对离散时间傅里叶变换DTFT采样

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1 G3 B4 b; _5 V3 {0 o% S0 U
8 }, S% i& P* I6 d$ y上篇（对离散序列的傅里叶分析大总结(一)）的最后讨论了有限长序列与周期序列之间的关系，首先给出了有限长序列以及由其构成的周期序列之间的关系，具体参看，得出的结论是：
7 i' C0 y+ j6 c/ e9 z

- u. R$ D: E" Z' I
9 L- z6 ^6 Y' n7 O3 \2 R2 r今天的主题：
5 {/ U7 C. k/ n: ?* {" n今天的主题讨论了非周期序列与周期序列之间的更一般的关系：

先给出非周期有限长序列以及其DTFT，然后对其傅里叶变换（DTFT）进行等间隔采样，等间隔采样后的序列的逆变换对应的序列是什么样的呢？

是不是有限长序列的周期延拓？

+ _  t, |3 ?, z+ |看下面的分析：
1 n; y7 A7 Y% j) T) Q; M
' \4 {8 d. X7 |% k
5 W, h* }$ @! b9 V; t$ [& P: Z( e, a1 V


1 ~" ]4 w$ D- N* Y* \( a, w2 W" B
5 ^7 Z" I+ ~" Z$ ~
; f8 O0 k' D! d
可见，是一个周期延拓关系，延拓周期为N。
7 P% Z# U. C3 D! P; V
7 C+ d: X1 _% l有意义的举例讨论：
下面再给出一个十分有意思的讨论：

- Z! d8 i4 E3 t! y1 F0 j情形一：
- ~; i" Z( _4 ?; M% f  R在下图中，x[n]是长度为9的序列，对其进行傅里叶变换（DTFT）得到 ，对 进行等间隔采样，间隔为 ，取N=12，也就是间隔为 ，得到采样后的序列为 ，该序列对应的时域波形为 下图（b），也就是对x[n]的周期延拓，周期为12。
& }2 o. A8 D- d# \4 P& H



情形二：
- D; c1 S4 `/ G/ ]同样是这个有限长序列x[n]：
6 q; }0 _( L; P0 T* l6 J' Y+ [
) ~$ D0 Z# l# [; b1 z7 }2 ]

当N=7的时候，对应的 为：

0 o. F& m8 M+ s: @* Y7 i* D
' e2 x. C+ l" D4 D: M/ [# D
可见，发生了混叠现象。
: T  k; k, E) _" @& f
$ _- n! m$ Q6 F" q下面对其进行解释：
* [$ a5 ^( ?! V( K
0 n* f$ Y7 c6 x1 b) X情形一的情况， 的一个周期是x[n]，这是没有发生混叠的情况，但对于情形二， 的一个周期就不再等于x[n]了，这是由于时域波形x[n]周期延拓后发生了混叠。

2 B0 ?0 M$ ~, B6 d, E: L( I2 b尽管如此，下式依然成立：


" m, ^8 U2 q0 o: _9 G  _
也就是说在这两种情况下， 的DFS系数都是x[n]的傅里叶变换在频率 整数倍的等间隔点上的采样值。

对于情形一，原来的序列x[n]可以从 中抽取一个周期而恢复。
( s% \$ E3 k# r4 k! @- S/ U
) S$ Y0 F8 o. k& k0 M6 `5 a; K+ I* i同样，傅里叶变换 也可以从频率上以 等间隔地采样来恢复。
* h6 V: Q$ o$ D
9 j8 Z! l) z) E) _3 {与之相反，对于情形二，x[n]不能用取出 的一个周期的方法来恢复。

) G5 C5 k$ l8 v. g7 N& y9 x9 C类似地，如果采样间隔只有 ， 也不能由它的采样来恢复。
9 C  z- R- h7 Y, C: K- @
实际上，情形一说明的情况是，已经用足够小的间隔（在频率上）对x[n]的傅里叶变换采样，以便能够由这些样本来恢复该变换。而情形二，表示一种对傅里叶变换欠采样的情况。

在欠采样的情况下， 与 的一个周期之间的关系可以认为是时域产生混叠的一种形式。

显然，只要 为有限长，时域混叠就可以避免，正如信号的傅里叶变换只要是带宽有限的，其频域混叠也可以避免。
) I6 s  Y7 L* \: M) G4 U
0 O% f" j3 T2 H
最重要的结论：
& S0 q4 E3 X+ g% D3 O6 ?从上面的讨论中，我们已经看出：
, x) b2 C, s: @! J
9 _% S9 y9 c$ q7 a4 G$ E
* V3 U8 S2 n) i$ k) k5 H: Q) D
重磅内容：

- w; Z) ~1 B: {* X; M( o
4 p2 e1 e4 R2 X( b! `4 W6 H7 u
在推导、讨论和应用DFT时，我们应该始终记住：通过傅里叶变换的采样值来表示，实际上是利用一个周期序列来表示有限长序列，该周期序列的一个周期正是要表示的有限长序列。
. y. M) \  W6 r4 N0 V


4 u+ R2 n  D* r/ \9 q9 K

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