学习一下用Simulink Design Optimization进行微分方程参数的拟合

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总的来说微分方程参数拟合有三种方法：
（1）将原问题转换为一个优化问题，就是使拟合得到的结果和实验测量值之差的平方和最小，此时您可以调用MATLAB优化工具箱的所有函数，最这个目标进行优化，比如fmincon，ga，lsqnonlin等。
（2）将原问题看成一个超静定方程组，也就是说一组已知数据构成一个方程，如果有n测量数据就构成n组方程，此时fsolve函数可以搞定这个工作。
+ l- F- b/ P2 X5 }4 v（3）仍然当作一个拟合问题，而微分方程当作一个黑匣子，只是这个拟合的一直数据是测量的两组而已。这个时候lsqcurvefit、cftool和Simulink Design Optimization就可以大显身手了。不过调用lsqcurvefit和cftool函数来拟合，您必须对这两个函数熟悉呀，这个可是需要一定的MATLAB底子，不是一般的所谓大侠能够搞定的。
, b* ]6 C0 U2 ^' k% Q: h
为了把大家从编程的痛苦中解救出来，本文就讨论下利用Simulink Design Optimization进行微分法拟合问题（其实所有拟合问题都是可以的）的解决方案，从此拟合问题不在需要写代码！
, {  ^* n4 c; f% H3 g% Y! G9 x/ p
6 ?' {7 t" Y) p/ t, S* |现在假设我们需要拟合如下微分方程中的系数A和B

- M+ F2 |( p5 v/ w% z其实如果已知A和B的值，很容易求解这个微分方程

• A=50;
• B=10;
• x0=1;
• tspan=[0 100];
• odefun=@(t,x)A./x+B.*sin(t);
• [t,x]=ode45(odefun,tspan,x0);
• plot(t,x)
  ; L# j  B9 B# g" ]* w2 R, ?/ _- D+ I$ p

, ^# O7 k* c; q2 `& d8 ?4 x  A- W根据工程经验A和B取值范围是[0 100]，通过实验测量得到变量x随着时间t的变化曲线如下
' j) H$ ~& g% G" l

一、在Simulink中建立微分方程的模型
/ u: y$ S$ `, o- i$ N% ~: A" r至于Simulink的建模本文不想详细介绍，
# r* S! D) V5 A5 M) K
5 a% k* A- |) F$ L; H在工作空间中对变量A和B进行随便赋值
& L3 s( Z3 ^; h+ r: p

• A=10;
• B=20;
  " o2 a1 r; ^- Y  H

) C' @3 W, I% R+ }然后运行模型，双击示波器模块，您可以看到如下图形，请注意这个图形和实现测量的结果是有较大出入的，这是因为我们刚才A=10和B=20是随机设置的，并不是系统真实的参数。
/ X% ^9 ^6 n$ q1 G. F+ Y7 ^
/ k( X3 m6 d& A+ K: X: ?4 y* v
( k  d8 T6 f( `& e$ V二、修改模型中的输入输出
$ @7 k$ Z4 E& O为了使用Simulink Design Optimization，您必须将模型中的输入输出模块修改为in和out模块。
（1）将“时间”模块替换为，in模块
（2）将“示波器”模块替换为，out模块
& s) C2 @3 \" k) U% F% J+ I3 Z

三、导入测量数据到工作空间
将上面测量的数据导入到工作空间，方便Simulink Design Optimization使用，您可以将上面的数据文件下载保存到MATLAB工作目录，然后在Command Window中运行
9 F% j; ]' \. L% Q8 c

• >> tx=load('data.txt');
• >> t=tx(:,1);
• >> x=tx(:,2);
  3 k; e4 a) f0 u0 y

四、启动Simulink Design Optimization工具并设置
/ r4 g( @5 i: ], M9 z  u" k当前工作空间有如下变量
; D' H: S. c6 t, G& ^  b1 U# `

• >> whos
•   Name      Size         Bytes  Class    Attributes
•   A        1x1            8  double
•   B        1x1            8  double
•   t      8893x1          71144  double
•   tx      8893x2         142288  double
•   x      8893x1          71144  double
  

7 n" ^) M5 L" C8 S9 l; Q
$ t  N  F( u% j0 I; H  Q请注意一定要给A和B赋值（不知道具体值，可以随意给一个），否则启动Simulink Design Optimization时会报错的！
  X- T+ B/ P) K+ e1 U: v

（1）启动Simulink Design Optimization工具
通过Simulink菜单→Tool→Parameter Estimation..启动Simulink参数估计工具

! E6 t( V1 [: z; T, D! _
" Z& Y7 r# x/ X0 d+ ^（2）新建和添加用于拟合的实验数据
+ A, s. N4 _; a: K点击Transient Data节点，然后New新建一个拟合数据集，将新建的New Data数据集右击重命名为Test1，其实Parameter Estimation工具支持拟合多组不同的数据，本文只有一组。

' n' i% W  r9 s点击刚刚重命名的Test1数据集，切换到Input Data选项卡，选择Data标签下面的表格，然后点击Import按钮，从工作空间选择您的输入数据，同时需要指定这个输入数据的对应时间戳Time，方法是选择Time下表格，点击Import按钮，选择时间变量。本文的输入数据和时间戳都是t变量。
: M9 ]' j7 i! P  u

（3）新建拟合变量和参数设置
" Y4 t% x8 f" V) \6 Y1 u( q点击Variables节点，然后点击下面的Add...按钮，此时工具会自动识别Simulink模型中的未知变量，比如A和B，然后添加您希望拟合的变量，虽然本教程的模型中含有A和B两个变量，但是您完全可以只是拟合A变量，B变量在工作空间中给定，此时只要选择A变量添加就行。

: N! r: K, ^, `, ]. v6 g在select parameter框中列出了您添加的的变量，选择某个变量，然后在右侧的default setting中对变量的属性进行设置，比如本教程中变量取值范围是0~100等。


（4）添加拟合项目，设置拟合参数开始拟合
4 R; D" W% S. O( g  r2 h# c; _: e, I点击Estimation节点，点击下面的New按钮，新建一个拟合项目，同时将项目右击重命名为Fit1
7 [1 l$ A2 U0 S0 l1 B
点击Fit1节点，进行拟合项目的设置，包括选择数据集、拟合参数、以及求解器等。
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接着勾选需要拟合的参数（当然可以只是勾选其中某些数据，对其进行拟合），由于MATLAB优化工具箱的求解器，对初值要求很高，所以初值的选择将直接影响您的拟合效率和效果。由于本案例简单，你随便设置一个都会收敛。
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求解器的设置，这个如果您不知道可以直接默认，当然也可以自己尝试，这需要您有一些优化工具箱的基础，这里不详述了。

求解器参数设置好了，就可以点击Start按钮进行拟合了，您可以勾选Show Progress View查看拟合的过程。

拟合开始时，拟合曲线和测量曲线不重合，右边的图显示当前的A和B值

拟合结束以后，两个曲线终于重合了，有图显示此时A=50，B=10，很荣幸的告诉您，这个就是我提供那组实验数据时采用的参数。

有时候您也许参数设置的很认真，但是Simulink Design Optimization就是不争气，拟合得到的结果很让您不满意。我只能说请节哀吧，因为Simulink Design Optimization工具调用了MATLAB的优化工具箱函数，优化工具箱罢工，Simulink Design Optimization也只能是干着急，要不换一个初值试试？？
/ _+ V- \" f& V
（5）接下来还有那个Validation
其实就是绘制几幅图，让你比较下残差呀，以及原始数据和拟合数据的对比之类的，不是什么核心的内容，大家自己摸索吧！

& ^4 k3 N; S% [, \8 D最后看下拟合与实验数据的残差，看起来还挺不错的嘛！

* Q' V# G# J) a% U; x! W; N
# W3 n& x3 u5 s" I
% ~" R6 h) Q+ w( m4 `' Z- k, _

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Simulink Design Optimization进行微分方程参数的拟合