Matlab求解线性方程组、非线性方程组

abcde1234

求解线性方程组
solve，linsolve
例：
A=[5 0 4 2;1 -1 2 1;4 1 2 0;1 1 1 1];
1 O5 g$ o, Q; j5 W" u%矩阵的行之间用分号隔开，元素之间用逗号或空格
# t2 F2 W$ F9 a8 m! ?+ Y+ d2 OB=[3;1;1;0]
1 L1 v6 ]8 e1 M# c  GX=zeros(4,1);%建立一个4元列向量
X=linsolve(A,B)
- D# A! ]8 _- hdiff（fun，var，n）：对表达式fun中的变量var求n阶导数。

- x# i" l- e4 ?) `5 V& }4 s' g例如：F=sym（'u(x,y)*v(x,y)'）; %sym（）用来定义一个符号表达式
& p/ Q' `; L. n, b' Vdiff(F); %matlab区分大小写
  N: U& M( \* m1 j2 w! c0 Upretty(ans) %pretty（）：用习惯书写方式显示变量；ans是答案表达式
# |0 J5 M$ t6 _- m: B! t" B

6 s# r7 ^0 p/ h" i7 k* W- E非线性方程求解
( [" D' X5 M5 f/ M, @fsolve(fun,x0,options)
其中fun为待解方程或方程组的文件名；
x0位求解方程的初始向量或矩阵；
" X' j# `. y# l7 z$ \option为设置命令参数
( I7 g$ u; N! f6 V5 u建立文件fun.m：
function y=fun(x)
y=[x(1)-0.5*sin(x(1))-0.3*cos(x(2)), ...
x(2) - 0.5*cos(x(1))+0.3*sin(x(2))];
4 W! p! x' p$ c
% |7 u/ X" W/ \% C4 b! D1 o>>clear;x0=[0.1,0.1];fsolve(@fun,x0,optimset('fsolve'))
% d* k# \; `+ n* V注：
...为续行符
! m9 a7 O- ]: ?m文件必须以function为文件头，调用符为@；文件名必须与定义的函数名相同；fsolve（）主要求解复杂非线性方程和方程组，求解过程是一个逼近过程。
! f: n0 ~, V1 t
9 x, O% M' {8 l
% i5 O1 A, e. T8 E8 ~Matlab求解线性方程组
AX=B或XA=B
9 H& E  V  g3 M3 P" h在MATLAB中，求解线性方程组时，主要采用前面章节介绍的除法运算符“/”和“\”。如：
! K+ }4 i6 |# T7 _X=A\B表示求矩阵方程AX＝B的解；
( ~* {% U  ?$ ~8 N% ZX＝B/A表示矩阵方程XA=B的解。
; I2 g6 V3 H- J: m9 Z, d! l对方程组X＝A\B，要求A和B用相同的行数，X和B有相同的列数，它的行数等于矩阵A的列数，方程X＝B/A同理。
9 _8 [' }0 \1 b9 F! R; @- ^* F
如果矩阵A不是方阵，其维数是m×n，则有：
# F+ j- {7 `4 J* am＝n 恰定方程，求解精确解；
/ z% ^7 K" f* xm>n 超定方程，寻求最小二乘解；
m<n 不定方程，寻求基本解，其中至多有m个非零元素。
针对不同的情况，MATLAB将采用不同的算法来求解。
$ f9 O( A- ]9 [8 |! y0 }1 K  d1 r- ~
% a  C0 B" w! Q
一．恰定方程组
恰定方程组由n个未知数的n个方程构成，方程有唯一的一组解，其一般形式可用矩阵，向量写成如下形式：
Ax=b 其中A是方阵，b是一个列向量；
在线性代数教科书中，最常用的方程组解法有：
  P# b$ S3 `9 ]  h（1）利用cramer公式来求解法；
. B. b- ?7 G; A+ a* y* q（2）利用矩阵求逆解法，即x=A-1b；
$ R$ t6 Z8 w  N: I9 q（3）利用gaussian消去法；
+ v' \4 U# k" n7 }' M5 T( P（4）利用lu法求解。
一般来说，对维数不高，条件数不大的矩阵，上面四种解法所得的结果差别不大。前三种解法的真正意义是在其理论上，而不是实际的数值计算。MATLAB中，出于对算法稳定性的考虑，行列式及逆的计算大都在lu分解的基础上进行。
在MATLAB中，求解这类方程组的命令十分简单，直接采用表达式：x=A\b。
) _3 q% e: x+ w3 b7 Q0 l在MATLAB的指令解释器在确认变量A非奇异后，就对它进行lu分解，并最终给出解x；若矩阵A的条件数很大，MATLAB会提醒用户注意所得解的可靠性。
+ D: r: Y+ z+ ^4 \6 l' K如果矩阵A是奇异的，则Ax=b的解不存在，或者存在但不唯一；如果矩阵A接近奇异时，MATLAB将给出警告信息；如果发现A是奇异的，则计算结果为inf，并且给出警告信息；如果矩阵A是病态矩阵，也会给出警告信息。
# Y% n  [" E0 b; {注意：在求解方程时，尽量不要用inv(A)*b命令，而应采用A\b的解法。因为后者的计算速度比前者快、精度高，尤其当矩阵A的维数比较大时。另外，除法命令的适用行较强，对于非方阵A，也能给出最小二乘解。

! g5 U& b2 ?5 H+ F二．超定方程组
- f7 i- ?" S; o8 i对于方程组Ax=b，A为n×m矩阵，如果A列满秩，且n>m。则方程组没有精确解，此时称方程组为超定方程组。线性超定方程组经常遇到的问题是数据的曲线拟合。对于超定方程，在MATLAB中，利用左除命令（x=A\b）来寻求它的最小二乘解；还可以用广义逆来求，即x=pinv(A),所得的解不一定满足Ax=b，x只是最小二乘意义上的解。左除的方法是建立在奇异值分解基础之上，由此获得的解最可靠；广义逆法是建立在对原超定方程直接进行householder变换的基础上，其算法可靠性稍逊与奇异值求解，但速度较快；
【例7】
求解超定方程组
A=[2 -1 3;3 1 -5;4 -1 1;1 3 -13]
A=
2 -1 3
+ ~* T( P( C% M% g. C3 1 -5
4 -1 1
1 3 -13
b＝[3 0 3 -6]’;
rank(A)
ans=
2 G$ H& E1 ?- Y! L0 z" d3
7 f3 ~' S* _7 P2 {1 I0 m; F- ?x1=A\b
x1=
1.0000
2.0000
1.0000
x2=pinv(A)*b
# u0 T" Q1 H3 ?$ ^% xx2=
4 Z- o+ E% l9 |* @, R1.0000
2.0000
1.0000
8 J6 R) J, W% {; mA*x1-b
ans=
1.0e-014
-0.0888
9 y. [' \2 Z- F. g! @. y2 @-0.0888
' j/ X8 L8 E3 b; W-0.1332
7 y# t& I* G6 e0 ~4 B7 h, z( y0
/ g% F2 x( Y6 w2 Z8 ~5 |9 l可见x1并不是方程Ax=b的精确解，用x2=pinv(A)*b所得的解与x1相同。

三．欠定方程组
欠定方程组未知量个数多于方程个数，但理论上有无穷个解。MATLAB将寻求一个基本解，其中最多只能有m个非零元素。特解由列主元qr分解求得。
【例8】
解欠定方程组
A＝[1 -2 1 1;1 -2 1 -1;1 -2 1 5]
5 x) H: {) L4 G5 d0 aA=
# y( `9 U. F6 K% p: }1 k, C4 k1 -2 1 1
( x+ ]+ f& G. Z1 -2 1 -1
1 -2 1 -1
1 -2 1 5
8 J6 _: c$ \. Sb=[1 -1 5]’
4 i% K2 z+ p  L. s- Hx1=A\b
Warning:Rank deficient,rank=2 tol=4.6151e-015
x1=
0
& z0 _2 e% e* p7 N5 [-0.0000
! c; l* @* j+ U4 j0
1.0000
x2=pinv(A)*b
x2=
2 R* R  q8 R9 T5 }( r# E0 _0
% D  [$ o( W4 t-0.0000
9 v" R! b# M5 I) i2 t* I- j0.0000
- @2 b. G5 j4 ]: T( q' Z1.0000

四．方程组的非负最小二乘解
在某些条件下，所求的线性方程组的解出现负数是没有意义的。虽然方程组可以得到精确解，但却不能取负值解。在这种情况下，其非负最小二乘解比方程的精确解更有意义。在MATLAB中，求非负最小二乘解常用函数nnls，其调用格式为：
（1）X=nnls(A,b)返回方程Ax=b的最小二乘解，方程的求解过程被限制在x 的条件下；
& J1 h9 s  Y% c2 _9 a$ c（2）X=nnls(A,b,TOL)指定误差TOL来求解，TOL的默认值为TOL=max(size(A))*norm(A,1)*eps，矩阵的－1范数越大，求解的误差越大；
（3）[X,W]=nnls(A,b) 当x(i)=0时，w(i)<0；当下x(i)>0时，w(i)0,同时返回一个双向量w。
: a: I2 _9 n: F& M* Y. s5 z【例9】求方程组的非负最小二乘解
A=[3.4336 -0.5238 0.6710
& P: [) q* c" a, Y-0.5238 3.2833 -0.7302
1 v, p6 b9 ^' q0.6710 -0.7302 4.0261];
b=[-1.000 1.5000 2.5000];
[X,W]=nnls(A,b)
X=
0
: B; G; W* W/ K& L  |! {0 l/ R  _: I0.6563
0.6998
W=
-3.6820
-0.0000
-0.0000
x1=A\b
x1=
-0.3569
: @# {8 f2 S, I+ x0.5744
8 \( o6 T4 D1 _7 Q0 m2 v( q0.7846
2 l. m4 q# A6 bA*X-b
; r6 S; {1 ~' N3 F+ f( h& X3 Eans=
: s" ]4 |% A; P9 q- F% T% r" P1.1258
0.1437
7 g% u) }3 S$ `! X  l1 |-0.1616
A*x1-b
8 j4 y( i9 _! c( Y) s& j# ?ans=
2 Y( p; _) P' j- h; Z  j  e1.0e-0.15
-0.2220
7 K  J1 e* G5 K) B0.4441
0

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