Moore-Penrose广义逆：可解决MATLAB报错“矩阵接近奇异值，或者缩放错误。结果可能...

haidaowang

上一篇讲到：方程AX=b的解的讨论（特解、通解、零空间向量等概念）及其MATLAB实现，程序中用到的是mldivide或者A\b的方法（二者相同）来解方程。

2 |* u% M- E3 b3 L8 P但实际上运行过程中我们会遇到：当AX=b线性方程组是一个病态方程组；或者A是奇异矩阵（即det(A)=0，不可逆），没法求逆，用不了inv(A)方法只能用A\b，此时MATLAB会报错“矩阵接近奇异值，或者缩放错误。结果可能不准确”…网络上很多人问这个问题怎么解决，其实不是MATLAB的问题，而是MATLAB内置算法的鲁棒性问题，直接用A\b方法无法处理这个棘手的问题。如果没有矩阵论或数值计算方法基础的同学可能会一头雾水。本文借用Moore-Penrose广义逆来解决这个问题，帮助大家理解带奇异矩阵的病态方程组如何解决。

) I; o- @6 D( ~: D* U% x6 d首先我们先来看下mldivide, \在MATLAB中的含义：



, A: c9 `( L7 v  Z/ X0 E5 D

3 k: ?* y1 g, z* V0 S7 ]

也就是说，A\b的方法是可以求包含奇异矩阵的方程组的，但是可能会出错。而且错误可能非常离谱。（这个例子告诫我们，不要以为MATLAB算出来的结果都是准确的，MATLAB也不过是调用一些算法进行运算，每个算法都可能存在一些缺陷，无法处理某些极端的情况）。

/ v; O5 L$ I' W+ s3 O# O  B& F
& g( D0 ~7 V( k8 Z这里就涉及到数值计算方法领域矩阵的性态的问题了。我们可以直观来感受一下：
( N$ M) X6 F' V9 f0 T* N, `
9 _& P& I( J' M' y) x( m5 u假设如下方程组：
2 l* H( A; X/ `

: q0 c6 w% t! r: B8 _( Y
% y" M, N7 o3 i6 _* Q9 h其精确解是(1,1)。
: r/ D* ]& ^6 p4 e6 _' q6 c* M: y
; ?8 ~+ x, q$ w9 F2 w# Z2 O9 @若对左右边都做一些非常非常微小的变化：
* x: C" _7 y& F( H7 ]7 W3 S0 ?
% V6 P+ h" d8 B8 q- M" I
- H' `- L1 P# O
1 {6 d( s/ @" w1 ^) y6 d其精确解变为：(10,-2)。
! T1 d  R% r* P5 ~7 ]" E
% Y2 v" W" i4 h一个非常非常微小的扰动就让方程的解产生巨大的变动，我们称上述方程组是病态方程组，系数矩阵A是病态矩阵。

" K9 k8 g# N+ f2 {如果我们遇到不是方阵的矩阵，或者不能求逆的方阵，要想求解AX=b，避免奇异值导致MATLAB产生错误的情况，我们可以采用“伪逆”来帮助我们解决这个问题。
5 H% J5 o, L+ F* A3 K0 f
广义逆矩阵：
/ a0 n2 e0 z1 H; x  u' \5 g- ^
/ [! v4 k, t) ]7 g% h对任意一个矩阵A，提出四个条件：
' ~+ o* u4 D1 z- J" [$ |7 D
! i6 \- m* k  b

如果存在矩阵G满足上述的一部分或全部条件，G就可以称为A的广义逆矩阵。最常用的四种广义逆矩阵定义如下：


# ~9 ?/ N3 O- l
( Z5 k0 ^' g% p3 x8 FMATLAB中自带的pinv方法，就可以求矩阵的M-P广义逆，即A+矩阵。

& R/ a4 a. {  H- m大家可以查阅官方文档看具体应用实例。



: ~% E) L" Z8 B& x- V0 z  k4 b如果我们求出A+，就可以有另一种思路来解AX=b了：
0 U! d. O$ c7 O. s0 J

4 a+ D7 z- Z$ ], Q' w( K
这里，通解的表达式还是类似于X=X*+X0的形式，A+b相当于是特解，后面那一项就是带系数的自由解，y可以取任意数，注意维度匹配即可。
* h$ j6 F6 b6 F
所以，大家调用pinv求出M-P广义逆，然后用x=A+b + (I-A+A)y这个式子构造出通解就可以啦！
6 p0 `* [2 o2 m; k# y) e/ X; r
; }8 H+ v, |$ H5 f


' B5 R! n3 m: v. z6 M$ G4 L

youOK

太实用了

yin123

可解决MATLAB报错“矩阵接近奇异值，或者缩放错误