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x
* S# k$ K9 Q9 s3 o
上一篇介绍了变量的类型和赋值,现在介绍变量的基本运算及常用的系统自带的函数,通过学习这些运算和函数,可以完成一些简单的计算。5 |+ g7 x4 i. U' ]# `; i
% e* v: e. [! o9 W) U( M( l$ E& z
1.数值变量的基本运算5 X+ ^. z. O* C% V: a
数值变量都是矩阵,矩阵之间最基本的运算有加、减、乘(方)、转置,运算符分别是+-*',与数学中的一般表示无异,但仍有一些地方需要注意,以下结合代码进行说明。
8 |1 t* G. b& r/ ~/ p0 z+ B9 M. J ~2 I
1)矩阵加减法只有维度相同的矩阵才能进行,例如
( v: U# z3 K$ i. z; G3 W& \" G, A0 c( H3 S
- a=[1 2]
- b=[1 3]
- c=[1;2], N- m) a* d( }9 f7 J
1 @2 r4 B5 Z; k: \5 W' d. P8 e
则$ U+ \' k6 f5 J$ W; x
8 Q# F. \& k. ]! B8 H+ Wd=a+b6 A& m+ _. F; H
( O: t$ }! G! J; c) ud=a-b" r: R9 V9 ?( J% {- R
+ O# T- B; l. k9 b) O2 Y$ S! ~都是可以进行的,因为a和b都是1行2列," E; |% P# o, j; d a$ `4 d
, u# m4 {2 |. t
' ?2 E0 [; \; _. |3 U* n. c- M6 {; x
4 e0 X6 Y0 W4 o k2 v8 Y- u. a: ^
- \0 I4 @5 Z. C) u
0 h+ ]+ r( X1 J7 o5 B
但- `7 k- R) \! D! y8 `2 g+ p% [- k
+ \8 I$ s/ h- P; |/ x% n: Gd=a+c( B- |% M' s7 C% N8 e! u0 H
) S% d+ r. y6 }- c, a+ K则无法进行,因为数学上,不同维度的矩阵加减法并没有定义。4 M/ p7 V1 F' b& T4 E3 A1 f
( p X/ f+ I: P" j' v1 R
) T& K1 ^2 E9 e' J1 _
' ]7 S; g% u _! ]9 L
% J( k: q, `/ H+ L! v$ d! V2)矩阵乘法只有第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时,才能进行,例如上段代码中的abc,则2 k) I: h: Q& I7 p8 ^* w% d
7 x. Y- Q+ g! J& H" r* p4 \' wd=a*c, H* A9 \; l$ b+ L2 f/ g2 {5 v
, v: }' |* A: }/ Z& [8 Z2 _ q6 F: i; }( _$ S
4 N9 _5 B9 X4 h2 W
- }% {/ E, n* B# B4 N6 q是可以进行的,但9 e+ w2 O5 O* \7 `( `0 O
( U( w4 p, m2 V6 Ed=a*b$ l1 o- l6 Q' i5 ?6 B: y
; c0 D& F5 u0 J' @' _* |5 a
则不能进行,原因同样是因为这种计算在数学上没有定义。还有一种特殊的乘法,也就是乘方,例如3 I5 M: d0 d* \ Z6 _. S
; ^4 \- v, n5 ^9 v9 ]/ P* \( p1 Q
- A=[1 2;3 4]
- B=A*A
5 } f1 z- Z, d 8 ~6 e/ \. S- k- ?* [
- Q6 Z+ \, j7 p6 j
$ F$ V8 x. @2 u! y$ G/ G7 `* V# V# h) l _: S
这样的矩阵乘法可以写成
" @; {+ g6 n. y6 [; d
" D$ j, p# O a5 aB=A^2
: V; b+ ?! i% m' `9 p' @% {
6 S# O, g |9 U+ ^9 u; J$ M
8 {) E* V/ G1 H1 z
- X* v; \ w3 \. B/ G- H( B8 q
当然,数学上规定,只有方阵才能进行乘方。" G1 G$ Y# o7 S' n
4 L) Q, j- W) G9 h( t4 x3 X" J
3)矩阵与数乘除,由于数也可以看做1*1的矩阵,因此这是一种特殊的矩阵乘除法,和数学上定义一样,比如
$ a, l& v: b. \- U( M3 a) I9 X( t* }
- d=a*2
- d=a/2, n: `- Y- C' L0 O
& l$ r0 v2 }6 Q
b0 Q; G- n9 o9 z. k: N- Z. O
% }: b4 i" S7 ~5 I5 K5 ~; i& |9 \" [: v# p
这些都能进行。- T# a! X! ]' B+ Y, H
( Q% s4 B! m k9 `! G* Y$ `; `
4)转置,任何维度的矩阵都可以进行转置,例如
+ k) g4 H$ J8 d, }# E. _4 ]6 S* S& j- |
: {+ v! z1 r( f d- s$ Od=a'
6 J7 O, F o) o3 k6 |. E+ R% V/ w, r; D4 Z4 q" b d3 {2 w
% |% l+ \) b3 B6 @5 a1 v
0 \ F( j& n8 t- p; k2 T0 R就会将a这个行向量转置,得到一个列向量d。需要注意的是,这种运算更准确的说法是共轭,对实数矩阵而言,这两种说法并没有什么区别,但对复数矩阵而言,共轭的意思,不仅是把a(i,j)和a(j,i)交换位置,更要把所有元素的虚数部分乘以-1。0 t& ]* S& ^; `! v5 o' l Z2 F
. k# c# u Y1 F9 i* Y
2.数值变量的特殊运算' s2 R# ^' C% }
6 a# T! q- k9 l: |8 N
& Y; a" v. E9 v; s
和其他软件不同,matlab里提供了一些很有意思的运算符,有点乘.*、点除./和点方.^,这些运算符在本身的运算符前加一个点,可以实现很强大的功能,但由于和一般的运算符太像,也造成了很多人混淆。这些运算符有很多叫法,比如.*,一般称为点乘、元素乘、数乘,这些叫法都是为了让这个运算符区别于普通的乘,有时为了强调这种区别,也把通常的乘叫矩阵乘。
C+ P/ ?! `1 A- ]/ |" o
& B$ I" D$ \8 B2 ~ 简单而言,这些运算的含义是将矩阵作为一般的数来进行运算,比如; i6 h3 P6 ~* [9 B2 c% ^6 b% y+ X
" v8 h* H& S1 ^! w% V% b) X( n' E
- [1 2 3].*[4 5 6]
- [1*4 2*5 3*6]
- [1 2 3]./[4 5 6]
- [1/4 2/5 3/6]
- [1 2 3].^3
- [1^3 2^3 3^3]
( M6 C4 Q7 @0 u: u; c6 p! p7 j
9 L) T$ ~+ W$ v! W/ D5 |. j
0 y" c2 {/ Z+ {$ [7 b
( J: e) _/ w5 ?! @4 h W4 z
7 w! |1 |, r: \* {% c所以这里点乘和点除需要注意,只有同样维度的矩阵才能进行这种特殊运算。另外点除还要注意不要除以零,虽然matlab并不会报错,但除以零在数学上没有定义,所以这种除法其实已经失去了意义。
6 \' F J0 E: b, V1 [& Q- a6 \) y9 F6 |
于是,什么时候用矩阵乘,什么时候用点乘,其实是看计算的目的,但有些时候,这两种运算符的确是等效的:
5 i4 [" @3 N3 W ]! e
) d1 s/ L9 N' ?: U/ g1)数字的乘除
/ ^8 I- R2 A7 f y4 f* H0 }+ p, T' l# W! m+ f7 T; |/ P
- 1*1
- 1.*1
% n# c6 I- s- y0 |9 h( \
/ S! M4 O- M- B3 m& r) _/ X- R. @' Q0 w9 v# j. x
当然结果相同
' D6 X3 ?: d7 n0 N% _
- C' E& Q$ U: w! _( ?, ~2)矩阵与数字的乘除# b* G5 W4 `* i' {% Q
, E7 g9 w( h) b R9 p- 1*a
- 1.*a
6 M% i M# I, _% N; K+ o
, A+ @* _9 ~6 b6 ^0 s$ P! r! I! V: i; C) R% w! X) f$ w
结果也是一样的
4 o1 U! ~! _# `0 w6 c7 F
: Q6 r& G# y$ h- @1 h; m1 z1 h& ^3.数值变量的常用函数
! G. @8 h) r. j* m% m& D1 S
* L1 |% v$ r' w/ i6 \: \ 这里的函数都可以通过doc+函数名查到更详细的帮助,因此仅列出典型用法。+ N( y7 f+ v d1 d3 {
# o$ E- W" g C- a=ones(3)
- a=ones(1,5). ~1 \9 g7 l' F
6 W. @9 ]( u1 ^4 o8 {
7 v) u8 R/ p- N: b" h1 n- N
' y1 J4 B' Y9 N% M/ }( D" Z i& L0 H: b2 e0 o
生成指定大小的全1矩阵, P3 ^% R [( r0 n' M5 t
9 Z# D0 ]. q C+ b5 u& I- n- a=zeros(3)
- a=zeros(1,5)
, W" X$ b0 Y( ~, G" O* m6 y+ ^ 3 Q4 S- _& ]$ T0 [2 e" x
( W/ W8 r; }& f
2 W, p! Y3 O* W0 A$ b+ x9 A
5 z( o/ ]4 P, {, ]. _9 r. G生成指定大小的全0矩阵) U/ w8 F% N& |1 O7 \: Q, w
5 L& K) B! G; d2 r- R! _a=eye(3)4 Q' t: N2 z3 \+ e
5 t: j; a; i/ ]
& Q7 V$ B, G& g# Y" u2 @0 l
' @2 [; }+ k: I( D( v生成指定大小的单位方阵
! g- ]$ y2 ] x+ R' ]- R8 H6 u2 I- E3 M: _% e& u; N
inv([1 2;3 4])6 P3 n& K2 K2 N* \+ A, h
7 W7 }& o( p n
矩阵求逆,只能对方阵操作。matlab有左除法,通常更高效,如有需要也可尝试- V2 b5 c( T7 G" S
, N) p: N# ?2 isize([1 2;3 4])) a/ b- q) c" C. M4 T
I+ ~) B I, a, K, f& p
获得矩阵的行数和列数& ^! N% o( o/ a+ x- P/ z) B2 `
1 f/ N6 H. J# @6 C' N1 L w, `
% R+ Z4 X+ ]& T5 V' y
, D. ] A% U, r- b1 _也可以通过4 m( G1 N5 N- ^* ~$ b" y" I! K
9 x, W" `4 l' {
size([1 2;3 4],1)$ N' Z- `6 X! a& P, \% C P
; L, U1 W8 u5 u0 ^5 k" f1 l/ I0 ?单独获得行数或者列数( f+ |& w3 _# }9 q6 s" C3 U) P$ J
9 x& t$ \5 S0 H2 v% O5 K9 U
( J g5 K! d5 l
4 Z& K/ b. s/ ^9 |/ a i$ c+ Glength([1 2 3])3 j, l% h, L* z3 R
' l1 J1 O/ n0 p5 c! C. z+ t1 @) l" |获得向量的长度,这个命令也可以对矩阵操作,当然一般只对向量操作- M. X. O! N, E$ d# q) r
! y; ^/ D6 Z0 {& Z+ m& u- max([1 2 3])
- min([1 2 3])0 i; x O: X' M( M* p: ~
; }7 C D, \9 ]9 [* M% D
0 a) |; c) l2 B8 G. N" G# T O- T
' j, n6 d6 O# K1 \* n
3 O0 Z+ A! _1 w2 p* D6 F获得向量的最大和最小值,也可以对矩阵操作
5 _+ E7 H, x8 }, G
% m$ v2 r6 V- d5 f1 }2 D! Psort([2 1 3])& h# R7 e+ {* v* j$ t; b; b& J' T
8 ]" {9 ^; O* u7 I' ?/ P# N
4 i% g9 y- ?3 [- G( Q9 j* w6 m* k7 R4 m$ r1 y# m# p5 P/ G& u1 Z! `
按大小对向量进行排序,也可以对矩阵操作
' e7 b" O7 U A, A7 d
3 x5 g$ Q# m7 x' H- I+ u9 tsum([1 2 3])
; A$ H% Q3 V7 _. @' C8 \ z
3 y7 m9 y% Q* V( R" N. N& Y
! T* Y) {3 B A0 j& G
; z1 v, H( c) X* Y8 z) ^3 T求和,也可以对矩阵操作2 E3 @; b8 ]& o* Q" M! ?
( q% R6 l7 V1 ~; Gcumsum([1 2 3])
7 s( r- M) D* w' R
3 S# ~6 z1 k' p1 L) \. O* p
3 m' [2 s# g5 y, H8 `' q9 S6 ^
3 c5 f) v% J; g, F. f: K# `: F累积求和,类似求定积分,一般只对向量操作,需要注意的是,累积求和后,结果和原向量长度一样
9 ?# U9 ]$ N4 a# p. I
2 C4 \1 Q( G. l; {0 s/ [9 n- cdiff([1 2 5 6])5 t# R! w2 |* i* j2 }7 Q
2 b7 J8 E+ k3 ` P
7 d7 A7 y9 w* F J+ z1 @7 i3 s3 `' M- h
差分运算,类似于求导,一般只对向量操作,需要注意的是,差分操作后,结果的长度比原向量少一
& ~9 e$ h; P: z' T) f
2 a( g" D; G% K& Xplot([1 2.5 3],[5 6 4])6 c l& i. T1 R/ R
& c, a9 ?3 F8 H5 j$ d9 k1 F
* |: _$ a- F r7 I
5 Q+ j& E V1 L7 d画图,需要注意的是,两个向量的长度要相等才能画图
- o5 b* p$ j6 E
$ a4 C. I5 ~0 w4 Y+ i- {exp([1 2])) s4 d g0 Q3 t
$ l# }# R" R+ F- }/ A
指数函数,类似的数学函数还有三角函数(sin,cos,tan,asin,acos,atan),对数函数(log),这些函数在对矩阵操作时,相当于对矩阵中的每个元素进行操作,类似点乘这样的运算符。: F7 m! I" s5 H" d* a+ o; g
1 y$ t' f. g. s3 }6 k
# P2 k4 u+ L% b9 O$ H$ K% A/ D8 z+ D
) E5 h* b! ]) k! Y9 _1 a6 Y
) |: d0 s% [& X! ]
2 l5 ~' w/ h3 s; y3 Z) l+ z- Z& Q8 X; u2 m% n- D* S
* x5 A0 @' N. j# v2 l! C
1 e- y# \: i( i7 K5 K$ J# F6 g0 Z* e1 I' [4 H
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