MATLAB符号计算

cat12620

$ Y, A9 N' g8 Z+ j. b0 ?3 y; B
' K: y0 |: h" r4 e$ N' ^符号计算则是可以对未赋值的符号对象(可以是常数、变量、表达式)进行运算和处理。MATLAB具有符号数学工具箱(Symbolic Math Toolbox)，将符号运算结合到MATLAB的数值运算环境。符号数学工具箱是建立在Maple软件基础上的。
3.1 符号表达式的建立
% \( ?7 r, r/ ~" q: @  wSymbolic Math Toolbox2.1版规定在进行符号计算时，首先要定义基本的符号对象然后才能进行符号运算。
3.1.1创建符号常量
符号常量是不含变量的符号表达式，用sym命令来创建符号常量。
# Z; T0 J; o- Z2 _. A& U语法：
) g3 E1 R1 S1 w, W+ w8 \, R8 F8 ]       sym(‘常量’)              %创建符号常量
例如，创建符号常量，这种方式是绝对准确的符号数值表示：
! S/ Y* {# V6 {' P>> a=sym('sin(2)')
9 g/ V; a! v' l  G3 ca =
4 \0 ]8 m- F5 C7 O" }0 Xsin(2)
4 y8 N" u& E, w* G$ u9 dsym命令也可以把数值转换成某种格式的符号常量。
& t( D0 o6 z2 _& g1 t0 ?语法：
' @! J2 v! c. a4 d6 |3 z# M* O1 O       sym(常量,参数)          %把常量按某种格式转换为符号常量
说明：参数可以选择为’d’、’f’、’e’或’r’ 四种格式，也可省略，其作用如表3.1所示。
6 P3 z/ |4 @1 j4 u

表3.1 参数设置

参数	作用 8 K7 T3 ?& u3 a* l& L/ ^( W: |
d	返回最接近的十进制数值(默认位数为32位)
f	返回该符号值最接近的浮点表示 ) ^7 F& L5 q" u$ M4 [
r	返回该符号值最接近的有理数型(为系统默认方式)，可表示为p/q、p*q、10^q、pi/q、2^q和sqrt(p)形式之一 9 v$ W3 m* x- w3 L1 _- O
e	返回最接近的带有机器浮点误差的有理值

例如，创建符号常量，这种方式是绝对准确的符号数值表示：
a=sym('sin(2)')
4 T# M/ ^# q2 W6 d# D% C5 c+ U
' ^: N) q+ P" ]& oa =
sin(2)  
: w- s+ L' ]( b0 y8 V, d6 r

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* B8 d* W& H3 g3 Y# h eig(A)                 %计算特征值

4 k. g$ [. R" k8 ]  f" m% Lans =
3 v& c8 A& C# Y! g* \; ]; ], t5 D[ 1/2*a11+1/2*a22+1/2*(a11^2-2*a11*a22+a22^2+4*a12*a21)^(1/2)]
[ 1/2*a11+1/2*a22-1/2*(a11^2-2*a11*a22+a22^2+4*a12*a21)^(1/2)]  

【例3.5】符号表达式f=2x2+3x+4与g=5x+6的代数运算。
f=sym('2*x^2+3*x+4')
! m: s: J* R$ R; |4 R$ i1 o( L
f =
2*x^2+3*x+4  
g=sym('5*x+6')

g =
5*x+6  
; H) }, P9 E& X4 K% q; x: u f+g                %符号表达式相加
" j8 x+ ]# |7 U2 u# v# H4 x9 d+ E% J& K
ans =
6 Z3 H' W) ]7 t0 r' F2*x^2+8*x+10  
f*g                %符号表达式相乘
) v, Z0 R; r4 S/ ~$ T
: T6 V" `. z1 H. Kans =
(2*x^2+3*x+4)*(5*x+6)  
3.2.2符号数值任意精度控制和运算
1. Symbolic Math Toolbox中的算术运算方式
  X9 e7 f/ c4 L在Symbolic Math Toolbox中有三种不同的算术运算：
2 L; ?) c2 G! |. D& z§      数值型：MATLAB的浮点运算。
§      有理数型：Maple的精确符号运算。
5 k& ?! T3 b8 f9 e2 _§      VPA型：Maple的任意精度运算。

! I" k3 h3 x0 F& N1 P" q' h2. 任意精度控制
* }/ [8 Y# d7 t# e- u- S任意精度的VPA型运算可以使用digits和vpa命令来实现。
语法：
       digits(n)                    %设定默认的精度
说明：n为所期望的有效位数。digits函数可以改变默认的有效位数来改变精度，随后的每个进行Maple函数的计算都以新精度为准。当有效位数增加时，计算时间和占用的内存也增加。命令“digits”用来显示默认的有效位数，默认为32位。
* E0 C% U; z+ |9 I( u4 r语法：
% H+ d  @+ L3 s  K4 P       S=vpa(s,n)                %将s表示为n位有效位数的符号对象
0 a2 h/ X& [/ |5 c2 i$ |) |7 ]/ d说明：s可以是数值对象或符号对象，但计算的结果S一定是符号对象；当参数n省略时则以给定的digits指定精度。vpa命令只对指定的符号对象s按新精度进行计算，并以同样的精度显示计算结果，但并不改变全局的digits参数。
【例3.6】对表达式file:///C:/DOCUME~1/ADMINI~1.468/LOCALS~1/Temp/msohtml1/01/clip_image006.gif进行任意精度控制的比较。
a=sym('2*sqrt(5)+pi')
; M" d) L) `- g- T! \
" e( J9 \- `  l. X% O$ ka =
2*sqrt(5)+pi  
digits      %显示默认的有效位数

9 n; g% p9 q% T! p* x
Digits = 32
1 l2 {" ], z7 ~% R% j, W/ f" h( r   
vpa(a)      %用默认的位数计算并显示

) I: y1 g" w  p1 ~% I5 a: Yans =
7.6137286085893726312809907207421  
" i6 k  F" l% v) x' T! v3 F vpa(a,20)       %按指定的精度计算并显示
. y' y/ P% M! q, m( \# F
ans =
7.6137286085893726313  
: p! Z; N8 J7 Y digits(15)      %改变默认的有效位数
0 p/ q% d  o0 M- U' T6 Q- P3 [ vpa(a)      %按digits指定的精度计算并显示

ans =
" [* u+ J3 l& |# q' Q4 I7.61372860858937  
7 P# Q3 h2 S9 g: r7 u: D' }4 d
; J" J* }& H5 E9 k5 U3. Symbolic Math Toolbox中的三种运算方式的比较
【例3.6续】用三种运算方式表达式比较2/3的结果。
7 k8 p/ V# ?# @3 ^a1 =2/3      %数值型
: c/ f. d; e! ]4 R' `* `; d
5 B+ O7 w# L8 H$ ga1 =
8 h6 `; p; T7 W* ^2 {2 N    0.6667  
a2 = sym(2/3)    %有理数型

a2 =
6 K8 P" t2 n) j2/3  
! }. i% ~/ V' k2 J  ~. J a3 =vpa('2/3',32) %VPA型
4 i1 _# Z$ F( a
# E& X8 m8 a+ X  N3 i- m: C& _a3 =
7 [5 d' L) l. I" Y: D.66666666666666666666666666666667  
程序分析：
1 B9 O; F! J: L) T( m§      三种运算方式中数值型运算的速度最快。
§      有理数型符号运算的计算时间和占用内存是最大的，产生的结果是非常准确的。
§      VPA型的任意精度符号运算比较灵活，可以设置任意有效精度，当保留的有效位数增加时，每次运算的时间和使用的内存也会增加。
§      数值型变量a1结果显示的有效位数并不是存储的有效位数，在第一章中介绍显示的有效位数由“format”命令控制。如下面修改“format”命令就改变了显示的有效位数：
: i% B5 m/ `, N& R  k format long
, W: b8 O" |9 ~9 ?. J- q0 J a1
) R5 `3 h! F2 K9 q8 ]2 F! L
# o9 X; U3 m; }5 |0 [8 ^a1 =
   0.66666666666667  
3.2.3符号对象与数值对象的转换
1. 将数值对象转换为符号对象
sym命令可以把数值型对象转换成有理数型符号对象，vpa命令可以将数值型对象转换为任意精度的VPA型符号对象。

* b( v0 n1 [- M$ \4 _) E  U3 L/ O; S; f2. 将符号对象转换为数值对象
使用double、 numeric函数可以将有理数型和VPA型符号对象转换成数值对象。
语法：
& y6 B5 D1 \" E% S3 ?0 }' o, V1 o       N=double(S)              %将符号变量S转换为数值变量N
3 R! j- s0 x) o8 b* x       N=numeric(S)           %将符号变量S转换为数值变量N
【例3.7】将符号变量file:///C:/DOCUME~1/ADMINI~1.468/LOCALS~1/Temp/msohtml1/01/clip_image008.gif与数值变量进行转换。
clear
' K! U3 L/ J! W$ v3 C& Va1=sym('2*sqrt(5)+pi')
" i7 K+ C: S# B2 x: L* k0 X/ |& `
7 `8 H  l6 Z! O( [a1 =
2*sqrt(5)+pi  

# n" W2 @0 B# a b1=double(a1)             %转换为数值变量

% H4 x* l% H8 v. H9 nb1 =
    7.6137  

a2=vpa(sym('2*sqrt(5)+pi'),32)
" V% R( B7 K% Q0 U
a2 =
7.6137286085893726312809907207421  

; U" m0 L& i& o' R9 x8 N b2=numeric(a2)         %转换为数值变量

b2 =
4 F; l$ i# g" s    7.6137  
: U7 i7 T' R  [9 E! S2 i! K$ b【例3.7续】由符号变量得出数值结果。
b3=eval(a1)

6 ~# A9 y( `4 K0 ?! M! Sb3 =
    7.6137  
2 v' N) L6 f' ~( E用“whos”命令查看变量的类型，可以看到b1、b2、b3都转换为双精度型：
8 J, {% X" T6 Z whos

      Size                   Bytes Class
+ D! J, O/ ~8 A) n/ M8 F+ c: ~
        1x1                      148 sym object
        1x1                      190 sym object
3 `) w; p) |! v; G7 ]" j1 W$ W        1x1                        8 double array
( h. ?$ f8 c! j$ {4 ]4 j1 }        1x1                        8 double array
        1x1                        8 double array

Grand total is 50 elements using 362 bytes  
3.3符号表达式的操作和转换
; {0 K4 ~4 P/ G: J! p0 Y: R) a' u3.3.1符号表达式中自由变量的确定
! i6 q, b/ C5 M# u. t7 r; W( k1. 自由变量的确定原则
& I* x9 ~& m3 K，MATLAB将基于以下原则选择一个自由变量：
§      小写字母i和j不能作为自由变量。
§      符号表达式中如果有多个字符变量，则按照以下顺序选择自由变量：首先选择x作为自由变量；如果没有x，则选择在字母顺序中最接近x的字符变量；如果与x相同距离，则在x后面的优先。
§      大写字母比所有的小写字母都靠后。

2. findsym函数
  i, R/ `4 I9 a如果不确定符号表达式中的自由符号变量，可以用findsym函数来自动确定。
语法：
       findsym(EXPR,n)        %确定自由符号变量
" ]9 x' L6 m- L: [; `0 y说明：EXPR可以是符号表达式或符号矩阵；n为按顺序得出符号变量的个数，当n省略时，则不按顺序得出EXPR中所有的符号变量。
【例3.8】得出符号表达式中的符号变量。
f=sym('a*x^2+b*x+c')
' ~, v: q) G# n& n
f =
0 C$ @" V  [" Pa*x^2+b*x+c  
8 R0 e3 _- U! o! V1 }* K/ {1 } findsym(f)         %得出所有的符号变量
- q1 `) g; K% f/ P$ K9 N- d  f  r
ans =
a, b, c, x  
g=sym('sin(z)+cos(v)') [/hide]

( n8 Q7 C5 I3 R2 V. I) L

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