matlab实现数值积分 【一】（trapz函数）

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目录
总述
* |* |+ L5 m, q函数调用格式
应用举例
8 a8 [% D4 m% u, H; X例1：梯形法求积分
例2：不同步长对积分结果的影响
) _$ h' y( ~+ ~" M( y& E
! j' v$ E/ z/ a5 E总述
6 R4 Y7 y% e+ [# v, A
  数值积分问题是传统数值分析课程中的重要内容。如果被积函数的数学表达式未知，则需要由实测数据通过梯形算法求出积分的近似值。本文将介绍被积函数的数学表达式未知时数值积分问题的求解方法，即已知数据点求积分。



* H# @  }5 W, \0 B. V% F
函数调用格式
1 I5 N& P0 {4 g1 m
& S$ Q! `$ O8 Z

• S = trapz(x, y);
  

9 x+ C, m5 z" }: a& z6 K7 l- D% g应用举例

* B1 ~3 m7 h! c0 R2 J5 `8 L例1：梯形法求积分

$ L& [! l: h$ c: V: d$ n( J
) R/ @+ E6 A! h- D" a* s" z  C: M

• x = [0:pi/30:pi]';
• y = [sin(x) cos(x) sin(x/2)];
• S = trapz(x,y)
  

结果为：S = [1.9982 0.0000 1.9995]
7 ~9 ~4 a* }9 T) @% c
由于选择的步距较大，为 , 故得出的结果有较大的误差。其实可以将积分问题与样条插值技术相结合，给出 一 个能精确计算积分的MATLAB函数。（待补充）

! t' N$ S: A9 U9 D0 |$ k' J例2：不同步长对积分结果的影响
' W9 g! T' q$ A* ~- r; u3 H题目： 用定步长法求解积分 ，并讨论不同步长对积分值的影响。
! v& c$ D0 Z! T/ N% Z" Q
) Y( I+ h0 w: h2 S) L8 w

• 首先，绘制被积函数的图像：
  

4 W- s+ f3 M7 O1 s. O) A
  n2 H! p! n# H1 P

• x=[0:0.01:3*pi/2, 3*pi/2];  % //这样赋值能确保 3*pi/2 点被包含在内
• y=cos(15*x); plot(x,y)
  9 E: u: m3 ?1 U- K2 @& y0 h" |1 g

/ K) v1 x* f  w. }5 Q6 |' b
# l5 ^: n" Z/ i* k. {

, r( f6 i. P2 c0 v' F% \1 c* p5 n由图像观察出在求解区域内被积函数有很强的振荡。
& |. b. Z* s. \4 Y/ L) g
* Q/ b* d/ Z0 x+ V/ H/ I" ^

• 对不同的步距 h = 0.1 , 0.01 , 0.001 , 0.0001 , 0.00001 , 0.000001 h= 0.1, 0.01, 0.001, 0.0001, 0.00001, 0.000001 h=0.1,0.01,0.001,0.0001,0.00001,0.000001 ,可以用下面的语句求出采用不同步长的积分近似结果。
  1 I2 {: z: _3 n3 e3 t

• syms x, A=int(cos(15*x),0,3*pi/2) % //求取理论值为1/15
• h0=[0.1,0.01,0.001,0.0001,0.00001,0.000001]; v=[];
• for h=h0
•         x = [0:h:3*pi/2, 3*pi/2];  y=cos(15*x);
•         I = trapz(x,y);
•         v = [v; h,I,A-I];
• end
  

# S& x5 Q$ \# {( Z: v; K  [得出结果如下：
9 h2 W7 A1 m5 w8 u3 C+ s
2 ?7 d$ y/ X- K! l9 U
% q9 {: H5 \: F& _+ A0 N
可见，随着步距 h h h的减小，计算精度逐渐增加。

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