MATLAB符号计算

cat12620

4 v9 N' Y6 Y' ]符号计算则是可以对未赋值的符号对象(可以是常数、变量、表达式)进行运算和处理。MATLAB具有符号数学工具箱(Symbolic Math Toolbox)，将符号运算结合到MATLAB的数值运算环境。符号数学工具箱是建立在Maple软件基础上的。
3.1 符号表达式的建立
* L- F9 t8 T" HSymbolic Math Toolbox2.1版规定在进行符号计算时，首先要定义基本的符号对象然后才能进行符号运算。
9 T: c0 F& {1 I7 f5 D% O" n! N$ X3.1.1创建符号常量
0 E3 [% ?; M1 K1 H符号常量是不含变量的符号表达式，用sym命令来创建符号常量。
9 J# ^1 i4 S, F2 K6 f语法：
       sym(‘常量’)              %创建符号常量
$ ^! i+ j$ O2 _, l例如，创建符号常量，这种方式是绝对准确的符号数值表示：
- Q+ e+ n6 Z6 j; J! v* v>> a=sym('sin(2)')
a =
2 u* C9 P0 E( Y6 k9 R/ Gsin(2)
sym命令也可以把数值转换成某种格式的符号常量。
$ Q) y% f. k& L7 i9 `语法：
! Z6 R, J9 q" M! A% z6 ~       sym(常量,参数)          %把常量按某种格式转换为符号常量
说明：参数可以选择为’d’、’f’、’e’或’r’ 四种格式，也可省略，其作用如表3.1所示。
* p7 b# I+ P8 c7 c! o

表3.1 参数设置

参数	作用 # B: F. g& v; B- m
d $ t; ]& G: l+ j* K	返回最接近的十进制数值(默认位数为32位) 9 j2 N3 E% d5 O; F" p# J3 ^
f / ^! e8 a, k: i3 `3 o2 z	返回该符号值最接近的浮点表示
r	返回该符号值最接近的有理数型(为系统默认方式)，可表示为p/q、p*q、10^q、pi/q、2^q和sqrt(p)形式之一
e ) V( s6 |" b3 q# }0 H; `	返回最接近的带有机器浮点误差的有理值

例如，创建符号常量，这种方式是绝对准确的符号数值表示：
8 O# Q9 q( Q! P! w3 O a=sym('sin(2)')
) d9 M4 y0 q$ t
a =
sin(2)  

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eig(A)                 %计算特征值
+ u2 t/ {4 }0 p) A+ |7 C6 o' I+ U
6 `2 r, N% b3 q3 Tans =
[ 1/2*a11+1/2*a22+1/2*(a11^2-2*a11*a22+a22^2+4*a12*a21)^(1/2)]
0 {, Y2 O6 X0 Z5 S[ 1/2*a11+1/2*a22-1/2*(a11^2-2*a11*a22+a22^2+4*a12*a21)^(1/2)]  

7 D' B) p+ }) K- ~+ i【例3.5】符号表达式f=2x2+3x+4与g=5x+6的代数运算。
7 [' h! X3 u$ `# g9 S f=sym('2*x^2+3*x+4')
9 T% v/ @; ?  @" v1 Z- H: I% r
f =
) T& z3 N' ?. U5 W) E% F2*x^2+3*x+4  
+ e9 `; f' j0 K# ^' n/ l( |; G3 \ g=sym('5*x+6')

g =
5*x+6  
f+g                %符号表达式相加
/ Q  \0 A- K  b
ans =
2*x^2+8*x+10  
$ z# S( [, Z  g* @/ l  N: c. r f*g                %符号表达式相乘
9 ]& q8 _; O4 d' W3 \
ans =
* [8 k4 H+ i7 _- k/ {, o(2*x^2+3*x+4)*(5*x+6)  
3.2.2符号数值任意精度控制和运算
1. Symbolic Math Toolbox中的算术运算方式
在Symbolic Math Toolbox中有三种不同的算术运算：
6 m: C5 d1 G9 Q8 u0 ^§      数值型：MATLAB的浮点运算。
§      有理数型：Maple的精确符号运算。
§      VPA型：Maple的任意精度运算。

2. 任意精度控制
任意精度的VPA型运算可以使用digits和vpa命令来实现。
语法：
       digits(n)                    %设定默认的精度
说明：n为所期望的有效位数。digits函数可以改变默认的有效位数来改变精度，随后的每个进行Maple函数的计算都以新精度为准。当有效位数增加时，计算时间和占用的内存也增加。命令“digits”用来显示默认的有效位数，默认为32位。
语法：
- M$ R+ d' C7 s4 }       S=vpa(s,n)                %将s表示为n位有效位数的符号对象
2 S3 w) d5 l; T# f1 b2 j5 K3 P说明：s可以是数值对象或符号对象，但计算的结果S一定是符号对象；当参数n省略时则以给定的digits指定精度。vpa命令只对指定的符号对象s按新精度进行计算，并以同样的精度显示计算结果，但并不改变全局的digits参数。
3 D$ C, p1 [: s3 i* i7 @. _【例3.6】对表达式file:///C:/DOCUME~1/ADMINI~1.468/LOCALS~1/Temp/msohtml1/01/clip_image006.gif进行任意精度控制的比较。
a=sym('2*sqrt(5)+pi')
/ q2 [8 a( f% C1 o) _: ^
7 I9 w, d, j6 N+ D2 K% D3 `a =
2*sqrt(5)+pi  
. s9 J7 r$ d& d; b  A# V9 U! @ digits      %显示默认的有效位数


Digits = 32
8 H4 B: |# e5 H' [+ F5 U, a   
+ q! Q3 G! T/ f1 i# x/ t+ H vpa(a)      %用默认的位数计算并显示

* C. N' `- z' B5 |/ zans =
1 B! L% Z( [, E0 u7.6137286085893726312809907207421  
0 S. K% H/ j+ @/ Q  y. {; r" J4 p vpa(a,20)       %按指定的精度计算并显示
3 h. M) r5 c' ?0 x4 M" D
- T9 y" b9 n1 @1 V5 T8 D: vans =
( D6 O( u$ l7 X) \& p# A2 |7.6137286085893726313  
9 B" b2 {9 q/ t& T9 c# h/ W digits(15)      %改变默认的有效位数
; W. |6 Z9 o2 _& N0 l4 ? vpa(a)      %按digits指定的精度计算并显示
7 L" R- n' t8 `1 L( M% W
ans =
7.61372860858937  
5 v7 H9 s. f1 K( m' G  O2 t
3. Symbolic Math Toolbox中的三种运算方式的比较
% M8 [+ C% l/ O【例3.6续】用三种运算方式表达式比较2/3的结果。
a1 =2/3      %数值型
3 R& C: ]  m. |+ t/ `7 r- g
7 M  R. G$ L1 |2 _$ q& o( c. ?a1 =
    0.6667  
" u1 i4 Y: d3 o5 \a2 = sym(2/3)    %有理数型
4 e7 w3 z) a  o
a2 =
2/3  
a3 =vpa('2/3',32) %VPA型

a3 =
.66666666666666666666666666666667  
程序分析：
§      三种运算方式中数值型运算的速度最快。
§      有理数型符号运算的计算时间和占用内存是最大的，产生的结果是非常准确的。
§      VPA型的任意精度符号运算比较灵活，可以设置任意有效精度，当保留的有效位数增加时，每次运算的时间和使用的内存也会增加。
§      数值型变量a1结果显示的有效位数并不是存储的有效位数，在第一章中介绍显示的有效位数由“format”命令控制。如下面修改“format”命令就改变了显示的有效位数：
format long
( L' v: U- g) E' b. O, Y6 _+ e a1
) C6 O4 i* S( S& Z2 L& @
) R+ }3 B6 o3 X( C" Ua1 =
& G- A$ B% p3 R6 @: y   0.66666666666667  
3.2.3符号对象与数值对象的转换
% c* B% Y8 S% y8 d- z2 N1. 将数值对象转换为符号对象
. U2 W: _/ z! z+ R6 Zsym命令可以把数值型对象转换成有理数型符号对象，vpa命令可以将数值型对象转换为任意精度的VPA型符号对象。

2. 将符号对象转换为数值对象
使用double、 numeric函数可以将有理数型和VPA型符号对象转换成数值对象。
语法：
       N=double(S)              %将符号变量S转换为数值变量N
       N=numeric(S)           %将符号变量S转换为数值变量N
0 i8 [) G/ D+ O( C3 G7 ~【例3.7】将符号变量file:///C:/DOCUME~1/ADMINI~1.468/LOCALS~1/Temp/msohtml1/01/clip_image008.gif与数值变量进行转换。
clear
3 ?3 i$ @, E" ka1=sym('2*sqrt(5)+pi')

' }4 y! z( l0 h8 W3 C4 n+ @a1 =
2*sqrt(5)+pi  
* o! P9 P( t* c6 j# Z
' `: H9 q! Y) ~. q! W, i) _ b1=double(a1)             %转换为数值变量

+ T/ N! n/ Q! X+ S9 {b1 =
    7.6137  
6 v! B- e+ H* U% D, f& M
* w' V" \  P, t! ?" I a2=vpa(sym('2*sqrt(5)+pi'),32)

a2 =
7.6137286085893726312809907207421  

b2=numeric(a2)         %转换为数值变量
5 i5 _$ ]' S7 }' O+ h3 I% B% J
b2 =
" A# [& ~& g. o' j2 R( m. H" v5 j    7.6137  
【例3.7续】由符号变量得出数值结果。
# s' \! d1 h8 }% ` b3=eval(a1)

b3 =
    7.6137  
用“whos”命令查看变量的类型，可以看到b1、b2、b3都转换为双精度型：
whos
2 E) g3 g: q7 q- }
- [6 g. ]& P. Q4 ^0 b- _% D      Size                   Bytes Class

0 u" X/ f# @# E* z# _        1x1                      148 sym object
0 j% d: d% a7 r        1x1                      190 sym object
3 C4 c  O; B3 F        1x1                        8 double array
        1x1                        8 double array
2 X+ r% B1 h0 ?* D3 `# U0 x5 W        1x1                        8 double array
+ r( V  ~6 T( o% M0 e5 w' w0 d
7 w1 Y4 p4 t  d3 L. a9 s- f$ AGrand total is 50 elements using 362 bytes  
& r% @9 y. X; t( {: ]3.3符号表达式的操作和转换
3.3.1符号表达式中自由变量的确定
% P" ]: Q( u" U. N: Y1. 自由变量的确定原则
，MATLAB将基于以下原则选择一个自由变量：
' s9 ^% p! W. i/ l§      小写字母i和j不能作为自由变量。
* G, f& |! U% X2 y" X§      符号表达式中如果有多个字符变量，则按照以下顺序选择自由变量：首先选择x作为自由变量；如果没有x，则选择在字母顺序中最接近x的字符变量；如果与x相同距离，则在x后面的优先。
. e7 O: v' l9 p# \4 g0 V§      大写字母比所有的小写字母都靠后。

7 e/ K: m  U, H: b9 w2. findsym函数
! j3 ?. o% b4 R3 N' c8 J如果不确定符号表达式中的自由符号变量，可以用findsym函数来自动确定。
; P2 Q/ E; V  [0 L语法：
9 g( h% U9 B% h. P0 Q       findsym(EXPR,n)        %确定自由符号变量
9 `. v$ ]' g9 z- ]& m说明：EXPR可以是符号表达式或符号矩阵；n为按顺序得出符号变量的个数，当n省略时，则不按顺序得出EXPR中所有的符号变量。
2 k/ e, k8 O5 R0 J7 ?【例3.8】得出符号表达式中的符号变量。
) Y2 A+ a& X! i0 J: U f=sym('a*x^2+b*x+c')
* ^, l0 U7 x: b5 w6 H6 N8 h/ Q
5 |% D: b+ t$ n/ [, u( ?f =
, E5 u% ~% V  D. n4 w  s. Ia*x^2+b*x+c  
' @' }9 j* R0 o0 w findsym(f)         %得出所有的符号变量
) G, ^% p% P; i, o, d' o
ans =
1 W5 ]  {/ `8 n; V" ~9 V3 sa, b, c, x  
# L: A3 D: L* }; _ g=sym('sin(z)+cos(v)') [/hide]

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