线性时不变系统（LTI）对复指数信号的响应（数字信号处理的特征值与特征函数）

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" B8 J: A5 P  Q) F序言
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" i* q2 j! J' O; @0 u5 h一类重要的基本信号
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2 |) b' [5 j& M- d/ n4 V+ J8 Y线性时不变系统对复指数信号的响应
- W; A( i6 [7 @/ F* V5 m5 [+ ~
特征函数以及特征值定义：

( _* Q% w$ F( o% J+ u' ]) `0 P证明复指数信号是LTI系统的特征函数

5 p$ p+ i" g/ ~' j* S3 M简单运用上述性质

序言
  d* M' L" z: ~4 N, I复指数信号有相比于其他信号优良的性质，这使得其在数字信号处理以及信号与系统中（统称为信号处理）具有不一般的低位，例如复正弦信号
$ p+ ?* f  Y) o# D9 b9 X& O
! ~; R# ~' M$ H( o5 g' P它不仅是离散信号做傅里叶变换时的基函数，同时也是线性时不变系统的特征信号。
8 B% N0 f: e0 I( W$ {
( g7 W' P+ A) D% L& u8 Q  L看了一下内容后，你就会懂得上面的描述！

* |9 d# `7 C0 U2 ^  H& z一类重要的基本信号
在研究线性时不变系统时，将信号表示成基本信号的线性组合是很有利的，这些基本信号应该满足下面的两个性质：

1、由这些基本信号能够构成相当广泛的一类有用信号；
9 {0 ]9 p* b! p, j
- A0 J+ i1 E( \% y2、线性时不变系统对每一个基本系统的响应应该十分简单，以使系统对任意输入信号的响应有一个很方便的表达式。
& [; S" o$ w" C: C! h# r& t- @
那什么样的基本信号满足上面的条件呢？
. J% x; D0 E3 b& t6 V
由傅里叶分析可知，连续和离散时间复指数信号集都具有上述两个性质，即连续时间的 和离散时间的 ，其中s和z都是复数。

线性时不变系统对复指数信号的响应
  ^0 E8 D9 t" h: ^基于如下事实：

一个线性时不变系统对复指数信号的响应也是同样一个复指数信号，不同的只是幅度上的变化。

, T/ }( X, P/ o- }9 F' d连续以及离散时间复指数信号的响应分别是：
" Q7 t6 h" T- x
/ R1 X) w6 f9 O$ n- `
$ m. l/ ?1 {' ?. _
其中， 是复振幅因子，一般来说是复变量s以及z的函数，但是对于变量t来说，它等价于一个常数。

这就说明了，复指数信号经过线性时不变系统的响应是它本身，即同样也是一个复指数信号，只不过幅度上有所变化。

特征函数以及特征值定义：
+ ]2 _  \  q. `一个信号，若系统对该信号的输出响应仅是一个常数（可能是复数）乘以输入，则称该信号为系统的特征函数（eigenfunction），而幅度因子称为系统的特征值（eigenvalue）。
6 K. X+ h: l& J) r6 q7 m
证明复指数信号是LTI系统的特征函数
下面证明复指数信号确实是LTI系统的特征函数，也就是说复指数信号作为LTI系统的激励，其响应也是复指数信号。
& s) k2 g  x8 d+ x/ W
7 i3 v7 S  `- `4 G手稿：

/ a4 H* P2 ], R# Q) C$ `! A首先是连续复指数信号 ，求其经过线性时不变系统的输出，假设线性时不变系统的系统函数为
  g# Y6 F6 B& o: u1 a4 m8 i


这就证明了连续复指数信号 是LTI系统的特征函数，而常数 就是与特征函数 有关的特征值。
2 j" C. H+ L, f+ U/ |
下面证明离散复指数信号 是LTI系统的特征函数：
9 y& f' [3 U  L* F/ I' _


+ h$ E+ a/ ?0 C; v同样证明了离散复指数信号 是LTI系统的特征函数，常数H(z)是与特征函数 有关的特征值。
8 n% W: p5 K5 w  b2 y
简单运用上述性质
既然，复指数信号作为LTI系统的输入，其输出有这么简便的表示方法，真是造福科学呀！

我们不禁设想如果一个信号都可以表示成复指数信号，那么其输出岂不很简单？事实上也是如此，但多大范围的信号可以用复指数的线性组合来表示呢？
. ^/ x$ _; N% U* l. t
（我们将由这个思路来引出下一篇博文，周期信号的傅里叶级数表示，任意一个周期信号还真能表示成复指数信号的组合形式！）
2 U' |1 ]* P/ W# K- r( j
: q- K  @, o/ q6 ?6 J5 \1 k, q下面以手稿的形式，展示上面叙述的简单运用（模拟情况）：


$ C6 P9 a- z/ E' Z; y
离散的情况如下：
$ ]8 B7 j* b/ P2 ]/ d7 O
' C2 q0 }) b2 P

这其中的 都是复数。
  R' S- P/ r+ z4 w
这就说明：
1 E3 n8 |& ~  K$ t' i1 ^2 q4 ?
对于连续时间以及离散时间来说，如果一个线性时不变系统的输入能够表示成复指数信号的线性组合，那么系统的输出也能够表示成相同复指数信号的线性组合；并且在输出表示式中的每一个系数可以用输入中响应的系数 分别与特征函数 有关的系统特征值 相乘来求得。

beachsun

线性时不变系统（LTI）对复指数信号的响应（数字信号处理的特征值与特征函数）