方程AX=b的解的讨论（特解、通解、零空间向量等概念）及其MATLAB实现

haidaowang

求矩阵形式线代方程组，讨论AX=b的解是最基本的一项内容。

9 i' {3 O# {6 B# X9 mAX=b的解 = 特解 + 矩阵零空间向量
& H" y$ L9 }, ]" M# {
特解：AX=b的自由变量都=0时x的解。

1 R8 E2 c- E( }% i矩阵零空间向量：AX=0时x的解空间。矩阵零空间向量又牵扯到了零空间的概念，就不赘述了。我们可以简单记为：
- c# f' h0 e1 s# k  w" [2 m
X = X* +

  l, v' V/ U% g7 P, A
# c4 U; e4 n* K) l& N
- V" E. X0 D, F( ^& p6 |, V& N零空间向量：
6 p# B! J6 f* e2 X+ c+ d( h
9 P' H/ A. Q: o4 x4 W) t

8 H- J- m8 y) e7 n关于可解性：
9 z* {8 d, r5 M3 W: W


通解、特解：
, |% A* t/ k3 ]2 w

9 ?$ g( o7 A9 e  Z* e( B
对上述例子，写了个简单的MATLAB程序，用以求AX=b的解。更全面的代码，可以参考文末的参考文献。
& B2 L. a$ e% @) ]9 H7 Y
A = [ 1 2 2 2;
    2 4 6 8;
* P: G. U' i5 G" Y/ ^$ z    3 6 8 10];
b = [1;
/ y0 e4 Z+ K( b! ?3 k1 U     5;
     6];

. O; U) r$ N# n! \( Gformat rat;
syms n1 n2;
0 O* h! U! c" SX0 = A\b %零空间向量，即AX=0时X的解
C = null(A,'r');
: Y* p8 R& p, |6 {X = C(:,1)*n1 + C(:,2)*n2 + X0  %X通解


7 Q: G4 M+ R* @7 b" `" d4 O: i$ b' C
& h, w( Z) \6 R6 q* h  ?

+ ^4 s4 d9 C1 C. \& _+ l5 T6 v

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方程AX=b的解的讨论（特解、通解、零空间向量等概念）及其MATLAB实现