MATLAB —— 学习一下协方差 cov以及协方差矩阵的基础知识

mytomorrow · 发表于 2019-11-12 10:38

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Covariance 翻译为协方差，因此，MATLAB里面的函数cov也就是求协方差了。至于MATLAB语言里面的协方差函数cov的语法是什么样的以及怎么用的，我们稍后再说，这里首先介绍下协方差相关的基础知识点。

本文内容参考自MATLAB的帮助手册，有的时候不得不说，数据手册才是最好的教材，不仅对于MATLAB，这里提供的都是原滋原味的官方内容。例如我经常去了解一些MATLAB中的相关函数，命令等，都可以通过MATLAB的数据手册；如果我想了解一些IP核以及与之相关的知识，我可以查看Xilinx的官方数据手册，内容应有尽有，相比而言，如果我去借一些书籍去查看FPGA的IP核，不仅版本陈旧，而已也有可能翻译的有问题，让人一知半解。

废话就说到这里，下面正式开始介绍。

目录

基础知识

协方差（Covariance）：

协方差矩阵（ covariance matrix）：

矩阵的协方差：

方差：（这是赠送的）

MATLAB中的 cov

语法格式：

C = cov(A)

C = cov(A,B)

C = cov(___,w)

C = cov(___,nanflag)

示例

C = cov(A) 举例（矩阵的协方差）

cov(A,B) 举例之两个向量之间的协方差

cov(A,B) 举例之两个矩阵之间的协方差

Specify Normalization Weight

Covariance Excluding NaN

; W$ v ?6 [ q- P! t
基础知识
协方差（Covariance）：

对于两个随机变量向量A和B，那二者之间的协方差定义为：

其中表示向量A的均值，表示向量B的均值。

协方差矩阵（ covariance matrix）：

两个随机变量的协方差矩阵是每个变量之间成对协方差计算的矩阵，

矩阵的协方差：

对于矩阵A，其列各自是由观察组成的随机变量，协方差矩阵是每个列组合之间的成对协方差计算。换一种说法

方差：（这是赠送的）

对于由N个标量观测组成的随机变量向量A，方差定义为

其中u是A的均值：

一些方差定义使用归一化因子N而不是N-1，可以通过将w设置为1来指定。在任何一种情况下，假设均值具有通常的归一化因子N.

（注意：w是后面要说的MATLAB里面的协方差函数的一个参数而已，在具体的MATLAB函数里面可以通过设置w来指定归一化因子！）

MATLAB中的 cov

语法格式：

下面逐个讲解：

C = cov(A)

C = cov(A) returns the covariance.

C = cov(A)返回协方差。

If A is a vector of observations, C is the scalar-valued variance.
9 h5 V9 ?- C) t5 Z& V

如果A是一个观测向量，那么C是一个标量值的方差。7 R. w- g) R% E3 s/ U% n

If A is a matrix whose columns represent random variables and whose rows represent observations, C is the covariance matrix with the corresponding column variances along the diagonal.
. w" i1 k5 ? N6 |6 @

如果A是矩阵，其列表示随机变量，其行表示观测值，则C是协方差矩阵，沿对角线具有相应的列方差。（协方差矩阵的协方差是列的协方差值）! o) Y8 @6 V1 n' c/ D. L: G3 a

C is normalized by the number of observations-1. If there is only one observation, it is normalized by 1.8 R. \, E G# z+ T3 K

C由观察数-1归一化。如果只有一个观察值，则将其标准化为1。
" ~4 c0 v0 I; f

If A is a scalar, cov(A) returns 0. If A is an empty array, cov(A)returns NaN.
( c6 ~$ u6 M# }

如果A是标量，则cov（A）返回0.如果A是空数组，则cov（A）返回NaN。0 r& |1 r z" |2 n8 s

（你看看人家考虑的多周全！）

C = cov(A,B)

C = cov(A,B) returns the covariance between two random variables A and B.

C = cov(A,B) 返回两个随机变量A和B之间协方差。

If A and B are vectors of observations with equal length, cov(A,B) is the 2-by-2 covariance matrix./ \, w3 H4 j( e7 j- m

如果A和B是同等长度的观测向量，那么C是一个2*2的协方差矩阵。
9 ~4 F, j4 E+ y$ O6 w, z( e3 n9 j' H

If A and B are matrices of observations, cov(A,B) treats A and B as vectors and is equivalent to cov(A(,B(). A and B must have equal size.
4 r) i0 S& R! i

如果A和B是观察矩阵，则cov（A，B）将A和B视为向量，并且等同于cov（A（，B（:)）。 A和B必须具有相同的大小。2 R4 k4 s+ u3 `$ `6 R8 U% n

If A and B are scalars, cov(A,B) returns a 2-by-2 block of zeros. If A and B are empty arrays, cov(A,B) returns a 2-by-2 block of NaN. ^( R* |; a( x6 U

如果A和B是标量，则cov（A，B）返回2乘2的零块。如果A和B是空数组，则cov（A，B）返回2乘2的NaN块。# T: O( f* h5 a4 l

C = cov(___,w)

C = cov(___,w) specifies the normalization weight for any of the previous syntaxes. When w = 0 (default), C is normalized by the number of observations-1. When w = 1, it is normalized by the number of observations.

C = cov（___，w）指定任何先前语法的归一化权重。当w = 0（默认值）时，C由观测数-1归一化。当w = 1时，它通过观察次数归一化。

C = cov(___,nanflag)

C = cov(___,nanflag) specifies a condition for omitting NaN values from the calculation for any of the previous syntaxes. For example, cov(A,'omitrows') will omit any rows of A with one or more NaN elements.

C = cov（___，nanflag）指定从任何先前语法的计算中省略NaN值的条件。例如，cov（A，'omitrows'）将省略具有一个或多个NaN元素的A的任何行。

示例

下面举例说明重要的语法格式：

C = cov(A) 举例（矩阵的协方差）

Create a 3-by-4 matrix and compute its covariance

A = [5 0 3 7; 1 -5 7 3; 4 9 8 10];
C = cov(A)+ r6 k# o! ^9 F+ ?9 @* b1 t

C = 4×4
. `- `* J& m1 p6 F# K3 o
4.3333 8.8333 -3.0000 5.6667
8.8333 50.3333 6.5000 24.1667
-3.0000 6.5000 7.0000 1.0000
5.6667 24.1667 1.0000 12.3333
) _7 J+ b% L% f7 @/ Y+ i
5 P% F1 v3 E0 i" V

Since the number of columns of A is 4, the result is a 4-by-4 matrix.

由于矩阵A有4列，表示有4个随机变量，那么协方差矩阵是4*4的。

cov(A,B) 举例之两个向量之间的协方差

1. Create two vectors and compute their 2-by-2 covariance matrix.

A = [3 6 4];
B = [7 12 -9];
cov(A,B)
3 g/ t2 p+ S/ |: O' Y3 ?. g

ans = 2×2
* Y/ _' B3 q- m& ^0 {
2.3333 6.8333
6.8333 120.33336 J; U7 x# Z7 i K

cov(A,B) 举例之两个矩阵之间的协方差

2. Create two matrices of the same size and compute their 2-by-2 covariance.

A = [2 0 -9; 3 4 1];
B = [5 2 6; -4 4 9];
cov(A,B)! m# H& E( b; `

ans = 2×2
1 e! x: i! D& n( Q
22.1667 -6.9333
-6.9333 19.4667
4 m: r( R& O3 a

这相当于求A(：）和B(：）的协方差，如下验证下：

对比下cov(A,B)发现是一致的：

Specify Normalization Weight

创建一个矩阵并计算由行数归一化的协方差。

A = [1 3 -7; 3 9 2; -5 4 6];
C = cov(A,1)" r* M" c: X4 M3 X1 w

C = 3×3
" u8 L7 ^8 G4 v+ ~5 d; R7 w* R
11.5556 5.1111 -10.2222
5.1111 6.8889 5.2222
-10.2222 5.2222 29.5556! ~% G3 o- F4 J% p

我觉得还是有必要比较下不归一化的情况：

>> A = [1 3 -7; 3 9 2; -5 4 6]

A =

   1    3 -7
   3    9    2
-5    4    6

>> C = cov(A,1)

C =

11.5556 5.1111  -10.2222
5.1111 6.8889 5.2222
  -10.2222 5.2222 29.5556

>> C = cov(A)

C =

17.3333 7.6667  -15.3333
7.6667 10.3333 7.8333
  -15.3333 7.8333 44.3333

Covariance Excluding NaN

创建矩阵并计算其协方差，排除包含NaN值的任何行。

A = [1.77 -0.005 3.98; NaN -2.95 NaN; 2.54 0.19 1.01]

A = 3×3
( E1 b# B% A' ?6 r' s; a( R# m
1.7700 -0.0050 3.9800
NaN -2.9500 NaN
2.5400 0.1900 1.0100
2 d- }7 f0 c8 M4 E' @9 G- f5 y1 Q3 L B& Z: r$ V& x

C = cov(A,'omitrows')

C = 3×3
, N1 h6 T" o. U9 j9 n* i- z3 C4 g
0.2964 0.0751 -1.1435
0.0751 0.0190 -0.2896
-1.1435 -0.2896 4.4104
* [! d3 a2 d9 O' X m
/ L7 V, d( O: {! Y

kinidrily · 发表于 2019-11-13 19:20

谢谢分享

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