EDA365欢迎您登录!
您需要 登录 才可以下载或查看,没有帐号?注册
x
本帖最后由 piday123 于 2021-1-28 10:25 编辑 2 H5 O: `; v9 V5 e+ |* [
3 Z- u6 Q1 c9 A7 `5 L+ M! E目录- 总述
- 函数说明
- 应用举例
- 函数实现+ F. O& ^1 W# e7 T- g" d
* |! @4 |( |) Q3 A; q
& S+ r( {& I3 r5 m# a, e总述/ a. g- D, D- x+ l
如果已知函数表达式,可以通过diff()函数求取各阶导数解析解的方法,并得出结论,高达100阶的导数也可以用MATLAB语言在几秒钟的时间内直接求出。 1 _9 m/ ^) i5 L- N
如果函数表达式未知,只有实验数据,在实际应用中经常也有求导的要求,这样的问题就不能用前面的方法获得问题的解析解。要求解这样的问题,需要引入数值算法得出所需问题的解。由于在MATLAB语言中没有现成的数值微分函数,所以本文将介绍一种数值微分算法——中心差分方法。
0 C, c9 O# S3 e8 @函数说明
5 f) N* O. K) }+ j4 C0 Z$ U: H! s3 ~: H3 `
- function [dy,dx] = diff_ctr(y,Dt,n)
- %diff_ctr
- %中心差分算法实现数值微分
- % 调用格式:
- % [d_y, d_x] = diff_ctr(y,Dt,n)
- % 其中,y为给定的等间距的实测数据构成的向量, Dt为自变量的间距,n为所需的导数阶次。
- % 向量d_y为得出的导数向量, 而d_x为相应的自变量向量。注意这两个向量的长度比y短。
- %
- % Examples:
- % 求函数y=sin(x)/(x^2+4*x+3)的1~4阶导数
- % MATLAB求解语句:
- % h=0.05; x=0:h:pi; syms x1;
- % f=sin(x1)/(x1^2+4*x1+3); y=subs(f,x1,x);
- % [y1,dx1]=diff_ctr(y,h,1); subplot(221), plot(dx1,y1);
- % [y2,dx2]=diff_ctr(y,h,2); subplot(222), plot(dx2,y2);
- % [y3,dx3]=diff_ctr(y,h,3); subplot(223), plot(dx3,y3);
- % [y4,dx4]=diff_ctr(y,h,4); subplot(224), plot(dx4,y4);
- % 与解析解对比验证:
- % syms x1;
- % f=sin(x1)/(x1^2+4*x1+3);
- % yy1=diff(f); f1=subs(yy1,x1,x);
- % yy2=diff(yy1); f2=subs(yy2,x1,x);
- % yy3=diff(yy2); f3=subs(yy3,x1,x);
- % yy4=diff(yy3); f4=subs(yy4,x1,x);
- % % 求四阶导数向量的范数(相对误差):
- % norm(double((y4-f4(4:60))./f4(4:60)))
' k a' L e. A @ w" I5 i
3 ]& [' U! R/ E* o
8 p' I2 A" ~8 s; c8 i$ p0 D) g
/ _1 b+ x P3 L4 u& u/ J应用举例问题: 求函数
的1~4阶导数, 并验证误差。
" W9 \9 H/ @% _) m7 @/ h代码如下: % Q( E& y+ V9 h2 K8 P
- % // 输入函数,并求解析解,并代入x向量得出精确解。
- h=0.05; x=0:h:pi; syms x1;
- f=sin(x1)/(x1^2+4*x1+3);
- yy1=diff(f); f1=subs(yy1,x1,x);
- yy2=diff(yy1); f2=subs(yy2,x1,x);
- yy3=diff(yy2); f3=subs(yy3,x1,x);
- yy4=diff(yy3); f4=subs(yy4,x1,x);
- %// 比较不同阶的导数
- y=subs(f,x1,x);
- [y1,dx1]=diff_ctr(y,h,1); subplot(221), plot(x,f1,dx1,y1,':');
- [y2,dx2]=diff_ctr(y,h,2); subplot(222), plot(x,f2,dx2,y2,':');
- [y3,dx3]=diff_ctr(y,h,3); subplot(223), plot(x,f3,dx3,y3,':');
- [y4,dx4]=diff_ctr(y,h,4); subplot(224), plot(x,f4,dx4,y4,':')
- %// 定量分析误差
- norm(double((y4-f4(4:60))./f4(4:60)))" b' \/ V) F" K
+ m& `; T8 }9 ]* P6 j- p
' h0 g6 Z! [& c0 y9 P- y* |/ ~! Y( n. n! z5 B% {
不同阶的导数图像如下:
* e% h; k& E2 A% t( U; Y+ a
1 n% `$ S3 k) n" i: ]8 q2 @: h2 r+ j定量地分析误差时, 考虑到计算得出的4阶导数向量, 其长度比原始对照向量f4短, 所以两个向量取同样多点进行比较, 就可以得出数值方法的相对误差最大值为
, 亦即0.035%。 由此可见, 这里的数值方法还是很精确的。
- d: t' v0 _- _2 Q! ?函数实现1 ~" ? t7 C" N. F8 w
; F; j4 }" g' C/ f( Q, A" X- function [dy,dx = diff_ctr(y,Dt,n)
- y1=[y 0 0 0 0 0 0;
- y2=[0 y 0 0 0 0 0;
- y3=[0 0 y 0 0 0 0;
- y4=[0 0 0 y 0 0 0;
- y5=[0 0 0 0 y 0 0;
- y6=[0 0 0 0 0 y 0;
- y7=[0 0 0 0 0 0 y;
- switch n
- case 1
- dy = (-y1+8*y2-8*y4+y5)/12/Dt;
- case 2
- dy = (-y1+16*y2-30*y3+16*y4-y5)/12/Dt^2;
- case 3
- dy = (-y1+8*y2-13*y3+13*y5-8*y6+y7)/8/Dt^3;
- case 4
- dy = (-y1+12*y2-39*y3+56*y4-39*y5+12*y6-y7)/6/Dt^4;
- end
- dy = dy(5+2*(n>2):end-4-2*(n>2));
- dx = ([2:length(dy)+1+(n>2))*Dt;$ F8 g+ S! @2 M' {- r4 W# H
. i( c2 F- O$ s; e# j
3 p, ~. u+ ]6 p0 z/ e; ~* }: G
j5 ~5 K2 }: O. l! X' Y4 [ |