从阻抗匹配的角度来解析射频微波传输线的设计技术

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传输线设计是高频有线网络、射频微波工程、雷射光纤通信等光电工程的基础，为了能让能量可以在通信网路中无损耗地传输，良好的传输线设计是重要关键。

7 M7 {- M6 P! F0 Y8 K. }- \) i    无线通信加上视频技术将成为未来的明星产业，要达到这个目标，负责传送射频微波信号的介质除空气之外，就是高频的传输线。人类目前无法控制大气层，但是可以控制射频微波传输线，只要设法使通信网路的阻抗能相互匹配，发射能量就不会损耗。本文将从阻抗匹配的角度来解析射频微波传输线的设计技术。
1 D* L# U$ {: u8 N/ {/ |9 _驻波比（SWR）
: H4 _) }* M1 n* q. j9 v
    两频率相同、振幅相近的电磁波能量流（energy flows）面对面地相撞（impinge）在一起，会产生驻波（standing wave），这种电磁波的能量粒子在空间中是处于静止（stand）状态（motionless）的，此暂停运动的时间长度比两电磁波能量流动的时间要长。因为驻波的能量粒子是静止不动的，所以，没有能量流进驻波或从驻波流出来。上述叙述较抽象，但是这里举个类似的例子，就可说明什么是驻波：做个物理实验，将两个口径、流速都相同的水管，面对面相喷，在两水管之间将会激起一个上下飞奔的水柱，这个水柱就是驻波。如果是在无地心引力的空间中，这个水柱将静止在那里不会坠地。

& q9 L+ I" c" |0 s  p" [- S    电磁波在传输在线流动，入射波和反射波相遇时就会产生驻波。驻波比（standing wave rate；SWR）是驻波发生时最大电压和最小电压的比值（VSWR），或最大电流和最小电流的比值(公式一)：

% N: A" i7 b, Y4 O  m2 [/ F    SWR = (VO + VR)/ (VO - VR) = (IO + IR)/ (IO - IR) = 1＋｜Γ｜/ 1－｜Γ｜
8 N+ r5 I7 _- e3 P7 D
    WR可以被用来判定传输线阻抗匹配的情况：当SWR=1时，表示没有反射波存在，电磁波能量能完全传递到负载上，也就是传输线阻抗完全匹配；当SWR=∞时，表示VO = VR或IO = IR，电磁波能量完全无法传递到负载上，传输线阻抗完全不匹配。SWR测量仪是高频传输线、发射机（transmitter）、天线工程师常使用的参数，与它类似的是应用在有线电视缆线（Cable TV cable）的「返回耗损（Return Loss）」或称作dBRL。两者的差别有二：(1)dBRL=0表示阻抗完全不匹配，dBRL=∞表示阻抗完全匹配。(2)SWR测量仪是以发射机为信号来源，自己并没有发射源，但dBRL测量仪是用自己的发射源来测量缆线的阻抗匹配情况。
! N, b$ @; x7 ?5 h( O史密斯图（Smith Chart）介绍：

    为了达到阻抗匹配的目的，必须使用史密斯图。此图为P. Smith于1939年在贝尔实验室发明的，直到现在，它的图形仍然被广泛地应用在分析、设计和解决传输线的所有问题上。它能将复数的负载阻抗（complex load impedance）映射（map）到复数反射系数（complex reflection coefficients）的Γ平面上，这种映射过程称作「正常化（normalization）」。如(图一)所示，大小不同的圆弧代表实数（rL）与虚数（xL）的大小，越往右边阻抗越大，越往左边阻抗越小。乍看之下，史密斯图很类似极坐标（polar coordinate），不过，它的X-Y轴坐标分别是Γr和Γi，而且Γ= |Γ|ejθr =Γr + jΓi ，r代表实数（real number），i代表虚数（image number）。在图一中，中心线为电阻值，中心线上方区域为感抗值，中心线下方区域为容抗值，直径和中心线重迭的圆代表不同的实数（rL），中心线两旁的圆弧代表不同的虚数（rL）。正常化负载阻抗（normalized load impedance）zL = ZL/Z0= 1+Γ/1-Γ，zL= rL+jxL，其实zL就是史密斯图上的复数，它没有计量单位（dimensionless），是由实数rL和虚数xL构成的。负载阻抗ZL就是由小写的zL映射到复数反射系数Γ平面上的。史密斯图的圆心代表Γ=0，zL=1，ZL= Z0，负载阻抗匹配，如(图三)所示。

    将阻抗转换到Γ平面后，就能得出代表传输线匹配或不匹配的反射系数（公式二）：
, v* i3 G# |! i0 J: ^! l* u
6 _) D% N$ g% Y4 Z8 W* V4 {7 w# G    Γ=
, C/ i( A2 X) {    ZL-Z0
, q( a& P. {& R8 r5 ?6 Y9 z$ t9 G    ZL+Z0
6 p8 A: p. L" u% t5 [) y* |　

- `2 s- R" n. V" ~: ^9 \/ d" O4 f
0 R! k6 u( Z& G* I! ?

& n2 ]9 R% |1 N2 C6 C9 U    图一　史密斯Z坐标图
4 K( l: o6 _: q* b　

! Z3 C! R4 @' {( r

    图二　无耗损传输线电路
　
- h4 c7 {7 a* g8 `$ _0 @
7 s, E" M% S0 H, v% A    在上式中，Γ就是（电压）反射系数，它的定义是：反射波（reflected voltage wave）的电压振幅与入射波（incident voltage wave）的电压振幅之比值；ZL是负载阻抗（load impedance），Z0是特性阻抗（characteristic impedance）。当ZL = Z0时，达到阻抗匹配，Γ为零。如(图二)所示，假设ZL = Z0，电压源（Vg）产生的功率几乎可以完全供给负载使用，而从负载反射回电压源的功率非常小。对负载应用而言，必须设法求得特性阻抗，并使负载阻抗等于它。亦即，在图三中的Γ必须尽量在绿色区域之中。图三也称为珈玛坐标图（Gamma-centric chart），有别于图一的Z坐标图（Z- centric chart）。
; ^% U5 h  e& p: G　

3 P0 h' [& T' y: X4 z1 H( j; D3 i
+ Q* o9 q. Y8 M' b! h; @  Q    图三　史密斯Γ坐标图
　理想的无耗损（lossless）传输线是依据下列公式来转换负载阻抗ZL（公式三）：
    Z = Z0
    ZL cos(l 2/) + j Z0 sin(l 2/)
, T3 G: J+ I' U1 [    Z0 cos(l 2/) + j ZL sin(l 2/)
6 V8 `0 H$ d' i/ ]5 r
    在上式中，l是无耗损传输线的长度，l 2/是此传输线长度与波长相比的角度值（radian）。从上式和图二中，可以得出下列重要的结论：
" a: q. \+ `9 ]. y' D* k( B
    (1)如果ZL = Z0，则无论传输线的长度大小为何，输入端阻抗Z或Zin永远等于特性阻抗Z0。
' y+ R' B0 `5 X3 y) E
: W; M/ R! x; A3 B+ N    (2)Z是以/2为单位做周期变化。

2 k0 W0 j* L5 l: j' F1 }    (3)正常化输入阻抗（normalized input impedance）zin=Zin/Z0= 1+Γl/1-Γl，其中，Γl 的振幅与电压反射系数Γ的振幅一样，但是相角差2βl（β=2π/λ），l是传输线长度。所以，Γl被称为「相移电压反射系数（phase-shifted voltage reflection coefficient）」，而且Γl =Γe-j2βl。因此，如果Γ转换成（transform）Γl，zL就被转换为zin了，在史密斯图上的反射系数角位（angle of reflection coefficient in degrees）是以顺时钟方向，随传输线长度l由0最大增加到0.5λ，这个方向上的刻度称为「波长朝产生器（wavelengths toward generator；WTG）」方向的刻度，有别于逆时钟方向的「波长朝负载（wavelengths toward load；WTL）」方向的刻度。

    (4)在史密斯图的圆心处划一个圆，它将和实数轴与虚数轴相交于数个点，每个点与圆心的距离相等，这个圆称作「常数｜Γ｜圆」；也叫作「驻波率（standing-wave ratio；SWR）圆」，这是因为驻波率S=1＋｜Γ｜/ 1－｜Γ｜。
. w4 t2 Q2 ]2 n2 z2 i# X1 ^, ^如果今天已知传输线长度l和zL，利用史密斯图，就可以很快地求出zin。
' D( B6 x0 p. R0 b* R$ t0 m  E
    (5)纯电阻窄频匹配（resistive narrowband match）时，驻波率刚好等于rL和驻波率圆相交的右边接点Pmax。虽然rL和驻波率圆相交的接点有两个Pmax和Pmin，但是左边接点Pmin的rL值小于1，而且驻波率必须大于或等于1，所以Pmin不予考虑。藉由史密斯图和已知的负载阻抗，就可以很快地求得在传输在线最大电压或最小电流、最小电压或最大电流的位置。

    上述功能，说明了利用史密斯图就能得到负载的复数阻抗之匹配值。
' V: z' ?& o8 a4 o: S+ O阻抗（impedance）和导纳（admittance）的转换
) W4 W& M% B: D6 k+ }
    在解决某些类型的传输线问题时，为求方便起见都使用导纳来表示。导纳是阻抗的倒数，其数学定义是：Y=1/Z=G+jB，G称作电导（conductance），B称作电纳。正常化导纳y是正常化阻抗z的倒数，所以y=1-Γ/1+Γ。如果在史密斯图上顺时钟移转λ /4（互成反方向），zL将转换成zL。虽然，Y参数（=[Y][V]）的导纳和Z参数（[V]=[Z]）的阻抗，都只能代表低频电路的特性，但是与代表高频电路特性的S参数（[V-]=[S][V+]）类似的Y参数是由四种导纳变数构成的，藉由Y参数（一般是从所测量的S参数转换而来）可以得到晶体管闸阻抗之值，这在深次微米设计中是非常重要的。S参数是被用来表示射频微波多端口网络（multiple network）中多电波的电路特性。

1 r0 D) }! J& X9 ^# u6 `    ■史密斯图应用范例

    应用上述原理和方法，将一般的50-Ω无耗损传输线之一端接有负载阻抗ZL =（25+j50）Ω，使用史密斯图可以得到：
) B, k( [) d" X
    (1)电压反射系数：zL= ZL/Z0=（25+j50）/50=0.5+j1，从史密斯图中可以查出反射系数的相角为83°，用尺可以量得反射系数的振幅为0.62；所以，电压反射系数Γ= 0.62ej83°。

1 q! ]2 {, |; f! h# |* u7 v    (2)电压驻波比（SWR）：使用圆规在史密斯图上，以Γ=0为圆心，划一个圆（驻波率圆）通过0.62ej83°，这个圆和Γr相交在两点，其中一点的rL值大于1，为4.26，亦即电压驻波比S=4.26。

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学习了，，，，