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本帖最后由 piday123 于 2021-1-28 10:25 编辑
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 " B4 _4 f! K$ n0 y0 r$ C, E% u& `目录
 $ u* X0 Q* U2 v8 r总述函数说明应用举例函数实现4 f& I8 A& E! Z
 
 / a+ X$ }7 K+ e( Q/ Q8 I总述
 . \; A. Z6 e" T) N) X. o6 t8 U3 @1 [: v
 如果已知函数表达式,可以通过diff()函数求取各阶导数解析解的方法,并得出结论,高达100阶的导数也可以用MATLAB语言在几秒钟的时间内直接求出。9 d. s/ o' l$ I/ `- L5 o% S" I 
 如果函数表达式未知,只有实验数据,在实际应用中经常也有求导的要求,这样的问题就不能用前面的方法获得问题的解析解。要求解这样的问题,需要引入数值算法得出所需问题的解。由于在MATLAB语言中没有现成的数值微分函数,所以本文将介绍一种数值微分算法——中心差分方法。 0 r& v! o8 X, n# t9 |% i9 i- Z函数说明, K& W4 b: ?( }5 e2 r8 X" O, p
 . Y1 }; f) }' G
 
 8 c1 Z* r. A! z6 Bfunction [dy,dx] = diff_ctr(y,Dt,n)%diff_ctr%中心差分算法实现数值微分%  调用格式:%    [d_y, d_x] = diff_ctr(y,Dt,n)%  其中,y为给定的等间距的实测数据构成的向量, Dt为自变量的间距,n为所需的导数阶次。%  向量d_y为得出的导数向量, 而d_x为相应的自变量向量。注意这两个向量的长度比y短。%% Examples:%  求函数y=sin(x)/(x^2+4*x+3)的1~4阶导数% MATLAB求解语句:%  h=0.05; x=0:h:pi; syms x1;%  f=sin(x1)/(x1^2+4*x1+3); y=subs(f,x1,x);%  [y1,dx1]=diff_ctr(y,h,1); subplot(221), plot(dx1,y1);%  [y2,dx2]=diff_ctr(y,h,2); subplot(222), plot(dx2,y2);%  [y3,dx3]=diff_ctr(y,h,3); subplot(223), plot(dx3,y3);%  [y4,dx4]=diff_ctr(y,h,4); subplot(224), plot(dx4,y4);% 与解析解对比验证:% syms x1;% f=sin(x1)/(x1^2+4*x1+3);% yy1=diff(f);   f1=subs(yy1,x1,x);% yy2=diff(yy1); f2=subs(yy2,x1,x);% yy3=diff(yy2); f3=subs(yy3,x1,x);% yy4=diff(yy3); f4=subs(yy4,x1,x);% % 求四阶导数向量的范数(相对误差):% norm(double((y4-f4(4:60))./f4(4:60)))w8 M; }& h* A" S5 T
 / X/ \$ K% ?1 n6 Y2 u
 : U6 g; m5 J. k8 O& E3 \. D& L8 g
 应用举例
 问题: 求函数
 的1~4阶导数, 并验证误差。 ' x% P. S2 T/ ?2 [( u  _: Z
 代码如下: % d2 x7 u' _/ u
 % // 输入函数,并求解析解,并代入x向量得出精确解。h=0.05; x=0:h:pi; syms x1;f=sin(x1)/(x1^2+4*x1+3);yy1=diff(f); f1=subs(yy1,x1,x);yy2=diff(yy1); f2=subs(yy2,x1,x);yy3=diff(yy2); f3=subs(yy3,x1,x);yy4=diff(yy3); f4=subs(yy4,x1,x);%// 比较不同阶的导数y=subs(f,x1,x);[y1,dx1]=diff_ctr(y,h,1); subplot(221), plot(x,f1,dx1,y1,':');[y2,dx2]=diff_ctr(y,h,2); subplot(222), plot(x,f2,dx2,y2,':');[y3,dx3]=diff_ctr(y,h,3); subplot(223), plot(x,f3,dx3,y3,':');[y4,dx4]=diff_ctr(y,h,4); subplot(224), plot(x,f4,dx4,y4,':')%// 定量分析误差norm(double((y4-f4(4:60))./f4(4:60)))3 y8 u7 t  Z+ S" s/ z
 % C( l$ T" b. x- b& s5 V6 @/ S3 \. `# K) g* L9 P7 P
 $ ]0 K, F  Q# V
 
 不同阶的导数图像如下: ( j5 z. M1 p' H% T2 b
  
 # G2 i0 V: |5 r" C8 C: j4 g% l' g定量地分析误差时, 考虑到计算得出的4阶导数向量, 其长度比原始对照向量f4短, 所以两个向量取同样多点进行比较, 就可以得出数值方法的相对误差最大值为
  , 亦即0.035%。 由此可见, 这里的数值方法还是很精确的。 9 e8 S5 v/ ]/ F函数实现# @! h2 s8 r  R- p2 X  U
 & ?# J: o9 }1 {
 
 & ^( I8 {$ w& E0 [% z8 Lfunction [dy,dx = diff_ctr(y,Dt,n)y1=[y 0 0 0 0 0 0;y2=[0 y 0 0 0 0 0;y3=[0 0 y 0 0 0 0;y4=[0 0 0 y 0 0 0;y5=[0 0 0 0 y 0 0;y6=[0 0 0 0 0 y 0;y7=[0 0 0 0 0 0 y;switch n    case 1        dy = (-y1+8*y2-8*y4+y5)/12/Dt;    case 2        dy = (-y1+16*y2-30*y3+16*y4-y5)/12/Dt^2;    case 3        dy = (-y1+8*y2-13*y3+13*y5-8*y6+y7)/8/Dt^3;    case 4        dy = (-y1+12*y2-39*y3+56*y4-39*y5+12*y6-y7)/6/Dt^4;enddy = dy(5+2*(n>2):end-4-2*(n>2));dx = ([2:length(dy)+1+(n>2))*Dt;1 y+ U. ~7 H- d3 F) U- Y; l
 
 n1 ]0 E- W. r" d1 B, ~! v% ]4 C7 \
 
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