Matlab求解线性方程组、非线性方程组

abcde1234

求解线性方程组
, E$ v  Q, R4 asolve，linsolve
3 I/ Q. E1 m0 u6 @$ N例：
A=[5 0 4 2;1 -1 2 1;4 1 2 0;1 1 1 1];
%矩阵的行之间用分号隔开，元素之间用逗号或空格
B=[3;1;1;0]
X=zeros(4,1);%建立一个4元列向量
+ V5 M  j9 ?5 |( L! H/ f5 YX=linsolve(A,B)
diff（fun，var，n）：对表达式fun中的变量var求n阶导数。

例如：F=sym（'u(x,y)*v(x,y)'）; %sym（）用来定义一个符号表达式
diff(F); %matlab区分大小写
5 x. u* O0 ^  r# r& g9 Xpretty(ans) %pretty（）：用习惯书写方式显示变量；ans是答案表达式

: {+ z: F/ D3 o- c9 B
非线性方程求解
fsolve(fun,x0,options)
& S% c) `+ J( A, `其中fun为待解方程或方程组的文件名；
6 b4 n" [' t& T$ k: s: |( _x0位求解方程的初始向量或矩阵；
option为设置命令参数
建立文件fun.m：
function y=fun(x)
y=[x(1)-0.5*sin(x(1))-0.3*cos(x(2)), ...
x(2) - 0.5*cos(x(1))+0.3*sin(x(2))];

/ f9 H1 W* C' W4 A/ H8 A" V>>clear;x0=[0.1,0.1];fsolve(@fun,x0,optimset('fsolve'))
注：
...为续行符
m文件必须以function为文件头，调用符为@；文件名必须与定义的函数名相同；fsolve（）主要求解复杂非线性方程和方程组，求解过程是一个逼近过程。
  G4 q* Z) U8 S0 C: V
$ `' h# a; o% q8 b3 N! F% F2 W& A
0 S# d9 `. a# }, lMatlab求解线性方程组
+ @2 l, n3 \; C4 y1 S# o: F: YAX=B或XA=B
在MATLAB中，求解线性方程组时，主要采用前面章节介绍的除法运算符“/”和“\”。如：
: R; A% `3 e- U9 b3 ]' LX=A\B表示求矩阵方程AX＝B的解；
% m+ H1 J6 p- @! \; s2 f) nX＝B/A表示矩阵方程XA=B的解。
对方程组X＝A\B，要求A和B用相同的行数，X和B有相同的列数，它的行数等于矩阵A的列数，方程X＝B/A同理。
: M% I/ Y6 J* V6 V
如果矩阵A不是方阵，其维数是m×n，则有：
m＝n 恰定方程，求解精确解；
4 j7 P' P" K8 p* a& `. H' rm>n 超定方程，寻求最小二乘解；
m<n 不定方程，寻求基本解，其中至多有m个非零元素。
针对不同的情况，MATLAB将采用不同的算法来求解。
( S# v3 P3 ]# f* z3 K% \3 O

5 l4 a+ ?7 d' o7 W( f2 }" h/ H+ J8 z! |一．恰定方程组
恰定方程组由n个未知数的n个方程构成，方程有唯一的一组解，其一般形式可用矩阵，向量写成如下形式：
Ax=b 其中A是方阵，b是一个列向量；
+ |$ v5 B+ ~  B' x5 O在线性代数教科书中，最常用的方程组解法有：
（1）利用cramer公式来求解法；
4 d  X7 _0 }1 W/ e; P, j（2）利用矩阵求逆解法，即x=A-1b；
（3）利用gaussian消去法；
（4）利用lu法求解。
一般来说，对维数不高，条件数不大的矩阵，上面四种解法所得的结果差别不大。前三种解法的真正意义是在其理论上，而不是实际的数值计算。MATLAB中，出于对算法稳定性的考虑，行列式及逆的计算大都在lu分解的基础上进行。
在MATLAB中，求解这类方程组的命令十分简单，直接采用表达式：x=A\b。
在MATLAB的指令解释器在确认变量A非奇异后，就对它进行lu分解，并最终给出解x；若矩阵A的条件数很大，MATLAB会提醒用户注意所得解的可靠性。
: K: d6 B6 y! ~% B如果矩阵A是奇异的，则Ax=b的解不存在，或者存在但不唯一；如果矩阵A接近奇异时，MATLAB将给出警告信息；如果发现A是奇异的，则计算结果为inf，并且给出警告信息；如果矩阵A是病态矩阵，也会给出警告信息。
注意：在求解方程时，尽量不要用inv(A)*b命令，而应采用A\b的解法。因为后者的计算速度比前者快、精度高，尤其当矩阵A的维数比较大时。另外，除法命令的适用行较强，对于非方阵A，也能给出最小二乘解。

二．超定方程组
对于方程组Ax=b，A为n×m矩阵，如果A列满秩，且n>m。则方程组没有精确解，此时称方程组为超定方程组。线性超定方程组经常遇到的问题是数据的曲线拟合。对于超定方程，在MATLAB中，利用左除命令（x=A\b）来寻求它的最小二乘解；还可以用广义逆来求，即x=pinv(A),所得的解不一定满足Ax=b，x只是最小二乘意义上的解。左除的方法是建立在奇异值分解基础之上，由此获得的解最可靠；广义逆法是建立在对原超定方程直接进行householder变换的基础上，其算法可靠性稍逊与奇异值求解，但速度较快；
【例7】
求解超定方程组
! W8 V* s9 ~3 Q, K- j' WA=[2 -1 3;3 1 -5;4 -1 1;1 3 -13]
A=
3 F6 g4 c$ W1 K" k5 [' X5 I2 -1 3
) @% ~* l6 |# i: K( K" j3 1 -5
4 -1 1
; w) C9 a3 G' W1 k6 j8 Y2 S; ?1 3 -13
b＝[3 0 3 -6]’;
rank(A)
$ u& p. O0 V1 H1 |- D" wans=
3
- c9 ], D( ^0 ^4 w: rx1=A\b
x1=
1.0000
2.0000
1.0000
x2=pinv(A)*b
x2=
: I' P: q8 F! b1.0000
. F7 W: ]# @( w9 F2 i/ k( u) e2.0000
1 y+ Z2 j: {5 d# z* m# @1.0000
A*x1-b
( N# [' ?4 e0 z; z0 Aans=
+ \) S7 x4 W  H3 [& H; f. K7 p% j1.0e-014
-0.0888
. r* I5 y1 ^( F-0.0888
( R9 W/ X/ D( K-0.1332
9 v7 }& U! ~) ?2 {/ D0
% J9 g7 K1 }# P可见x1并不是方程Ax=b的精确解，用x2=pinv(A)*b所得的解与x1相同。
' x( l5 \' }" F5 J4 ]/ Q! S
三．欠定方程组
欠定方程组未知量个数多于方程个数，但理论上有无穷个解。MATLAB将寻求一个基本解，其中最多只能有m个非零元素。特解由列主元qr分解求得。
【例8】
: A. F7 m( p" Y" K9 n7 ?6 G, M4 i解欠定方程组
A＝[1 -2 1 1;1 -2 1 -1;1 -2 1 5]
% c. U* a* Z' b2 }; R3 wA=
1 -2 1 1
+ B( X) N; \5 y# b; H$ Q& o& ]1 -2 1 -1
1 -2 1 -1
8 R" L5 n0 I; k0 x6 E! V1 B0 {1 -2 1 5
b=[1 -1 5]’
x1=A\b
Warning:Rank deficient,rank=2 tol=4.6151e-015
x1=
0
-0.0000
0
5 R; m2 A. N4 v+ [; d/ ]1.0000
( d- J" B# I8 z3 {6 Ux2=pinv(A)*b
. T: I1 H, w3 I/ t9 _- ]x2=
+ }( D: L) j) \4 O, F% Z0
6 C+ _: ]$ ]: x! G' ?% i-0.0000
0.0000
1.0000

四．方程组的非负最小二乘解
在某些条件下，所求的线性方程组的解出现负数是没有意义的。虽然方程组可以得到精确解，但却不能取负值解。在这种情况下，其非负最小二乘解比方程的精确解更有意义。在MATLAB中，求非负最小二乘解常用函数nnls，其调用格式为：
（1）X=nnls(A,b)返回方程Ax=b的最小二乘解，方程的求解过程被限制在x 的条件下；
$ M# `* `% y: h# K+ n3 X" t# p（2）X=nnls(A,b,TOL)指定误差TOL来求解，TOL的默认值为TOL=max(size(A))*norm(A,1)*eps，矩阵的－1范数越大，求解的误差越大；
' I" q( X! }) _  q4 \' @! V5 Z（3）[X,W]=nnls(A,b) 当x(i)=0时，w(i)<0；当下x(i)>0时，w(i)0,同时返回一个双向量w。
4 Q' _1 d1 w, G/ J【例9】求方程组的非负最小二乘解
, |! N' j: E& ]7 o5 oA=[3.4336 -0.5238 0.6710
. H# ~( N1 T& K8 d& r-0.5238 3.2833 -0.7302
0.6710 -0.7302 4.0261];
b=[-1.000 1.5000 2.5000];
7 f+ R8 x& T" R) H0 ?& `# t9 ^8 P* q[X,W]=nnls(A,b)
X=
2 [( H; i$ J, `. r; [. H5 ]; y0
0.6563
0.6998
W=
-3.6820
8 r9 b( w* t  k3 B-0.0000
% Y/ x3 ]/ l! i, ]! A-0.0000
x1=A\b
+ E/ P  T. a# Ex1=
-0.3569
" v& ^" Q) Q3 `' A, U0.5744
0.7846
A*X-b
& F7 a) W) m; s$ a/ }% X7 Q/ S& |" qans=
1.1258
7 E6 z: U, w" d: U0.1437
-0.1616
A*x1-b
0 H/ l- u$ b$ T* vans=
1.0e-0.15
. a" ~* F% v# O3 D' t: ?( C-0.2220
7 X4 I4 p, {, H( i- k0 o* H; V0.4441
0

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