方程AX=b的解的讨论（特解、通解、零空间向量等概念）及其MATLAB实现

haidaowang

求矩阵形式线代方程组，讨论AX=b的解是最基本的一项内容。
  b/ ]$ G; U/ |! W! Q% N: |1 s
AX=b的解 = 特解 + 矩阵零空间向量

特解：AX=b的自由变量都=0时x的解。
" U2 {: ~* x6 ~. B% j& c- t, x
矩阵零空间向量：AX=0时x的解空间。矩阵零空间向量又牵扯到了零空间的概念，就不赘述了。我们可以简单记为：

0 x- C/ G  x9 V6 ^X = X* +

% l' O: n  o7 ]0 Z- X- a7 o$ L

零空间向量：

3 o4 _1 H: R2 i2 o* d; I* K, P( X) |

5 o& |/ m  k. ^9 k( O/ p& t- j关于可解性：



通解、特解：


% s5 _+ r6 D% {8 c% h& ^" J2 x! y
对上述例子，写了个简单的MATLAB程序，用以求AX=b的解。更全面的代码，可以参考文末的参考文献。
8 L" r+ `: ^9 a- m- a( y
A = [ 1 2 2 2;
- z! `6 s6 N# N0 S% @$ S: `. X    2 4 6 8;
$ G7 D8 W( _- x' z4 V2 r1 |8 B    3 6 8 10];
3 v1 M( J0 z% V" D% p2 [* Z. Gb = [1;
* f: u% [- {* F9 p1 s, T7 t  T     5;
     6];
3 k' p/ |5 B8 r( w  x
4 [: S" U. l1 E& w- A! I1 eformat rat;
syms n1 n2;
X0 = A\b %零空间向量，即AX=0时X的解
# a+ z- J; m# y! \, _3 e1 _C = null(A,'r');
X = C(:,1)*n1 + C(:,2)*n2 + X0  %X通解
2 k* x8 R$ D' k2 ^  F! V! l

, ]: j  X" Q8 p0 Q' ^8 C% h1 {
  D. ~6 I6 w; _. I! M" R/ Y

1 y/ e3 d# I: e7 D, R  e2 r/ h

NNNei256

方程AX=b的解的讨论（特解、通解、零空间向量等概念）及其MATLAB实现