学习一下用Simulink Design Optimization进行微分方程参数的拟合

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' p; E+ c6 Z5 @/ n8 ~; C总的来说微分方程参数拟合有三种方法：
5 L+ x5 F' t3 [3 @" }* `（1）将原问题转换为一个优化问题，就是使拟合得到的结果和实验测量值之差的平方和最小，此时您可以调用MATLAB优化工具箱的所有函数，最这个目标进行优化，比如fmincon，ga，lsqnonlin等。
% z3 r, E2 J( w; [  F, E（2）将原问题看成一个超静定方程组，也就是说一组已知数据构成一个方程，如果有n测量数据就构成n组方程，此时fsolve函数可以搞定这个工作。
3 P5 O  H3 @4 d( l! R0 F" D（3）仍然当作一个拟合问题，而微分方程当作一个黑匣子，只是这个拟合的一直数据是测量的两组而已。这个时候lsqcurvefit、cftool和Simulink Design Optimization就可以大显身手了。不过调用lsqcurvefit和cftool函数来拟合，您必须对这两个函数熟悉呀，这个可是需要一定的MATLAB底子，不是一般的所谓大侠能够搞定的。

+ I% r# D# Y7 c" J- @" J$ J. e" |为了把大家从编程的痛苦中解救出来，本文就讨论下利用Simulink Design Optimization进行微分法拟合问题（其实所有拟合问题都是可以的）的解决方案，从此拟合问题不在需要写代码！
1 m8 f5 q, g/ k/ A: @* d, x5 Z/ f
现在假设我们需要拟合如下微分方程中的系数A和B
. s7 g% U& k& Q
5 z( r! V7 x  t3 W+ B! T其实如果已知A和B的值，很容易求解这个微分方程

• A=50;
• B=10;
• x0=1;
• tspan=[0 100];
• odefun=@(t,x)A./x+B.*sin(t);
• [t,x]=ode45(odefun,tspan,x0);
• plot(t,x)
  

根据工程经验A和B取值范围是[0 100]，通过实验测量得到变量x随着时间t的变化曲线如下
" ~) p4 N6 Z* k8 o$ ^, p6 Z% z
; i! M. \' j3 a
  N/ r1 D! |( w5 J6 H: i一、在Simulink中建立微分方程的模型
至于Simulink的建模本文不想详细介绍，
$ Q5 W8 V: D( }, N8 }
在工作空间中对变量A和B进行随便赋值
6 Y* u9 ]1 j3 H/ z, h

• A=10;
• B=20;
  

6 U' X& E3 v5 @& c' j- M
4 k& e+ e1 B! X9 Q! Z' C2 h然后运行模型，双击示波器模块，您可以看到如下图形，请注意这个图形和实现测量的结果是有较大出入的，这是因为我们刚才A=10和B=20是随机设置的，并不是系统真实的参数。
( G' A, B( v& |. v1 }" E' }- w
* o1 a9 }8 T/ j' m1 k# }: J! a5 I
: M2 H* _5 E# D* V, I% Z, u二、修改模型中的输入输出
5 e8 g  r7 v9 l; T2 N3 p: D为了使用Simulink Design Optimization，您必须将模型中的输入输出模块修改为in和out模块。
（1）将“时间”模块替换为，in模块
; S. X8 v% g! V8 ?) e（2）将“示波器”模块替换为，out模块
4 K' F2 f4 m: P6 p0 k$ r6 m( u% `
3 V" s7 k6 O) X
三、导入测量数据到工作空间
* p$ T: V! A! `0 g将上面测量的数据导入到工作空间，方便Simulink Design Optimization使用，您可以将上面的数据文件下载保存到MATLAB工作目录，然后在Command Window中运行

• >> tx=load('data.txt');
• >> t=tx(:,1);
• >> x=tx(:,2);
  

  J3 U6 }2 w+ C3 V四、启动Simulink Design Optimization工具并设置
当前工作空间有如下变量
9 e' d5 |4 \) L9 x+ r4 P  Z9 H

• >> whos
•   Name      Size         Bytes  Class    Attributes
•   A        1x1            8  double
•   B        1x1            8  double
•   t      8893x1          71144  double
•   tx      8893x2         142288  double
•   x      8893x1          71144  double
  & C( r* S9 u0 D

  N& K$ v; Z& [) ?+ W, z' K请注意一定要给A和B赋值（不知道具体值，可以随意给一个），否则启动Simulink Design Optimization时会报错的！

4 _2 p/ d5 v# Y
（1）启动Simulink Design Optimization工具
, E3 _9 o( s  c通过Simulink菜单→Tool→Parameter Estimation..启动Simulink参数估计工具
# G1 H, _: J$ r5 Q- r6 y

% N, n% l  |# }( ?* L（2）新建和添加用于拟合的实验数据
! @* y1 b1 I, I6 `- L/ P1 Z1 p5 I点击Transient Data节点，然后New新建一个拟合数据集，将新建的New Data数据集右击重命名为Test1，其实Parameter Estimation工具支持拟合多组不同的数据，本文只有一组。

点击刚刚重命名的Test1数据集，切换到Input Data选项卡，选择Data标签下面的表格，然后点击Import按钮，从工作空间选择您的输入数据，同时需要指定这个输入数据的对应时间戳Time，方法是选择Time下表格，点击Import按钮，选择时间变量。本文的输入数据和时间戳都是t变量。


（3）新建拟合变量和参数设置
点击Variables节点，然后点击下面的Add...按钮，此时工具会自动识别Simulink模型中的未知变量，比如A和B，然后添加您希望拟合的变量，虽然本教程的模型中含有A和B两个变量，但是您完全可以只是拟合A变量，B变量在工作空间中给定，此时只要选择A变量添加就行。
, Z4 T! e& a, Z' v
8 H& ?2 p. K1 S6 G/ s  J在select parameter框中列出了您添加的的变量，选择某个变量，然后在右侧的default setting中对变量的属性进行设置，比如本教程中变量取值范围是0~100等。
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# m/ r: P  R- K) O
# j/ Q& e% i9 ?, E（4）添加拟合项目，设置拟合参数开始拟合
点击Estimation节点，点击下面的New按钮，新建一个拟合项目，同时将项目右击重命名为Fit1
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点击Fit1节点，进行拟合项目的设置，包括选择数据集、拟合参数、以及求解器等。
! v- x9 S5 p7 n( V, O
接着勾选需要拟合的参数（当然可以只是勾选其中某些数据，对其进行拟合），由于MATLAB优化工具箱的求解器，对初值要求很高，所以初值的选择将直接影响您的拟合效率和效果。由于本案例简单，你随便设置一个都会收敛。
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求解器的设置，这个如果您不知道可以直接默认，当然也可以自己尝试，这需要您有一些优化工具箱的基础，这里不详述了。
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求解器参数设置好了，就可以点击Start按钮进行拟合了，您可以勾选Show Progress View查看拟合的过程。

  f( Z' {# h6 P4 T- R" h" X拟合开始时，拟合曲线和测量曲线不重合，右边的图显示当前的A和B值

拟合结束以后，两个曲线终于重合了，有图显示此时A=50，B=10，很荣幸的告诉您，这个就是我提供那组实验数据时采用的参数。
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6 i5 Y- N, m* W/ J2 z2 ?有时候您也许参数设置的很认真，但是Simulink Design Optimization就是不争气，拟合得到的结果很让您不满意。我只能说请节哀吧，因为Simulink Design Optimization工具调用了MATLAB的优化工具箱函数，优化工具箱罢工，Simulink Design Optimization也只能是干着急，要不换一个初值试试？？
" [( z. t' H6 M  u1 d
) l- |4 h5 A( L: Z2 P) D0 D（5）接下来还有那个Validation
% _2 B7 k7 {# I! Z' Y) w4 e1 m其实就是绘制几幅图，让你比较下残差呀，以及原始数据和拟合数据的对比之类的，不是什么核心的内容，大家自己摸索吧！

最后看下拟合与实验数据的残差，看起来还挺不错的嘛！


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Simulink Design Optimization进行微分方程参数的拟合