|
二、拟合- k: K4 A) P# Z1 V$ v
曲线拟合0 S7 ?3 m# f$ E6 N+ m' m3 d
已知离散点上的数据集 ,即已知在点集 上的函数值 ,构造一个解析函数(其图形为一曲线)使 在原离散点 上尽可能接近给定的 值,这一过程称为曲线拟合。最常用的曲线拟合方法是最小二乘法,该方法是寻找函数 使得 最小。
+ c% i9 ^3 w1 \/ V+ `0 n, jMATLAB函数:p=polyfit(x,y,n) " g0 J3 R. l1 @
[p,s]= polyfit(x,y,n) g; O# r) f& o1 c" O
说明:x,y为数据点,n为多项式阶数,返回p为幂次从高到低的多项式系数向量p。x必须是单调的。矩阵s用于生成预测值的误差估计。(见下一函数polyval)
) s" r9 f, ]1 g/ O. v' w0 a, ]多项式曲线求值函数:polyval( ) ( E" \5 E' W4 h, I
调用格式: y=polyval(p,x) 2 {- q0 ~4 l& u a/ {
[y,DELTA]=polyval(p,x,s) # ^5 h; K; ?5 N4 m
说明:y=polyval(p,x)为返回对应自变量x在给定系数P的多项式的值。
- i' p k+ a2 [2 S6 [, z6 [[y,DELTA]=polyval(p,x,s) 使用polyfit函数的选项输出s得出误差估计Y DELTA。它假设polyfit函数数据输入的误差是独立正态的,并且方差为常数。则Y DELTA将至少包含50%的预测值。) `8 W% t' F8 g
例5:求如下给定数据的拟合曲线,
0 m1 M" y; F$ z% P% kx=[0.5,1.0,1.5,2.0,2.5,3.0],
- o& _( o. h5 P7 [; oy=[1.75,2.45,3.81,4.80,7.00,8.60]。' g2 ~0 z* ^5 f6 U5 E% z, K- i
解:MATLAB程序如下:
4 E% N( a2 G0 z- G" Ix=[0.5,1.0,1.5,2.0,2.5,3.0];
& r: X/ w' ^( n/ dy=[1.75,2.45,3.81,4.80,7.00,8.60];' J ~: j5 \* z$ E& V! W+ C
p=polyfit(x,y,2)1 v7 z/ D$ W& ?* G
x1=0.5:0.05:3.0;( @5 c2 O/ U f( O
y1=polyval(p,x1);
& q& l* b8 b: Y" L* vplot(x,y,'*r',x1,y1,'-b')' w+ P3 I& H" [+ T7 ?
计算结果为:9 o% }* Z( t" Z- @
p =0.5614 0.8287 1.1560
: S, E3 D; A' I+ Y: W此结果表示拟合函数为:
: F$ J+ j* x0 Q% }( w2 p4 x4 Z* H5 v( [
0 D" ^5 i+ U' f0 T! I& U+ V. k
4 e1 a% R# b+ |# t; a1 n, _3 b2 c2 G
例2:由离散数据
3 ^. Z( ^" d4 @# Ix 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
& U7 L' R9 P: g. Xy 0.3 0.5 1 1.4 1.6 1.9 0.6 0.4 0.8 1.5 2
; N7 g% o5 H8 e4 x# K- ^& N' i# l' \) d% C0 `8 P
拟合出多项式。7 U5 [( S1 ]' q4 s$ b
程序:
, z+ c$ n/ ?7 U# ?* @' ]& @1 kx=0:.1:1; x' X) u+ J% ?' g; i
y=[.3 .5 1 1.4 1.6 1.9 .6 .4 .8 1.5 2]
9 s; g. s/ }, U3 An=3; " r+ s: D! T" z3 }" w: n/ |
p=polyfit(x,y,n)
2 M9 w4 G. `: o9 E/ Txi=linspace(0,1,100);
, s x& D, {! Hz=polyval(p,xi); %多项式求值# n6 s, y* W6 r( ~5 z7 N
plot(x,y,’o’,xi,z,’k:’,x,y,’b’) 9 D* y1 F7 f, V" r# p6 }
legend(‘原始数据’,’3阶曲线’)
, B. g" k9 d# m结果:" D! \) G' y1 N7 \
p =; C* i3 s+ b, }' o8 a
16.7832 -25.7459 10.9802 -0.0035" a. y X7 a. [, L# E% b6 J
多项式为:16.7832x3-25.7459x2+10.9802x-0.00352 Z( R2 c/ S/ g; h2 {9 v& X
5 b3 ?1 t1 d9 V7 k
+ J! X- l/ J0 I2 |0 c, _9 @例3:x=1:20,y=x+3*sin(x), j. H6 m$ d; m8 z# c" k
程序:
& V i4 {& V% r* F, l9 dx=1:20; 3 w& E% {/ e8 y
y=x+3*sin(x); # M- E2 E% |) H) d# _. T' K+ j
p=polyfit(x,y,6)
+ A; N* g' m) H( d xxi=linspace(1,20,100); # O# P/ G& F4 g6 J: |1 S4 b; E
z=polyval(p,xi); 9 Q/ J4 \) W8 ^7 W, {
plot(x,y,'o',xi,z,'k:',x,y,'b')
' y3 c9 j7 ^5 U# y4 ?0 O* T+ d! D结果:: ?( @# W. p* J/ m9 x; D4 z
p =) N& S1 V! i4 B
0.0000 -0.0021 0.0505 -0.5971 3.6472 -9.7295 11.3304! R0 Y8 k7 ]- W- s1 J
$ \' G E' K2 y# X+ \, {
再用10阶多项式拟合' \ b8 G9 p5 n0 X% D) A
程序:x=1:20;
. {% w7 X! G$ y9 oy=x+3*sin(x);
7 b4 ^+ a9 o Z' H9 Z. Up=polyfit(x,y,10) ?' s& @* K' u
xi=linspace(1,20,100);
! P: o5 k% j+ M6 S% w) O6 cz=polyval(p,xi); 6 b! o3 r" z& O9 D2 Y
plot(x,y,'o',xi,z,'k:',x,y,'b')' @' V& d# n+ w
结果:p =# W3 U' j2 [7 |- c* ~) [
Columns 1 through 7 " e: y: r% I9 K# c
0.0000 -0.0000 0.0004 -0.0114 0.1814 -1.8065 11.2360
; K u- V' ~* q9 Q9 j; j% eColumns 8 through 11 % L$ p8 ~7 h2 R- h$ D0 X
-42.0861 88.5907 -92.8155 40.267+ i8 `! }# F4 k. l/ K
. c- f: K5 u, n6 S, V, r4 }! u) c6 A+ y* o7 h! l( ^4 R8 y
可用不同阶的多项式来拟合数据,但也不是阶数越高拟合的越好。. H' c! ^% b( e3 `
作业:3 d- J9 E1 Y, k6 L
1.已知x=[0.1,0.8,1.3,1.9,2.5,3.1],y=[1.2,1.6,2.7,2.0,1.3,0.5],利用其中的部分数据,分别用线性函数插值,3次函数插值,求x=2.0处的值。
( s+ k/ T1 X& I, l2.已知二元函数 在点集 上的值为 ,其中,左上角位置表示 ,右下角位置表示 ,求该数据集的插值曲面。
+ m y1 e! F# g- U0 l; p6 M3.已知x=[1.2,1.8,2.1,2.4,2.6,3.0,3.3],y=[4.85,5.2,5.6,6.2,6.5,7.0,7.5],求对x,y分别进行4,5,6阶多项式拟合的系数,并画出相应的图形。
0 ~5 G0 ]+ M/ x- o4.学习函数interp3(X,Y,Z,V,X1,Y1,Z1,method),对MATLAB提供的flow数据实现三维插值。' q* H3 C: d! }- E- {8 k, I6 o
|
|