Matlab求解线性方程组、非线性方程组

abcde1234

求解线性方程组
solve，linsolve
例：
2 c& o6 c3 F! |" N) m1 a) OA=[5 0 4 2;1 -1 2 1;4 1 2 0;1 1 1 1];
%矩阵的行之间用分号隔开，元素之间用逗号或空格
B=[3;1;1;0]
3 z% p2 s( S* G4 t; H3 MX=zeros(4,1);%建立一个4元列向量
X=linsolve(A,B)
8 F# ]8 P' A: S! Y* C% t* fdiff（fun，var，n）：对表达式fun中的变量var求n阶导数。
. ~* Q# [" E5 f
例如：F=sym（'u(x,y)*v(x,y)'）; %sym（）用来定义一个符号表达式
4 q6 R, |6 I0 J# Cdiff(F); %matlab区分大小写
8 G" U5 i4 j; V  Z9 apretty(ans) %pretty（）：用习惯书写方式显示变量；ans是答案表达式


$ H- {* z. o, R1 }& E" a1 q2 s  [非线性方程求解
5 ^$ q: t4 }/ L. ~1 i- y1 E  Afsolve(fun,x0,options)
$ y& d. r; A: S其中fun为待解方程或方程组的文件名；
: ]$ _- z) G+ s1 b9 _1 _x0位求解方程的初始向量或矩阵；
+ j" K9 Q$ g0 {0 ~/ ?option为设置命令参数
- J2 H7 o7 Y  V建立文件fun.m：
3 K! j5 x0 X! P8 qfunction y=fun(x)
y=[x(1)-0.5*sin(x(1))-0.3*cos(x(2)), ...
x(2) - 0.5*cos(x(1))+0.3*sin(x(2))];
7 J' o& f0 s7 n
1 o7 Y$ [, M; e9 Q" R9 G5 B>>clear;x0=[0.1,0.1];fsolve(@fun,x0,optimset('fsolve'))
注：
( X: e9 u: E( v% j& f' ?- j5 r...为续行符
m文件必须以function为文件头，调用符为@；文件名必须与定义的函数名相同；fsolve（）主要求解复杂非线性方程和方程组，求解过程是一个逼近过程。
: D* Q9 b5 P' |; i6 e; u6 A
, c' c8 h2 V( D% Z/ K
" E1 K  y" X& SMatlab求解线性方程组
8 M9 ]& u* i9 t; x+ I! ^; T7 ]AX=B或XA=B
6 {( h- `) }2 Y- v+ M# k在MATLAB中，求解线性方程组时，主要采用前面章节介绍的除法运算符“/”和“\”。如：
X=A\B表示求矩阵方程AX＝B的解；
X＝B/A表示矩阵方程XA=B的解。
5 z- P( P# c5 |9 z对方程组X＝A\B，要求A和B用相同的行数，X和B有相同的列数，它的行数等于矩阵A的列数，方程X＝B/A同理。

$ a* D% V2 V$ V# l6 F6 @如果矩阵A不是方阵，其维数是m×n，则有：
m＝n 恰定方程，求解精确解；
+ [5 c! e" y0 ~; A* D9 P* _6 ym>n 超定方程，寻求最小二乘解；
m<n 不定方程，寻求基本解，其中至多有m个非零元素。
* |: H1 `3 W; r3 i* V: e针对不同的情况，MATLAB将采用不同的算法来求解。
/ V) Z8 f" l* V6 {3 u7 _

8 _/ |3 M* L5 p1 ~) j一．恰定方程组
$ q1 J, F$ z5 _% V: g# ^- h恰定方程组由n个未知数的n个方程构成，方程有唯一的一组解，其一般形式可用矩阵，向量写成如下形式：
Ax=b 其中A是方阵，b是一个列向量；
2 @8 e9 `5 b& {. y8 m在线性代数教科书中，最常用的方程组解法有：
（1）利用cramer公式来求解法；
/ m' w. n# Q) Y1 J3 B7 @! t3 Y% i1 z! u（2）利用矩阵求逆解法，即x=A-1b；
（3）利用gaussian消去法；
# J( L. |6 b# R+ B% l3 X（4）利用lu法求解。
一般来说，对维数不高，条件数不大的矩阵，上面四种解法所得的结果差别不大。前三种解法的真正意义是在其理论上，而不是实际的数值计算。MATLAB中，出于对算法稳定性的考虑，行列式及逆的计算大都在lu分解的基础上进行。
在MATLAB中，求解这类方程组的命令十分简单，直接采用表达式：x=A\b。
& a0 q2 a% x" b) m( o7 H( A2 o: u在MATLAB的指令解释器在确认变量A非奇异后，就对它进行lu分解，并最终给出解x；若矩阵A的条件数很大，MATLAB会提醒用户注意所得解的可靠性。
如果矩阵A是奇异的，则Ax=b的解不存在，或者存在但不唯一；如果矩阵A接近奇异时，MATLAB将给出警告信息；如果发现A是奇异的，则计算结果为inf，并且给出警告信息；如果矩阵A是病态矩阵，也会给出警告信息。
注意：在求解方程时，尽量不要用inv(A)*b命令，而应采用A\b的解法。因为后者的计算速度比前者快、精度高，尤其当矩阵A的维数比较大时。另外，除法命令的适用行较强，对于非方阵A，也能给出最小二乘解。

6 m( Q* B$ e- K2 d+ b( i  u" ?二．超定方程组
对于方程组Ax=b，A为n×m矩阵，如果A列满秩，且n>m。则方程组没有精确解，此时称方程组为超定方程组。线性超定方程组经常遇到的问题是数据的曲线拟合。对于超定方程，在MATLAB中，利用左除命令（x=A\b）来寻求它的最小二乘解；还可以用广义逆来求，即x=pinv(A),所得的解不一定满足Ax=b，x只是最小二乘意义上的解。左除的方法是建立在奇异值分解基础之上，由此获得的解最可靠；广义逆法是建立在对原超定方程直接进行householder变换的基础上，其算法可靠性稍逊与奇异值求解，但速度较快；
0 m) e: j' u( k3 `4 m, U【例7】
求解超定方程组
A=[2 -1 3;3 1 -5;4 -1 1;1 3 -13]
9 D; m( X) D$ j2 EA=
2 -1 3
3 1 -5
4 -1 1
3 D: z( q+ f* ^' D6 ^4 _* _1 3 -13
2 y. ], K3 A& p9 bb＝[3 0 3 -6]’;
* S0 B* i& p- c, H2 t# l4 j+ g/ Orank(A)
ans=
3
2 T. S! E' w) j& K- j2 H, L1 u: Qx1=A\b
x1=
1.0000
2.0000
: k8 f- d. Y( k1 n1 ]. K3 f1.0000
4 w' ~$ k7 X9 O' }- j  Ux2=pinv(A)*b
x2=
3 E& [! f, ~# Q1.0000
2.0000
1.0000
A*x1-b
) o5 ~$ i; Q- V6 ?1 p. n6 l2 ~5 kans=
1.0e-014
9 A; m1 X+ P7 R-0.0888
3 x; \1 F- F# l- l) v-0.0888
-0.1332
0
+ k1 g% p7 X6 N) f可见x1并不是方程Ax=b的精确解，用x2=pinv(A)*b所得的解与x1相同。
* m1 ~& ~9 m% Z( M) G0 v: A
8 K# b' y8 ^1 t$ g- Q) n三．欠定方程组
& I+ e! w# |2 b& H# k0 v* n) R欠定方程组未知量个数多于方程个数，但理论上有无穷个解。MATLAB将寻求一个基本解，其中最多只能有m个非零元素。特解由列主元qr分解求得。
. I2 Z* L$ s$ Q2 Q. G【例8】
解欠定方程组
. f+ S$ ?" a7 {A＝[1 -2 1 1;1 -2 1 -1;1 -2 1 5]
A=
1 -2 1 1
1 -2 1 -1
1 -2 1 -1
1 -2 1 5
) U: \  u9 J3 h4 }b=[1 -1 5]’
x1=A\b
& D% \$ P4 J" d  z% bWarning:Rank deficient,rank=2 tol=4.6151e-015
x1=
0
3 e& H; s: P  z& V% ~% C* P9 x" Z-0.0000
0
1.0000
x2=pinv(A)*b
x2=
6 N3 ]6 X4 e. _  c0 s0
+ N( k9 k! R0 w( Q-0.0000
" V6 A8 O7 G0 }. e9 \0.0000
1.0000
4 c; }: @+ w3 s  c. T
9 \$ r  ~" J+ {" L四．方程组的非负最小二乘解
在某些条件下，所求的线性方程组的解出现负数是没有意义的。虽然方程组可以得到精确解，但却不能取负值解。在这种情况下，其非负最小二乘解比方程的精确解更有意义。在MATLAB中，求非负最小二乘解常用函数nnls，其调用格式为：
（1）X=nnls(A,b)返回方程Ax=b的最小二乘解，方程的求解过程被限制在x 的条件下；
% h# ?0 @( A" |1 i（2）X=nnls(A,b,TOL)指定误差TOL来求解，TOL的默认值为TOL=max(size(A))*norm(A,1)*eps，矩阵的－1范数越大，求解的误差越大；
) o- d7 J6 G! s* l9 a& Y: P# Q（3）[X,W]=nnls(A,b) 当x(i)=0时，w(i)<0；当下x(i)>0时，w(i)0,同时返回一个双向量w。
【例9】求方程组的非负最小二乘解
A=[3.4336 -0.5238 0.6710
$ r4 Y& ?1 X. s3 O( P4 n0 p-0.5238 3.2833 -0.7302
0.6710 -0.7302 4.0261];
6 ^3 T4 {& C; u* k  v5 f! hb=[-1.000 1.5000 2.5000];
[X,W]=nnls(A,b)
X=
0
0.6563
" Q  D; p1 }. }' J" }, k- L0.6998
W=
-3.6820
0 K9 y+ |+ G5 `& r9 x0 `  i-0.0000
-0.0000
x1=A\b
+ Q0 K0 }  t4 c. x; d8 k7 B& }9 _x1=
* _! |9 \7 ~, {0 |* F-0.3569
0.5744
+ `  S, _* {7 M% o: G8 J' h0.7846
A*X-b
; f  E0 Y0 v8 k/ v1 z" l4 g2 Zans=
1.1258
0.1437
-0.1616
A*x1-b
* E2 X% ^# B4 S4 uans=
3 h5 u! ~; ^% J' l, V# u1.0e-0.15
-0.2220
0.4441
0

cat12620

学习学习