Moore-Penrose广义逆：可解决MATLAB报错“矩阵接近奇异值，或者缩放错误。结果可能...

haidaowang

上一篇讲到：方程AX=b的解的讨论（特解、通解、零空间向量等概念）及其MATLAB实现，程序中用到的是mldivide或者A\b的方法（二者相同）来解方程。

但实际上运行过程中我们会遇到：当AX=b线性方程组是一个病态方程组；或者A是奇异矩阵（即det(A)=0，不可逆），没法求逆，用不了inv(A)方法只能用A\b，此时MATLAB会报错“矩阵接近奇异值，或者缩放错误。结果可能不准确”…网络上很多人问这个问题怎么解决，其实不是MATLAB的问题，而是MATLAB内置算法的鲁棒性问题，直接用A\b方法无法处理这个棘手的问题。如果没有矩阵论或数值计算方法基础的同学可能会一头雾水。本文借用Moore-Penrose广义逆来解决这个问题，帮助大家理解带奇异矩阵的病态方程组如何解决。

: ~, J" C# W% j% y1 d/ S* s首先我们先来看下mldivide, \在MATLAB中的含义：
+ S# `: N- e* F2 g. v$ V
  N3 l+ F* M; r, Q* I

- w3 |  m# C4 v* f. V
) @# v" s* h! H! Y
- z0 c% n( c- N$ m& K% }/ p7 O
* c' ~/ w6 Q! ?! q- j/ Y  W
  ^6 q; j4 u# W) o8 G$ x也就是说，A\b的方法是可以求包含奇异矩阵的方程组的，但是可能会出错。而且错误可能非常离谱。（这个例子告诫我们，不要以为MATLAB算出来的结果都是准确的，MATLAB也不过是调用一些算法进行运算，每个算法都可能存在一些缺陷，无法处理某些极端的情况）。
- E1 b' \& s) w3 d& O

这里就涉及到数值计算方法领域矩阵的性态的问题了。我们可以直观来感受一下：

: x5 N1 I2 s8 [/ j1 M+ V' j) S& h; U5 G假设如下方程组：


$ Y' j4 Y7 f' \% Q" D9 q
' Q" F9 Z) c$ l3 r% }其精确解是(1,1)。
! T& J. A) F" C
若对左右边都做一些非常非常微小的变化：
% i( S$ k* [; J) r

; K) _( y" N  r0 O  b
; Z( e* ]/ u6 x; X+ U/ H% s其精确解变为：(10,-2)。

& A' E% C/ ~/ O5 T- M一个非常非常微小的扰动就让方程的解产生巨大的变动，我们称上述方程组是病态方程组，系数矩阵A是病态矩阵。
# ~* [4 ]' A/ b: F) Z' o
7 ~0 B4 f- [1 P0 V如果我们遇到不是方阵的矩阵，或者不能求逆的方阵，要想求解AX=b，避免奇异值导致MATLAB产生错误的情况，我们可以采用“伪逆”来帮助我们解决这个问题。
8 Z# p# r/ E: s- [( h
8 |6 `% w" f. x: g广义逆矩阵：

对任意一个矩阵A，提出四个条件：
, q0 c$ c2 l- a4 B
9 ^4 s/ Q' W- O0 \" n- y$ x

. G# d. f$ \+ r# ~2 L8 x* U如果存在矩阵G满足上述的一部分或全部条件，G就可以称为A的广义逆矩阵。最常用的四种广义逆矩阵定义如下：
4 \( i, \/ b' t! V8 o! G/ X6 p, S
* T  r6 {8 }1 G0 s" ^, Z" C0 F5 W
9 X9 m% \! O  Q+ p
MATLAB中自带的pinv方法，就可以求矩阵的M-P广义逆，即A+矩阵。

大家可以查阅官方文档看具体应用实例。
' U2 Q) ]" h: E/ @

) N; r% C6 }' B, r
9 n, i) o# n3 t( H+ I如果我们求出A+，就可以有另一种思路来解AX=b了：

: {# ~  n% l/ ]

这里，通解的表达式还是类似于X=X*+X0的形式，A+b相当于是特解，后面那一项就是带系数的自由解，y可以取任意数，注意维度匹配即可。
' H9 V3 _: q% {
2 _  f$ z. R$ C- _0 i$ Y所以，大家调用pinv求出M-P广义逆，然后用x=A+b + (I-A+A)y这个式子构造出通解就可以啦！
5 `/ [! ?; ]; q" z
2 G7 e! U# I6 D& |

1 c. m) ^& w" n# o3 d- H8 M- A$ q4 g
1 ^$ I- r8 x# p; j) m

youOK

太实用了

yin123

可解决MATLAB报错“矩阵接近奇异值，或者缩放错误