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x
2 g: V* \- [) E5 x
上一篇介绍了变量的类型和赋值,现在介绍变量的基本运算及常用的系统自带的函数,通过学习这些运算和函数,可以完成一些简单的计算。
* q4 F7 `, A% C2 [
9 d. W5 D- R1 [ h/ t4 ^4 p- x1.数值变量的基本运算3 L- V: R5 N, ^4 j
数值变量都是矩阵,矩阵之间最基本的运算有加、减、乘(方)、转置,运算符分别是+-*',与数学中的一般表示无异,但仍有一些地方需要注意,以下结合代码进行说明。* j6 R5 f2 `# Q# j1 ~+ O6 Y& z
7 p0 L5 p" |, w
1)矩阵加减法只有维度相同的矩阵才能进行,例如9 E& `1 `1 [7 c3 H" q: L
0 a) ^9 s0 ~2 r( m) J) D- a=[1 2]
- b=[1 3]
- c=[1;2]! F# K; S' M* ]! D
1 l9 f& \6 g5 V8 E; j% X
: J" h7 f7 x; j
则9 W7 t- W; q) C0 \8 ]" E
( _, [0 W% O' i' {* ]
d=a+b
9 \0 j1 O; l9 T, a% Y1 e( d& h& J6 e7 n0 p
d=a-b
9 S* d8 _; ~' V c
, a) k& G+ e3 B6 ?, h都是可以进行的,因为a和b都是1行2列,
; S: {" f% Y5 h+ d# o8 Z7 k) B! H) y
; [. c7 @5 h+ Z& z) _1 g7 z: q* u: l9 |( @, P0 L0 e
' d- p0 r. C: g2 c. o* j
S' T3 o7 }4 Y4 T- {# l# A8 O4 J& P+ t( B
但
( R; U& d1 i6 E& F$ R# G
! _5 W9 T' q% g& y, T5 vd=a+c
1 S4 _; r% S3 [, }7 a) U
/ a7 e! I' Y7 u* z, |* Z则无法进行,因为数学上,不同维度的矩阵加减法并没有定义。
1 ]& S2 m( d! m* b: C: o2 B' j* P Y& H. {6 Q% r$ j8 V
5 w; d+ y* Y5 }
+ r2 X- Y5 ^3 w. F4 _1 x T
. y! W) i2 a. Q* d% ?% L% L2)矩阵乘法只有第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数时,才能进行,例如上段代码中的abc,则) D8 t3 C( H% ~; a6 G- j
; m( w* `- J' h1 N- Id=a*c6 R0 P! U N7 U
/ Q5 b; [, F: v f/ z8 O1 @* \
$ S* M" d7 E9 ?/ W9 d/ S* g# U
9 i, U% i# p5 ]7 K2 [+ S. f: a6 s% F+ o7 D) s3 C& c: J$ r
是可以进行的,但) U/ w0 K7 a, A" D. d
+ `( {8 K( J' Cd=a*b
. [" [$ e! U: H& e/ O; e. i% {. \! a" m
则不能进行,原因同样是因为这种计算在数学上没有定义。还有一种特殊的乘法,也就是乘方,例如
/ L7 s: W8 @2 s8 j
, t3 m; ?' r0 [( {- A=[1 2;3 4]
- B=A*A; k$ r. b5 d& X) O! ?
- W! n d# ]4 u" q# M' }. ` `1 x- o
" \: g" m" b }) g
4 U9 j) f9 |7 o7 a- r- T6 v/ J- [
这样的矩阵乘法可以写成2 A, n) L8 X+ w' @9 G8 O
( z8 i! b+ }; k: H+ F" D5 X! m( DB=A^2
& l( m8 M5 K- r5 d* x% Y
( O$ [+ X3 j) g8 @- L+ o m; ]5 a- R
i* y2 E9 \ C* a0 ?9 i
$ l9 v1 \$ [' V G% f+ p5 ~当然,数学上规定,只有方阵才能进行乘方。
- Q; x4 F+ k s% Z, ]3 L$ |. @! c4 f1 f
3)矩阵与数乘除,由于数也可以看做1*1的矩阵,因此这是一种特殊的矩阵乘除法,和数学上定义一样,比如! s- h: c, z+ f9 k0 Q
; P; M9 {1 G6 H( Z8 _, N3 x/ ^
- d=a*2
- d=a/2
4 {0 a2 V) V( u; z ) a: H" Y7 L% H
4 R2 t* G5 k" k$ ?
$ Y* R& C! s* r$ F) c- [1 X- R
2 p6 [! s! a# s" N9 U, ^* j& Q. t这些都能进行。 x3 X& y' H4 X7 |5 g' |
: T- b8 v; Y7 x4)转置,任何维度的矩阵都可以进行转置,例如
6 y: v3 F. w+ m6 r: m( \# w8 k+ Y) R4 X- b
d=a'$ i- b! J: ~9 p* i
. u9 c: |# Q3 @& g% r! V
7 S! j- H5 F. r+ l. x+ X
" H$ K; i. ?/ m! p- f. @
就会将a这个行向量转置,得到一个列向量d。需要注意的是,这种运算更准确的说法是共轭,对实数矩阵而言,这两种说法并没有什么区别,但对复数矩阵而言,共轭的意思,不仅是把a(i,j)和a(j,i)交换位置,更要把所有元素的虚数部分乘以-1。
2 Q3 y3 a- v0 G) W D0 k5 l! ^5 F2 m; D! C
2.数值变量的特殊运算
* {5 u4 ]8 f8 e
" ~* m5 [% }, o1 N$ w
: r( |& ]. y9 `: v( V 和其他软件不同,matlab里提供了一些很有意思的运算符,有点乘.*、点除./和点方.^,这些运算符在本身的运算符前加一个点,可以实现很强大的功能,但由于和一般的运算符太像,也造成了很多人混淆。这些运算符有很多叫法,比如.*,一般称为点乘、元素乘、数乘,这些叫法都是为了让这个运算符区别于普通的乘,有时为了强调这种区别,也把通常的乘叫矩阵乘。: l( P& J( r1 Y5 @' J% ~
" k6 b8 V' d0 w 简单而言,这些运算的含义是将矩阵作为一般的数来进行运算,比如
5 b$ p; @+ y# M7 L2 Q" U6 i
! n. t3 O8 J$ N- S* C4 T1 D- [1 2 3].*[4 5 6]
- [1*4 2*5 3*6]
- [1 2 3]./[4 5 6]
- [1/4 2/5 3/6]
- [1 2 3].^3
- [1^3 2^3 3^3]" N7 @! W: g, U5 G4 g1 E
4 ~7 c- F/ S% l/ q2 M6 ^' ]$ ~+ D+ j+ C5 \2 }3 q
; j. d: N: a9 @5 m! k- ?$ ^% A
# c( q. i7 m# ]7 T- I( r: ^- J所以这里点乘和点除需要注意,只有同样维度的矩阵才能进行这种特殊运算。另外点除还要注意不要除以零,虽然matlab并不会报错,但除以零在数学上没有定义,所以这种除法其实已经失去了意义。" c6 k* A6 F& m4 S- I5 r2 k
" r* \ p" Z! r" [% K6 `1 ^
于是,什么时候用矩阵乘,什么时候用点乘,其实是看计算的目的,但有些时候,这两种运算符的确是等效的:* f% b/ m6 ^- z( b6 j+ W1 v a0 ~
" Q8 T( f% {) i
1)数字的乘除
1 A. O6 P9 a; d$ K% c7 h
! v4 y' D) s1 D& S6 ^& _; I
' v6 ?) t! I* T, c1 d" X) P3 N! n
$ ^; R5 H5 {2 A! c \当然结果相同
/ `* A1 w" q# i4 _# [2 o* ` Q' k( O2 Q, [! F
2)矩阵与数字的乘除0 B t/ W9 ~# z4 ^# I! p+ D( m7 p
2 ?) r" _2 N3 g/ I; f6 K& K% a
- 1*a
- 1.*a; ~0 M O3 |0 O# S1 C: X5 j, K
% D: k" s; b# G- ^% J
' x5 [9 N: {& W% M9 B4 o4 l' Y& @
结果也是一样的
8 W x X/ [6 u$ l& F% j3 Q ]3 \
3.数值变量的常用函数
5 x, G1 i2 K& p" }& s
9 K0 a4 s$ e5 d- l! {3 I 这里的函数都可以通过doc+函数名查到更详细的帮助,因此仅列出典型用法。# x. i q) P r1 w/ k, [6 ~6 S" [
1 H( Z5 Z6 S+ A7 r# |7 |4 f- a=ones(3)
- a=ones(1,5): o" n$ M( |: x; c4 C
1 F* H# R$ i- Z% K# R3 {
* o2 v% Q% @( {& W
3 h" Z; P6 S% t$ \! K
1 y! L" E9 |/ ^& P4 ~2 `生成指定大小的全1矩阵1 m" U/ i1 n' b
( O3 A: q: h, q$ Y/ W
- a=zeros(3)
- a=zeros(1,5)& A: B; p/ J* Q8 C9 @' j6 c: T
2 N, I0 s; X# U, G/ C+ k' ]
7 d3 J" M0 C1 e4 j( v8 \0 v
1 W6 {9 m4 D8 i) ?
/ d9 [/ ], ^. B9 p+ H) ]9 h" X生成指定大小的全0矩阵/ m( N0 W/ w. ?1 ^
" U7 n- B" q4 v x8 }a=eye(3)
, B) {# Y) j+ }5 B
5 i" F* a6 n v+ A# N, X
s3 z/ e' I T. T7 T; m V
' T' L6 U8 t3 }. X7 {/ ]5 L生成指定大小的单位方阵
# ^8 w* l1 p4 w$ R" w' Y
- L6 ]4 s3 y, {/ kinv([1 2;3 4])
+ G7 b7 ^: l; D; h4 n9 I
# F8 ]% ^7 R$ o; n矩阵求逆,只能对方阵操作。matlab有左除法,通常更高效,如有需要也可尝试
8 m6 h4 Z6 @$ w! P/ q# `3 r& M9 N0 [( y. b, i! D5 r" p0 J* J( ~
size([1 2;3 4])& a( G; D3 D! [. S" m ?2 A% n" l
V4 ~# {2 e) \7 s' `
获得矩阵的行数和列数
. D" `9 Q. c1 }: C/ ~. B5 ?
! z% q, J: b- L# I2 E B5 @* K
T) y) `; w# s4 V% G% ~8 X
9 y7 k" A' s9 `+ R
也可以通过3 H/ y& |4 o; J2 U: W
/ m% ]* C2 ~3 J$ U, b L" |7 g
size([1 2;3 4],1)
$ S F# G2 d, [, b) Z' Z5 @) ?/ h2 e: m1 t/ v( E
单独获得行数或者列数
' G$ Y$ v0 J+ h+ K k5 b- ?
6 l6 P" R1 V- m5 {
0 h) `" H/ p3 l$ F, X/ g0 ]+ ~/ b4 H% z3 c" D0 W$ a, `
length([1 2 3]), i1 C7 i$ x# Q( [2 e
a7 j0 k2 L9 x5 y: s/ w/ c6 i$ m获得向量的长度,这个命令也可以对矩阵操作,当然一般只对向量操作$ }( G" X i8 t I# {8 W" F% V
6 t7 \. v; W( f% _* g; N T
- max([1 2 3])
- min([1 2 3])) j; N1 d- P6 @/ ~% X2 @
2 L: R" b; n2 n7 U( ~+ J V% O& U5 l
- f, c* w, d7 W0 f
, |5 l, {' h/ G, X; L8 I: j
+ K' y4 f0 c. O( D( f# x I获得向量的最大和最小值,也可以对矩阵操作
8 p/ l9 r! t& s/ y7 u
+ I. u; F; w: z8 _8 t; B2 bsort([2 1 3])
; K; V* b8 c( A3 h
( b2 ?+ p1 r2 ^0 o9 W8 [& ^
5 _2 H! J" T' a5 \/ N8 t
# ]7 B' H6 w, t3 R按大小对向量进行排序,也可以对矩阵操作$ E& o; _6 R# [& f% ~* r3 d
$ B, ~0 j) [: X0 ?, O. csum([1 2 3]): C' {; ~1 U! ?
% t; X8 D1 I* e+ r1 {% e
! P, ^0 X* ^# K( x6 g: n
; y. ?! u' `0 \( W L& |6 e求和,也可以对矩阵操作
% f! T- q) i( R7 K. N5 {. |" u5 S5 t+ `% f
cumsum([1 2 3])
/ G X; c4 f' y0 X1 B4 i1 x- ]. U8 R2 s- A) e J& ]+ _+ O
& [& @! U% J7 n, Z$ E
g' l( O2 M' Z7 ?2 n; z6 v# v
累积求和,类似求定积分,一般只对向量操作,需要注意的是,累积求和后,结果和原向量长度一样6 y% }$ N# A0 H7 C/ x1 _8 }
6 ?3 n: ]! z" q2 g- rdiff([1 2 5 6])
8 p: g. a0 G8 {6 E9 D- M m; M+ W: [2 {6 _& s8 S) [8 F' z
# m7 K+ @) J6 |
) [% D& I; V H) o差分运算,类似于求导,一般只对向量操作,需要注意的是,差分操作后,结果的长度比原向量少一
( n" [/ c& }# f& g7 l
4 L% j3 }7 d6 dplot([1 2.5 3],[5 6 4])
! {! K3 r u& N; l2 S# P4 A- k# N+ Y+ F% o
# P% R& P0 ~4 s" j* N
^% h4 z$ L: \4 \
画图,需要注意的是,两个向量的长度要相等才能画图
( x# N/ C3 H& S! l- D5 v3 W
8 c B& F d; s+ Z4 d9 v; Jexp([1 2])
3 h" |8 N4 R5 `# w$ V4 y7 Z) c) ?1 K
指数函数,类似的数学函数还有三角函数(sin,cos,tan,asin,acos,atan),对数函数(log),这些函数在对矩阵操作时,相当于对矩阵中的每个元素进行操作,类似点乘这样的运算符。( k# P( v4 |4 G, M. V
) `" u2 K* l! `+ c- H9 V1 |6 d0 p# [# r% `) ?) \9 p. |
: v* M( D4 y- U4 m3 o
2 f! f$ {* g! e$ N& s: W% g
" B5 W) U+ ~' N4 Z" f, Z
4 g% T0 u% U' x, d, H7 a
( U6 ~6 x5 h, }9 H |' f" V6 o$ i, C/ X2 k3 e% S
! v9 y9 z! v" z# h6 D, J
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