Matlab 符号表达式和符号函数的操作

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Matlab 符号表达式和符号函数的操作

. r! n: `* e; M6.2 符号表达式和符号函数的操作
6.2.1 符号表达式的操作
) r# [! l: n" b' P
3 L" O3 C; p1 V: d  k) ~【 * 例 6.2.1 -1 】按不同的方式合并同幂项。
4 ?* W4 n& i" t- l, [$ h6 {" UEXPR=sym('(x^2+x*exp(-t)+1)*(x+exp(-t))');
' H5 T- _, w  i6 v% X! Rexpr1=collect(EXPR) % 默认合并 x 同幂项系数
expr2=collect(EXPR,'exp(-t)') % 合并 exp(-t) 同幂项系数
expr1 =
" T, u) b, J( |) k. M6 |x^3+2*exp(-t)*x^2+(1+exp(-t)^2)*x+exp(-t)
: g7 C9 V& G! R/ sexpr2 =
! J- {' t6 `7 N- Ax*exp(-t)^2+(2*x^2+1)*exp(-t)+(x^2+1)*x
2 W/ L! u% f; w6 s6 D
+ A0 ~7 W; O; K5 {3 j【 * 例 6.2.1 -2 】 factor 指令的使用
（1）除 x 外不含其它自由变量的情况
syms a x;f1=x^4-5*x^3+5*x^2+5*x-6;factor(f1)
0 N" m# l9 E, U  uans =
(x-1)*(x-2)*(x-3)*(x+1)

（2）含其它自由变量的情况之一
" D0 l; c8 P' [0 h2 ~4 T; Vf2=x^2-a^2;factor(f2)

& U1 K, `8 i0 ?4 x; \ans =
; j& X# S  U3 Y4 }5 r# n9 l, ~(x-a)*(x+a)

7 K, i/ G8 i/ z5 X（3）对正整数的质数分解
factor(1025)
, X/ B% W5 X$ [* a* Nans =
: {4 O5 ~; F' D* C! Q6 H  D* Y/ n: N5 5 41
8 r/ M' p" g! }, V' U# v# b5 U& G
【 * 例 6.2.1 -3 】对多项式进行嵌套型分解
1 b; l# j* [9 y& k7 v) q) Y# Oclear;syms a x;f1=x^4-5*x^3+5*x^2+5*x-6;horner(f1)
ans =
& ~1 m$ i: O4 Y# Q( E, s' X. ]-6+(5+(5+(-5+x)*x)*x)*x

【 * 例 6.2.1 -4 】写出矩阵各元素的分子、分母多项式
9 h: B9 }; C  g3 V$ z. t（1）求矩阵各元素的分子、分母多项式
syms x;A=[3/2,(x^2+3)/(2*x-1)+3*x/(x-1);4/x^2,3*x+4];
[n,d]=numden(A)
1 a; Y3 p2 ?/ ^; L7 ~$ L" |pretty(simplify(A)) % 为方便阅读而设。请用 simple 代替 simplify 试试。 <3>
" {/ `) m+ U) w+ T: vn =
[ 3, x^3+5*x^2-3]
[ 4, 3*x+4]
d =
9 |! v+ ~) J8 `; U& R[ 2, (2*x-1)*(x-1)]
[ x^2, 1]
# c* x$ B3 h, O7 X( L6 F[ 3 2 ]
* Y( I9 k' p9 ]5 n' ?[ x + 5 x - 3 ]
3 l( p' V9 h# ]/ @* @[3/2 -----------------]
- U8 ?, o8 o: d9 \3 y) s

; i% D# C4 l0 i, n' w1 p4 ?' \[ (2 x - 1) (x - 1)]
[ ]
- \" b: k2 T& R) Z' Z  P[ 4 ]
8 X7 p( Z% G9 J/ E* g+ P[---- 3 x + 4 ]
[ 2 ]
; V2 B6 ?: z3 \' Q5 w5 _0 {) ^[ x ]

（2）请读者自己运行以下指令，显示结果应与指令 <3> 相同。
4 N# r) v' L, `6 m( g, R  opretty(simplify(n./d)) % 注意这里用的是“数组除”，而不是“矩阵除”
1 D/ P( \# W- W1 |; l[ 3 2 ]
[ x + 5 x - 3 ]
& r" A+ ]/ h, j: h1 |- q[3/2 -----------------]
[ (2 x - 1) (x - 1)]
0 z4 q$ r0 W- H4 A( G# U) O[ ]
# t4 {9 s1 J. \% Z[ 4 ]
. E/ p4 Q  ~; q) H3 ~[---- 3 x + 4 ]
[ 2 ]
[ x ]
* ]: s% u6 j- o

, i) g6 p2 \8 W) M9 `) N5 N( Y! }【 * 例 6.2.1 -5 】简化
; m1 E" D$ o  h# Y6 K" c0 t3 Q* |（1）运用 simplify 简化（即使多次运用 simplify 也不能得到最简形式。）
syms x;f=(1/x^3+6/x^2+12/x+8)^(1/3);
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# `- ?) Y2 C( a3 M6 d: C$ q
sfy1=simplify(f),sfy2=simplify(sfy1)
0 h/ }, k1 k: c! j: J. Msfy1 =
: B2 N. Y# g5 F$ q' H((2*x+1)^3/x^3)^(1/3)
sfy2 =
((2*x+1)^3/x^3)^(1/3)

# |- L; ?  r' I( _（2）运用 simple 简化
g1=simple(f),g2=simple(g1)
g1 =
(2*x+1)/x
g2 =
  Q" b* B8 x9 P0 \/ y- \) S7 d2+1/x

( E* V8 L7 I6 b& z
, K! u. \1 H! I, v7 F/ o【 * 例 6.2.1 -6 】简化
syms x;ff=cos(x)+sqrt(-sin(x)^2);
ssfy1=simplify(ff),ssfy2=simplify(ssfy1)
ssfy1 =
& ~  C2 o& d, X, U* T3 ^cos(x)+(-sin(x)^2)^(1/2)
ssfy2 =
cos(x)+(-sin(x)^2)^(1/2)
$ k9 x" k% o# b; S; H* D1 ?gg1=simple(ff),gg2=simple(gg1)
: ?& A+ z6 `, U# J0 Wgg1 =
3 |. K" U6 n  \/ j9 ~. j& J- p3 acos(x)+i*sin(x)
6 c* Q6 y: [2 Bgg2 =
; c" a5 j8 t/ ^* {7 W% yexp(i*x)


, w% d, V  Z) a1 Q6.2.2 符号函数的求反和复合

" `! G& J7 W! c! a; p8 {

　　

6 h: @9 [+ o4 y6 _0 [5 M! I' u
【 * 例 6.2.2 -1 】求 的反函数
syms x;f=x^2;g=finverse(f)
Warning: finverse(x^2) is not unique.
> In E:\MAT53\toolbox\symbolic\@sym\finverse.m at line 43
g =
x^(1/2)

fg=simple(compose(g,f)) % 验算 g(f(x)) 是否等于 x
* v+ V; C4 D7 o4 x6 _1 x! _fg =
( x3 _7 C1 i5 ^# Ix

【 * 例 6.2.2 -2 】求 的复合函数
* C+ A2 i" x0 }" M. P
（1）自变量由机器确定
syms x y u fai t;f=x/(1+u^2);g=cos(y+fai);fg1=compose(f,g)
( R: \/ h  ?7 `. C. c* Z# ^fg1 =
cos(y+fai)/(1+u^2)

2 `7 n! s* H9 S# ^4 d  V（2）指定自变量
" I7 W1 V' \! u' u4 j; l: j
fg2=compose(f,g,u,fai,t)
9 k+ t( G, f4 z& _' F+ b8 d1 ?fg2 =
x/(1+cos(y+t)^2)
0 q, Y. F7 k) H/ o

+ @1 B' F6 ~' u6.2.3 置换及其应用
6.2.3.1 自动执行的子表达式置换指令

【 * 例 6.2.3 .1-1 】演示子表达式的置换表示。
7 i* b4 l7 A1 j4 E1 F5 Z9 f' T! Q3 kclear all,syms a b c d W;[V,D]=eig([a b;c d]);
% \7 U5 r9 H1 {  f[RVD,W]=subexpr([V;D],W) %<2>
% `( x$ N8 v" n0 F! y4 mRVD =
0 w5 Y- T+ \& @+ S+ A[ -(1/2*d-1/2*a-1/2*W)/c, -(1/2*d-1/2*a+1/2*W)/c]
  d5 Y" h. M) Y( U( k6 Y9 ?[ 1, 1]
. o6 O9 V' G# q7 M& N6 W[ 1/2*d+1/2*a+1/2*W, 0]
; X) u% V$ J6 ^* N( R- X[ 0, 1/2*d+1/2*a-1/2*W]
W =
# Q$ e# C7 t0 }( M9 n1 C9 P* b9 V(d^2-2*a*d+a^2+4*b*c)^(1/2)


6.2.3.2 通用置换指令

2 k- S% i- a$ z+ ~【 * 例 6.2.3 .2-1 】用简单算例演示 subs 的置换规则。
（1）产生符号函数
syms a x;f=a*sin(x)+5;
: D5 l6 s  T) h( H1 b: W5 T! N
# o0 U6 D9 x* Y. W" F7 T& u（2）符号变量置换
f1=subs(f,'sin(x)',sym('y')) %<2> 　　

. x0 U3 e$ V* m/ _5 |. V

3 I3 E: l4 v) W: Q; F: H/ z; Qf1 =
+ B9 G3 @# d8 Q/ [6 s; R9 P) wa*y+5
* H1 O$ S( x6 q: p7 O
（3）符号常数置换
$ I4 s- K+ @! D! @f2=subs(f,{a,x},{2,sym(pi/3)}) %<3>
- ^6 q* N( a1 o- g+ y5 [5 Qf2 =
' D; ]( u+ n- V; a3 d3^(1/2)+5

（4）双精度数值置换（即所有自由变量被双精度数值取代。取 a=2 ， x=pi/3 ）
; t" ?8 b# y5 n+ E6 q; u5 bf3=subs(f,{a,x},{2,pi/3}) %<4>
; W9 p% [+ }, v. O) _f3 =
6.7321

/ `) J2 P$ o, c1 C  \5 |0 z（5）数值数组置换之一（取 a=2 ， x=0:pi/6:pi ）
f4=subs(subs(f,a,2),x,0:pi/6:pi) %<5>
f4 =
* w% i  h0 x# a5.0000 6.0000 6.7321 7.0000 6.7321 6.0000 5.0000
- l" w) A1 _$ r% o
（6）数值数组置换之二（取 a=0:6 ， x=0:pi/6:pi ）
/ z9 Q% U" o  T+ ~f5=subs(f,{a,x},{0:6,0:pi/6:pi}) %<6>
5 G! i: K; Q( N9 u, L$ Df5 =
5.0000 5.5000 6.7321 8.0000 8.4641 7.5000 5.0000
& I, }$ U% g$ W# A! y7 E
0 S6 ]$ Q8 M" [1 B4 ?" p: M
6.2.4 符号数值精度控制和任意精度计算
6 ~" e% ]0 q: G8 O5 P$ E  |6.2.4.2 任意精度的符号数值
1 R: Z  I0 d+ x( a. ^* a
【 * 例 6.2.4 .2-1 】指令使用演示。
digits % 显示省缺符号数值计算相对精度
Digits = 32
p0=sym('(1+sqrt(5))/2'); %p0 为 (1+sqrt(5))/2 准确值
- A- x) }* m9 ?5 T$ m' Fp1=sym((1+sqrt(5))/2) %p1 是 (1+sqrt(5))/2 在数值环境下的近似值
5 c) ~" n  ?" @2 h8 y) Pe01=vpa(abs(p0-p1)) % 在符号环境 32 位省缺精度下，观察 p0, p1 间误差
p1 =
; E: k4 B& X; g& Y) n7286977268806824*2^(-52)
e01 =
.543211520368250e-16
3 G6 s, }$ [' p7 vp2=vpa(p0) %p2 是 p0 在 32 位相对精度下的近似
8 h2 A7 K! c. u! Ae02=vpa(abs(p0-p2),64) % 在 64 位相对精度下，观察 p0, p2 间的误差
# o# l: h3 K  _% m2 h( Rp2 =
/ ^0 e% G& l) t: W- w: N1.6180339887498948482045868343657
, x- t( v9 w8 k9 e/ Ze02 =
1 F" m/ p$ t! x* c.61882279690820194237137864551377e-31
digits % 验证 vpa 变精度计算不影响全局的符号数值计算精度
/ n( [; f% m* C) [1 e+ T; VDigits = 32
6 N) E' N: ]+ C1 C+ z( x+ ]

' K/ s7 `  b$ Y6 u) X6.2.5 符号对象与其它数据对象间的转换

【 * 例 6.2.5 -1 】符号、数值间的转换。
; R+ E; V# H, U0 m: ephi=sym((1+sqrt(5))/2) % 把数值对象转换成符号常数
double(phi) % 把符号常数转换为双精度存储的数值
phi =
" A1 G5 E. D" l3 _6 x) F2 M1 B7286977268806824*2^(-52)
ans =
* `% `, N. D; y) H/ n0 {1.6180

【 * 例 6.2.5 -2 】各种多项式表示形式之间的转换
syms x;f=x^3+2*x^2-3*x+5; % 生成符号多项式
+ L' n. Z# n& |: l1 L0 Q! ?+ Gsy2p=sym2poly(f) % 由符号多项式产生数值系数行向量
# G4 Q! L  \( Gp2st=poly2str(sy2p,'x') % 把系数行向量变成易读表示式
p2sy=poly2sym(sy2p) % 把数值系数行向量再转换为符号多项式
; o- C& O% m# r8 \pretty(f,'x') % 显示符号多项式的易读表示形式
* B5 z1 A% y  G/ Q; `, O. zsy2p =
" A3 J) K  X, e' |5 C1 2 -3 5
p2st =
: \8 ^1 d; N% `5 n2 J* d. t& Cx^3 + 2 x^2 - 3 x + 5
p2sy =
x^3+2*x^2-3*x+5
) {  W" w2 a- D7 Y2 x3 2
, m! `3 c$ n- y5 M/ O' gx + 2 x - 3 x + 5

& F( D" p' u9 K" e

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