学习一下用Simulink Design Optimization进行微分方程参数的拟合

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总的来说微分方程参数拟合有三种方法：
（1）将原问题转换为一个优化问题，就是使拟合得到的结果和实验测量值之差的平方和最小，此时您可以调用MATLAB优化工具箱的所有函数，最这个目标进行优化，比如fmincon，ga，lsqnonlin等。
（2）将原问题看成一个超静定方程组，也就是说一组已知数据构成一个方程，如果有n测量数据就构成n组方程，此时fsolve函数可以搞定这个工作。
（3）仍然当作一个拟合问题，而微分方程当作一个黑匣子，只是这个拟合的一直数据是测量的两组而已。这个时候lsqcurvefit、cftool和Simulink Design Optimization就可以大显身手了。不过调用lsqcurvefit和cftool函数来拟合，您必须对这两个函数熟悉呀，这个可是需要一定的MATLAB底子，不是一般的所谓大侠能够搞定的。

$ r. L) x2 |8 l$ K5 V- }为了把大家从编程的痛苦中解救出来，本文就讨论下利用Simulink Design Optimization进行微分法拟合问题（其实所有拟合问题都是可以的）的解决方案，从此拟合问题不在需要写代码！

2 S) g' e* I. u& G+ O) f3 h现在假设我们需要拟合如下微分方程中的系数A和B

* n4 P% a( p8 k( c% J9 ~其实如果已知A和B的值，很容易求解这个微分方程
; Y4 a4 @: M- ?% b

• A=50;
• B=10;
• x0=1;
• tspan=[0 100];
• odefun=@(t,x)A./x+B.*sin(t);
• [t,x]=ode45(odefun,tspan,x0);
• plot(t,x)
  7 t8 j6 _6 f% a: p

根据工程经验A和B取值范围是[0 100]，通过实验测量得到变量x随着时间t的变化曲线如下
; H$ z+ h8 U. H# F7 e. G6 v3 t
# g" a+ E; O8 d6 d& @- w% D
5 T7 ]& c" m! ~( Y/ }8 V一、在Simulink中建立微分方程的模型
至于Simulink的建模本文不想详细介绍，

: |4 ^- H) K: r0 k" v在工作空间中对变量A和B进行随便赋值
9 o' Y3 M; X/ G1 t

• A=10;
• B=20;
  

然后运行模型，双击示波器模块，您可以看到如下图形，请注意这个图形和实现测量的结果是有较大出入的，这是因为我们刚才A=10和B=20是随机设置的，并不是系统真实的参数。


二、修改模型中的输入输出
& |/ ^2 L5 ~$ ^4 @为了使用Simulink Design Optimization，您必须将模型中的输入输出模块修改为in和out模块。
（1）将“时间”模块替换为，in模块
3 Y/ {5 M3 y+ W（2）将“示波器”模块替换为，out模块
5 |# A3 z( g, z, S3 X+ L% k, {
- B' x& _0 ?! r; \3 Z; T  u
三、导入测量数据到工作空间
/ h$ J3 x" D* T4 u, {1 E将上面测量的数据导入到工作空间，方便Simulink Design Optimization使用，您可以将上面的数据文件下载保存到MATLAB工作目录，然后在Command Window中运行
) a- k9 N0 K4 w' d+ X3 o# N( V

• >> tx=load('data.txt');
• >> t=tx(:,1);
• >> x=tx(:,2);
  

. i6 V  E) c0 a, _2 ?# D$ k
0 C; W! Y& I3 ^4 e9 x四、启动Simulink Design Optimization工具并设置
当前工作空间有如下变量
& `9 c+ S- ]9 H; T) `" N5 X0 k+ B3 C. [- k

• >> whos
•   Name      Size         Bytes  Class    Attributes
•   A        1x1            8  double
•   B        1x1            8  double
•   t      8893x1          71144  double
•   tx      8893x2         142288  double
•   x      8893x1          71144  double
  2 n7 m7 S2 M6 _3 K, L/ T" z% O. D

& g, F: G/ s- c9 h请注意一定要给A和B赋值（不知道具体值，可以随意给一个），否则启动Simulink Design Optimization时会报错的！

6 ]" h  \7 p+ L; o  ~% b
（1）启动Simulink Design Optimization工具
; _& Q! j# ]) {* l7 W通过Simulink菜单→Tool→Parameter Estimation..启动Simulink参数估计工具


. k% B" K8 a% w- J) A* i（2）新建和添加用于拟合的实验数据
点击Transient Data节点，然后New新建一个拟合数据集，将新建的New Data数据集右击重命名为Test1，其实Parameter Estimation工具支持拟合多组不同的数据，本文只有一组。
! n, k) w6 Y% t/ h6 R0 M
% g! h( A* c- z7 R! f  G, u$ s点击刚刚重命名的Test1数据集，切换到Input Data选项卡，选择Data标签下面的表格，然后点击Import按钮，从工作空间选择您的输入数据，同时需要指定这个输入数据的对应时间戳Time，方法是选择Time下表格，点击Import按钮，选择时间变量。本文的输入数据和时间戳都是t变量。
$ o* O( O6 y/ {) d5 Q" U

（3）新建拟合变量和参数设置
点击Variables节点，然后点击下面的Add...按钮，此时工具会自动识别Simulink模型中的未知变量，比如A和B，然后添加您希望拟合的变量，虽然本教程的模型中含有A和B两个变量，但是您完全可以只是拟合A变量，B变量在工作空间中给定，此时只要选择A变量添加就行。
  z) q" V* D  f* R' M' U- w
$ t" k$ k% t, h& F. {: o在select parameter框中列出了您添加的的变量，选择某个变量，然后在右侧的default setting中对变量的属性进行设置，比如本教程中变量取值范围是0~100等。
5 }3 W; O8 S( m5 w7 }
5 @$ k" B7 p% J5 C3 Y& a
（4）添加拟合项目，设置拟合参数开始拟合
$ I% ^. t9 q. `+ J4 o+ G点击Estimation节点，点击下面的New按钮，新建一个拟合项目，同时将项目右击重命名为Fit1
8 S5 O( G3 d9 C4 v) V; U
  S2 ^% @- l) X" p" K0 c( R点击Fit1节点，进行拟合项目的设置，包括选择数据集、拟合参数、以及求解器等。
8 F! g  j0 e, E' ]
接着勾选需要拟合的参数（当然可以只是勾选其中某些数据，对其进行拟合），由于MATLAB优化工具箱的求解器，对初值要求很高，所以初值的选择将直接影响您的拟合效率和效果。由于本案例简单，你随便设置一个都会收敛。

. K- A3 W% l/ z) F求解器的设置，这个如果您不知道可以直接默认，当然也可以自己尝试，这需要您有一些优化工具箱的基础，这里不详述了。

8 L; ^( ~9 c: w  `( v2 N求解器参数设置好了，就可以点击Start按钮进行拟合了，您可以勾选Show Progress View查看拟合的过程。

5 v) F4 J6 b5 p+ s( q- f* K" N拟合开始时，拟合曲线和测量曲线不重合，右边的图显示当前的A和B值

拟合结束以后，两个曲线终于重合了，有图显示此时A=50，B=10，很荣幸的告诉您，这个就是我提供那组实验数据时采用的参数。
  F* {( z+ Z3 Q2 ?# {2 j/ H
有时候您也许参数设置的很认真，但是Simulink Design Optimization就是不争气，拟合得到的结果很让您不满意。我只能说请节哀吧，因为Simulink Design Optimization工具调用了MATLAB的优化工具箱函数，优化工具箱罢工，Simulink Design Optimization也只能是干着急，要不换一个初值试试？？

- p0 @: h4 Z$ e, G( W- @（5）接下来还有那个Validation
其实就是绘制几幅图，让你比较下残差呀，以及原始数据和拟合数据的对比之类的，不是什么核心的内容，大家自己摸索吧！

& J6 B! K8 C6 B% o最后看下拟合与实验数据的残差，看起来还挺不错的嘛！
& S' z8 m2 o$ ^3 y3 I5 }* B5 }# n



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Simulink Design Optimization进行微分方程参数的拟合