对离散时间傅里叶变换DTFT采样

mytomorrow

* D( c  o1 g% Q
; O, w/ j5 b) ^" _上篇（对离散序列的傅里叶分析大总结(一)）的最后讨论了有限长序列与周期序列之间的关系，首先给出了有限长序列以及由其构成的周期序列之间的关系，具体参看，得出的结论是：

* V3 X( b' P+ a! `6 z+ z/ b

今天的主题：
8 S! z! M" S& c今天的主题讨论了非周期序列与周期序列之间的更一般的关系：
* P8 a3 f+ p  F2 M- ^0 s0 {2 C) Y
8 Y  B8 s: K6 x. ]8 \7 m- m" x先给出非周期有限长序列以及其DTFT，然后对其傅里叶变换（DTFT）进行等间隔采样，等间隔采样后的序列的逆变换对应的序列是什么样的呢？

# Z- W" ?) s! X' L  b是不是有限长序列的周期延拓？
1 H+ k) _0 f+ m, C3 d7 `
看下面的分析：
4 z9 Z0 v) u% q+ i: c% F0 A2 Q

  F/ \( ?; ]  S

' m7 ?$ B# Q1 k/ e! t  f

/ D& b, b) c9 D0 R6 ^2 f
% _7 q5 c) P3 ]! I7 u/ P
) Z8 r$ ]5 L; J0 q1 p8 c3 I' f可见，是一个周期延拓关系，延拓周期为N。

, K5 A1 u/ R  }  F  i有意义的举例讨论：
下面再给出一个十分有意思的讨论：

" ~: ~4 g$ J# ?4 D) O5 f- X情形一：
在下图中，x[n]是长度为9的序列，对其进行傅里叶变换（DTFT）得到 ，对 进行等间隔采样，间隔为 ，取N=12，也就是间隔为 ，得到采样后的序列为 ，该序列对应的时域波形为 下图（b），也就是对x[n]的周期延拓，周期为12。


' E) q! S' I6 C3 t8 p- X

3 q% ?! q" K: H! ]4 P6 n情形二：
同样是这个有限长序列x[n]：

0 U& C4 e+ B; _- L6 N& |

  m2 [% u2 S2 {' @* D5 W当N=7的时候，对应的 为：
9 `2 o/ t7 c, Y0 U' }* o

8 A. W* M1 u4 W% t$ U
可见，发生了混叠现象。

下面对其进行解释：
" r' w4 x# _) h9 n/ @4 Q. T
" p; E3 B: U. \3 _) i情形一的情况， 的一个周期是x[n]，这是没有发生混叠的情况，但对于情形二， 的一个周期就不再等于x[n]了，这是由于时域波形x[n]周期延拓后发生了混叠。

% F1 Q+ G- v& A0 H( P: @尽管如此，下式依然成立：
; X% f2 O0 R6 R


1 @4 F9 d: N# i8 H* ]也就是说在这两种情况下， 的DFS系数都是x[n]的傅里叶变换在频率 整数倍的等间隔点上的采样值。
; a: _  x. J3 {; S
对于情形一，原来的序列x[n]可以从 中抽取一个周期而恢复。

& W0 u0 S( k- S" [8 ?) S同样，傅里叶变换 也可以从频率上以 等间隔地采样来恢复。

4 S  r8 ]0 B  `7 K与之相反，对于情形二，x[n]不能用取出 的一个周期的方法来恢复。

类似地，如果采样间隔只有 ， 也不能由它的采样来恢复。

$ x0 T" w% G( f% G/ s8 K9 L% m实际上，情形一说明的情况是，已经用足够小的间隔（在频率上）对x[n]的傅里叶变换采样，以便能够由这些样本来恢复该变换。而情形二，表示一种对傅里叶变换欠采样的情况。

在欠采样的情况下， 与 的一个周期之间的关系可以认为是时域产生混叠的一种形式。

2 r$ [" A7 [1 V1 c显然，只要 为有限长，时域混叠就可以避免，正如信号的傅里叶变换只要是带宽有限的，其频域混叠也可以避免。


最重要的结论：
( G: y( g0 j! }从上面的讨论中，我们已经看出：
  e! N# l7 n. O( l3 ~
# A3 I! ~; j6 ]- c/ }

重磅内容：
+ }( c7 K/ s* @: @
6 ~( w, I6 o) C- g- {
$ z* |0 }4 k# y# S  L( T
. G% o) F0 O/ L在推导、讨论和应用DFT时，我们应该始终记住：通过傅里叶变换的采样值来表示，实际上是利用一个周期序列来表示有限长序列，该周期序列的一个周期正是要表示的有限长序列。
3 g. L1 R' ~6 s4 p) q

/ Q8 J/ I: ^8 a) M# t1 T

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