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x
, V9 W: A6 l% ?8 |7 F4 J
上一篇介绍了变量的类型和赋值,现在介绍变量的基本运算及常用的系统自带的函数,通过学习这些运算和函数,可以完成一些简单的计算。
+ S1 T# H" S2 t7 a1 \! `- U; W
+ H/ p4 M7 F* T" C$ D+ B$ Q- D% H1.数值变量的基本运算+ D& [9 y/ }, c$ k' d |4 Z# w
数值变量都是矩阵,矩阵之间最基本的运算有加、减、乘(方)、转置,运算符分别是+-*',与数学中的一般表示无异,但仍有一些地方需要注意,以下结合代码进行说明。0 Z3 L& Q3 R5 ~# ~, w
! n9 G* n. d2 a7 T6 o! H( K1)矩阵加减法只有维度相同的矩阵才能进行,例如
. n4 k2 J1 s# a/ ~0 |* z v$ D$ s# M7 c' i
- a=[1 2]
- b=[1 3]
- c=[1;2]9 m+ q9 ?1 _$ u3 |! ^" [
# E: N. `+ d- \+ {& _
( i* o7 u" ~1 |' v则
: C1 L5 G# d- o% V2 ]: ]0 o
* ?( A9 v0 N5 X( z$ I- xd=a+b
5 t. l8 H9 ]9 T- I
) F9 D$ F+ w4 k9 R( `* Vd=a-b
, O1 h# ^5 N# U: D
8 |4 l! Q* W4 X, x" K$ F都是可以进行的,因为a和b都是1行2列,
* [, I- U% L+ a7 @5 P/ ^! _6 n/ }/ N8 h, T
7 N6 @+ Q2 g/ Z2 {( P. W
4 g# S1 O, {* O% R Y0 I
6 I( p) Y+ V# u1 n+ \$ E, {
8 X4 v' |8 [ r3 Q* r3 g但
# B3 n% o3 ]0 M% z. x: q$ x
: c0 J& b/ _, z; {" S, f2 md=a+c
8 o Q4 D/ [* Z7 |* M9 b
7 r% p2 Q, b( l7 T: u8 _9 v2 m则无法进行,因为数学上,不同维度的矩阵加减法并没有定义。
i5 a9 v# x9 W6 y
3 d3 @6 s) K: n, R( L
' \. j/ s! @5 M2 B9 c |
0 e; L8 b1 l0 z
* @2 J* a" C. f4 n8 C4 I7 E
2)矩阵乘法只有第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时,才能进行,例如上段代码中的abc,则% H) U* K8 ^: W4 S1 E: \% p, h9 S
% A. x. G! ?) V6 r
d=a*c
+ s1 ^5 r2 Q% L9 T- S( H9 P) L1 U, u7 S& F5 z6 G5 b2 `3 A: H
0 v, g& l# I# T1 r4 o1 r% q) N& t: o) J
! {# o j: Q1 d6 V% N2 X: Z
8 a) k# o( h* n/ S" N, P5 h
是可以进行的,但
( W$ v3 y7 V$ `5 `/ J6 G+ G" n9 A6 _" n0 r8 F) ]" m* b2 s
d=a*b
: T) P) _: B% _4 \% N, V7 S! G0 E* M6 l& U. J; u# ?" Y8 {
则不能进行,原因同样是因为这种计算在数学上没有定义。还有一种特殊的乘法,也就是乘方,例如
, k7 D7 V+ j+ j
# c# x7 N: ^/ C: r- A=[1 2;3 4]
- B=A*A& t# g; y, c6 t1 {; O
& `4 C/ P2 w# Y1 A+ ~8 M j$ S, p1 x* K. X2 `$ i
, ~) r5 A7 S2 t' c: s$ H9 K
* b( H6 ~- N. Z2 L. V$ Q$ E这样的矩阵乘法可以写成
4 ]0 ?0 y' F2 j1 I3 A+ G: K) M, L+ g0 e+ t1 x) _
B=A^2
6 X2 Y3 e9 v- d/ g7 w8 K; m
# r Q/ m5 p# I1 D# b) V
- v/ Z# y L- Q
9 |) M6 {, M% C& I" Q& B当然,数学上规定,只有方阵才能进行乘方。7 K$ l2 K* }* a
( I) C8 ]+ ?! a& C3)矩阵与数乘除,由于数也可以看做1*1的矩阵,因此这是一种特殊的矩阵乘除法,和数学上定义一样,比如! C% |. ]# V8 ~* R* u* G1 M
- e! `9 ]6 s& Q; }5 {- d=a*2
- d=a/2
0 e$ |/ G( e5 x$ A; {, B0 H, u* i 9 s- j, Q6 s) d; T
8 G& i- H% r% R, L2 L9 Y1 q
! l9 ^! T( `( |( t' R9 \8 w% u
% n4 t+ ^' b6 r8 S G7 T这些都能进行。9 C& H: `" P( n9 `# M5 q
2 j* [2 ~5 D: j( f6 J7 L& Q3 Y3 Y4)转置,任何维度的矩阵都可以进行转置,例如7 ]- j& R4 V4 r" g
, S# T2 s8 y. V1 t' Pd=a'
9 r: _* b1 L% k. W% h3 |$ K) _& D1 J7 y2 }9 M3 w/ A3 y# {2 u6 s5 A' e
$ `9 I# z! w( y; x5 E7 t" ]
$ j" |4 S O! T0 s/ d7 t# k4 J
就会将a这个行向量转置,得到一个列向量d。需要注意的是,这种运算更准确的说法是共轭,对实数矩阵而言,这两种说法并没有什么区别,但对复数矩阵而言,共轭的意思,不仅是把a(i,j)和a(j,i)交换位置,更要把所有元素的虚数部分乘以-1。
, A* S _3 u" A3 ]/ Q
1 h( x6 N. C. @2.数值变量的特殊运算
3 c& t6 M o" {% x) r6 x) Y2 K# g4 T) v
5 J' o ], j" W( [* f7 r
和其他软件不同,matlab里提供了一些很有意思的运算符,有点乘.*、点除./和点方.^,这些运算符在本身的运算符前加一个点,可以实现很强大的功能,但由于和一般的运算符太像,也造成了很多人混淆。这些运算符有很多叫法,比如.*,一般称为点乘、元素乘、数乘,这些叫法都是为了让这个运算符区别于普通的乘,有时为了强调这种区别,也把通常的乘叫矩阵乘。
1 ^# \6 Z+ X- c9 n4 l: o1 I& d: @/ t8 x- i/ B( n
简单而言,这些运算的含义是将矩阵作为一般的数来进行运算,比如: o4 ^; u& a' X0 l( O) h h
. ?2 C1 ?/ j7 D4 W/ C& d. k; h) f1 F
- [1 2 3].*[4 5 6]
- [1*4 2*5 3*6]
- [1 2 3]./[4 5 6]
- [1/4 2/5 3/6]
- [1 2 3].^3
- [1^3 2^3 3^3]
5 Q9 [& i5 ]4 {% }3 j4 k
) v U; L* Z% t* g/ c; y
$ V! B5 V4 ]; r6 z0 @8 Q& w
$ e3 D( m0 U5 p0 x/ g
! K; y: u( q. P2 U
所以这里点乘和点除需要注意,只有同样维度的矩阵才能进行这种特殊运算。另外点除还要注意不要除以零,虽然matlab并不会报错,但除以零在数学上没有定义,所以这种除法其实已经失去了意义。7 Y/ m; F w5 L9 t
9 r& \" m* ^3 f" y4 Y 于是,什么时候用矩阵乘,什么时候用点乘,其实是看计算的目的,但有些时候,这两种运算符的确是等效的:" `$ j' q. Z1 m; v
# i* X& x2 L5 @) k* @$ R2 M
1)数字的乘除
; `: S4 H7 X Y; q ?* p. i$ T9 Z4 o/ H% f2 h! d
- 1*1
- 1.*1 i# [( d6 I+ M0 n4 S! X* N" v8 y
5 T2 d' U- v' ~ [4 a
- x/ O! Y- n& w+ t9 u/ v v9 {当然结果相同# A$ m# u8 {. y
, q" u0 M& G! A% ?
2)矩阵与数字的乘除
j3 W4 r* |3 S7 g, K* I1 Q( v4 a4 ~; c% H; B' E
- 1*a
- 1.*a5 v$ Q+ A6 J* ]& c
N8 B5 L! y8 Z; p
+ P) c+ p R8 ~! B" S结果也是一样的8 Q& U0 h$ @" G; e. W" y+ E; Z0 ^: l. g5 X
' i3 }9 l* o. e2 Z; L) S3.数值变量的常用函数
I, _# e: Z5 A5 p1 b" d0 m" n6 x! `6 \9 v* T
这里的函数都可以通过doc+函数名查到更详细的帮助,因此仅列出典型用法。
( r+ Y) }! c) e! K7 Y1 o
+ L3 b) I3 c* I- a=ones(3)
- a=ones(1,5)/ e {2 T' K3 {
8 p% i6 B, I" U& Z: O& s
, r0 g& h( p! ]- g
. Y; c! j8 a% p) e' H, Y' F( h, c
7 |, P, R0 |+ [生成指定大小的全1矩阵6 R; g( j' j2 t9 L" Z! c2 p2 R
% v! S) ~5 w u! I
- a=zeros(3)
- a=zeros(1,5)
: [ ~. o, @8 j9 ~% B% b, o
: Q* R+ @4 h. a: z! r& f+ ~. R' {/ m
" n' ?) E2 H. d8 d9 ^5 X& \
: v6 ~2 M7 f9 x1 l4 M1 k
生成指定大小的全0矩阵# P: g. h9 S T5 ^4 k
V: a6 @ f6 S, ca=eye(3)0 D* t, B. r) F/ f* \- L& ^$ d
% i4 T, k8 e/ H( `; l' j) A. z
" h: Z% @9 f7 M& o0 |
7 h/ c2 m3 @( O
生成指定大小的单位方阵2 H4 p8 @0 J( p& g5 i
% q7 g& W+ N0 W3 g _
inv([1 2;3 4])
* @8 P2 q. `6 o5 P7 j1 q1 R2 X7 Q8 ~$ J
矩阵求逆,只能对方阵操作。matlab有左除法,通常更高效,如有需要也可尝试
& X8 [) z; o7 B) O" L% b
% Q: p: T1 I# [( A' @size([1 2;3 4])
; s) W7 Z* x7 |
: c m; j' S8 |! W. J3 m8 n获得矩阵的行数和列数3 s6 L! s% o9 {% C3 p
" V0 y5 e6 S! `4 r! B
3 V" a6 x; G; J, \7 [# A% ~: H o. T L/ Q; Q
也可以通过
3 H1 ^5 a9 j4 f2 Q, r3 ]0 W5 M4 t- a, p. M- g! N! R3 P% t: r3 ^
size([1 2;3 4],1)! W: h9 W: C% p
$ g- D" O1 ^8 z) l6 b2 H% i- ]5 u
单独获得行数或者列数
* y* r, v; c1 f2 a$ `5 J& y2 u* u% U1 K; b
( o, H o% I. k5 N5 z z" W6 e. o0 ?& k, W5 ~, [6 j
length([1 2 3])
% a8 T8 k$ B7 V% O l; g: G/ E# M5 _! e) Y7 C+ ^+ I
获得向量的长度,这个命令也可以对矩阵操作,当然一般只对向量操作
7 x+ ~7 k- o+ L; H8 q( A9 ]9 Y% Y7 i' R& ] C H
- max([1 2 3])
- min([1 2 3])
# w8 [" e; j& u7 x8 {
7 R( b- @/ m2 f
9 M# l& V8 y0 H: {
9 w% o1 c/ y; g: e9 y
& ^( W3 M) O& Q3 ? }( k( `获得向量的最大和最小值,也可以对矩阵操作
% l' E" F' _; |
8 Z9 K# ~# O9 V gsort([2 1 3])
1 E: b( g( V/ _* [9 `# M9 e; r6 x+ I) J& o# x
. v8 Z F2 b$ C! I. H# {2 Z* I2 q. j- t. `( D$ J; p- A
按大小对向量进行排序,也可以对矩阵操作2 c* F( w6 J* T
+ S1 v" ?0 F% R \+ v7 [
sum([1 2 3])
1 h7 p) Y* x E2 [2 i4 s& b- d! }. S( Y9 Q" p' k
/ }+ z8 ^% d% `/ {$ X0 N2 y" p; [( n( U$ N
求和,也可以对矩阵操作$ }4 u$ J* i: B$ c9 l
2 c" C3 `! Y) }" O b4 U1 vcumsum([1 2 3])0 i b) t" y, j1 D
, E3 J5 Y1 x( p& W* z
* d/ S8 Y( X6 _7 b. P$ S: A, U$ l$ `* ^' R# s$ {
累积求和,类似求定积分,一般只对向量操作,需要注意的是,累积求和后,结果和原向量长度一样9 i% }4 K% q- W& A4 g/ E
/ V$ T4 ?* F2 z8 @. O- odiff([1 2 5 6])
) E& Z% c- U" i, q' W7 u# V2 r9 j# u% X( k* i7 Q
) X* `! Y1 d" i9 B; z
0 M0 f9 ^0 Y' h8 ]* k. L7 m差分运算,类似于求导,一般只对向量操作,需要注意的是,差分操作后,结果的长度比原向量少一, l( l0 ?. j w- i9 b' [+ a. Z
1 G) l; r4 R4 Z& Q a
plot([1 2.5 3],[5 6 4])
& [4 F. j3 E# D' r J9 I) _" }* T
$ P) R% Z( O" [$ K2 E9 g
8 I2 x0 A! R7 r7 R+ p* y- j/ [1 B v
7 U8 ^- l( [. n6 U画图,需要注意的是,两个向量的长度要相等才能画图
$ f8 S3 I1 B- b4 }$ c# E0 n
+ j, D. q1 {+ ]exp([1 2])$ B. y/ s) q) ^: F( n
/ a9 g+ H; T5 y$ C" R* A& y" p指数函数,类似的数学函数还有三角函数(sin,cos,tan,asin,acos,atan),对数函数(log),这些函数在对矩阵操作时,相当于对矩阵中的每个元素进行操作,类似点乘这样的运算符。
% N6 Z( U- _7 I. k5 h+ {# Q/ `( |0 o" R+ w9 t" _& t
: n6 l& G* F, c) ?9 ~
& D+ N' m; v. j2 l4 z/ k7 v5 `7 [; i' c6 S0 E
$ d9 ]' v0 ?9 c1 t; [ X; R, Y$ Y
; o$ Z: }- D- q% I7 d, ^
6 p, \" _8 ~* D3 r$ [( D( K8 M) w% A4 O. d( f3 V
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