线性时不变系统（LTI）对复指数信号的响应（数字信号处理的特征值与特征函数）

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序言

一类重要的基本信号

线性时不变系统对复指数信号的响应

- {/ {1 d; F' |" R特征函数以及特征值定义：

; n) i/ A9 S1 {1 W8 l% x! j8 o7 c, O证明复指数信号是LTI系统的特征函数

简单运用上述性质
2 B, n, T6 ~% H6 ^+ ?7 A8 Z# y
序言
2 t6 J1 C0 w( W. l1 n. D' S复指数信号有相比于其他信号优良的性质，这使得其在数字信号处理以及信号与系统中（统称为信号处理）具有不一般的低位，例如复正弦信号
8 A( R" T) V: _9 o% U0 h
) p& a( G' X4 n: p0 C它不仅是离散信号做傅里叶变换时的基函数，同时也是线性时不变系统的特征信号。

看了一下内容后，你就会懂得上面的描述！
9 I+ A) P! u* @$ W4 q
一类重要的基本信号
0 k/ Y1 X7 v/ n( c) A$ ^在研究线性时不变系统时，将信号表示成基本信号的线性组合是很有利的，这些基本信号应该满足下面的两个性质：
. W' i0 f) c6 J$ ^1 f1 f- \
* Y; h1 b$ B/ G1、由这些基本信号能够构成相当广泛的一类有用信号；

2、线性时不变系统对每一个基本系统的响应应该十分简单，以使系统对任意输入信号的响应有一个很方便的表达式。
( y% x, n) H; L
那什么样的基本信号满足上面的条件呢？

由傅里叶分析可知，连续和离散时间复指数信号集都具有上述两个性质，即连续时间的 和离散时间的 ，其中s和z都是复数。

线性时不变系统对复指数信号的响应
' e; Z9 t( _: n5 ]3 V" ]基于如下事实：

7 R) w7 V; [, Z8 f% q4 t一个线性时不变系统对复指数信号的响应也是同样一个复指数信号，不同的只是幅度上的变化。

/ ~5 ^6 a4 T" `& s0 Q, ~连续以及离散时间复指数信号的响应分别是：



! E. n4 n9 Q3 L/ I. _3 ?其中， 是复振幅因子，一般来说是复变量s以及z的函数，但是对于变量t来说，它等价于一个常数。
1 Z2 o6 y: j. }4 r+ w! r
" j' r& F+ W, r8 u  Y这就说明了，复指数信号经过线性时不变系统的响应是它本身，即同样也是一个复指数信号，只不过幅度上有所变化。
8 T5 P/ R9 p' E' d
( c' j" w. X6 G/ d1 k# v; k% z% u特征函数以及特征值定义：
1 ~/ t+ [# }) y- @一个信号，若系统对该信号的输出响应仅是一个常数（可能是复数）乘以输入，则称该信号为系统的特征函数（eigenfunction），而幅度因子称为系统的特征值（eigenvalue）。

证明复指数信号是LTI系统的特征函数
% X! x* x3 J+ I% n5 C* E, Y下面证明复指数信号确实是LTI系统的特征函数，也就是说复指数信号作为LTI系统的激励，其响应也是复指数信号。

& e, q6 R$ H+ L6 ?7 \1 ]手稿：
3 H$ ~) r+ i. V0 r
+ {, G$ b# [( _$ d$ ~+ J首先是连续复指数信号 ，求其经过线性时不变系统的输出，假设线性时不变系统的系统函数为
- a' Y2 V  o8 a% h


这就证明了连续复指数信号 是LTI系统的特征函数，而常数 就是与特征函数 有关的特征值。

+ x8 w: ]& X7 _) K" G$ i9 P下面证明离散复指数信号 是LTI系统的特征函数：
! F- c3 K8 l7 N) z$ H" F% w7 r
- _0 M' e# O$ N$ u* D

同样证明了离散复指数信号 是LTI系统的特征函数，常数H(z)是与特征函数 有关的特征值。
  x8 t4 ?0 d. V. {9 v8 D
6 k+ [# x: V$ C+ x& U) M6 i+ J简单运用上述性质
既然，复指数信号作为LTI系统的输入，其输出有这么简便的表示方法，真是造福科学呀！
, Z3 g. M* f3 D; i
3 y: t% B7 m4 H我们不禁设想如果一个信号都可以表示成复指数信号，那么其输出岂不很简单？事实上也是如此，但多大范围的信号可以用复指数的线性组合来表示呢？

（我们将由这个思路来引出下一篇博文，周期信号的傅里叶级数表示，任意一个周期信号还真能表示成复指数信号的组合形式！）
! M4 p( ^7 I" `: r9 l: I
下面以手稿的形式，展示上面叙述的简单运用（模拟情况）：

1 |+ n8 w" d& F, V" `% |+ Z

8 W; Y. O% L0 C- t. f* H' t* D离散的情况如下：
+ B' J1 _, j8 v; w9 J* a0 n5 I
6 r4 ?+ n% P3 L, T& L" @
) {5 U( z/ Y) O" f) k
这其中的 都是复数。

3 h$ w+ h9 I# `这就说明：
6 ~% N. J9 m6 Q7 w' \8 g6 M/ \0 K
" P9 X# Z! a7 u  L对于连续时间以及离散时间来说，如果一个线性时不变系统的输入能够表示成复指数信号的线性组合，那么系统的输出也能够表示成相同复指数信号的线性组合；并且在输出表示式中的每一个系数可以用输入中响应的系数 分别与特征函数 有关的系统特征值 相乘来求得。

beachsun

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