Moore-Penrose广义逆：可解决MATLAB报错“矩阵接近奇异值，或者缩放错误。结果可能...

haidaowang

上一篇讲到：方程AX=b的解的讨论（特解、通解、零空间向量等概念）及其MATLAB实现，程序中用到的是mldivide或者A\b的方法（二者相同）来解方程。

9 W# W7 X: M: }; w但实际上运行过程中我们会遇到：当AX=b线性方程组是一个病态方程组；或者A是奇异矩阵（即det(A)=0，不可逆），没法求逆，用不了inv(A)方法只能用A\b，此时MATLAB会报错“矩阵接近奇异值，或者缩放错误。结果可能不准确”…网络上很多人问这个问题怎么解决，其实不是MATLAB的问题，而是MATLAB内置算法的鲁棒性问题，直接用A\b方法无法处理这个棘手的问题。如果没有矩阵论或数值计算方法基础的同学可能会一头雾水。本文借用Moore-Penrose广义逆来解决这个问题，帮助大家理解带奇异矩阵的病态方程组如何解决。

首先我们先来看下mldivide, \在MATLAB中的含义：
4 d- h- ~4 R- Y9 g% y, T  z
- |/ Z4 W% Z- q. j8 J  W6 |
8 d+ P6 r& j$ f/ a



% x( N+ Q0 P! N
也就是说，A\b的方法是可以求包含奇异矩阵的方程组的，但是可能会出错。而且错误可能非常离谱。（这个例子告诫我们，不要以为MATLAB算出来的结果都是准确的，MATLAB也不过是调用一些算法进行运算，每个算法都可能存在一些缺陷，无法处理某些极端的情况）。
* E# g' H3 j4 D7 W5 V, h

这里就涉及到数值计算方法领域矩阵的性态的问题了。我们可以直观来感受一下：

假设如下方程组：
, y2 }. [: c* y; x. S5 ~


7 L. R8 u0 c: U! q5 v9 V其精确解是(1,1)。

若对左右边都做一些非常非常微小的变化：


# @8 ~2 d  y" _1 q" _. R
其精确解变为：(10,-2)。
1 {0 L6 g* u; I
一个非常非常微小的扰动就让方程的解产生巨大的变动，我们称上述方程组是病态方程组，系数矩阵A是病态矩阵。
# I+ Q( [2 R; A! T7 C! F1 b
如果我们遇到不是方阵的矩阵，或者不能求逆的方阵，要想求解AX=b，避免奇异值导致MATLAB产生错误的情况，我们可以采用“伪逆”来帮助我们解决这个问题。
7 W7 s3 M1 b; R' E
7 Q6 u( @$ a/ ^$ x. q广义逆矩阵：
, ~; }7 O. }7 p# l$ X2 }) Y6 D
# O( k/ j* S+ j0 Q, y# ^/ F+ m" J对任意一个矩阵A，提出四个条件：
6 `* |9 b0 P  D" S& g
4 j: y: n( @- O3 E
4 O/ m6 L* i0 n1 T
" k3 ~( s  X9 f& X: y& n* `; E+ }如果存在矩阵G满足上述的一部分或全部条件，G就可以称为A的广义逆矩阵。最常用的四种广义逆矩阵定义如下：

3 c* C3 [+ F8 ]) D. M3 h

" ]$ @+ k; l" g: wMATLAB中自带的pinv方法，就可以求矩阵的M-P广义逆，即A+矩阵。
2 n1 }# p) }2 `. @
大家可以查阅官方文档看具体应用实例。
# _" V2 f) l& x/ ^/ P% A# e8 `

9 D. c9 L5 r2 m( b
如果我们求出A+，就可以有另一种思路来解AX=b了：
) C& [  e# |! v) W; C& D6 z* a


* b/ a, `: A7 [4 O2 q这里，通解的表达式还是类似于X=X*+X0的形式，A+b相当于是特解，后面那一项就是带系数的自由解，y可以取任意数，注意维度匹配即可。

所以，大家调用pinv求出M-P广义逆，然后用x=A+b + (I-A+A)y这个式子构造出通解就可以啦！


8 T0 i% b# M. {- `6 `  ]
& [& X2 @. [$ ~

youOK

太实用了

yin123

可解决MATLAB报错“矩阵接近奇异值，或者缩放错误