matlab实现数值积分 【一】（trapz函数）

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目录
总述
函数调用格式
应用举例
例1：梯形法求积分
例2：不同步长对积分结果的影响
+ ~0 d  e' R4 H: ~
% e1 i# K$ l+ J# a8 @9 z总述
- S) b1 S8 l- X- x$ P7 p
. A6 d/ b8 [( y2 E$ G  数值积分问题是传统数值分析课程中的重要内容。如果被积函数的数学表达式未知，则需要由实测数据通过梯形算法求出积分的近似值。本文将介绍被积函数的数学表达式未知时数值积分问题的求解方法，即已知数据点求积分。


; W, Q% R9 G0 I

函数调用格式
& r7 l8 |8 l: ?% f

• S = trapz(x, y);
  & I$ T& D/ y7 Q7 f- b

! K8 o/ L7 Y4 j' E! V应用举例
* b/ S1 m9 F" A' o1 G4 e6 ^
例1：梯形法求积分
6 p1 W# g% A4 ]. I4 ^

2 C, ^  V9 m. B" w9 n

• x = [0:pi/30:pi]';
• y = [sin(x) cos(x) sin(x/2)];
• S = trapz(x,y)
  + T, [, x+ s0 s; y! B. f# H' j0 `

& f8 g$ _4 }# q0 f( }' _- S结果为：S = [1.9982 0.0000 1.9995]
& W3 ^, F9 n) Y$ ?3 h
由于选择的步距较大，为 , 故得出的结果有较大的误差。其实可以将积分问题与样条插值技术相结合，给出 一 个能精确计算积分的MATLAB函数。（待补充）
9 Z" c3 r4 ?. |8 l
例2：不同步长对积分结果的影响
题目： 用定步长法求解积分 ，并讨论不同步长对积分值的影响。

( ~! H! n! V2 v  q8 Q

• 首先，绘制被积函数的图像：
  

• x=[0:0.01:3*pi/2, 3*pi/2];  % //这样赋值能确保 3*pi/2 点被包含在内
• y=cos(15*x); plot(x,y)
  

2 x  Z0 x# {- Z$ d& Z1 H' U
* W4 |6 @; o1 ^7 B% Y- j
+ j8 I6 p6 U! _: R1 l, ?. t由图像观察出在求解区域内被积函数有很强的振荡。
- N: a) d& l, \2 c; a  P: \
. X+ h5 t9 o! c) Y6 g

• 对不同的步距 h = 0.1 , 0.01 , 0.001 , 0.0001 , 0.00001 , 0.000001 h= 0.1, 0.01, 0.001, 0.0001, 0.00001, 0.000001 h=0.1,0.01,0.001,0.0001,0.00001,0.000001 ,可以用下面的语句求出采用不同步长的积分近似结果。
  

• syms x, A=int(cos(15*x),0,3*pi/2) % //求取理论值为1/15
• h0=[0.1,0.01,0.001,0.0001,0.00001,0.000001]; v=[];
• for h=h0
•         x = [0:h:3*pi/2, 3*pi/2];  y=cos(15*x);
•         I = trapz(x,y);
•         v = [v; h,I,A-I];
• end
  5 _" X# x% N; p- I1 b0 k! G

得出结果如下：

# M9 ^4 O0 T" ~9 z$ W% ^3 r

' u  L& x+ L, Q6 u可见，随着步距 h h h的减小，计算精度逐渐增加。

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matlab实现数值积分 【一】（trapz函数）