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x
8 F$ h6 |5 q! x! i0 N6 X& pCovariance 翻译为协方差，因此，MATLAB里面的函数cov也就是求协方差了。至于MATLAB语言里面的协方差函数cov的语法是什么样的以及怎么用的，我们稍后再说，这里首先介绍下协方差相关的基础知识点。
$ a; T7 L) S5 ?9 y' z/ k7 P5 S. M# b! f n* M. k! Y ]
本文内容参考自MATLAB的帮助手册，有的时候不得不说，数据手册才是最好的教材，不仅对于MATLAB，这里提供的都是原滋原味的官方内容。例如我经常去了解一些MATLAB中的相关函数，命令等，都可以通过MATLAB的数据手册；如果我想了解一些IP核以及与之相关的知识，我可以查看Xilinx的官方数据手册，内容应有尽有，相比而言，如果我去借一些书籍去查看FPGA的IP核，不仅版本陈旧，而已也有可能翻译的有问题，让人一知半解。: z. q- u* c! D: K9 [/ ]
# O- R) V+ e4 Q2 r废话就说到这里，下面正式开始介绍。# ?7 b7 s& [ }
& ^$ I8 `" U1 W
目录
$ T8 K. j+ W7 `3 e
$ i0 O; \" e; e2 p基础知识
. q0 [# Y) {6 A2 F. D6 A) Y; h
; R5 F/ U4 F& r2 }$ w% A/ H协方差（Covariance）：
0 o p1 J8 N9 f- T$ J
& G) X( q( c @* S3 R) s协方差矩阵（ covariance matrix）：( |9 w/ S+ V7 A1 Q" @9 p" `$ Y
; E% t, N6 V$ p- j8 M3 @( {4 Y; s矩阵的协方差：
L0 b/ o* ?7 Y S/ d V0 u/ y9 X2 ~4 l# }, L" B; J0 f9 J
方差：（这是赠送的）
, |8 B7 a" P6 n* ?$ V+ S
7 U$ i" K5 G) TMATLAB中的 cov
1 Q3 Y' U: ]( d2 S U$ y# |0 I* r) Q1 g9 i+ Z
语法格式：
1 M2 L& B; | t4 H5 K; o; s. t1 f' B4 D
- l. G6 L+ l8 R1 ~" i! `C = cov(A)
2 H. S! S, J( @! H( b# W1 h3 `$ Z u9 P; a
C = cov(A,B) , _2 O, @* R( S* H j0 b/ M
; \3 i" ?( p+ o/ D" P; X. ~: sC = cov(___,w)
# W5 D9 c# ^* _) E$ Y4 L
5 ]; [1 A. U1 z9 e2 ^/ [" qC = cov(___,nanflag): x" a' c9 H4 x5 ?
- z% Z, C* V: s' c& u示例6 ?: V9 D; k2 D& M
: X; {; a) E4 l) z1 aC = cov(A) 举例（矩阵的协方差）0 f! L+ Z* m0 L. f
- U) O( X6 w- Tcov(A,B) 举例之两个向量之间的协方差
0 ^8 f! Q5 \5 l% u4 ]
9 I. X7 r, a) @7 e* x- [" {. Y2 O. lcov(A,B) 举例之两个矩阵之间的协方差
; w+ E8 `- }; n+ D) X5 G. p4 k( S( @0 r$ D
Specify Normalization Weight- n, \1 f+ T4 o1 F( Q1 l
/ U- y. \" w0 _: \Covariance Excluding NaN) K/ R9 M* T' Q- ~5 T
2 J/ B1 x1 I0 `; O! ^ t
+ _: t4 J0 e4 ]7 I: N) Y1 I- c
/ F6 z1 v# n% ^4 b
基础知识: l! p% ]+ {4 F4 M, ]& Y
协方差（Covariance）：
+ R" V' m4 R; ]. R4 N! j% A$ S) M: R. w
对于两个随机变量向量A和B，那二者之间的协方差定义为：
6 T- r. Z+ n/ O& b4 `0 b( Q
3 Z6 J o& }- k8 M
5 \) V% }/ N- b- u
" W' M3 q0 o: s: B) W其中表示向量A的均值，表示向量B的均值。/ l% \ w* m0 @ _% y7 O/ ~7 h7 r( t
) r, Y: w/ t% r
协方差矩阵（ covariance matrix）： s$ Q7 r* z/ g/ d8 V* O
% v- C' ^! W0 \- P6 ~0 e' h y" o
两个随机变量的协方差矩阵是每个变量之间成对协方差计算的矩阵，
% j0 z9 x+ p$ D! x8 w; Q, U& T _( ?: i8 W$ {$ e
+ d {. y2 R; f
: S9 c& r. Y* p# _3 G矩阵的协方差：% u1 T3 I J3 g. R
7 _2 M% h7 J2 F( a对于矩阵A，其列各自是由观察组成的随机变量，协方差矩阵是每个列组合之间的成对协方差计算。 换一种说法) r( \- S" i1 l7 ^" N1 Y; B2 ]
$ l% i# v3 f5 I6 u
) N& t0 M& Q9 i- i
9 \+ J' B o( N: Z! m/ n6 j4 s/ k
方差：（这是赠送的）
) t) j; x0 K Y7 ~9 ~; d; T) ?7 u
对于由N个标量观测组成的随机变量向量A，方差定义为
/ j! D) h" z' s0 N5 X0 ?
0 e" N9 f2 n- u$ Z% ?% B
; d" o' G8 I8 ~) n7 r. ? H t, r. |) O. i k4 n, b8 x0 s
其中u是A的均值：
$ b/ r+ t: x( c U* a' w
1 C2 c C+ `" v
" R# V0 y/ V3 k
% w1 D& o. k! a/ K( l, i2 D
一些方差定义使用归一化因子N而不是N-1，可以通过将w设置为1来指定。在任何一种情况下，假设均值具有通常的归一化因子N.
% g, x8 I0 V8 c7 p* B4 V$ @6 ^ y
# q$ I+ L2 M, i（注意：w是后面要说的MATLAB里面的协方差函数的一个参数而已，在具体的MATLAB函数里面可以通过设置w来指定归一化因子！）
2 F7 o; }0 @. I8 e
* S; ~/ D0 D4 v: k, I' S4 T+ s9 \
MATLAB中的 cov
$ N( D( [9 ]) a/ V+ h$ q
- @. T% o$ r/ y* e语法格式：+ g( b! D2 C1 Z* F# e+ [
4 u5 \0 C i6 _+ Z
. s: e$ V# h2 g/ p
5 A7 y5 P8 A O下面逐个讲解：4 `; Y$ _: q' q
. X. T+ b3 u3 B/ A2 eC = cov(A)6 R& X1 N+ x% L( C: o" `8 C0 ~$ k/ F
) Z# g6 U* t7 M( SC = cov(A) returns the covariance., `5 P# J3 `+ I# @& s1 `' D
: r7 t1 y" s9 q, N6 D3 t
C = cov(A)返回协方差。 U* l$ _8 e$ m
% \$ w$ [3 l2 M8 l) f# j( x
- If A is a vector of observations, C is the scalar-valued variance.- q' g# b6 N9 J& | ?6 w
% j- p3 u" A9 {5 A' g: t8 C
- 如果A是一个观测向量，那么C是一个标量值的方差。
: U6 R p7 N5 N/ }' G0 e
7 H F, _; v/ y3 L& i
- If A is a matrix whose columns represent random variables and whose rows represent observations, C is the covariance matrix with the corresponding column variances along the diagonal.
- d/ s! @- y* N+ U
0 H7 u: c& b* J0 A/ U2 Q7 g
- 如果A是矩阵，其列表示随机变量，其行表示观测值，则C是协方差矩阵，沿对角线具有相应的列方差。（协方差矩阵的协方差是列的协方差值）
) f3 L1 p. \ K
( i9 `2 ~1 V7 R; k$ o: F; [% y( A
- C is normalized by the number of observations-1. If there is only one observation, it is normalized by 1.. w) j6 M* N: n6 V7 @
5 w4 w0 y% j& F5 `
- C由观察数-1归一化。 如果只有一个观察值，则将其标准化为1。
) o3 f6 I3 T6 } w# r f
" s/ s/ a( b* x$ A* T; K( K% b9 n- If A is a scalar, cov(A) returns 0. If A is an empty array, cov(A)returns NaN.
P: G4 [* @7 Q3 X9 x$ a* K8 q
' u0 k7 R3 N5 D0 x* b
- 如果A是标量，则cov（A）返回0.如果A是空数组，则cov（A）返回NaN。" L8 ?2 A( [6 m& A# x% B$ W
% _& K" u5 n2 M6 T. m4 v5 W \) l5 i
（你看看人家考虑的多周全！）
/ F6 @8 w7 F: R+ O$ F9 y& ?8 k- E/ G: c; {/ r* q
0 D; q7 d, x& K5 I: w7 u2 f' e
C = cov(A,B) 5 Z' X T2 I- ^$ e2 p/ M5 Z
[' e# _/ b0 t) X9 r
C = cov(A,B) returns the covariance between two random variables A and B.6 r9 E, S) t; ?# k8 U5 h+ f$ r
4 V/ S0 D( C# v8 x* _( D0 I+ X
C = cov(A,B) 返回两个随机变量A和B之间协方差。" j/ j8 m0 J- N$ }9 o
! U8 m: D9 I( k2 j. v) j
- If A and B are vectors of observations with equal length, cov(A,B) is the 2-by-2 covariance matrix.- u/ q; { b: D, T6 W9 r
% M$ O4 w$ O2 x. h: U
- 如果A和B是同等长度的观测向量，那么C是一个2*2的协方差矩阵。
$ X* X. ?# s) j+ w$ x, e5 G3 v s/ b
9 Y( @6 ]3 {2 a9 c! \4 `- If A and B are matrices of observations, cov(A,B) treats A and B as vectors and is equivalent to cov(A(
 ,B(). A and B must have equal size.
/ ~" {$ P; P3 ?0 b( G) Q
# f' v5 S' [6 ]0 D
- 如果A和B是观察矩阵，则cov（A，B）将A和B视为向量，并且等同于cov（A（，B（:)）。 A和B必须具有相同的大小。. t& g+ z$ D N; M- ~
2 n/ ^, ^6 ~& k: H- If A and B are scalars, cov(A,B) returns a 2-by-2 block of zeros. If A and B are empty arrays, cov(A,B) returns a 2-by-2 block of NaN.
, @1 k! N+ O- j$ X6 Z* u D
' E' Z6 n7 E! h* }* U- 如果A和B是标量，则cov（A，B）返回2乘2的零块。 如果A和B是空数组，则cov（A，B）返回2乘2的NaN块。
( T( C. r9 E; p5 N( n+ M3 h
5 b6 j& o, Y0 V( ?2 A3 l
' N) ~9 M: a* |8 I. v
: r; {3 V: Q% k- pC = cov(___,w)
+ w6 C" k1 J! ~- j, N
' C3 ]3 J& n; G, C% EC = cov(___,w) specifies the normalization weight for any of the previous syntaxes. When w = 0 (default), C is normalized by the number of observations-1. When w = 1, it is normalized by the number of observations.* _/ O4 @: I' w# T
$ Q, P. w6 o" Y9 O! @C = cov（___，w）指定任何先前语法的归一化权重。 当w = 0（默认值）时，C由观测数-1归一化。 当w = 1时，它通过观察次数归一化。4 ]& H$ s4 h5 x4 M2 e
* m; N! Q" D( |& ^# V' H
( X* d f, w/ {$ x, I8 CC = cov(___,nanflag)
9 t3 \$ M* a" q8 ^# ~& F X
( Q8 c1 b2 c6 `: tC = cov(___,nanflag) specifies a condition for omitting NaN values from the calculation for any of the previous syntaxes. For example, cov(A,'omitrows') will omit any rows of A with one or more NaN elements.3 v& M3 r1 V" C; U
. k- J6 q+ b7 F! L1 l2 G+ m
C = cov（___，nanflag）指定从任何先前语法的计算中省略NaN值的条件。 例如，cov（A，'omitrows'）将省略具有一个或多个NaN元素的A的任何行。
! w* E3 G( R6 n0 i" [+ w) @+ ]& d. L$ e
( F/ I2 [. e: i! r5 X
示例: ?% N1 A; d0 f# S5 j7 O3 R9 z' K
`5 P* V. f8 f( V下面举例说明重要的语法格式：7 e* p2 J9 {3 B) b) O2 U
3 |: |. O; M+ }C = cov(A) 举例（矩阵的协方差）
) P/ V7 `) Q% X% s' l. {4 Z) Y; h* a' _# j& x3 H! D) W% F
Create a 3-by-4 matrix and compute its covariance* Q; m9 S/ K* n
, m$ t. ^8 S8 R- A = [5 0 3 7; 1 -5 7 3; 4 9 8 10];
- C = cov(A)5 ?1 v- k! S: J. t3 Q3 {& P6 B
' ]: d6 _4 G4 |, Z
$ D) K8 {# l f) d1 A, A$ G. }( O
2 U* |/ T0 x+ K& i9 o/ C+ s3 O! @6 {; u l, A
- C = 4×4
7 f* d/ G; A1 x& Z, m l8 ~- 4.3333 8.8333 -3.0000 5.6667
- 8.8333 50.3333 6.5000 24.1667
- -3.0000 6.5000 7.0000 1.0000
- 5.6667 24.1667 1.0000 12.3333
; f! W3 Q8 e! G, P0 z2 X m7 p% g, B3 j. A( X/ A* R
4 n! {7 o% K5 ?! K& |, `) r" W" h p$ A, O* i
1 P& \% z" r* {6 O" e. USince the number of columns of A is 4, the result is a 4-by-4 matrix.% u7 D- `4 Q( t6 w) ~& z; u% d
6 P; k2 v0 f/ k+ F8 |$ i) q由于矩阵A有4列，表示有4个随机变量，那么协方差矩阵是4*4的。0 \+ ]- B! C3 A
, H0 h1 g- B l5 F0 \
( V$ @4 W) u2 o% O
cov(A,B) 举例之两个向量之间的协方差
0 b7 k" U. n7 F- e" L4 `$ f, F4 {1 l* j
1. Create two vectors and compute their 2-by-2 covariance matrix.3 B% R9 s7 ]' o( g5 ` ~1 o0 d
. `* o4 q5 t# b& C- A = [3 6 4];
- B = [7 12 -9];
- cov(A,B)
( ^# M. o3 F5 R# g0 ^# j( o, {
2 G. y4 |) x0 b0 n0 A! |% u6 |' m( ]" k" O4 S9 ^
2 b# h: S# z, K+ \% t2 x8 @4 |5 N2 D4 I3 z7 {0 o& r, Y9 h
- ans = 2×2
* _! W' l4 {; z b7 ]- 2.3333 6.8333
- 6.8333 120.3333# W8 x9 f7 B0 y( B& J- ^. X! s
) d* ~8 u3 _- p# J0 e5 h% ^# W7 @# q( K( ^2 y3 q0 e0 O# D# s
- B* `! `& t3 ?: k8 L" M2 |4 G0 V2 v) ~( e
cov(A,B) 举例之两个矩阵之间的协方差
( T. D, U( p3 ~. A' x! U2 K8 E; l$ A+ _3 A0 L
2. Create two matrices of the same size and compute their 2-by-2 covariance.: \8 ]# U$ ~; }( z4 p$ n! H$ P
7 y2 X( N9 j5 N( q3 M- A = [2 0 -9; 3 4 1];
- B = [5 2 6; -4 4 9];
- cov(A,B)8 f2 b5 P/ j% _( o
* i8 Z$ I9 A+ R( E7 [1 Y' K
1 J" P# x3 j" V+ C6 y% H
( }8 ?5 F7 a) h) { `9 B
) d( G+ T8 t* E2 A5 v( N _- ans = 2×2
- 5 w3 f; N, T) z0 h5 [1 v
- 22.1667 -6.9333
- -6.9333 19.4667
& S& J; h E! H
5 d4 t, g0 h, V# U: B) N! v+ X# D- A; }( h1 V+ @4 r
5 V% ~0 v9 Q- ?8 ]0 m
+ _+ P1 Y% u g* H3 y这相当于求A(：）和B(：）的协方差，如下验证下：
# l% X+ l4 U8 |, _: y1 [, d) Z2 D# e" C4 u6 }" t
2 I) X. _0 C! L# _; Q8 @, `
8 [8 T( I' e" d) s v9 x
* s0 \3 a+ R* |* g- i. m% X4 b/ I) R
% w5 Q0 I# l8 G! t: c, J; B3 H2 \' R2 H* |4 N4 R" e3 }
对比下cov(A,B)发现是一致的：7 i0 n8 F" J& [1 E2 V& g
. ~: n* y# v+ s7 D1 }
- N; s0 c" l0 n9 K: o
8 Q( U/ O7 U. R; F6 q2 b$ G% s/ K; }% l3 b, Q0 [
Specify Normalization Weight& E4 v0 \! }" @0 K
3 M( E L: w0 _; ^- m0 _/ D" \) S! b创建一个矩阵并计算由行数归一化的协方差。
' n8 h! W" r, f, d' a4 u
' k* f- q5 F, |5 w# Z7 V- A = [1 3 -7; 3 9 2; -5 4 6];
- C = cov(A,1)
3 F; g$ o) `2 l8 K
4 e* H( w% H. Y+ I8 U2 [" V
+ B& {" |+ W5 M* r- C = 3×3
2 X& y- W6 Z2 N, O' k- 11.5556 5.1111 -10.2222
- 5.1111 6.8889 5.2222
- -10.2222 5.2222 29.55564 |" S4 _* d+ \* C
2 R( `% o7 d( [& s. a4 r, W, i4 ?$ Q" f0 I
" {/ e, z6 [! b0 v
: ?4 P$ o6 G" p. I8 w2 I9 W我觉得还是有必要比较下不归一化的情况：
8 {7 x( T; ?8 I) B
! D$ ]; v* h2 {" K# I- G>> A = [1 3 -7; 3 9 2; -5 4 6]2 U* l a6 P) }2 _8 X: Y
) N5 ^- Q/ y( H/ r9 N
A =
9 V( Z2 [ ]0 }3 b3 l; {2 S4 o* K
' Z7 k/ w1 M9 f. J! H 1 3 -7
. L5 i/ Y8 a3 S 3 9 2
: k! [* f3 y* H7 M3 H -5 4 6
$ |$ s) [8 p3 H6 I' n+ S* Y& b
* |3 S$ P. p; t1 l>> C = cov(A,1)
% F# E$ a2 n4 T8 E
) c) k: s9 B+ z9 J) }. f9 \ EC =
5 X% W, v! h! G/ N; N: N; u* y) z8 G( f p, a$ a; x
11.5556 5.1111 -10.22228 L/ f2 V1 k2 N9 g. o
5.1111 6.8889 5.22228 W% c3 h6 m! [. g/ b
-10.2222 5.2222 29.5556
( I+ E/ S x( }, ]& ~: h- B& z9 l: ]. q! t7 t) T& w& U/ J
>> C = cov(A)& R8 Y$ ~! P( T% E/ O" ?) z4 ]
: i0 ?7 a* N5 b7 P: E) [+ `
C =. }, D" c2 P$ F! z3 x
/ s$ j" _# y/ ~+ q
17.3333 7.6667 -15.3333* g: A6 W4 W3 a$ b4 a0 e" k1 w
7.6667 10.3333 7.8333
" r- Z$ f& B3 Q; j -15.3333 7.8333 44.3333
+ g6 q3 d. ?8 I, a5 B5 W4 r1 t% V, l
6 e1 U' U5 x0 o, R% p* b: x
Covariance Excluding NaN
9 s. Q; t& D( j0 v' S
: A& [* I0 i# c* Y2 M9 J5 {% H6 g创建矩阵并计算其协方差，排除包含NaN值的任何行。
8 o1 j( Z* { B' d8 ?7 g: r1 t1 e! q" ~! h3 p, q
A = [1.77 -0.005 3.98; NaN -2.95 NaN; 2.54 0.19 1.01]
4 T9 e; m$ D; U" S. K$ t0 i1 S# i1 g F5 C* E3 E
- A = 3×3
O# q1 e7 X# o- 1.7700 -0.0050 3.9800
- NaN -2.9500 NaN
- 2.5400 0.1900 1.0100
# H/ b* P, ^+ d5 a( {2 d8 B
* M$ N8 g& x( |! _4 G
* ?# ~/ V# v [: ~
! @. t/ o5 G, _7 gC = cov(A,'omitrows')& E, p9 X/ {; ?& a& Y4 y
" a M/ e, v5 I! X- C = 3×3
- 1 ?5 E- ]( u' U2 G& C g; w- R
- 0.2964 0.0751 -1.1435
- 0.0751 0.0190 -0.2896
- -1.1435 -0.2896 4.4104
- 6 X3 h$ v" Z9 S
& ]: K5 V( n9 N% I
" G6 u3 v6 W' c7 U+ [7 o' ?
8 U& }4 E+ K$ S; z0 M
' a# e3 Z- P- s8 A+ K1 L8 ~( i# `0 U" C7 U
* L8 }1 i) l6 v% s/ ]: `1 C0 Z% h" @6 k$ B" X( r
% R' Z" O) W: U: p @
" J& Z2 v+ Z @" W2 M. w, ?$ X- c: J
+ H& c3 k0 {0 d' ~5 h* c) X" l) M
; c3 |, a1 `8 x7 T) ~- `1 F! z4 g# f" P; o f
& a8 t: N" q0 N
|
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发表于 2019-11-12 10:38
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