MATLAB符号计算

cat12620

" j" F+ |8 t' F, T8 {- q/ _. T
: ?. i& a! ^) P; f; [4 g( M. p符号计算则是可以对未赋值的符号对象(可以是常数、变量、表达式)进行运算和处理。MATLAB具有符号数学工具箱(Symbolic Math Toolbox)，将符号运算结合到MATLAB的数值运算环境。符号数学工具箱是建立在Maple软件基础上的。
& Y% \: \% N, I$ j0 d; h& b3.1 符号表达式的建立
( B4 }5 r9 X  }1 \$ DSymbolic Math Toolbox2.1版规定在进行符号计算时，首先要定义基本的符号对象然后才能进行符号运算。
3.1.1创建符号常量
/ K) F# O/ P3 L% }; I符号常量是不含变量的符号表达式，用sym命令来创建符号常量。
语法：
       sym(‘常量’)              %创建符号常量
+ S5 o8 j! E" d1 {例如，创建符号常量，这种方式是绝对准确的符号数值表示：
5 S2 A7 O% @% Y+ f" T& x0 e2 f>> a=sym('sin(2)')
, N3 ?* e; q( \7 M. va =
sin(2)
4 H. o$ W9 D9 O  csym命令也可以把数值转换成某种格式的符号常量。
) E9 S% j. B/ W. `语法：
       sym(常量,参数)          %把常量按某种格式转换为符号常量
' [" K3 ]4 K) _& H( R说明：参数可以选择为’d’、’f’、’e’或’r’ 四种格式，也可省略，其作用如表3.1所示。
, T6 ]6 {1 X6 z

表3.1 参数设置

参数	作用
d 0 {9 ]! s3 m9 G	返回最接近的十进制数值(默认位数为32位)
f	返回该符号值最接近的浮点表示
r " f* |% ~! r8 l$ V	返回该符号值最接近的有理数型(为系统默认方式)，可表示为p/q、p*q、10^q、pi/q、2^q和sqrt(p)形式之一
e	返回最接近的带有机器浮点误差的有理值 : W6 m: R1 J4 `! w9 D2 H

例如，创建符号常量，这种方式是绝对准确的符号数值表示：
a=sym('sin(2)')
5 O+ |$ L) j7 V0 t9 {
a =
sin(2)  
  N  g1 ^4 |8 I! ^

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eig(A)                 %计算特征值
+ l+ f- {4 _3 f
ans =
[ 1/2*a11+1/2*a22+1/2*(a11^2-2*a11*a22+a22^2+4*a12*a21)^(1/2)]
[ 1/2*a11+1/2*a22-1/2*(a11^2-2*a11*a22+a22^2+4*a12*a21)^(1/2)]  
$ B$ @" Y7 v9 h3 Z7 \* `9 a
【例3.5】符号表达式f=2x2+3x+4与g=5x+6的代数运算。
. f1 h1 B. m" U4 V3 z$ f0 m  I f=sym('2*x^2+3*x+4')

  k/ |! j5 |. r* M9 V- L1 z, `f =
% p" X2 X5 ]$ x3 s: \( \$ l3 m2*x^2+3*x+4  
g=sym('5*x+6')
+ N6 z4 n4 V- ?+ _' X
g =
5*x+6  
+ n* N( `6 X3 ?, N: n f+g                %符号表达式相加
" e/ a  ~# R. g. e# M" M5 a
: R9 X+ P3 y2 aans =
, {0 h7 D- L" C/ F* |( S. s9 N2*x^2+8*x+10  
, h# }$ v$ ]9 _0 {0 R/ }! \ f*g                %符号表达式相乘
$ O6 w0 w$ g- v
3 p' D, @) ]& r, y% Pans =
8 j; @, \$ o; W. S/ _. E% n(2*x^2+3*x+4)*(5*x+6)  
3.2.2符号数值任意精度控制和运算
1. Symbolic Math Toolbox中的算术运算方式
1 Q5 l  j# }( A8 T& k0 L在Symbolic Math Toolbox中有三种不同的算术运算：
§      数值型：MATLAB的浮点运算。
8 q' e) v4 D  w1 I' Q% ?4 y§      有理数型：Maple的精确符号运算。
§      VPA型：Maple的任意精度运算。
* K1 \+ y4 l! I7 j- n' c& L* J% u
2. 任意精度控制
! C+ P. A, @8 p任意精度的VPA型运算可以使用digits和vpa命令来实现。
语法：
( D. N( i3 A6 {4 y       digits(n)                    %设定默认的精度
说明：n为所期望的有效位数。digits函数可以改变默认的有效位数来改变精度，随后的每个进行Maple函数的计算都以新精度为准。当有效位数增加时，计算时间和占用的内存也增加。命令“digits”用来显示默认的有效位数，默认为32位。
语法：
       S=vpa(s,n)                %将s表示为n位有效位数的符号对象
说明：s可以是数值对象或符号对象，但计算的结果S一定是符号对象；当参数n省略时则以给定的digits指定精度。vpa命令只对指定的符号对象s按新精度进行计算，并以同样的精度显示计算结果，但并不改变全局的digits参数。
【例3.6】对表达式file:///C:/DOCUME~1/ADMINI~1.468/LOCALS~1/Temp/msohtml1/01/clip_image006.gif进行任意精度控制的比较。
6 N( [' r# u- S0 R- Z3 o4 h a=sym('2*sqrt(5)+pi')
' T$ ~/ \. p: s' B( b
: I; t% h5 `0 \; la =
. `0 \$ A% k  R- B: X2*sqrt(5)+pi  
5 D' j) y4 j6 ?" Z" f) T, X digits      %显示默认的有效位数


  a# Q5 K# O, s. B( eDigits = 32
7 k5 x5 d; `; C& l   
5 k, J; [+ i6 t& c/ O! }& f vpa(a)      %用默认的位数计算并显示
8 O5 w, A# h* F4 U
' s. I0 r7 a  Z# h- Kans =
7.6137286085893726312809907207421  
" L0 i3 P& B! } vpa(a,20)       %按指定的精度计算并显示
( E  C1 o4 g+ i, [7 Q8 _* v7 q6 k
) f3 g  G' V9 f. I' [- oans =
7.6137286085893726313  
digits(15)      %改变默认的有效位数
vpa(a)      %按digits指定的精度计算并显示

7 R- D# }! x6 G" W8 Dans =
' L5 Z( c. s7 o6 I7 A# D7.61372860858937  

3. Symbolic Math Toolbox中的三种运算方式的比较
/ v( K: `' O5 |+ Z% h* J; [【例3.6续】用三种运算方式表达式比较2/3的结果。
a1 =2/3      %数值型
+ R) S8 r' {' z0 F% s  k6 j
3 I0 t0 \; @) q* E7 Ca1 =
    0.6667  
a2 = sym(2/3)    %有理数型
2 _7 k: r8 j1 J# G6 p& g
- }* o# g: }, M' d+ m! s' Y" \a2 =
8 j% U& f, [0 |+ P* v2/3  
2 F# @6 M# }) P8 @$ E a3 =vpa('2/3',32) %VPA型
) H1 X/ ^; c5 l% o; D) H& R
$ }  @/ b! g7 N2 }+ i3 X$ fa3 =
.66666666666666666666666666666667  
程序分析：
§      三种运算方式中数值型运算的速度最快。
§      有理数型符号运算的计算时间和占用内存是最大的，产生的结果是非常准确的。
9 E) M/ o) v3 t- P  n$ ~§      VPA型的任意精度符号运算比较灵活，可以设置任意有效精度，当保留的有效位数增加时，每次运算的时间和使用的内存也会增加。
( z3 }: t/ q- {# W' t/ q" f  D§      数值型变量a1结果显示的有效位数并不是存储的有效位数，在第一章中介绍显示的有效位数由“format”命令控制。如下面修改“format”命令就改变了显示的有效位数：
& G% l+ Z7 _% Q9 o2 X format long
. W/ ^( h) E  h+ f0 _2 B a1
- g& {! s1 O* B& s$ {
a1 =
: \; r6 I- W  M( U   0.66666666666667  
3.2.3符号对象与数值对象的转换
2 w6 a" D; m: U  [, P, H- R1. 将数值对象转换为符号对象
4 Z) W) H7 D  c, lsym命令可以把数值型对象转换成有理数型符号对象，vpa命令可以将数值型对象转换为任意精度的VPA型符号对象。

2. 将符号对象转换为数值对象
使用double、 numeric函数可以将有理数型和VPA型符号对象转换成数值对象。
; {6 p" D$ S8 }& T1 N" |语法：
0 t6 j9 k$ U0 N0 l. |7 H& ?       N=double(S)              %将符号变量S转换为数值变量N
- u5 v' k, ?* J       N=numeric(S)           %将符号变量S转换为数值变量N
, g$ M0 q5 D3 _2 s【例3.7】将符号变量file:///C:/DOCUME~1/ADMINI~1.468/LOCALS~1/Temp/msohtml1/01/clip_image008.gif与数值变量进行转换。
, M6 t, ?( L- n$ j4 @ clear
a1=sym('2*sqrt(5)+pi')
! s! A4 O! i/ W9 `2 @3 |" k3 x
( C) ]9 |: E# n" `a1 =
- A1 m+ G) ~# s3 t2*sqrt(5)+pi  
$ w$ X) x1 X+ H
- {. ~$ Q4 e  f; p8 g/ Z& t b1=double(a1)             %转换为数值变量

b1 =
    7.6137  

a2=vpa(sym('2*sqrt(5)+pi'),32)

a2 =
7.6137286085893726312809907207421  

; o; V8 U/ N- V; Q2 w# Y3 \ b2=numeric(a2)         %转换为数值变量
, D* @6 G+ t+ k2 t8 k$ t
b2 =
    7.6137  
【例3.7续】由符号变量得出数值结果。
9 G- s/ C; A; a/ f1 L/ e b3=eval(a1)
3 T2 j5 R+ T) i: E, `: j
b3 =
* _2 t) l! p7 [# h) M    7.6137  
* W9 O/ t% u7 i+ r用“whos”命令查看变量的类型，可以看到b1、b2、b3都转换为双精度型：
whos
. m& a; L! B; x) z  T
" B& A4 Y1 l* ^' F+ I      Size                   Bytes Class

5 p* `- G, K! c        1x1                      148 sym object
& D( _9 [) K' S' \, g# o        1x1                      190 sym object
; `( Y/ p& w# @6 S- \  y        1x1                        8 double array
        1x1                        8 double array
) h( E2 \1 P# Y& r        1x1                        8 double array

Grand total is 50 elements using 362 bytes  
3.3符号表达式的操作和转换
3.3.1符号表达式中自由变量的确定
1. 自由变量的确定原则
2 r- B. }: {9 B( ?2 Z8 J，MATLAB将基于以下原则选择一个自由变量：
§      小写字母i和j不能作为自由变量。
§      符号表达式中如果有多个字符变量，则按照以下顺序选择自由变量：首先选择x作为自由变量；如果没有x，则选择在字母顺序中最接近x的字符变量；如果与x相同距离，则在x后面的优先。
# l5 U5 C' ?9 j! ~+ B: J§      大写字母比所有的小写字母都靠后。

- V& \! z/ i* R( [0 ^& s2. findsym函数
如果不确定符号表达式中的自由符号变量，可以用findsym函数来自动确定。
语法：
       findsym(EXPR,n)        %确定自由符号变量
2 y0 v' v# X4 U说明：EXPR可以是符号表达式或符号矩阵；n为按顺序得出符号变量的个数，当n省略时，则不按顺序得出EXPR中所有的符号变量。
# J& d6 p3 E) e% y1 i5 F【例3.8】得出符号表达式中的符号变量。
4 Q! k3 E( o+ v/ Y% `2 G f=sym('a*x^2+b*x+c')

8 ]- k+ g. u7 X/ C$ F8 [. s# [& qf =
1 O2 }; W5 i: c# T  Da*x^2+b*x+c  
findsym(f)         %得出所有的符号变量

ans =
a, b, c, x  
" p& B. w3 V4 M& X; e g=sym('sin(z)+cos(v)') [/hide]
3 S* w) c" u. X' w3 Y
' i6 q3 H0 |0 W. A, G. J. O8 x

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