matlab实现数值积分 【一】（trapz函数）

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应用举例
例1：梯形法求积分
例2：不同步长对积分结果的影响

总述

* U) D2 O" n1 v; n" D  U  B" v( \- M  数值积分问题是传统数值分析课程中的重要内容。如果被积函数的数学表达式未知，则需要由实测数据通过梯形算法求出积分的近似值。本文将介绍被积函数的数学表达式未知时数值积分问题的求解方法，即已知数据点求积分。

* X, {4 m7 Z9 f- O  Z
# _7 t$ S7 ~! I( o
2 z  n5 [9 O$ ]$ b4 C
函数调用格式
5 `+ W/ q) K- W, d  i% z4 [3 [/ {, \

• S = trapz(x, y);
  5 l# l: a- L3 l+ T

( B8 A8 X+ G4 K! B
应用举例

例1：梯形法求积分

! o5 o% L1 K* @5 a8 @
* W' D4 \6 A0 ^( Q

• x = [0:pi/30:pi]';
• y = [sin(x) cos(x) sin(x/2)];
• S = trapz(x,y)
  

结果为：S = [1.9982 0.0000 1.9995]

由于选择的步距较大，为 , 故得出的结果有较大的误差。其实可以将积分问题与样条插值技术相结合，给出 一 个能精确计算积分的MATLAB函数。（待补充）
, ~5 |1 {1 Z+ D1 ~5 J, E8 q# F
例2：不同步长对积分结果的影响
题目： 用定步长法求解积分 ，并讨论不同步长对积分值的影响。

- ]1 ?/ m. L5 E$ n$ t: q+ S

• 首先，绘制被积函数的图像：
  

/ M0 Z  [) ^6 U8 I! f

• x=[0:0.01:3*pi/2, 3*pi/2];  % //这样赋值能确保 3*pi/2 点被包含在内
• y=cos(15*x); plot(x,y)
  

! a& I: F5 b5 F# \' ^2 V) V由图像观察出在求解区域内被积函数有很强的振荡。
8 c8 U4 k. I# \
* C9 x& M! ]" b( I- i% @$ l

• 对不同的步距 h = 0.1 , 0.01 , 0.001 , 0.0001 , 0.00001 , 0.000001 h= 0.1, 0.01, 0.001, 0.0001, 0.00001, 0.000001 h=0.1,0.01,0.001,0.0001,0.00001,0.000001 ,可以用下面的语句求出采用不同步长的积分近似结果。
  1 f: s% f9 `7 X( I

• syms x, A=int(cos(15*x),0,3*pi/2) % //求取理论值为1/15
• h0=[0.1,0.01,0.001,0.0001,0.00001,0.000001]; v=[];
• for h=h0
•         x = [0:h:3*pi/2, 3*pi/2];  y=cos(15*x);
•         I = trapz(x,y);
•         v = [v; h,I,A-I];
• end
  

8 B% M4 G/ _0 z( R
( f, R% {3 x. C3 w4 t得出结果如下：
5 h4 L* B! c( C2 m0 z' m- r


/ }; X7 ^* y9 h0 {# n. b可见，随着步距 h h h的减小，计算精度逐渐增加。
9 c8 g) P- s$ I9 K' ]1 E1 @

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matlab实现数值积分 【一】（trapz函数）