" n# ?2 j
& W0 u0 S( k- S" [8 ?) S同样,傅里叶变换
也可以从频率上以
等间隔地采样来恢复。5 p) l1 K, N1 t$ g# G$ }* _) X# v
4 S r8 ]0 B `7 K与之相反,对于情形二,x[n]不能用取出
的一个周期的方法来恢复。: @) W5 O J% _7 v
@. h) G4 z5 i; [
类似地,如果采样间隔只有
,
也不能由它的采样来恢复。 R' O) Q1 m1 t2 e
$ x0 T" w% G( f% G/ s8 K9 L% m实际上,情形一说明的情况是,已经用足够小的间隔(在频率上)对x[n]的傅里叶变换采样,以便能够由这些样本来恢复该变换。而情形二,表示一种对傅里叶变换欠采样的情况。: H7 A$ F( w/ \4 o8 E: S4 v& m
' j- ], ~5 a' ~ B0 w6 p: C% ]4 {
在欠采样的情况下,
与
的一个周期之间的关系可以认为是时域产生混叠的一种形式。4 U& T/ M. y: K. w! n7 ]
2 r$ [" A7 [1 V1 c显然,只要
为有限长,时域混叠就可以避免,正如信号的傅里叶变换只要是带宽有限的,其频域混叠也可以避免。, Z* d' W. p j( y
: ^4 {" ]5 Y) j
! l, r$ \1 Q4 }; s- ^
最重要的结论:
( G: y( g0 j! }从上面的讨论中,我们已经看出:
e! N# l7 n. O( l3 ~
# A3 I! ~; j6 ]- c/ }
+ Q& v% t8 s' }/ {
7 u7 x8 X6 k: j W/ q
重磅内容:
+ }( c7 K/ s* @: @
6 ~( w, I6 o) C- g- {
$ z* |0 }4 k# y# S L( T
. G% o) F0 O/ L在推导、讨论和应用DFT时,我们应该始终记住:通过傅里叶变换的采样值来表示,实际上是利用一个周期序列来表示有限长序列,该周期序列的一个周期正是要表示的有限长序列。
3 g. L1 R' ~6 s4 p) q- T2 e; {* e9 C& g2 x
/ Q8 J/ I: ^8 a) M# t1 T1 O7 W# |8 {3 R* A8 b
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