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matlab实现数值积分 【一】(trapz函数)

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发表于 2021-1-28 17:52 | 只看该作者 |只看大图 回帖奖励 |倒序浏览 |阅读模式

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x
) {( n6 s; [0 T  x+ z7 G9 c
目录5 W2 B% k4 l- b
总述1 w; U: w' y0 [6 f# \0 F
函数调用格式* g/ r7 M9 o7 W: O! U! ?5 a
应用举例1 s3 v* w# [' i+ K2 m
例1:梯形法求积分/ L+ Z7 U9 u# X. W8 U* H; c3 E
例2:不同步长对积分结果的影响
+ ~0 d  e' R4 H: ~
% e1 i# K$ l+ J# a8 @9 z总述
- S) b1 S8 l- X- x$ P7 p
. A6 d/ b8 [( y2 E$ G  数值积分问题是传统数值分析课程中的重要内容。如果被积函数的数学表达式未知,则需要由实测数据通过梯形算法求出积分的近似值。本文将介绍被积函数的数学表达式未知时数值积分问题的求解方法,即已知数据点求积分。7 B0 l/ A/ ^, V. U9 l
9 G# n4 W1 f  J) }2 l/ D

; W, Q% R9 G0 I$ i3 N( k  _' a" q0 q
) H7 x# I% [7 ^% s8 Y6 ]: V
函数调用格式
& r7 l8 |8 l: ?% f2 L( m+ P  U& s' O! ]
  • S = trapz(x, y);
    & I$ T& D/ y7 Q7 f- b
- y4 p& U4 l' B. n# y% E

! K8 o/ L7 Y4 j' E! V应用举例
* b/ S1 m9 F" A' o1 G4 e6 ^$ u5 o! L9 O  B9 `
例1:梯形法求积分
6 p1 W# g% A4 ]. I4 ^/ u$ y3 l2 Z0 \+ k

2 C, ^  V9 m. B" w9 n7 A. G1 J; a5 s2 e5 `) d6 i; B
  • x = [0:pi/30:pi]';
  • y = [sin(x) cos(x) sin(x/2)];
  • S = trapz(x,y)
    + T, [, x+ s0 s; y! B. f# H' j0 `
1 a; X; X: M5 d& A# I  j% X

& f8 g$ _4 }# q0 f( }' _- S结果为:S = [1.9982 0.0000 1.9995]
& W3 ^, F9 n) Y$ ?3 h6 \2 Z8 L" P. Y2 \' B& j
由于选择的步距较大,为 , 故得出的结果有较大的误差。其实可以将积分问题与样条插值技术相结合,给出 一 个能精确计算积分的MATLAB函数。(待补充)
9 Z" c3 r4 ?. |8 l; U" C  t9 u7 R2 [% Q9 F* u
例2:不同步长对积分结果的影响/ `6 t/ T) \- P+ R
题目: 用定步长法求解积分 ,并讨论不同步长对积分值的影响。% U- N! K+ |8 \" l5 k

( ~! H! n! V2 v  q8 Q
  • 首先,绘制被积函数的图像:0 ~8 o( y) K. v6 t/ x0 t# q
. i3 v5 t- c' E6 n
- l: F9 K6 W9 `$ `2 O3 b9 P* t
  • x=[0:0.01:3*pi/2, 3*pi/2];  % //这样赋值能确保 3*pi/2 点被包含在内
  • y=cos(15*x); plot(x,y)1 s! P% I3 Y: A) V7 B* z- J
! @2 @& }6 o) M2 x7 `: Z9 v) e2 E; @6 U

2 x  Z0 x# {- Z$ d& Z1 H' U
* W4 |6 @; o1 ^7 B% Y- j
+ j8 I6 p6 U! _: R1 l, ?. t由图像观察出在求解区域内被积函数有很强的振荡。
- N: a) d& l, \2 c; a  P: \
. X+ h5 t9 o! c) Y6 g
  • 对不同的步距 h = 0.1 , 0.01 , 0.001 , 0.0001 , 0.00001 , 0.000001 h= 0.1, 0.01, 0.001, 0.0001, 0.00001, 0.000001 h=0.1,0.01,0.001,0.0001,0.00001,0.000001 ,可以用下面的语句求出采用不同步长的积分近似结果。4 h: s8 t( ~3 e. t
  • syms x, A=int(cos(15*x),0,3*pi/2) % //求取理论值为1/15
  • h0=[0.1,0.01,0.001,0.0001,0.00001,0.000001]; v=[];
  • for h=h0
  •         x = [0:h:3*pi/2, 3*pi/2];  y=cos(15*x);
  •         I = trapz(x,y);
  •         v = [v; h,I,A-I];
  • end
    5 _" X# x% N; p- I1 b0 k! G
9 n$ c5 i. N( z2 x+ Y; _
2 l7 m3 t$ E" t% j
得出结果如下:5 A6 d$ n4 a( |$ j7 Z8 k% C

# M9 ^4 O0 T" ~9 z$ W% ^3 r 0 C: m' W. D$ x

' u  L& x+ L, Q6 u可见,随着步距 h h h的减小,计算精度逐渐增加。5 q1 F4 [6 Q; ?

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