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MATLAB插值、拟合与编程

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发表于 2018-11-1 15:15 | 只看该作者 回帖奖励 |倒序浏览 |阅读模式

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本帖最后由 cj223356 于 2018-11-1 15:17 编辑 7 x/ L7 x" a4 G, B6 r; h3 Q
! B* Z0 P5 N0 D4 l: m0 H" g
相关知识
1 b3 f& N) k- Q$ f( e1 H) w在生产和科学实验中,自变量 与因变量 间的函数关系 有时不能写出解析表达式,而只能得到函数在若干点的函数值或导数值,或者表达式过于复杂而需要较大的计算量。当要求知道其它点的函数值时,需要估计函数值在该点的值。
6 @+ R2 {+ o. ~) M! ~. p7 }为了完成这样的任务,需要构造一个比较简单的函数 ,使函数在观测点的值等于已知的值,或使函数在该点的导数值等于已知的值,寻找这样的函数 有很多方法。根据测量数据的类型有以下两类处理观测数据的方法。
' e2 J  i, ?4 R( S1 Y9 p  n(1)测量值是准确的,没有误差,一般用插值。
/ H- ~, \, p3 V  v# D5 f(2)测量值与真实值有误差,一般用曲线拟合。1 n2 z$ E! R: H
在MATLAB中,无论是插值还是拟合,都有相应的函数来处理。$ }& k0 N+ H9 x4 \, b
$ u; w" s3 x( m2 L* h7 @9 u( P. H
一、插值

( @' Q/ r& Y& x0 T+ i1、一维插值:9 Z) s! o9 {$ A4 g/ D( s2 u
已知离散点上的数据集 ,即已知在点集X= 上的函数值Y= ,构造一个解析函数(其图形为一曲线)通过这些点,并能够求出这些点之间的值,这一过程称为一维插值。
+ g# E5 X7 [3 w/ D8 }MATLAB命令:yi=interp1(X, Y, xi, method)
3 v* u8 |! j  `; z& P9 E( w) q. d该命令用指定的算法找出一个一元函数 ,然后以 给出 处的值。xi可以是一个标量,也可以是一个向量,是向量时,必须单调,method可以下列方法之一:
8 e! ]) e6 P) [+ V% V7 f& o‘nearest’:最近邻点插值,直接完成计算;
' g3 s% P5 J# O4 |/ W  K- {‘spline’:三次样条函数插值;7 g  E! X% L. c1 b
‘linear’:线性插值(缺省方式),直接完成计算; 8 D+ b$ r/ Q# |
‘cubic’:三次函数插值;6 I4 g( ~/ r) n( b" \* L$ b# o$ A
对于[min{xi},max{xi}]外的值,MATLAB使用外推的方法计算数值。
+ P. h, ]6 U& }) I: H$ ~+ m例1:已知某产品从1900年到2010年每隔10年的产量为:75.995, 91.972, 105.711, 123.203, 131.699, 150.697, 179.323, 203.212, 226.505, 249.633, 256.344, 267.893,计算出1995年的产量,用三次样条插值的方法,画出每隔一年的插值曲线图形,同时将原始的数据画在同一图上。; T; f9 F- z1 g4 W
解:程序如下
8 Y/ k5 W( r- Wyear=1900:10:2010;
! {3 ^9 b4 x1 u! h1 Gproduct=[75.995, 91.972, 105.711, 123.203, 131.699, 150.697, 179.323, 203.212, 226.505, 249.633, 256.344, 267.893]
2 O: M. y8 ], q+ R& J6 j. Sp1995=interp1(year,product,1995) ; P2 T- O: ]: I% H0 ~( n! ?8 P
x=1900:2010;
5 X$ q9 R$ Y; \y=interp1(year,product,x,'cubic');
) I: J: P# ]+ D  vplot(year,product,'o',x,y);3 m+ D- b# J/ R3 U5 b
计算结果为:p1995=252.9885。% G  x* N9 B' \8 V

3 o( D8 \, J5 \" v2、二维插值
" ]4 @1 B( f& S已知离散点上的数据集 ,即已知在点集 上的函数值 ,构造一个解析函数(其图形为一曲面)通过这些点,并能够求出这些已知点以外的点的函数值,这一过程称为二维插值。
) d# g# T* H3 }: ]/ P# ~* V) xMATLAB函数:Zi=interp2(X,Y,Z,Xi,Yi,method)
. j; H$ D* `5 p该命令用指定的算法找出一个二元函数 ,然后以 给出 处的值。返回数据矩阵 ,Xi,Yi是向量,且必须单调, 和meshgrid(Xi,Yi)是同类型的。method可以下列方法之一:
  N, d5 T; J$ L* N$ w& {7 J‘nearest’:最近邻点插值,直接完成计算;
, C9 K" j- F( J& E& R: f$ T‘spline’:三次样条函数插值;
/ N8 X. h- S/ Q‘linear’:线性插值(缺省方式),直接完成计算; 9 t3 \8 V) Q0 A
‘cubic’:三次函数插值;" G+ D" b' K4 b0 M/ r
例2:已知1950年到1990年间每隔10年,服务年限从10年到30年每隔10年的劳动报酬表如下:
2 g) x$ N: a& t0 A表:某企业工作人员的月平均工资(元)2 p# y0 k5 b* u3 B& K4 L
年份 1950 1960 1970 1980 1990
  I. l- u( m8 I9 Y; L; M服务年限4 V4 T* u. y) j$ u& |. p3 c: e
10 150.697 179.323 203.212 226.505 249.633* ~, F/ J4 `- `+ R4 c; X
20 169.592 195.072 239.092 273.706 370.281
8 f: x4 f2 Q5 ^' }9 U; J' s30 187.652 250.287 322.767 426.730 598.2438 ?' r* E7 [  \  l
. D: r- o2 L2 O+ I; g
试计算1975年时,15年工龄的工作人员平均工资。

* ?0 b# ]3 V9 k4 Q" j4 P解:程序如下:
* B. n( m$ s; |0 ^8 H+ Y" Uyears=1950:10:1990;6 D1 o9 i+ m; N; l& N! W
service=10:10:30;1 W  m5 }1 {3 V. e2 `
wage=[150.697 169.592 187.652
+ Y1 ?* e' M0 k" `: b* H+ p' G4 d179.323 195.072 250.287
. E" ?$ O( A* Z0 g1 L( e1 }: z203.212 239.092 322.767
/ S/ f, a! A/ }226.505 273.706 426.730
/ t# l5 M, S6 [- T4 G249.633 370.281 598.243];7 ?. J' t/ O! i2 Q2 N
mesh(service,years,wage) %绘原始数据图  G5 B( y1 I/ w5 Y
w=interp2(service,years,wage,15,1975); %求点(15,1975)处的值
2 @( o/ a/ H# L7 e, X计算结果为:235.6288
) U8 \) N' v, L% l) B. Y, x例3:设有数据x=1,2,3,4,5,6,y=1,2,3,4,在由x,y构成的网格上,数据为:
* w& H5 Z0 b$ v& L/ j9 L) ?2 {12,10,11,11,13,15
* N* O  n' m) v9 B, @16,22,28,35,27,20
% L! W8 p6 O- O' d( N- J& m18,21,26,32,28,25- ~# A% N' ?' V0 N" z) [
20,25,30,33,32,20
  n7 U$ ]5 l7 W% C8 v$ e( a求通过这些点的插值曲面。$ j9 v1 `+ @5 Y0 [
解:程序为:x=1:6;
* g$ z( @- K0 b1 H" o( t; Xy=1:4;
5 Q) r0 G) o8 _! r- Wt=[12,10,11,11,13,15
8 c' M# q+ S8 q$ H9 I16,22,28,35,27,20; s4 h4 s! o# z9 R! g8 N5 _6 o
18,21,26,32,28,25;6 L# z  V, m, V" R: d3 b- J7 \
20,25,30,33,32,20]
4 T8 k7 }/ F7 c0 N6 Bsubplot(1,2,1)
; t; F5 B  K' |- z" {, }& vmesh(x,y,t)
0 G# Q  L0 Y4 }" ]; d: s( ux1=1:0.1:6;
% l# a0 f4 W7 U% r% Z) [y1=1:0.1:4;4 S1 n7 g- i: z6 B9 U: z
[x2,y2]=meshgrid(x1,y1);
7 S+ j5 A3 @. Q- z7 V& }# Ht1=interp2(x,y,t,x2,y2,'cubic');' k& [7 n' a1 c- r% T' W3 j
subplot(1,2,2): X3 I; X5 [$ ?
mesh(x1,y1,t1);
0 V5 o1 m/ s0 Z, [6 n结果如右图。' i. p5 m% I7 O8 O. w+ |
( E* S/ k- u* ^! r6 j& V
作业:已知某处山区地形选点测量坐标数据为:
) N8 [$ R/ `; Y: @' w4 k1 dx=0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
/ X5 A( d7 ]& D/ x! w' @7 Ry=0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6
8 P3 G3 U- T) `+ `8 U- Y  {海拔高度数据为:* B, x7 C9 ]* \0 G  ^/ ?
z=89 90 87 85 92 91 96 93 90 87 82
3 c2 L( I0 H' \7 w3 d( B  E92 96 98 99 95 91 89 86 84 82 84
5 p5 Y$ u/ I- K: @4 j0 O& D96 98 95 92 90 88 85 84 83 81 85
3 p" f$ p+ _6 j80 81 82 89 95 96 93 92 89 86 86
1 g" l) y' L$ q1 e- u82 85 87 98 99 96 97 88 85 82 83
0 P8 U# U; Y, \, Z( H82 85 89 94 95 93 92 91 86 84 88 0 s# I* Z- T* I" G# _3 f8 J
88 92 93 94 95 89 87 86 83 81 92
4 g8 v! C7 ]) u, q5 W- l6 x. ^92 96 97 98 96 93 95 84 82 81 84
! X# S$ V2 }/ b+ V* z9 G; L* W* o7 k0 ~85 85 81 82 80 80 81 85 90 93 95
5 ~- G# C  ~$ [1 r84 86 81 98 99 98 97 96 95 84 87 - I1 ~3 }/ X7 P. e1 x$ }& w& I. w
80 81 85 82 83 84 87 90 95 86 88
+ {: {$ F8 f( `5 L- l80 82 81 84 85 86 83 82 81 80 82
! }7 T7 R9 c/ ?- e5 C87 88 89 98 99 97 96 98 94 92 872 x0 H: L+ f! B6 K) `* n; P
( C6 D$ T# q  o* `. A9 b/ w4 O

! F  |. c2 n. W# C3 }' Y0 V/ u1、 画出原始数据图;
4 ^  P; }* o; g2、 画出加密后的地貌图,并在图中标出原始数据

8 f. ^& Y+ ~- D( F, m5 Y

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 楼主| 发表于 2018-11-1 15:16 | 只看该作者
二、拟合- k: K4 A) P# Z1 V$ v
曲线拟合0 S7 ?3 m# f$ E6 N+ m' m3 d
已知离散点上的数据集 ,即已知在点集 上的函数值 ,构造一个解析函数(其图形为一曲线)使 在原离散点 上尽可能接近给定的 值,这一过程称为曲线拟合。最常用的曲线拟合方法是最小二乘法,该方法是寻找函数 使得 最小。
+ c% i9 ^3 w1 \/ V+ `0 n, jMATLAB函数:p=polyfit(x,y,n) " g0 J3 R. l1 @
[p,s]= polyfit(x,y,n)   g; O# r) f& o1 c" O
说明:x,y为数据点,n为多项式阶数,返回p为幂次从高到低的多项式系数向量p。x必须是单调的。矩阵s用于生成预测值的误差估计。(见下一函数polyval)
) s" r9 f, ]1 g/ O. v' w0 a, ]多项式曲线求值函数:polyval( ) ( E" \5 E' W4 h, I
调用格式: y=polyval(p,x) 2 {- q0 ~4 l& u  a/ {
[y,DELTA]=polyval(p,x,s) # ^5 h; K; ?5 N4 m
说明:y=polyval(p,x)为返回对应自变量x在给定系数P的多项式的值。
- i' p  k+ a2 [2 S6 [, z6 [[y,DELTA]=polyval(p,x,s) 使用polyfit函数的选项输出s得出误差估计Y DELTA。它假设polyfit函数数据输入的误差是独立正态的,并且方差为常数。则Y DELTA将至少包含50%的预测值。) `8 W% t' F8 g
例5:求如下给定数据的拟合曲线,
0 m1 M" y; F$ z% P% kx=[0.5,1.0,1.5,2.0,2.5,3.0],
- o& _( o. h5 P7 [; oy=[1.75,2.45,3.81,4.80,7.00,8.60]。' g2 ~0 z* ^5 f6 U5 E% z, K- i
解:MATLAB程序如下:
4 E% N( a2 G0 z- G" Ix=[0.5,1.0,1.5,2.0,2.5,3.0];
& r: X/ w' ^( n/ dy=[1.75,2.45,3.81,4.80,7.00,8.60];' J  ~: j5 \* z$ E& V! W+ C
p=polyfit(x,y,2)1 v7 z/ D$ W& ?* G
x1=0.5:0.05:3.0;( @5 c2 O/ U  f( O
y1=polyval(p,x1);
& q& l* b8 b: Y" L* vplot(x,y,'*r',x1,y1,'-b')' w+ P3 I& H" [+ T7 ?
计算结果为:9 o% }* Z( t" Z- @
p =0.5614 0.8287 1.1560
: S, E3 D; A' I+ Y: W此结果表示拟合函数为:
: F$ J+ j* x0 Q% }( w2 p4 x4 Z* H5 v( [
0 D" ^5 i+ U' f0 T! I& U+ V. k
4 e1 a% R# b+ |# t; a1 n, _3 b2 c2 G
例2:由离散数据
3 ^. Z( ^" d4 @# Ix 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
& U7 L' R9 P: g. Xy 0.3 0.5 1 1.4 1.6 1.9 0.6 0.4 0.8 1.5 2
; N7 g% o5 H8 e4 x# K- ^& N' i# l' \) d% C0 `8 P
拟合出多项式。7 U5 [( S1 ]' q4 s$ b
程序:
, z+ c$ n/ ?7 U# ?* @' ]& @1 kx=0:.1:1;   x' X) u+ J% ?' g; i
y=[.3 .5 1 1.4 1.6 1.9 .6 .4 .8 1.5 2]
9 s; g. s/ }, U3 An=3; " r+ s: D! T" z3 }" w: n/ |
p=polyfit(x,y,n)
2 M9 w4 G. `: o9 E/ Txi=linspace(0,1,100);
, s  x& D, {! Hz=polyval(p,xi); %多项式求值# n6 s, y* W6 r( ~5 z7 N
plot(x,y,’o’,xi,z,’k:’,x,y,’b’) 9 D* y1 F7 f, V" r# p6 }
legend(‘原始数据’,’3阶曲线’)
, B. g" k9 d# m结果:" D! \) G' y1 N7 \
p =; C* i3 s+ b, }' o8 a
16.7832 -25.7459 10.9802 -0.0035" a. y  X7 a. [, L# E% b6 J
多项式为:16.7832x3-25.7459x2+10.9802x-0.00352 Z( R2 c/ S/ g; h2 {9 v& X

5 b3 ?1 t1 d9 V7 k
+ J! X- l/ J0 I2 |0 c, _9 @例3:x=1:20,y=x+3*sin(x), j. H6 m$ d; m8 z# c" k
程序:
& V  i4 {& V% r* F, l9 dx=1:20; 3 w& E% {/ e8 y
y=x+3*sin(x); # M- E2 E% |) H) d# _. T' K+ j
p=polyfit(x,y,6)
+ A; N* g' m) H( d  xxi=linspace(1,20,100); # O# P/ G& F4 g6 J: |1 S4 b; E
z=polyval(p,xi); 9 Q/ J4 \) W8 ^7 W, {
plot(x,y,'o',xi,z,'k:',x,y,'b')
' y3 c9 j7 ^5 U# y4 ?0 O* T+ d! D结果:: ?( @# W. p* J/ m9 x; D4 z
p =) N& S1 V! i4 B
0.0000 -0.0021 0.0505 -0.5971 3.6472 -9.7295 11.3304! R0 Y8 k7 ]- W- s1 J
$ \' G  E' K2 y# X+ \, {
再用10阶多项式拟合' \  b8 G9 p5 n0 X% D) A
程序:x=1:20;
. {% w7 X! G$ y9 oy=x+3*sin(x);
7 b4 ^+ a9 o  Z' H9 Z. Up=polyfit(x,y,10)   ?' s& @* K' u
xi=linspace(1,20,100);
! P: o5 k% j+ M6 S% w) O6 cz=polyval(p,xi); 6 b! o3 r" z& O9 D2 Y
plot(x,y,'o',xi,z,'k:',x,y,'b')' @' V& d# n+ w
结果:p =# W3 U' j2 [7 |- c* ~) [
Columns 1 through 7 " e: y: r% I9 K# c
0.0000 -0.0000 0.0004 -0.0114 0.1814 -1.8065 11.2360
; K  u- V' ~* q9 Q9 j; j% eColumns 8 through 11 % L$ p8 ~7 h2 R- h$ D0 X
-42.0861 88.5907 -92.8155 40.267+ i8 `! }# F4 k. l/ K

. c- f: K5 u, n6 S, V, r4 }! u) c6 A+ y* o7 h! l( ^4 R8 y
可用不同阶的多项式来拟合数据,但也不是阶数越高拟合的越好。. H' c! ^% b( e3 `
作业:3 d- J9 E1 Y, k6 L
1.已知x=[0.1,0.8,1.3,1.9,2.5,3.1],y=[1.2,1.6,2.7,2.0,1.3,0.5],利用其中的部分数据,分别用线性函数插值,3次函数插值,求x=2.0处的值。
( s+ k/ T1 X& I, l2.已知二元函数 在点集 上的值为 ,其中,左上角位置表示 ,右下角位置表示 ,求该数据集的插值曲面。
+ m  y1 e! F# g- U0 l; p6 M3.已知x=[1.2,1.8,2.1,2.4,2.6,3.0,3.3],y=[4.85,5.2,5.6,6.2,6.5,7.0,7.5],求对x,y分别进行4,5,6阶多项式拟合的系数,并画出相应的图形。
0 ~5 G0 ]+ M/ x- o4.学习函数interp3(X,Y,Z,V,X1,Y1,Z1,method),对MATLAB提供的flow数据实现三维插值。
' q* H3 C: d! }- E- {8 k, I6 o
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