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x
5 `) C( ` T/ N) Y' m3 V0 J) G
trapz 是基于梯形法则的离散点积分函数。 调用形式:
) P9 C5 g' M1 N$ y& S4 y( F* Q4 HI = trapz(x,y)- c A7 s: M; [: D* v3 Q
其中 x 和 y 分别是自变量和对应函数值,以 sin(x) 在 [0,pi] 积分为例:: y/ H9 s0 _0 q' q" ^; v( Y, X
x = linspace(0,pi,1e3); %生成 [0,pi] 内的一系列离散点
0 f' }2 s6 w' V/ h/ ty = sin(x);$ H5 s5 o' \+ h% }9 W; L" T2 v
I = trapz(x,y)
6 p7 l/ |% ?/ i' a8 b4 l; V J# x. }( K& B7 y% s
浮点数误差
6 H% U# C& F" r+ u. c& d% N) i由于计算机中都是以二进制形式存储数据,当用十进制数进行计算时,就会存在十进制数二进制数的转换。但是某些十进制数转化为二进制数是一个无限位的小数,这时必须对该无限位小数进行截断计算机才能存储,那么此时就会产生误差,即浮点数误差。 % y, S& X* _; _7 m: W4 N; l" J
例如十进制的0.9,在转化为二进制时是无限循环小数0.1110011001100110011...。此时须对该无限位小数进行截断才能保存在内存当中,截断后再转换回十进制时,0.9就变成了0.90000000000000002,这就是浮点数误差的产生过程。 8 |6 h( M0 D0 G
由于浮点数误差的存在,当进行数值计算时就会出现一些不可避免的问题,最常见的就是判断两数相等时得到与预期相反的结果。 . b! ~" D0 b9 R% X) T
例:令 a = 0.1+0.2, b = 0.3, 判断 a==b 时,MATLAB 会返回0, 当执行 a-b 时,会发现结果不是精确等于0,而是一个非常小的数5.5511e-17。
M- A1 r$ F6 T! ]2 n4 K或者在矩阵中寻找数的位置(也相当于是判断两数相等)。9 O/ y. @+ z! @7 Z+ h
%例- y3 b; a! K0 |! T/ z1 ? h
>> a = 0.1:0.1:0.5( P; Q M! B+ y9 r/ M) w2 }# E5 M
7 l0 i9 G- {7 }3 G- J b/ o
a =) E; @* z1 ~7 G, s
: h5 z, T: k [7 N0 l 0.1000 0.2000 0.3000 0.4000 0.5000
; I. I2 E I. q4 i7 s& l9 e$ h- l9 n0 D# f0 X" N
>> find(a==0.3)
, {$ j- V: Z j; n y/ ]. k6 p/ ?( I# z& a2 B
ans =
( m! {1 A' i% G$ u/ F( I m
( p; g0 F& _, O6 W- k Empty matrix: 1-by-0; G; ~8 e0 e, |1 D: k3 V
由于 a 向量中的 0.3 是由 0.1+0.1+0.1 计算得到,在计算过程中就产生了浮点数误差,这也导致在判断 a==0.3 时结果为false,所以 find(a==0.3) 返回一个空矩阵。
7 E* C( Z2 O3 R3 G6 _在进行数值计算判断两数相等时,最好不要直接判断,而是设立一个容差值,当两个浮点数的差的绝对值小于给定的容差值时,我们就认为这两个浮点数相等。
3 D8 H! Q5 }# H& I5 ]% K* H. V比如对于上面的例子:- M9 I# w- V1 @$ A: m, n% e
>> a=0.1:0.1:0.5; k0 v4 \# [3 c0 Y6 }3 T$ q Q" n0 u
3 q1 F. b9 u3 e8 H: v) b k9 _3 b
a =
, ~6 x e2 Y* S0 ?4 P; B3 {9 R
U B0 q' p5 _* O4 L8 ` 0.1000 0.2000 0.3000 0.4000 0.5000
4 D% v% z; g2 t3 j2 p& U6 n) E+ w2 F- t7 D* e+ B0 ?
>> tol=eps(0.3)*10 %设立容差值,一般比这个点的浮点数误差高一到两个数量级即可。eps函数能够求得该点的浮点数误差值。
( [ I$ Y2 f% d+ j, n* k: g; W7 M7 U5 h( u
tol = & ]9 w$ L% ?8 K$ B- N, Q- o
! _& J& e8 \8 {
5.5511e-15
4 Y0 M4 |7 Y3 W! N2 o
3 L" j& ~4 n A>> find(abs(a-0.3)
+ P) c+ D- t2 p }- N& [" L+ o! I( a) Sans = 9 Y+ p% }- t' f3 [% n) J/ A9 _
" n8 Y% Y( P) t 3
( H1 M, q* Z5 w3 q8 I' w
) q% R+ l1 w' S& f9 g" L2 I+ M# `0 y. q3 \' `
生成一系列有规律名变量9 G3 X( y0 l. x9 j& g) i! v
当循环迭代需要把每次迭代结果进行保存时,如果每次迭代的结果是尺寸不同的矩阵,无法用矩阵进行存储,那么可以利用 eval 和 num2str 这两个函数可以生成一系列例如 a1、a2、a3… 变量对结果进行保存(不推荐这种方法,原因是 eval 这个函数有很多缺点)。 + I9 r) o% o# x
eval::将括号内的字符串视为语句并运行。
, x3 s& t6 h$ p, a1 w5 b, g" z0 F! m" Xnum2str: 将数值转换为字符串。5 O+ I: n+ p* B) e+ ?8 z) G2 h
%例" S1 y2 N+ |% i+ E+ w+ ~3 G
for ii=1:10
7 \( p' {- ~" Y, ~7 J7 F0 J str=['a',num2str(ii),'=1:',num2str(ii)];' b1 T8 Q/ \, D2 ^
eval(str)
5 Y! L4 s7 F2 I! `3 z% qend' C A! T9 y! R3 u% K- E4 Y" w
这样可以生成一系列变量 a1、a2…a10 对循环结果进行保存。
) c% c( D5 F: B2 M5 [不推荐使用 eval 函数的原因,帮助文档有详细的解释。; r! Q& \% l/ i4 N% h# f! ^
MATLAB® compiles code the first time you run it to enhance peRFormance for future runs. However, because code in an eval statement can change at run time, it is not compiled.
1 z6 P n6 D& `; q8 M1 |Code within an eval statement can unexpectedly create or assign to a variable already in the current workspace, overwriting existing data.
1 w4 e! Z- A/ v6 L5 ^3 ]/ D) TConcatenating strings within an eval statement is often difficult to read. Other language constructs can simplify the syntax in your code./ B6 d9 U% u7 a+ |
MATLAB 对于这类问题有更好的解决办法,利用元胞数组对结果进行存储。元胞数组是 MATLAB 中的特色数据类型,它的元素可以是任意类型的变量,包括不同尺寸或不同维度的矩阵。 对于上面的例子,利用元胞数组:
: U7 E/ ]( r/ t6 A# H, ?( Rfor ii=1:10
* V. y. l( D0 |' C- `: l% s a{ii}=1:ii;
6 a3 l( C$ P/ ^" O/ t! Xend
3 _# O8 I$ V, O' l# Z" t即生成一系列元胞存储循环结果。这样无论是程序的可读性、运行效率还是后续程序对保存结果调用的方便程度,都远胜于 eval 函数。" w% v0 T% G5 ?! R( J W
除此之外,在处理符号变量时如果需要生成一系列有规律名符号变量,例如生成一个多项式:, B) t- R0 K/ L7 A3 F3 k6 K
y = x1+2*x2+3*x3+…+100*x100
2 E* t! p- K" q# o j( R8 I3 aeval+num2str 能够实现,但更简便的方法还是利用矩阵:
6 I! E* v% A3 p* ^0 a O; t4 H8 E2 Wx=sym('x',[1,100]);' j; |" P3 k/ w) z
w=(1:100).*x;* o* q. Z% z& J
y=sum(w)/ f* Y2 D. k0 c8 \5 P1 o
* s0 i# d9 v5 \$ y- G; q
( q% q4 h; n8 s, M5 q |
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