Matlab矩阵的基本运算

uperrua · 发表于 2019-12-16 11:20

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x

本帖最后由 uperrua 于 2019-12-16 11:33 编辑

§3.1 加和减
如矩阵A和B的维数相同，则A+B与A-B表示矩阵A与B的和与差．如果矩阵A和B的维数不匹配，Matlab会给出相应的错误提示信息．如：

A=                               B=

1    2    3                1    4    7

4    5    6                2    5    8

7    8    0                3    6    0

C =A+B返回：

C =

2    6 10

6 10 14

10 14    0

如果运算对象是个标量（即1×1矩阵），可和其它矩阵进行加减运算．例如：

x= -1                y=x-1= -2

0                               -1

2                               1

§3.2矩阵乘法
Matlab中的矩阵乘法有通常意义上的矩阵乘法，也有Kronecker乘法，以下分别介绍．

§3.2.1 矩阵的普通乘法
矩阵乘法用“ * ”符号表示，当A矩阵列数与B矩阵的行数相等时，二者可以进行乘法运算，否则是错误的．计算方法和线性代数中所介绍的完全相同．

如：A=[1  2 ; 3  4]; B=[5  6 ; 7  8];  C=A*B，

结果为

C= × = =

即Matlab返回：

C =

19 22

43 50

如果A或B是标量，则A*B返回标量A（或B）乘上矩阵B（或A）的每一个元素所得的矩阵．

§3.3 矩阵除法
在Matlab中有两种矩阵除法符号：“＼”即左除和“／”即右除．如果A矩阵是非奇异方阵，则A\B是A的逆矩阵乘B，即inv(A)*B；而B/A是B乘A的逆矩阵，即B*inv(A)．具体计算时可不用逆矩阵而直接计算．

通常：

x=A\B就是A*x=B的解；

x=B/A就是x*A=B的解.

当B与A矩阵行数相等可进行左除．如果A是方阵，用高斯消元法分解因数．解方程：A*x(:, j)=B(:, j)，式中的(:, j)表示B矩阵的第j列，返回的结果x具有与B矩阵相同的阶数，如果A是奇异矩阵将给出警告信息．

如果A矩阵不是方阵，可由以列为基准的Householder正交分解法分解，这种分解法可以解决在最小二乘法中的欠定方程或超定方程，结果是m×n的x矩阵．m是A矩阵的列数，n是B矩阵的列数．每个矩阵的列向量最多有k个非零元素，k 是A的有效秩．

右除B/A可由B/A=(A'\B')'左除来实现．

§3.4矩阵乘方
A^P意思是A的P次方．如果A是一个方阵，P是一个大于1的整数，则A^P表示A的P次幂，即A自乘P次．如果P不是整数，计算涉及到特征值和特征向量的问题，如已经求得：[V,D]=eig(A)，则：

A^P=V*D.^P/V（注：这里的.^表示数组乘方，或点乘方，参见后面的有关介绍）

如果B是方阵， a是标量，a^B就是一个按特征值与特征向量的升幂排列的B次方程阵．如果a和B都是矩阵，则a^B是错误的．

§3.5 矩阵的超越函数
在Matlab中解释exp(A)和sqrt(A)时曾涉及到级数运算，此运算定义在A的单个元素上． Matlab可以计算矩阵的超越函数，如矩阵指数、矩阵对数等．

一个超越函数可以作为矩阵函数来解释，例如将“m”加在函数名的后边而成expm(A)和sqrtm(A)，当Matlab运行时，有下列三种函数定义：

expm          矩阵指数

logm       矩阵对数

sqrtm          矩阵开方

所列各项可以加在多种m文件中或使用funm．请见应用库中sqrtm.m，1ogm.m，funm.m文件和命令手册．

§3.6数组运算
数组运算由线性代数的矩阵运算符“*”、“/”、“\”、“^”前加一点来表示，即为“.*”、“./”、“.\”、“.^”．注意没有“.+”、“.-”运算．

§3.6.1数组的加和减
对于数组的加和减运算与矩阵运算相同，所以“+”、“-”既可被矩阵接受又可被数组接受．

§3.6.2数组的乘和除
数组的乘用符号.*表示，如果A与B矩阵具有相同阶数，则A.*B表示A和B单个元素之间的对应相乘．例如x=[1  2  3]; y=[ 4  5  6];

计算z=x.*y

结果z=4  10  18

数组的左除（.\）与数组的右除（./），由读者自行举例加以体会．

§3.6.3 数组乘方
数组乘方用符号.^表示．

例如：键入：

x=[ 1  2  3]

y=[ 4  5  6]

则z=x.^y=[1^4  2^5  3^6]=[1  32  729]

(1) 如指数是个标量，例如x.^2，x同上，则：

z=x.^2=[1^2  2^2  3^2]=[ 1  4  9]

(2) 如底是标量，例如2 .^[x y] ，x、y同上，则：

z=2 .^[x y]=[2^1  2^2  2^3  2^4 2^5  2^6]=[2  4  8  16  32  64]

从此例可以看出Matlab算法的微妙特性，虽然看上去与其它乘方没什么不同，但在2和“．”之间的空格很重要，如果不这样做，解释程序会把“．”看成是2的小数点． Matlab看到符号“^”时，就会当做矩阵的幂来运算，这种情况就会出错，因为指数矩阵不是方阵．

§3.7 矩阵函数
Matlab的数学能力大部分是从它的矩阵函数派生出来的，其中一部分装入Matlab本身处理中，它从外部的Matlab建立的M文件库中得到，还有一些由个别的用户为其自己的特殊的用途加进去的．其它功能函数在求助程序或命令手册中都可找到．手册中备有为Matlab提供数学基础的LINPACK和EISPACK软件包，提供了下面四种情况的分解函数或变换函数：

(1)三角分解；(2)正交变换；(3) 特征值变换；(4)奇异值分解．

§3.7.1三角分解
最基本的分解为“LU”分解，矩阵分解为两个基本三角矩阵形成的方阵，三角矩阵有上三角矩阵和下三角矩阵．计算算法用高斯变量消去法．

从lu函数中可以得到分解出的上三角与下三角矩阵，函数inv得到矩阵的逆矩阵，det得到矩阵的行列式．解线性方程组的结果由方阵的“\”和“/”矩阵除法来得到．

例如：

A=[ 1    2    3

4    5    6

7    8    0]

LU分解，用Matlab的多重赋值语句

[L,U]=lu(A)

得出

L =

0.1429	1.0000	0
0.5714	0.5000	1.0000
1.0000	0	0

U =

7.0000	8.0000	0
0	0.8571	3.0000
0	0	4.5000

注：L是下三角矩阵的置换，U是上三角矩阵的正交变换，分解作如下运算，检测计算结果只需计算L*U即可．

求逆由下式给出： x=inv(A)

x =

-1.7778	0.8889	-0.1111
1.5556	-0.7778	0.2222
-0.1111	0.2222	-0.1111

从LU分解得到的行列式的值是精确的，d=det(U)*det(L)的值可由下式给出：

d=det(A)

d =

27

直接由三角分解计算行列式：d=det(L)*det(U)

d =

27.0000

为什么两种d的显示格式不一样呢? 当Matlab做det(A)运算时，所有A的元素都是整数，所以结果为整数．但是用LU分解计算d时，L、U的元素是实数，所以Matlab产生的d也是实数．

例如：线性联立方程取 b=[ 1

                                       3

                                       5]

解Ax=b方程，用Matlab矩阵除得到

x=A\b

结果x=

0.3333

0.3333

0.0000

由于A=L*U，所以x也可以有以下两个式子计算：y=L\b，x=U\y．得到相同的x值，中间值y为：

y =

5.0000

0.2857

0.0000

Matlab中与此相关的函数还有rcond、chol和rref．其基本算法与LU分解密切相关．chol函数对正定矩阵进行Cholesky分解，产生一个上三角矩阵，以使R'*R=X．rref用具有部分主元的高斯－约当消去法产生矩阵A的化简梯形形式．虽然计算量很少，但它是很有趣的理论线性代数．为了教学的要求，也包括在Matlab中．

§3.7.2正交变换
“QR”分解用于矩阵的正交－三角分解．它将矩阵分解为实正交矩阵或复酉矩阵与上三角矩阵的积，对方阵和长方阵都很有用．

例如A=[  1    2    3

4    5    6

7    8    9

10 11 12]

是一个降秩矩阵，中间列是其它二列的平均，我们对它进行QR分解：

[Q,R]=qr(A)

Q =

-0.0776	-0.8331	0.5444	0.0605
-0.3105	-0.4512	-0.7709	0.3251
-0.5433	-0.0694	-0.0913	-0.8317
-0.7762	0.3124	0.3178	0.4461

R =

-12.8841	-14.5916	-16.2992
0	-1.0413	-2.0826
0	0	0.0000
0	0	0

可以验证Q*R就是原来的A矩阵．由R的下三角都给出0，并且R(3,3)=0.0000，说明矩阵R与原来矩阵A都不是满秩的．

下面尝试利用QR分解来求超定和降秩的线性方程组的解．

例如：

b=[ 1

3

5

7]

讨论线性方程组Ax=b，我们可以知道方程组是超定的，采用最小二乘法的最好结果是计算x=A\b．

结果为：

Warning: Rank deficient, rank = 2 tol = 1.4594e-014

x =

0.5000

0

0.1667

我们得到了缺秩的警告．用QR分解法计算此方程组分二个步骤：

y=Q'*b

x=R\y

求出的y值为

y =

-9.1586

-0.3471

0.0000

x的结果为

Warning: Rank deficient, rank = 2 tol = 1.4594e-014

x =

0.5000

      0

0.1667

用A*x来验证计算结果，我们会发现在允许的误差范围内结果等于b．这告诉我们虽然联立方程Ax=b是超定和降秩的，但两种求解方法的结果是一致的．显然x向量的解有无穷多个，而“QR”分解仅仅找出了其中之一．

§3.7.3奇异值分解
在Matlab中三重赋值语句

[U,S,V]=svd(A)

在奇异值分解中产生三个因数：

A=U*S*V '

U矩阵和V矩阵是正交矩阵，S矩阵是对角矩阵，svd(A)函数恰好返回S的对角元素，而且就是A的奇异值（其定义为：矩阵A'*A的特征值的算术平方根）．注意到A矩阵可以不是方的矩阵．

奇异值分解可被其它几种函数使用，包括广义逆矩阵pinv(A)、秩rank(A)、欧几里德矩阵范数norm(A,2)和条件数cond(A)．

§3.7.4 特征值分解
如果A是n×n矩阵，若l满足Ax=lx，则称l为A的特征值，x为相应的特征向量．

函数eig(A)返回特征值列向量，如果A是实对称的，特征值为实数．特征值也可能为复数，例如：

A=[  0    1

-1    0]

eig(A)

产生结果

ans =

0 + 1.0000i

0 - 1.0000i

如果还要求求出特征向量，则可以用eig(A)函数的第二个返回值得到：

[x,D]=eig(A)

D的对角元素是特征值．x的列是相应的特征向量，以使A*x=x*D．

计算特征值的中间结果有两种形式：

Hessenberg形式为hess(A)，Schur形式为schur(A)．

schur形式用来计算矩阵的超越函数，诸如sqrtm(A)和logm(A)．

如果A和B是方阵，函数eig(A,B)返回一个包含一般特征值的向量来解方程

Ax=lBx

双赋值获得特征向量

[X,D]=eig(A,B)

产生特征值为对角矩阵D．满秩矩阵X的列相应于特征向量，使A*X=B*X*D，中间结果由qz(A,B)提供．

§3.7.5秩
Matlab计算矩阵A的秩的函数为rank(A)，与秩的计算相关的函数还有：rref(A)、orth(A)、null(A)和广义逆矩阵pinv(A)等．

利用rref(A)，A的秩为非0行的个数．rref方法是几个定秩算法中最快的一个，但结果上并不可靠和完善．pinv(A)是基于奇异值的算法．该算法消耗时间多，但比较可靠．其它函数的详细用法可利用Help求助．

CCxiaom · 发表于 2019-12-16 18:27

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