Matlab求解线性方程组、非线性方程组

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求解线性方程组
0 z6 ^4 E, H# H5 _+ w7 rsolve，linsolve
例：
A=[5 0 4 2;1 -1 2 1;4 1 2 0;1 1 1 1];
%矩阵的行之间用分号隔开，元素之间用逗号或空格
B=[3;1;1;0]
5 r. N$ Q2 ]  S3 ?+ ?( AX=zeros(4,1);%建立一个4元列向量
4 @! J  i  C5 ?' p  x% j  ~! {6 ?X=linsolve(A,B)
% f( G0 z+ e9 c8 N2 o  Y) ^& L0 W6 ndiff（fun，var，n）：对表达式fun中的变量var求n阶导数。
% Q& a  [1 I" O$ [( I
例如：F=sym（'u(x,y)*v(x,y)'）; %sym（）用来定义一个符号表达式
" ^, k0 u/ u, T% ^, r% D0 C0 l0 kdiff(F); %matlab区分大小写
" c, H1 f1 d; ?$ G4 R0 zpretty(ans) %pretty（）：用习惯书写方式显示变量；ans是答案表达式

6 z' w% G, u4 c" Z$ }& N* Y
& S+ q: R4 v! J* [+ D非线性方程求解
fsolve(fun,x0,options)
. }- f: J- {7 q% D( M- c其中fun为待解方程或方程组的文件名；
6 |) z4 a* v, {4 }: q" kx0位求解方程的初始向量或矩阵；
; {2 u2 I6 c' l3 d( s$ \6 ^9 @, T3 uoption为设置命令参数
建立文件fun.m：
. S- ]8 e: u4 j! `2 lfunction y=fun(x)
, O- F' D7 Q" H$ F9 w! b/ g) \* Qy=[x(1)-0.5*sin(x(1))-0.3*cos(x(2)), ...
2 ~5 }6 p" n! Q! ^5 }0 K( z  sx(2) - 0.5*cos(x(1))+0.3*sin(x(2))];

: ^- D" s9 ^7 }) M# Y! G# k' M& `>>clear;x0=[0.1,0.1];fsolve(@fun,x0,optimset('fsolve'))
% [2 I5 E( n- _" Z* Z; J; Y注：
& i# B" I& U$ u: I# ^...为续行符
* Q6 l  u7 _. T; s/ Am文件必须以function为文件头，调用符为@；文件名必须与定义的函数名相同；fsolve（）主要求解复杂非线性方程和方程组，求解过程是一个逼近过程。
( \' I( `; [6 j# E' e! {$ O9 e. @
. {/ S& v: K8 f: R! N( Z9 ?
4 X( g: R4 F9 R# r. g' m1 z" CMatlab求解线性方程组
6 q: e5 w: G# R  @1 m" ]AX=B或XA=B
- c" z: y: b  A9 B6 N; s在MATLAB中，求解线性方程组时，主要采用前面章节介绍的除法运算符“/”和“\”。如：
X=A\B表示求矩阵方程AX＝B的解；
5 s: \$ k$ L  g  CX＝B/A表示矩阵方程XA=B的解。
对方程组X＝A\B，要求A和B用相同的行数，X和B有相同的列数，它的行数等于矩阵A的列数，方程X＝B/A同理。

) h$ J/ M, l; `4 X如果矩阵A不是方阵，其维数是m×n，则有：
6 B; D$ `+ l2 t3 ^! k. Q8 I* ?; X0 Um＝n 恰定方程，求解精确解；
m>n 超定方程，寻求最小二乘解；
m<n 不定方程，寻求基本解，其中至多有m个非零元素。
针对不同的情况，MATLAB将采用不同的算法来求解。


, `( J( v+ w, j$ c& o) s1 Y一．恰定方程组
恰定方程组由n个未知数的n个方程构成，方程有唯一的一组解，其一般形式可用矩阵，向量写成如下形式：
- d! x5 \+ O6 S( W9 }- rAx=b 其中A是方阵，b是一个列向量；
在线性代数教科书中，最常用的方程组解法有：
* C2 X% ]9 u& |2 A+ i+ L+ I: e（1）利用cramer公式来求解法；
* D( e0 [* H# E) z- w4 q（2）利用矩阵求逆解法，即x=A-1b；
2 l" u+ N4 J4 M" Z- O/ m2 f$ U. H（3）利用gaussian消去法；
（4）利用lu法求解。
5 G; ?$ d- e+ ~6 {: B% `一般来说，对维数不高，条件数不大的矩阵，上面四种解法所得的结果差别不大。前三种解法的真正意义是在其理论上，而不是实际的数值计算。MATLAB中，出于对算法稳定性的考虑，行列式及逆的计算大都在lu分解的基础上进行。
4 k3 {  h4 j) X; v在MATLAB中，求解这类方程组的命令十分简单，直接采用表达式：x=A\b。
在MATLAB的指令解释器在确认变量A非奇异后，就对它进行lu分解，并最终给出解x；若矩阵A的条件数很大，MATLAB会提醒用户注意所得解的可靠性。
" J7 k* D6 i8 R如果矩阵A是奇异的，则Ax=b的解不存在，或者存在但不唯一；如果矩阵A接近奇异时，MATLAB将给出警告信息；如果发现A是奇异的，则计算结果为inf，并且给出警告信息；如果矩阵A是病态矩阵，也会给出警告信息。
9 z* b. j4 r4 u注意：在求解方程时，尽量不要用inv(A)*b命令，而应采用A\b的解法。因为后者的计算速度比前者快、精度高，尤其当矩阵A的维数比较大时。另外，除法命令的适用行较强，对于非方阵A，也能给出最小二乘解。

' o5 u( r6 H- z) s& `, ]二．超定方程组
+ p8 K; q' ^4 r# I. w- ]# O) ~1 s对于方程组Ax=b，A为n×m矩阵，如果A列满秩，且n>m。则方程组没有精确解，此时称方程组为超定方程组。线性超定方程组经常遇到的问题是数据的曲线拟合。对于超定方程，在MATLAB中，利用左除命令（x=A\b）来寻求它的最小二乘解；还可以用广义逆来求，即x=pinv(A),所得的解不一定满足Ax=b，x只是最小二乘意义上的解。左除的方法是建立在奇异值分解基础之上，由此获得的解最可靠；广义逆法是建立在对原超定方程直接进行householder变换的基础上，其算法可靠性稍逊与奇异值求解，但速度较快；
【例7】
求解超定方程组
% ?7 q; ?2 Z: L3 F1 K4 TA=[2 -1 3;3 1 -5;4 -1 1;1 3 -13]
A=
2 -1 3
3 1 -5
- k5 z6 d& ~3 l1 n: R: j3 u- {4 -1 1
! s! R& f& l% ~1 3 -13
b＝[3 0 3 -6]’;
) F" r9 F  u& R1 z( @/ A, S( Qrank(A)
ans=
5 W# V0 B3 y8 e* y! V3
1 [" i2 ?- J, K+ d" V8 }  ux1=A\b
8 o% @# l* S6 }/ Qx1=
& c. H0 B2 s4 P* Q- y! B1.0000
2.0000
1 A1 l+ ^6 ]8 H' ?/ H2 @( x1.0000
/ A0 K  Y1 b7 jx2=pinv(A)*b
x2=
! U' _, e/ d5 D$ h# i4 A8 G" Y1.0000
2.0000
7 H' b) L7 t# Y1 Y: }/ I1.0000
3 T4 H! C, b3 p4 V# c5 OA*x1-b
; g! C% U8 }- _" F- L8 lans=
1.0e-014
-0.0888
* H! J8 u  C: ?" _% ^% C4 f9 a-0.0888
: M) Z9 W9 N- s; f0 E4 C9 F-0.1332
1 c' a8 Y7 q( v0 `0
可见x1并不是方程Ax=b的精确解，用x2=pinv(A)*b所得的解与x1相同。

三．欠定方程组
6 e1 Z4 G' N' K+ {' w欠定方程组未知量个数多于方程个数，但理论上有无穷个解。MATLAB将寻求一个基本解，其中最多只能有m个非零元素。特解由列主元qr分解求得。
【例8】
解欠定方程组
2 m" ^' \/ |, n9 ]' H4 p! c5 VA＝[1 -2 1 1;1 -2 1 -1;1 -2 1 5]
% w7 t% Y9 C5 R  X2 K8 @2 M  BA=
* j6 {- H, ?8 B* d3 c% M# V. o1 -2 1 1
1 -2 1 -1
% b! l2 N& @6 A1 -2 1 -1
1 -2 1 5
b=[1 -1 5]’
x1=A\b
Warning:Rank deficient,rank=2 tol=4.6151e-015
0 I6 J! x/ S2 |/ E( P6 s( mx1=
0
-0.0000
& y3 R7 E% i2 |3 [0
1.0000
. X. l! i9 ?; xx2=pinv(A)*b
% N& d9 ~: j1 K& ox2=
0
* M8 i8 ?' O) h2 @  J2 l-0.0000
7 @& O; C2 x. o, ^* D. D8 k0.0000
1.0000
8 o# F4 B0 p# K* {
四．方程组的非负最小二乘解
2 s( k$ J7 b& u+ J1 V9 `) Q5 ~在某些条件下，所求的线性方程组的解出现负数是没有意义的。虽然方程组可以得到精确解，但却不能取负值解。在这种情况下，其非负最小二乘解比方程的精确解更有意义。在MATLAB中，求非负最小二乘解常用函数nnls，其调用格式为：
（1）X=nnls(A,b)返回方程Ax=b的最小二乘解，方程的求解过程被限制在x 的条件下；
（2）X=nnls(A,b,TOL)指定误差TOL来求解，TOL的默认值为TOL=max(size(A))*norm(A,1)*eps，矩阵的－1范数越大，求解的误差越大；
（3）[X,W]=nnls(A,b) 当x(i)=0时，w(i)<0；当下x(i)>0时，w(i)0,同时返回一个双向量w。
【例9】求方程组的非负最小二乘解
( s8 z- X% W) A# o& p. gA=[3.4336 -0.5238 0.6710
-0.5238 3.2833 -0.7302
0.6710 -0.7302 4.0261];
, a3 W1 @8 ~+ I& d+ Pb=[-1.000 1.5000 2.5000];
[X,W]=nnls(A,b)
X=
& _$ V! E. t8 G: A0 R. d; @" n0
0.6563
( U. S# q1 _5 J9 k0.6998
( V( s& b0 B! B( ZW=
-3.6820
; A! Z4 q! h! {6 {* J! `-0.0000
-0.0000
x1=A\b
6 b- N$ u7 }* R) Ix1=
5 o& Q; Y+ ?5 A8 A, t-0.3569
0.5744
7 O: `; f7 E' X8 I/ O0 ~: G0.7846
' Z  F+ F% ?( l. ]6 e8 S  x" wA*X-b
ans=
1.1258
3 x5 \  e7 K# c/ ?3 Y0.1437
-0.1616
! S( A2 L/ a! g$ A. ~: B. FA*x1-b
! j# v' H: e5 y: S$ p: bans=
1.0e-0.15
-0.2220
& \% ]! w* y. \: t1 a! u8 _6 C% O0.4441
0

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