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7 A4 q2 Z9 E$ [Covariance 翻译为协方差,因此,MATLAB里面的函数cov也就是求协方差了。至于MATLAB语言里面的协方差函数cov的语法是什么样的以及怎么用的,我们稍后再说,这里首先介绍下协方差相关的基础知识点。% Q* N, o7 K, \' {
. K! h; Z, D- K$ N- l* {2 f
本文内容参考自MATLAB的帮助手册,有的时候不得不说,数据手册才是最好的教材,不仅对于MATLAB,这里提供的都是原滋原味的官方内容。例如我经常去了解一些MATLAB中的相关函数,命令等,都可以通过MATLAB的数据手册;如果我想了解一些IP核以及与之相关的知识,我可以查看Xilinx的官方数据手册,内容应有尽有,相比而言,如果我去借一些书籍去查看FPGA的IP核,不仅版本陈旧,而已也有可能翻译的有问题,让人一知半解。
' A( S: J& k2 b2 o% s
" \& h8 _$ q( U" A0 h/ t; v0 a) `废话就说到这里,下面正式开始介绍。
6 y2 l4 W/ ^, a+ I7 A+ `' _
3 i0 p( q2 E: [4 p目录
- }8 R0 E/ q+ f9 \, n
. @% G& s0 c3 [5 [9 M+ c基础知识; g4 X7 R3 L+ s8 |% a$ l
) ?6 F/ D% E* e! }/ p" o协方差(Covariance):
- O. ~9 h$ Q" j* |+ G( U. h9 H5 i* p. ]8 k
协方差矩阵( covariance matrix):
, L" }( D& I6 L4 {$ u; g8 ?# I
0 u/ D9 ]+ B/ g, M0 D4 R' X矩阵的协方差:
1 y$ A& p# v6 I+ i/ Z
" g: l9 U" L6 x* s) b8 O ~方差:(这是赠送的), j& ~8 ^% O9 N; O9 u
; t. x, G+ I2 L, x3 X @3 M1 a* fMATLAB中的 cov; b9 ^4 n$ b5 x. m% m* Z
) t3 g) j% p+ M' ]语法格式:
2 d3 H" r5 o4 Z% Z( q! P E; H7 R. {! {
C = cov(A)$ N% B8 t$ l7 v6 L' k2 O2 f
0 J; U- b$ H0 q0 Q
C = cov(A,B) 5 I/ k6 G7 V* j8 l ]0 ^
: O% ?' y9 E3 @, r" C- P
C = cov(___,w)
3 O/ @3 ^) k: x0 X, N
( a* F$ s) m; `) sC = cov(___,nanflag)' y# ~& D, [5 C, x; Y) P
8 x" S6 x. B+ {4 X9 q: y示例
" Q& j; F) P' g1 w* V) J! C' g2 R& l% K! w; e# t
C = cov(A) 举例(矩阵的协方差)
# _* j3 [+ z: J+ t, Y1 b, H
1 N9 r) C) z0 v$ v0 ?9 Z$ }- i7 vcov(A,B) 举例之两个向量之间的协方差
0 a# d D/ S, B+ @$ Q. [. \0 K; U4 E; c P" W' Y# s/ I4 a# W0 D. [
cov(A,B) 举例之两个矩阵之间的协方差
+ a. G M5 ~# Y0 t7 x' t( m) \% q" u0 W# x7 f0 I, |2 a
Specify Normalization Weight
0 W& h* p0 @7 X8 @" K* v2 E ^
4 R, l u; d/ k6 B, J1 I/ N1 fCovariance Excluding NaN% @8 P9 q% q1 c
3 X7 n7 P6 ]) s7 w/ B3 o. V. F
6 c( u; F- ]1 q' y* w: P
8 u8 @! E& t# c" H& l基础知识, P1 X# O) K# w# `' n
协方差(Covariance):
- ?/ o: a A5 M+ V/ m" H3 [9 Z6 _& t8 Y, N5 i
对于两个随机变量向量A和B,那二者之间的协方差定义为:0 i- g |7 p& c/ K* c2 B
' u, d' S: ]2 y: ~/ @9 [
, F3 [! t- n: S1 K
1 w% g0 P' `% R7 G3 k8 a3 H. y其中表示向量A的均值,表示向量B的均值。1 i, A* U2 f' [; E; T/ B# N
- [ U- R, E) M# g+ a! f
协方差矩阵( covariance matrix):
" _" V. ?( \" b3 y% B9 ~' ]/ G6 p" M+ r5 s" N
两个随机变量的协方差矩阵是每个变量之间成对协方差计算的矩阵, s) c) f( e/ K n H0 B
2 w R6 E1 K( C c3 [
1 {: f. h' X% W) q# Z
2 J6 Q3 s S2 T0 t! j7 j2 `
矩阵的协方差:, D6 z: C& X% Z! L/ O8 c
1 S% \9 M. X4 s
对于矩阵A,其列各自是由观察组成的随机变量,协方差矩阵是每个列组合之间的成对协方差计算。 换一种说法% k% I3 S. w, [) L. q
d7 Q# m9 K' K2 j
9 t6 N% g R# G0 t
F u3 }) ^: V$ _# v3 K) {9 ]方差:(这是赠送的)4 y0 ]9 O: T& O G" r
0 H: Y! b+ ] D
对于由N个标量观测组成的随机变量向量A,方差定义为
, x( @0 O! y) h* x* B8 x
4 v) H5 z5 {! m; G1 f$ W- P4 W: f
2 y/ z" H+ U9 G
/ |/ M: \5 T- U H$ \- z其中u是A的均值:
$ s* |7 R) H3 y" W' \% }* }9 I5 i4 x. }
) S" g$ F* f/ K
H6 d- H; i& B3 q
一些方差定义使用归一化因子N而不是N-1,可以通过将w设置为1来指定。在任何一种情况下,假设均值具有通常的归一化因子N.
, F. f' T2 U+ w; k) H a/ B2 Z) m: H) V* Y/ `! d+ i) E" u
(注意:w是后面要说的MATLAB里面的协方差函数的一个参数而已,在具体的MATLAB函数里面可以通过设置w来指定归一化因子!)
5 C( W3 O+ a O: C0 q$ C
5 X$ J" C$ p5 u& c2 M. p( V1 v2 Q. J7 `- E1 X
MATLAB中的 cov
w3 D. V" A& a) s$ V
2 f- q5 q" Q3 |* O7 ~4 x3 G: v语法格式:1 C* ^. V: k3 p1 S8 v
% o& y) ]0 q' @2 g! i6 Q$ X" p
+ Z' z9 E; j* V& i
; m! h9 }5 Q5 e- [$ A! C# G
下面逐个讲解:1 K4 m8 g0 z1 ]% U
; T' T1 W5 J1 ^/ l1 j0 u3 A, |& b tC = cov(A)
! C. W5 F' T X( Y0 G0 W- h6 z1 H
) q. A) ~! ~. }, R4 h7 C3 Q4 tC = cov(A) returns the covariance.$ | i# E9 b2 N( v) j
: B# A& H* a, A+ \+ fC = cov(A)返回协方差。
0 b" z# g& h7 z' [. ]6 T/ r' a
* j2 f( x3 C; w) Z: ]- If A is a vector of observations, C is the scalar-valued variance." {; _3 ]$ v) ]* C D. R. v
+ j6 ~6 e _5 L0 \- 如果A是一个观测向量,那么C是一个标量值的方差。
+ r' t1 c5 v' \ 5 u& O# g2 |2 c
- If A is a matrix whose columns represent random variables and whose rows represent observations, C is the covariance matrix with the corresponding column variances along the diagonal.
1 R* m1 E/ x+ W4 s% Y: {- K 0 D# B0 k! Q9 I1 G4 A' w
- 如果A是矩阵,其列表示随机变量,其行表示观测值,则C是协方差矩阵,沿对角线具有相应的列方差。(协方差矩阵的协方差是列的协方差值)
- _$ w& L& o Y2 f' u4 o # g6 G' W, k2 {% x9 a7 [
- C is normalized by the number of observations-1. If there is only one observation, it is normalized by 1.0 z5 v- |$ U1 z4 r# K7 o
5 N8 q' }# r% k D1 f- C由观察数-1归一化。 如果只有一个观察值,则将其标准化为1。% s# K( a% o6 }( H" u
9 g0 y( w9 d$ B. E! s
- If A is a scalar, cov(A) returns 0. If A is an empty array, cov(A)returns NaN.
, O' ~; O; b7 R! w + W8 ]$ P7 a% t9 [) I( a# f8 V% {
- 如果A是标量,则cov(A)返回0.如果A是空数组,则cov(A)返回NaN。
1 s& e+ o5 \; d$ n1 H; ^ 2 i G$ t( Q$ D+ R! e- x8 m3 |. v2 X
(你看看人家考虑的多周全!)
# G1 b; E/ k8 [, W: }9 g. o1 L( Z( D2 U; O! q
, C6 c3 q0 {5 G. v2 \
C = cov(A,B) # D" a" J, s# E/ N! m. w
* Z% P9 T- |& F+ D1 i& D0 SC = cov(A,B) returns the covariance between two random variables A and B.
+ ^7 |: v; `" x2 K" D' _ k+ k |" s( x9 P. E7 {
C = cov(A,B) 返回两个随机变量A和B之间协方差。
9 l( {& l$ B( u8 z9 R( x# t* C0 I, y
- If A and B are vectors of observations with equal length, cov(A,B) is the 2-by-2 covariance matrix.
- W. e+ d: t- s' b; _% K/ t: S5 H9 O
+ W" u6 }4 z. F/ Y4 N8 L( ^1 v- 如果A和B是同等长度的观测向量,那么C是一个2*2的协方差矩阵。
! \. O. X# A# Q4 S X . h( n& s6 k. m0 x' n6 m5 r/ z& z' F
- If A and B are matrices of observations, cov(A,B) treats A and B as vectors and is equivalent to cov(A(
,B( ). A and B must have equal size.6 q- J* s0 {- u& H/ T. I7 o
% W/ w8 x8 q! r; s+ k+ j( E- 如果A和B是观察矩阵,则cov(A,B)将A和B视为向量,并且等同于cov(A(
,B(:))。 A和B必须具有相同的大小。8 y) ?# D/ b( q+ ?# w7 ?
) H# y+ d* T: {' q- i2 M5 G- M
- If A and B are scalars, cov(A,B) returns a 2-by-2 block of zeros. If A and B are empty arrays, cov(A,B) returns a 2-by-2 block of NaN.$ M! k8 B9 H0 `4 H1 J; y- G* z- m
$ |3 H/ b4 \" q) s3 m% ]# \
- 如果A和B是标量,则cov(A,B)返回2乘2的零块。 如果A和B是空数组,则cov(A,B)返回2乘2的NaN块。
7 a1 x/ _, h( c; U' g
4 B$ i; m4 M3 u! q+ R) M" U# ~( s0 {
2 q8 o' W: V4 M; u
R/ c- r- E0 x" k, v9 L) K: uC = cov(___,w): i0 I: i1 i7 \- A# x
* `7 s% c. t( F! l- N0 V# F; }
C = cov(___,w) specifies the normalization weight for any of the previous syntaxes. When w = 0 (default), C is normalized by the number of observations-1. When w = 1, it is normalized by the number of observations.
& e. `# o. t' G0 }
l( C3 d( r6 s$ ?7 L+ l1 MC = cov(___,w)指定任何先前语法的归一化权重。 当w = 0(默认值)时,C由观测数-1归一化。 当w = 1时,它通过观察次数归一化。
* Y) @3 A2 V' g9 H9 k0 \1 f8 J p. i' ~# U
0 `( `( M B/ w1 B/ ^C = cov(___,nanflag)$ ^9 R" c4 Z# f
. g/ d2 B- z r4 [( G6 ?- e2 J0 JC = cov(___,nanflag) specifies a condition for omitting NaN values from the calculation for any of the previous syntaxes. For example, cov(A,'omitrows') will omit any rows of A with one or more NaN elements.
1 A% { w) g1 j/ c2 G$ g4 p) T( ?8 d- @
C = cov(___,nanflag)指定从任何先前语法的计算中省略NaN值的条件。 例如,cov(A,'omitrows')将省略具有一个或多个NaN元素的A的任何行。
2 o' L0 @! c' {5 p9 S7 ?: S4 }: q) Z1 ?7 _' k' F3 w
" ]' D9 V$ ?2 J/ Y, X# @( p
示例" A6 M# ?- m/ h8 B' u T. k3 x
- a7 R5 K$ T) S7 X/ o# `/ G0 _下面举例说明重要的语法格式:
5 b/ ?9 h3 q4 v, A! B# W, {' G
C = cov(A) 举例(矩阵的协方差)+ j& B$ u3 w8 v: O2 A
0 M+ ]( E2 Z& t4 q' p! W" h9 B
Create a 3-by-4 matrix and compute its covariance& R2 |* F6 L1 M1 w1 a7 B+ d- b
0 {/ l0 P7 c7 {. |* z8 F; D0 o
- A = [5 0 3 7; 1 -5 7 3; 4 9 8 10];
- C = cov(A)
: S0 A+ j- T! W ) ^8 @2 [$ c( {# Y- K& v4 C
! N0 Y) { z! l0 h" G5 D; N: D% N
1 E7 S% N/ O: M* q; G
$ b" ^# f) L: I$ }( K& }- C = 4×4
- ! L- O. b8 F4 L( W) t1 ]
- 4.3333 8.8333 -3.0000 5.6667
- 8.8333 50.3333 6.5000 24.1667
- -3.0000 6.5000 7.0000 1.0000
- 5.6667 24.1667 1.0000 12.3333
- . U. t( n$ u. s" x
; w3 i( T" Y$ N3 N
1 G) n$ l4 u+ O/ q7 X1 y: l
- F/ G4 ?( K$ w9 E: u/ E7 @2 V' T9 n3 q2 n9 q) e, B8 g: X' [
Since the number of columns of A is 4, the result is a 4-by-4 matrix.0 ^4 j8 u: k* V- b9 _. T j, O
0 j8 p4 p' d5 j' \. @
由于矩阵A有4列,表示有4个随机变量,那么协方差矩阵是4*4的。
* u" {+ v; }- U- D; N6 a4 L$ U! w8 D' k( \" Q4 a( o
0 }2 `, r6 G* S8 L3 Fcov(A,B) 举例之两个向量之间的协方差
+ X7 ^4 x! E& c4 d H7 l! j- w
) a# j6 I6 p5 g1. Create two vectors and compute their 2-by-2 covariance matrix.) ]9 Z4 T& O3 N" i; K
n% g7 ~ g) [; x! M0 ]
- A = [3 6 4];
- B = [7 12 -9];
- cov(A,B)9 O! C1 j* b" }" I) [
0 f% h! O7 m; W" A8 T
& R3 K& Z$ p9 Y8 L$ X
( b5 m8 m0 f- \& n' R
0 E# ?" h, l. V% h- ans = 2×2
- " H3 t& u+ p9 Y# @; c F
- 2.3333 6.8333
- 6.8333 120.3333! C) P7 G' o/ i! ^
2 b: h5 U s9 `6 H. f1 `
4 L; m& b/ S1 H( N, L5 ~3 P& B1 I& d6 Z# V r& @0 C' u7 J
& G; f4 p) T# m- s2 qcov(A,B) 举例之两个矩阵之间的协方差
' l: x$ M3 H) B) {; o E3 Y, V! O6 \) ]3 h6 `( f6 A
2. Create two matrices of the same size and compute their 2-by-2 covariance.
* e) U/ e+ ^, B; h m* g. V0 @% h& q8 g
- A = [2 0 -9; 3 4 1];
- B = [5 2 6; -4 4 9];
- cov(A,B)- E3 T2 Y( A2 ~7 L9 n' ?
% R6 p" V( B1 T1 _. r- a$ ^" C) ^7 Z
% ?8 q) {* J2 x2 T8 N- M# ?
. \8 B( x1 o8 T4 O6 ]( `) w$ w0 g
- ans = 2×2
- 6 P+ V/ X3 D: j6 d! s9 I4 V( I3 n' S
- 22.1667 -6.9333
- -6.9333 19.4667
0 C4 W) J8 `- w9 h+ j" W& w
7 E6 E$ S9 E1 p, K" H6 B$ v+ V, @- h* k9 T1 H
3 h- a8 S6 X0 Y6 G
- N; Z( {. a) k) Z! R) D. u这相当于求A(:)和B(:)的协方差,如下验证下: D( O5 l) A% k3 t2 m0 I$ [
$ o% }9 p |# A9 _+ E! W
4 V8 s' B+ Z3 }
$ i( T7 H) i8 h
( e9 A0 `! W; v3 G- t& N
, y" z) X/ c4 m/ D
. z, g1 d( D; H& j
7 c( @/ R) u+ W8 J4 h1 V, H/ J对比下cov(A,B)发现是一致的:5 Q. _3 O% n* m+ a
2 I* ^; U. ~( z# u- Z' V
8 H( N. u6 K! z$ F& [) U& F
' o5 e: `+ C, @/ n' f
; s+ O8 K- Y! f1 h! ISpecify Normalization Weight9 _: u8 l" X1 u# i
* k1 M6 h2 g' l! U ^/ Z5 z9 M- q; n创建一个矩阵并计算由行数归一化的协方差。! E, W# W$ ^5 K/ A
( }* c% p* r6 C# ?( ^
- A = [1 3 -7; 3 9 2; -5 4 6];
- C = cov(A,1)
% b5 I$ ^; G, k0 A% U
0 _$ g& C5 }% x! z4 R- V
, A. k, }1 ^& g2 i- C = 3×3
& M* Y6 v; s. T! O% A- 11.5556 5.1111 -10.2222
- 5.1111 6.8889 5.2222
- -10.2222 5.2222 29.5556
4 q2 \2 D+ R9 I+ }$ H8 p7 @
9 N) {' v9 t# j4 m4 R6 o7 b2 ?
& f6 Z; ~1 p3 F% |* y* x# b0 A' y0 d' ~
$ q w! b) `: A& w/ O% A! j9 e
我觉得还是有必要比较下不归一化的情况:
# l* [1 y% Q* j% N [& E
s, y! o$ m. A3 Z>> A = [1 3 -7; 3 9 2; -5 4 6]% U; X& B P4 D# z0 R, ~. Q4 u) i' d# J
( E$ R9 L2 }9 Q1 l8 JA =
+ U% M; \6 C) C. j3 J7 o6 z4 @7 ^- |. Q3 J
1 3 -7
$ I. C' S5 l/ Q; H( m C+ v. w 3 9 2
6 \ A( `4 j1 h0 {3 y+ F9 m" ^ -5 4 6
$ D1 e. c' \) {: u1 w |4 X: j: Q4 a7 F D7 T) b
>> C = cov(A,1)" b! X. p3 V5 ~, Y
, D" Q$ @1 J' Z4 u) VC =! |, ]- V+ E+ O1 x' |1 F# w5 L) G
! |3 x$ o$ _5 x) y
11.5556 5.1111 -10.2222
+ V' I) d4 B' @( i) G A 5.1111 6.8889 5.2222
' @1 C6 i0 t7 S+ R -10.2222 5.2222 29.5556. F6 D o S' y U8 x
+ K5 z& D |$ I! ?/ s7 f* T
>> C = cov(A)
) Z4 y6 A/ J, T- X& u! I& O5 b! s, h- x& }
C =
/ ]0 j" R6 C5 X* B3 G* O3 H4 [
* q$ n. M4 b) c2 l+ ?4 W( O 17.3333 7.6667 -15.3333% j( E2 F- l6 L1 Z6 i
7.6667 10.3333 7.8333
6 h; M3 v3 ~; d4 _# c4 V, p( Y& d -15.3333 7.8333 44.3333
9 x' s5 u: q; b+ [# a/ g
( x8 N' p& A" k4 g f# @0 K8 @3 V' s% o5 v
Covariance Excluding NaN) S! x8 Q3 A9 L+ p/ q* E# N
9 O" v) F; L8 D+ ]% Z创建矩阵并计算其协方差,排除包含NaN值的任何行。2 R5 s, H: I& ?2 I( F( V- j$ L
D8 g* i) H; [A = [1.77 -0.005 3.98; NaN -2.95 NaN; 2.54 0.19 1.01]
& Q9 w3 h2 l% c
7 K* d8 V6 m8 U) q( Q* E" U- A = 3×3
- . g! f) C$ E5 I0 _; V
- 1.7700 -0.0050 3.9800
- NaN -2.9500 NaN
- 2.5400 0.1900 1.0100
- " L( F9 C- g O6 w4 u
& F1 J. L, [6 Z; m$ m3 j, i 8 G: e. m5 S7 K( g8 T3 P+ F
- R6 e9 N7 i4 v! y+ Z
C = cov(A,'omitrows')' x6 f5 W$ `% r3 P7 I% k( F
2 ^- M& I7 v$ u4 k$ e( }, Z- C = 3×3
- 6 g3 R$ X1 Z+ O9 V H
- 0.2964 0.0751 -1.1435
- 0.0751 0.0190 -0.2896
- -1.1435 -0.2896 4.4104
: [2 G7 F& V$ v" i5 U
& @1 Z5 |- A( g) g; y
. o+ ?& E) x' c& ]1 z7 i; F+ H9 T, b0 p
' z. m K: I( Y. q8 S) r1 {% o' `+ [6 q+ Z$ A7 B" C. ]2 Z! Q- W7 g
$ A) I2 }' W; X. R* i% @5 h- N( \
, d; V$ X" T3 K. y- F( y% P1 f$ M2 t: f! w g
F# s; M- u1 h; |0 V+ S- k$ Z9 f8 u! V
$ n. z1 e1 K; ?4 G
2 g# b4 h! _$ C
' S( l( D5 \4 _6 g. q E |
|