MATLAB —— 学习一下协方差 cov以及协方差矩阵的基础知识

mytomorrow · 发表于 2019-11-12 10:38

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Covariance 翻译为协方差，因此，MATLAB里面的函数cov也就是求协方差了。至于MATLAB语言里面的协方差函数cov的语法是什么样的以及怎么用的，我们稍后再说，这里首先介绍下协方差相关的基础知识点。

本文内容参考自MATLAB的帮助手册，有的时候不得不说，数据手册才是最好的教材，不仅对于MATLAB，这里提供的都是原滋原味的官方内容。例如我经常去了解一些MATLAB中的相关函数，命令等，都可以通过MATLAB的数据手册；如果我想了解一些IP核以及与之相关的知识，我可以查看Xilinx的官方数据手册，内容应有尽有，相比而言，如果我去借一些书籍去查看FPGA的IP核，不仅版本陈旧，而已也有可能翻译的有问题，让人一知半解。

废话就说到这里，下面正式开始介绍。

目录

基础知识

协方差（Covariance）：

协方差矩阵（ covariance matrix）：

矩阵的协方差：

方差：（这是赠送的）

MATLAB中的 cov

语法格式：

C = cov(A)

C = cov(A,B)

C = cov(___,w)

C = cov(___,nanflag)

示例

C = cov(A) 举例（矩阵的协方差）

cov(A,B) 举例之两个向量之间的协方差

cov(A,B) 举例之两个矩阵之间的协方差

Specify Normalization Weight

Covariance Excluding NaN

' M; S m3 F& }) x
基础知识
协方差（Covariance）：

对于两个随机变量向量A和B，那二者之间的协方差定义为：

其中表示向量A的均值，表示向量B的均值。

协方差矩阵（ covariance matrix）：

两个随机变量的协方差矩阵是每个变量之间成对协方差计算的矩阵，

矩阵的协方差：

对于矩阵A，其列各自是由观察组成的随机变量，协方差矩阵是每个列组合之间的成对协方差计算。换一种说法

方差：（这是赠送的）

对于由N个标量观测组成的随机变量向量A，方差定义为

其中u是A的均值：

一些方差定义使用归一化因子N而不是N-1，可以通过将w设置为1来指定。在任何一种情况下，假设均值具有通常的归一化因子N.

（注意：w是后面要说的MATLAB里面的协方差函数的一个参数而已，在具体的MATLAB函数里面可以通过设置w来指定归一化因子！）

MATLAB中的 cov

语法格式：

下面逐个讲解：

C = cov(A)

C = cov(A) returns the covariance.

C = cov(A)返回协方差。

If A is a vector of observations, C is the scalar-valued variance.2 A( C3 g0 h4 a- Y, l0 p* p

如果A是一个观测向量，那么C是一个标量值的方差。 Y* @* H. `. A% } J! S- S

If A is a matrix whose columns represent random variables and whose rows represent observations, C is the covariance matrix with the corresponding column variances along the diagonal.+ _9 z! X' @. a; @

如果A是矩阵，其列表示随机变量，其行表示观测值，则C是协方差矩阵，沿对角线具有相应的列方差。（协方差矩阵的协方差是列的协方差值）
. t' ~ x* J+ E/ i0 r

C is normalized by the number of observations-1. If there is only one observation, it is normalized by 1.# ]5 N9 D* H H q( L9 i

C由观察数-1归一化。如果只有一个观察值，则将其标准化为1。
. [% E/ P8 |3 L: ~9 t$ \# R' F6 v% ~

If A is a scalar, cov(A) returns 0. If A is an empty array, cov(A)returns NaN.
' _$ E2 I; b! @

如果A是标量，则cov（A）返回0.如果A是空数组，则cov（A）返回NaN。6 F" l4 D& H9 Q% g( A! u

（你看看人家考虑的多周全！）

C = cov(A,B)

C = cov(A,B) returns the covariance between two random variables A and B.

C = cov(A,B) 返回两个随机变量A和B之间协方差。

If A and B are vectors of observations with equal length, cov(A,B) is the 2-by-2 covariance matrix.
6 g; ^% e8 v1 Z+ c0 f& _: _- j2 ]8 \

如果A和B是同等长度的观测向量，那么C是一个2*2的协方差矩阵。8 N7 h$ C# E6 c2 L- Y2 t# T$ v

If A and B are matrices of observations, cov(A,B) treats A and B as vectors and is equivalent to cov(A(,B(). A and B must have equal size.
2 R* W& @) m- {9 x- {; U; B5 U

如果A和B是观察矩阵，则cov（A，B）将A和B视为向量，并且等同于cov（A（，B（:)）。 A和B必须具有相同的大小。
$ N I5 |- L8 ]/ }

If A and B are scalars, cov(A,B) returns a 2-by-2 block of zeros. If A and B are empty arrays, cov(A,B) returns a 2-by-2 block of NaN.7 k4 i" ?/ u y$ a, u

如果A和B是标量，则cov（A，B）返回2乘2的零块。如果A和B是空数组，则cov（A，B）返回2乘2的NaN块。) ?6 N# B4 N8 L1 z6 b

C = cov(___,w)

C = cov(___,w) specifies the normalization weight for any of the previous syntaxes. When w = 0 (default), C is normalized by the number of observations-1. When w = 1, it is normalized by the number of observations.

C = cov（___，w）指定任何先前语法的归一化权重。当w = 0（默认值）时，C由观测数-1归一化。当w = 1时，它通过观察次数归一化。

C = cov(___,nanflag)

C = cov(___,nanflag) specifies a condition for omitting NaN values from the calculation for any of the previous syntaxes. For example, cov(A,'omitrows') will omit any rows of A with one or more NaN elements.

C = cov（___，nanflag）指定从任何先前语法的计算中省略NaN值的条件。例如，cov（A，'omitrows'）将省略具有一个或多个NaN元素的A的任何行。

示例

下面举例说明重要的语法格式：

C = cov(A) 举例（矩阵的协方差）

Create a 3-by-4 matrix and compute its covariance

A = [5 0 3 7; 1 -5 7 3; 4 9 8 10];
C = cov(A)
% ?8 [: \- C2 F* P: V

C = 4×4
% `7 Y8 _& J, u$ L$ x
4.3333 8.8333 -3.0000 5.6667
8.8333 50.3333 6.5000 24.1667
-3.0000 6.5000 7.0000 1.0000
5.6667 24.1667 1.0000 12.3333
& p8 v) w6 i" Q1 T# ~3 f& x
- o' l9 _! A; U) S9 N# c

Since the number of columns of A is 4, the result is a 4-by-4 matrix.

由于矩阵A有4列，表示有4个随机变量，那么协方差矩阵是4*4的。

cov(A,B) 举例之两个向量之间的协方差

1. Create two vectors and compute their 2-by-2 covariance matrix.

A = [3 6 4];
B = [7 12 -9];
cov(A,B)4 t" @4 x( l+ q, G" j3 x

ans = 2×2
6 n- T9 g4 @' e+ M
2.3333 6.8333
6.8333 120.3333
) I% c5 H$ M9 s5 ?% Q" Z0 q9 t

cov(A,B) 举例之两个矩阵之间的协方差

2. Create two matrices of the same size and compute their 2-by-2 covariance.

A = [2 0 -9; 3 4 1];
B = [5 2 6; -4 4 9];
cov(A,B)
u+ I2 u- a8 G% H. _7 ~- w

ans = 2×2
9 T1 }% b* J6 Y, k
22.1667 -6.9333
-6.9333 19.4667
# s9 d% p' B" G' R7 x, ~( _

这相当于求A(：）和B(：）的协方差，如下验证下：

对比下cov(A,B)发现是一致的：

Specify Normalization Weight

创建一个矩阵并计算由行数归一化的协方差。

A = [1 3 -7; 3 9 2; -5 4 6];
C = cov(A,1)
, z5 g$ w! A9 D

C = 3×3
1 A0 ?: k8 v: I* h! i; ]0 f
11.5556 5.1111 -10.2222
5.1111 6.8889 5.2222
-10.2222 5.2222 29.5556
7 g7 A. H2 q* a! P+ n; X$ ~/ c

我觉得还是有必要比较下不归一化的情况：

>> A = [1 3 -7; 3 9 2; -5 4 6]

A =

   1    3 -7
   3    9    2
-5    4    6

>> C = cov(A,1)

C =

11.5556 5.1111  -10.2222
5.1111 6.8889 5.2222
  -10.2222 5.2222 29.5556

>> C = cov(A)

C =

17.3333 7.6667  -15.3333
7.6667 10.3333 7.8333
  -15.3333 7.8333 44.3333

Covariance Excluding NaN

创建矩阵并计算其协方差，排除包含NaN值的任何行。

A = [1.77 -0.005 3.98; NaN -2.95 NaN; 2.54 0.19 1.01]

A = 3×3
W+ T% y7 f; {2 R/ b. @) ~
1.7700 -0.0050 3.9800
NaN -2.9500 NaN
2.5400 0.1900 1.0100
( d) I: w+ F2 K) o, ~2 S4 ^: {

- @; ^& E! S( o1 J0 i. e5 W8 s& T

C = cov(A,'omitrows')

C = 3×3
- j* D, ]0 z2 A5 w
0.2964 0.0751 -1.1435
0.0751 0.0190 -0.2896
-1.1435 -0.2896 4.4104
9 |0 c6 ] h: s8 i/ f0 j9 ^0 v

. E0 V1 ?; ?2 K0 n" [

kinidrily · 发表于 2019-11-13 19:20

谢谢分享

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