对离散时间傅里叶变换DTFT采样

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! U+ T+ \8 L6 z9 X. y6 F# |& M上篇（对离散序列的傅里叶分析大总结(一)）的最后讨论了有限长序列与周期序列之间的关系，首先给出了有限长序列以及由其构成的周期序列之间的关系，具体参看，得出的结论是：


' p# C+ w( d. ]# C
. h2 I" ?* {# q$ v- }; g今天的主题：
今天的主题讨论了非周期序列与周期序列之间的更一般的关系：

3 ]) |; s$ ^) N0 W* ]先给出非周期有限长序列以及其DTFT，然后对其傅里叶变换（DTFT）进行等间隔采样，等间隔采样后的序列的逆变换对应的序列是什么样的呢？
% }# Q: R8 Z7 h
是不是有限长序列的周期延拓？
+ z& \& t1 `* H" g
& Q6 h4 Q4 |$ ~6 k看下面的分析：
3 `: X# I1 N) b  }/ a( j
3 T& I, Z" G1 Z0 d& q
' o8 v+ H! A/ g
7 f) S+ S- {$ `1 M( X+ C+ h# N* I




可见，是一个周期延拓关系，延拓周期为N。
& U# a* F$ w0 y/ K% I$ E
有意义的举例讨论：
下面再给出一个十分有意思的讨论：

% S2 S9 T/ k  U6 S8 i3 G) x情形一：
, }3 I1 L  i5 Q在下图中，x[n]是长度为9的序列，对其进行傅里叶变换（DTFT）得到 ，对 进行等间隔采样，间隔为 ，取N=12，也就是间隔为 ，得到采样后的序列为 ，该序列对应的时域波形为 下图（b），也就是对x[n]的周期延拓，周期为12。
8 k$ r: j3 I  w5 T


# p& R# S$ C9 l4 r
* Z, o& g+ H& c0 T. ?( X情形二：
同样是这个有限长序列x[n]：

6 A* o, O; r! a
4 l5 D# z# t3 N$ c6 S; Q- |
" T1 v4 i+ u# I0 u# E% q当N=7的时候，对应的 为：
* B5 E9 v0 i' |" X
* |. |, {, c, |! @( z
' d9 X$ W$ n9 a3 D6 [! }5 w
# E0 O) }6 V+ K' c可见，发生了混叠现象。
1 k; H- [, I& U/ H! ]% A% Z
/ q% \/ s3 }' a; m- `2 z9 }7 t下面对其进行解释：

+ H  m4 H6 Q7 i! t4 F  P1 y! Y情形一的情况， 的一个周期是x[n]，这是没有发生混叠的情况，但对于情形二， 的一个周期就不再等于x[n]了，这是由于时域波形x[n]周期延拓后发生了混叠。
; U. w+ ~) n4 r  f/ y/ A$ B5 t4 Q
尽管如此，下式依然成立：
* ?2 Y/ G: U; k* B$ U

4 [4 S+ y# c% i4 M6 W
也就是说在这两种情况下， 的DFS系数都是x[n]的傅里叶变换在频率 整数倍的等间隔点上的采样值。
! E  y- U- x4 k7 z4 V3 Y' r7 x
; t, z- x# p5 E& a对于情形一，原来的序列x[n]可以从 中抽取一个周期而恢复。

同样，傅里叶变换 也可以从频率上以 等间隔地采样来恢复。
; E' Q9 q3 L6 @4 S5 X9 T0 q% Z
6 Y8 [4 |/ Z4 o8 n1 t# t9 ^9 \与之相反，对于情形二，x[n]不能用取出 的一个周期的方法来恢复。

类似地，如果采样间隔只有 ， 也不能由它的采样来恢复。
4 p4 n% ]2 G7 Q& w! h. w# E# v6 o1 T1 `1 P
% I3 J, b$ y3 P  [实际上，情形一说明的情况是，已经用足够小的间隔（在频率上）对x[n]的傅里叶变换采样，以便能够由这些样本来恢复该变换。而情形二，表示一种对傅里叶变换欠采样的情况。

在欠采样的情况下， 与 的一个周期之间的关系可以认为是时域产生混叠的一种形式。

3 L. z  e! p, k+ e显然，只要 为有限长，时域混叠就可以避免，正如信号的傅里叶变换只要是带宽有限的，其频域混叠也可以避免。
0 M* h+ r, t1 K# O

* C* ]* A+ h4 R- n7 [$ l最重要的结论：
从上面的讨论中，我们已经看出：

$ d+ v$ C0 U" [5 R/ D9 B
0 q( z/ O  C% W/ K
重磅内容：
: }  |) l+ k+ A& M
% s7 x+ q* e/ x7 d' i
7 s, q0 L$ Y6 {. _/ ]9 A# d5 Y
在推导、讨论和应用DFT时，我们应该始终记住：通过傅里叶变换的采样值来表示，实际上是利用一个周期序列来表示有限长序列，该周期序列的一个周期正是要表示的有限长序列。
, {1 f3 f- p7 }' h

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