学习一下用Simulink Design Optimization进行微分方程参数的拟合

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: f: g+ q4 k, I9 Q& }% T/ D总的来说微分方程参数拟合有三种方法：
1 g1 r& |4 ?) h1 |" u1 _' a4 t. j（1）将原问题转换为一个优化问题，就是使拟合得到的结果和实验测量值之差的平方和最小，此时您可以调用MATLAB优化工具箱的所有函数，最这个目标进行优化，比如fmincon，ga，lsqnonlin等。
& M# {, `  f, p" d% S（2）将原问题看成一个超静定方程组，也就是说一组已知数据构成一个方程，如果有n测量数据就构成n组方程，此时fsolve函数可以搞定这个工作。
' s# a) x- ~( t* Q5 s: f! m3 O! v（3）仍然当作一个拟合问题，而微分方程当作一个黑匣子，只是这个拟合的一直数据是测量的两组而已。这个时候lsqcurvefit、cftool和Simulink Design Optimization就可以大显身手了。不过调用lsqcurvefit和cftool函数来拟合，您必须对这两个函数熟悉呀，这个可是需要一定的MATLAB底子，不是一般的所谓大侠能够搞定的。
4 o6 |  ]# D! \' W1 X+ P
为了把大家从编程的痛苦中解救出来，本文就讨论下利用Simulink Design Optimization进行微分法拟合问题（其实所有拟合问题都是可以的）的解决方案，从此拟合问题不在需要写代码！
3 m. n5 _. C6 \, ]  I' E  [0 T0 q; G
现在假设我们需要拟合如下微分方程中的系数A和B

) k" o  D7 a3 O- @其实如果已知A和B的值，很容易求解这个微分方程
* x: c! P3 V0 [: I: O

• A=50;
• B=10;
• x0=1;
• tspan=[0 100];
• odefun=@(t,x)A./x+B.*sin(t);
• [t,x]=ode45(odefun,tspan,x0);
• plot(t,x)
  0 E' ]  j5 w2 }* Q

: ?9 W9 p) ~3 o; Y  j* n- f; R根据工程经验A和B取值范围是[0 100]，通过实验测量得到变量x随着时间t的变化曲线如下
; @2 m" O7 s1 d7 V8 N

一、在Simulink中建立微分方程的模型
8 d# i- E/ P: C7 o: z至于Simulink的建模本文不想详细介绍，
! \8 b2 M5 x: Q4 P! G
. S  c) C# R6 C6 _, v在工作空间中对变量A和B进行随便赋值

• A=10;
• B=20;
  & t: O: y+ K! f9 Q" X( ~

然后运行模型，双击示波器模块，您可以看到如下图形，请注意这个图形和实现测量的结果是有较大出入的，这是因为我们刚才A=10和B=20是随机设置的，并不是系统真实的参数。

+ x/ E! G- E1 Z: J; w
二、修改模型中的输入输出
为了使用Simulink Design Optimization，您必须将模型中的输入输出模块修改为in和out模块。
: P( [3 i9 Q+ M2 O（1）将“时间”模块替换为，in模块
（2）将“示波器”模块替换为，out模块

. ]) f( N" y: b9 P- [0 t3 Z4 E$ Q
" U, Z$ {% B6 `7 P; e' v* r三、导入测量数据到工作空间
: x9 q. S. d* g将上面测量的数据导入到工作空间，方便Simulink Design Optimization使用，您可以将上面的数据文件下载保存到MATLAB工作目录，然后在Command Window中运行
4 O. A% v8 Q5 }: k- J: |( S

• >> tx=load('data.txt');
• >> t=tx(:,1);
• >> x=tx(:,2);
  

1 C7 V# ^) x- c; G) S
$ L; M  m  e) @, Q# P四、启动Simulink Design Optimization工具并设置
1 d, c6 b0 e$ v8 K- C1 [) G) [当前工作空间有如下变量
3 B. }9 l0 ^* k; W

• >> whos
•   Name      Size         Bytes  Class    Attributes
•   A        1x1            8  double
•   B        1x1            8  double
•   t      8893x1          71144  double
•   tx      8893x2         142288  double
•   x      8893x1          71144  double
  

- j+ K4 n% f+ r7 h: \* M+ W! K
请注意一定要给A和B赋值（不知道具体值，可以随意给一个），否则启动Simulink Design Optimization时会报错的！
, L9 t3 k% o! H/ g* I5 V8 W* b
, k. i) o- T4 w( C, v0 N, T
（1）启动Simulink Design Optimization工具
5 s' e. i& G3 t; D% E6 n通过Simulink菜单→Tool→Parameter Estimation..启动Simulink参数估计工具
7 U* _4 w3 y) H

1 j( [, s: T- U1 `# `（2）新建和添加用于拟合的实验数据
* }+ z  q: q# j8 {  Q3 ]$ n8 \. _0 A点击Transient Data节点，然后New新建一个拟合数据集，将新建的New Data数据集右击重命名为Test1，其实Parameter Estimation工具支持拟合多组不同的数据，本文只有一组。
* W4 d5 v8 A' y, @
点击刚刚重命名的Test1数据集，切换到Input Data选项卡，选择Data标签下面的表格，然后点击Import按钮，从工作空间选择您的输入数据，同时需要指定这个输入数据的对应时间戳Time，方法是选择Time下表格，点击Import按钮，选择时间变量。本文的输入数据和时间戳都是t变量。
9 ^% e8 z1 C' D, w, y

（3）新建拟合变量和参数设置
点击Variables节点，然后点击下面的Add...按钮，此时工具会自动识别Simulink模型中的未知变量，比如A和B，然后添加您希望拟合的变量，虽然本教程的模型中含有A和B两个变量，但是您完全可以只是拟合A变量，B变量在工作空间中给定，此时只要选择A变量添加就行。
7 {8 C0 F" t1 x7 l; K: u
6 s7 z: N3 a8 k6 X; U3 I在select parameter框中列出了您添加的的变量，选择某个变量，然后在右侧的default setting中对变量的属性进行设置，比如本教程中变量取值范围是0~100等。
7 v, z1 j8 A# H3 ?5 L% ~2 _3 b
3 S2 J0 T2 U. o8 u, t9 J- t
2 I; z5 Y/ b. Z; b' _（4）添加拟合项目，设置拟合参数开始拟合
点击Estimation节点，点击下面的New按钮，新建一个拟合项目，同时将项目右击重命名为Fit1

点击Fit1节点，进行拟合项目的设置，包括选择数据集、拟合参数、以及求解器等。

$ s# F& v9 O: s) k$ B接着勾选需要拟合的参数（当然可以只是勾选其中某些数据，对其进行拟合），由于MATLAB优化工具箱的求解器，对初值要求很高，所以初值的选择将直接影响您的拟合效率和效果。由于本案例简单，你随便设置一个都会收敛。
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) y: S) \0 Z% w/ F' i9 Z9 N求解器的设置，这个如果您不知道可以直接默认，当然也可以自己尝试，这需要您有一些优化工具箱的基础，这里不详述了。
4 y3 n( _2 y7 V& t1 m0 G* M
求解器参数设置好了，就可以点击Start按钮进行拟合了，您可以勾选Show Progress View查看拟合的过程。

拟合开始时，拟合曲线和测量曲线不重合，右边的图显示当前的A和B值
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1 F; O- i$ W, r- k' K拟合结束以后，两个曲线终于重合了，有图显示此时A=50，B=10，很荣幸的告诉您，这个就是我提供那组实验数据时采用的参数。
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# L' x/ Z6 u1 j# N6 m8 n2 K有时候您也许参数设置的很认真，但是Simulink Design Optimization就是不争气，拟合得到的结果很让您不满意。我只能说请节哀吧，因为Simulink Design Optimization工具调用了MATLAB的优化工具箱函数，优化工具箱罢工，Simulink Design Optimization也只能是干着急，要不换一个初值试试？？
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（5）接下来还有那个Validation
8 X9 C! B: w( N* N, s/ G其实就是绘制几幅图，让你比较下残差呀，以及原始数据和拟合数据的对比之类的，不是什么核心的内容，大家自己摸索吧！
3 i# i( t2 M/ M) |. n* k9 Y+ p0 Z
最后看下拟合与实验数据的残差，看起来还挺不错的嘛！
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/ H0 K8 [) ]/ R: ^9 ^. j, s

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Simulink Design Optimization进行微分方程参数的拟合