Matlab 符号表达式和符号函数的操作

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Matlab 符号表达式和符号函数的操作
4 U4 i4 H8 x9 d. v8 L" e; i, e+ T) k
6.2 符号表达式和符号函数的操作
6.2.1 符号表达式的操作
7 {2 ^5 `( B$ [, |* }
【 * 例 6.2.1 -1 】按不同的方式合并同幂项。
EXPR=sym('(x^2+x*exp(-t)+1)*(x+exp(-t))');
expr1=collect(EXPR) % 默认合并 x 同幂项系数
! ~& i  r! T5 N: W' w0 R: X5 Cexpr2=collect(EXPR,'exp(-t)') % 合并 exp(-t) 同幂项系数
- J- N6 [# X6 {, w, F: Mexpr1 =
x^3+2*exp(-t)*x^2+(1+exp(-t)^2)*x+exp(-t)
8 v0 @2 ]+ }% k( ^' fexpr2 =
x*exp(-t)^2+(2*x^2+1)*exp(-t)+(x^2+1)*x

0 f5 V8 K8 ~8 R4 [* v【 * 例 6.2.1 -2 】 factor 指令的使用
（1）除 x 外不含其它自由变量的情况
; i7 q# c! p3 O  n6 Wsyms a x;f1=x^4-5*x^3+5*x^2+5*x-6;factor(f1)
5 |1 R. [- b: t% _ans =
(x-1)*(x-2)*(x-3)*(x+1)
# B# j7 n4 q# J) s0 D
（2）含其它自由变量的情况之一
+ X  Y% z. g* v7 t. uf2=x^2-a^2;factor(f2)
- b. T; U* _9 r/ v7 R: X
ans =
+ p- T+ O5 d3 a: |(x-a)*(x+a)
2 V( ]6 |  O6 Q6 p- C- T
（3）对正整数的质数分解
factor(1025)
ans =
1 z' t' ~% n! d0 k5 5 41

【 * 例 6.2.1 -3 】对多项式进行嵌套型分解
clear;syms a x;f1=x^4-5*x^3+5*x^2+5*x-6;horner(f1)
ans =
-6+(5+(5+(-5+x)*x)*x)*x

# ?( U+ p9 {8 ]* b& b% n【 * 例 6.2.1 -4 】写出矩阵各元素的分子、分母多项式
. H* n& t! N0 f: p8 Y（1）求矩阵各元素的分子、分母多项式
+ k7 f, @/ n/ s: |6 I" Gsyms x;A=[3/2,(x^2+3)/(2*x-1)+3*x/(x-1);4/x^2,3*x+4];
7 k) \5 u: F2 q- _! ][n,d]=numden(A)
$ f3 u% C1 |2 Ipretty(simplify(A)) % 为方便阅读而设。请用 simple 代替 simplify 试试。 <3>
n =
[ 3, x^3+5*x^2-3]
[ 4, 3*x+4]
d =
[ 2, (2*x-1)*(x-1)]
2 \$ E( v  V# g* H  t( z[ x^2, 1]
; _! A1 u# H) a' Q  d8 n[ 3 2 ]
" |1 P* }" @* x% q! @[ x + 5 x - 3 ]
[3/2 -----------------]

: D1 H1 K5 h" N% |3 L1 Y
8 m! ^* K& E8 M# r; U) E; w8 _) R

[ (2 x - 1) (x - 1)]
$ @5 }9 s# N- x% y/ G6 ?[ ]
[ 4 ]
2 t9 H7 d+ C  a: \) p& i' l4 ][---- 3 x + 4 ]
[ 2 ]
: [7 g9 F5 d$ Y5 @6 Y2 R[ x ]

（2）请读者自己运行以下指令，显示结果应与指令 <3> 相同。
# }( u3 R3 F  ]8 Y* opretty(simplify(n./d)) % 注意这里用的是“数组除”，而不是“矩阵除”
[ 3 2 ]
# @# ]  A: q6 @: X" Q- J[ x + 5 x - 3 ]
[3/2 -----------------]
[ (2 x - 1) (x - 1)]
[ ]
5 Y" }8 Q+ a3 b& ?[ 4 ]
[---- 3 x + 4 ]
7 h. J# W7 e2 q$ f/ V7 ]9 J0 t[ 2 ]
[ x ]
1 l; S- x0 B" K( [! N8 d

- _, r/ H0 \7 Y. ^% I【 * 例 6.2.1 -5 】简化
9 f+ _5 ~6 M6 {: }! `（1）运用 simplify 简化（即使多次运用 simplify 也不能得到最简形式。）
- o: q6 e1 z1 G3 A* ~- J8 S% ~% u8 }syms x;f=(1/x^3+6/x^2+12/x+8)^(1/3);
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1 e. Y2 P% w' ~& e; N7 b
sfy1=simplify(f),sfy2=simplify(sfy1)
sfy1 =
((2*x+1)^3/x^3)^(1/3)
9 v& \& G! y9 @3 a2 Esfy2 =
( x2 i, w$ Z5 P/ M- i((2*x+1)^3/x^3)^(1/3)

（2）运用 simple 简化
- N8 J) Z) K8 V9 T" \! r- ug1=simple(f),g2=simple(g1)
g1 =
; i9 O1 g/ z0 X. I4 O. w(2*x+1)/x
( E( `5 {( B/ c% C5 j; ng2 =
2+1/x
' P+ T$ y# r& d: _$ H9 n
0 q% F& z) L1 y
6 X) n( x6 E4 H+ v3 I) s. A【 * 例 6.2.1 -6 】简化
syms x;ff=cos(x)+sqrt(-sin(x)^2);
3 p: P: V- m; K( w/ S. x( r* wssfy1=simplify(ff),ssfy2=simplify(ssfy1)
% C5 D, \+ y# h# o" V$ Rssfy1 =
- ~: u- V+ k3 A, s/ ^cos(x)+(-sin(x)^2)^(1/2)
: X# }" G3 g* k6 C- \3 jssfy2 =
1 K) N5 x: S" z, A$ x+ Mcos(x)+(-sin(x)^2)^(1/2)
0 D$ L# e2 h* ]" pgg1=simple(ff),gg2=simple(gg1)
6 S! J- R8 ]# i5 I9 Q+ ~gg1 =
cos(x)+i*sin(x)
gg2 =
exp(i*x)


8 P5 M# P+ ^/ e7 Q6.2.2 符号函数的求反和复合

  ]+ T& m; O" D6 \

　　

/ ?  ?; U& C4 f7 `6 X9 {1 V2 o. E+ L$ e
【 * 例 6.2.2 -1 】求 的反函数
* m. x2 r1 j- q$ {: l' zsyms x;f=x^2;g=finverse(f)
/ J; h# d# d" ?4 X' T% O6 s) E/ eWarning: finverse(x^2) is not unique.
8 Z8 R$ @, e, x, L! ~' g2 `/ |& E> In E:\MAT53\toolbox\symbolic\@sym\finverse.m at line 43
g =
6 q7 h6 r( [& S6 kx^(1/2)
* E& c# z6 I/ K7 H. d
fg=simple(compose(g,f)) % 验算 g(f(x)) 是否等于 x
' o$ z* A) Y; w: F  Afg =
5 L! M& H* S# y, g4 I  D8 Kx
' G( d2 H8 j7 i  h- ]7 D
【 * 例 6.2.2 -2 】求 的复合函数

; T& B' ]6 a+ E; X（1）自变量由机器确定
syms x y u fai t;f=x/(1+u^2);g=cos(y+fai);fg1=compose(f,g)
$ t5 j/ n% J& Q2 f; I- m+ Y; Cfg1 =
cos(y+fai)/(1+u^2)
8 l/ g' U* S( c3 X; V, \! c: E
- z! G/ ?4 N+ b$ c（2）指定自变量

2 w# C& d6 r; |7 P$ K/ efg2=compose(f,g,u,fai,t)
fg2 =
; t0 g  K" L  M6 Tx/(1+cos(y+t)^2)

' |, j+ w3 G. O0 u  Z5 l3 B' e  N
; |9 S8 Z2 h% k1 d- Z& O6.2.3 置换及其应用
7 Y! U" {4 q/ W2 ?7 z. X6.2.3.1 自动执行的子表达式置换指令
; K9 D- V0 k3 d- e2 v/ J/ |' ]
( K* t+ v/ }7 [9 v2 w, S【 * 例 6.2.3 .1-1 】演示子表达式的置换表示。
clear all,syms a b c d W;[V,D]=eig([a b;c d]);
' Z* ~2 z$ @; R7 C0 B[RVD,W]=subexpr([V;D],W) %<2>
RVD =
% B: i, X5 E  `/ Z7 o[ -(1/2*d-1/2*a-1/2*W)/c, -(1/2*d-1/2*a+1/2*W)/c]
( k# N! w# T% }[ 1, 1]
# u9 H* p7 ]6 h( U3 `& N[ 1/2*d+1/2*a+1/2*W, 0]
[ 0, 1/2*d+1/2*a-1/2*W]
. X1 {% h" F2 t5 |W =
& p6 W" P$ h3 ^6 ~% k(d^2-2*a*d+a^2+4*b*c)^(1/2)

( n" f0 G! `# K- K/ o
! ]: E: X$ p7 e3 B) z6.2.3.2 通用置换指令

" y" N- W# [3 P6 H9 h; Z, C2 \" z4 C【 * 例 6.2.3 .2-1 】用简单算例演示 subs 的置换规则。
（1）产生符号函数
syms a x;f=a*sin(x)+5;

2 b! j2 K3 L1 c3 C! F- h（2）符号变量置换
9 S5 h7 E: Q9 c% Y$ @, Kf1=subs(f,'sin(x)',sym('y')) %<2> 　　

" w4 }% }5 d' h$ Y

f1 =
) D. S; O) U. Y5 za*y+5

（3）符号常数置换
f2=subs(f,{a,x},{2,sym(pi/3)}) %<3>
) ?: X4 N, `5 Q6 z6 n2 H+ E5 jf2 =
3^(1/2)+5

（4）双精度数值置换（即所有自由变量被双精度数值取代。取 a=2 ， x=pi/3 ）
f3=subs(f,{a,x},{2,pi/3}) %<4>
% e# J- l6 k0 n. `& n/ jf3 =
' b6 I6 O- Q4 S8 z) K9 l6.7321
3 |( S5 H! i' m
（5）数值数组置换之一（取 a=2 ， x=0:pi/6:pi ）
f4=subs(subs(f,a,2),x,0:pi/6:pi) %<5>
, h% N. v2 e1 E: ~f4 =
5.0000 6.0000 6.7321 7.0000 6.7321 6.0000 5.0000
( V" \: r! H' x* E
9 T! @3 g2 x8 w  e（6）数值数组置换之二（取 a=0:6 ， x=0:pi/6:pi ）
: t" q! O; t1 `; Hf5=subs(f,{a,x},{0:6,0:pi/6:pi}) %<6>
f5 =
5.0000 5.5000 6.7321 8.0000 8.4641 7.5000 5.0000
+ R8 g4 m: t- F" ^

% ]  W& F: S( L7 @% V6 L, @8 u8 J7 l  N6.2.4 符号数值精度控制和任意精度计算
7 J+ ^% y5 e- J( }6.2.4.2 任意精度的符号数值
! i* w+ K( L9 N' t! s. n
# ?, s/ l: G, U8 T【 * 例 6.2.4 .2-1 】指令使用演示。
% O& }$ j9 B: Udigits % 显示省缺符号数值计算相对精度
9 d! ]8 `7 _5 I. G: U2 R6 b  BDigits = 32
p0=sym('(1+sqrt(5))/2'); %p0 为 (1+sqrt(5))/2 准确值
p1=sym((1+sqrt(5))/2) %p1 是 (1+sqrt(5))/2 在数值环境下的近似值
0 t* u- {% b+ \e01=vpa(abs(p0-p1)) % 在符号环境 32 位省缺精度下，观察 p0, p1 间误差
' Q9 ~) e( {# _6 A( pp1 =
7286977268806824*2^(-52)
e01 =
.543211520368250e-16
p2=vpa(p0) %p2 是 p0 在 32 位相对精度下的近似
" z7 z- R6 k1 je02=vpa(abs(p0-p2),64) % 在 64 位相对精度下，观察 p0, p2 间的误差
$ J, v: f# N! rp2 =
1.6180339887498948482045868343657
e02 =
3 A  c3 y- _, @( o.61882279690820194237137864551377e-31
digits % 验证 vpa 变精度计算不影响全局的符号数值计算精度
Digits = 32
+ V( m  `8 F9 x/ u7 X/ K( N1 G

( q" F6 Z' `0 k& D2 T6.2.5 符号对象与其它数据对象间的转换

【 * 例 6.2.5 -1 】符号、数值间的转换。
phi=sym((1+sqrt(5))/2) % 把数值对象转换成符号常数
double(phi) % 把符号常数转换为双精度存储的数值
phi =
7286977268806824*2^(-52)
ans =
1.6180

【 * 例 6.2.5 -2 】各种多项式表示形式之间的转换
syms x;f=x^3+2*x^2-3*x+5; % 生成符号多项式
# ~8 H8 T6 I0 m: v( Msy2p=sym2poly(f) % 由符号多项式产生数值系数行向量
p2st=poly2str(sy2p,'x') % 把系数行向量变成易读表示式
p2sy=poly2sym(sy2p) % 把数值系数行向量再转换为符号多项式
pretty(f,'x') % 显示符号多项式的易读表示形式
sy2p =
1 2 -3 5
6 \3 ~  t* P: Q8 f) q% wp2st =
x^3 + 2 x^2 - 3 x + 5
p2sy =
7 z( Z2 ~. m1 f8 u1 F, \x^3+2*x^2-3*x+5
, G+ C5 v7 T# B' O# E2 @2 S  B3 2
4 s+ l! ~# f+ r! y# M& Bx + 2 x - 3 x + 5

7 U6 N3 N9 E2 j# C! M

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